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Piezokomposite
Jenseits der Positionierung
Piezokomposite zur Schwingungsanregung und Stoßerzeugung
► Anregung von Gebäude- und Bodenschwingungen
► Dauerschwingversuche
► Impact-Echo-Verfahren
► Materialprüfung
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
1.1
Eigenschaften von Piezokeramiken . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Aufbau der Aktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Stapelkonfektionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
Wärmemanagement von Piezokompositen . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Belastbarkeiten und Kraftgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Jenseits der Positionierung
9
2.1
Krafterzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Blockierkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Dynamischer Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Piezo-Shaker PiSha
12
3.1
Funktionsprinzip von piezoelektrischen Shakern . . . . . . . . . .
12
3.2
Wesentliche Eigenschaften von piezoelektrischen Shakern . . . .
13
3.3
Vergleich PiSha mit elektromagnetischen Shakern . . . . . . . . .
13
3.4
Vorteile von piezoelektrischen Shakern . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.5
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4 Axiale Piezo-Stoßgeneratoren hoher Leistung PIA
15
4.1
Das Anwendungsziel piezoelektrischer Stoßgeneratoren . . . . .
17
4.2
Der physikalische Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.3
Charakterisierung der Piezostapel für den Einsatz als Stoßgenerator 19
4.4
Der Piezostapel als Stoßgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.5
Elektrische Ansteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.6
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.7
Theorie des Stabstoßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Nomenklatur
32
i
1
Einleitung
Bei Piezo-Aktoren werden keine „Quarze“ oder „Kristalle“ verwendet, sondern spezielle oxidische Keramikwerkstoffe auf der Basis des PZT-Systems
(Blei (Pb), Zirkonat (Zr), Titanat (Ti)). Der Grund ist deren wesentlich größere „Wandler-Effizienz“ im Vergleich zu Quarzen.
1.1
Eigenschaften von Piezokeramiken
Durch verschiedene Maßnahmen im Herstellungsprozess der Keramik (z.B. Stöchiometrie und Dotierung) können die piezoelektrischen Eigenschaften dieser
Substanzklasse in weiten Bereichen variiert werden. Deswegen gibt es eine Vielzahl von PZT-Keramiken für eine Vielzahl von Anwendungen.
Allerdings können nicht alle wünschenswerten Eigenschaften gleichzeitig bei einem bestimmten Material umgesetzt werden. In Anbetracht der sehr vielschichtigen Anforderungen an einen Aktor stellt die Materialwahl auch immer einen
Kompromiss dar.
PZT-basierte Piezokeramik blickt inzwischen auf eine mehr als 50-jährige Einsatzerfahrung zurück. Alternative Materialien z.T. mit „Supereigenschaften“ wie z.B.
wesentlich höheren Dehnungen werden immer wieder diskutiert. Die punktuell
besseren Kennwerte solcher Stoffe sind allerdings mit massiven praxisrelevanten
Nachteilen an anderer Stelle verknüpft. Piezokeramik wird also auch zukünftig
das Material der Wahl für festkörperaktorische Anwendungen bleiben.
Ansprechverhalten
Mit Piezokompositen von piezosystem jena sind Ansprechzeiten von wenigen
Mikrosekunden realisierbar. Dabei können Beschleunigungen > 10'000 g erreicht werden. Siehe dazu Kapitel 4 Axiale Piezo-Stoßgeneratoren hoher Leistung PIA.
Hohe Krafterzeugung
Piezokomposite von piezosystem jena sind in der Lage Kräfte bis zu 50 Kilonewton zu erzeugen. Weitere Einzelheiten finden sich in Kapitel 2.1 Krafterzeugung.
2
Beeinflussung durch Magnetfelder
Piezokomposite sind für magnetfeldfreie Anwendungen besonders geeignet,
da sie prinzipbedingt weder Magnetfelder erzeugen, noch von ihnen beeinflusst
werden. Dies ist darin begründet, dass der Ursprung des piezoelektrischen Effekts in elektrischen Feldern liegt.
Verschleiß
Die Längenänderung von Piezokompositen beruht auf einem Festkörpereffekt
durch, die Verformung der kristallinen Elementarzellen. Aus diesem Grund besitzen Piezokomposite keine gegeneinander beweglichen Teile, die zur Kraftübertragung notwendig sind. Dadurch arbeiten sie verschleißfrei und es entsteht
keinerlei Abrieb, was Piezokomposite von piezosystem jena reinraum- und vakuumtauglich macht.
Temperatureffekte
Kapazitätszunahme Die Dielektrizitätskonstante von Piezokeramik ist deutlich
temperaturabhängig. Die Aktorkapazität kann bei gängigen Materialien bei Erwärmung von Raumtemperatur auf 80°C um bis zu 20% zunehmen. Dies ist bei
der Auswahl von Verstärkern für den dynamischen Aktorbetrieb zu berücksichtigen.
Wärmeausdehnung HV-Aktoren von piezosystem jena haben einen sehr niedrigen thermischen Ausdehnungskoeffizienten. Ursache hierfür ist die KompositStruktur des Stapels aus PZT-Keramik (Ausdehnungskoeffizient negativ) und
Metallelektroden (Ausdehnungskoeffizient positiv), dies führt zu einer teilweisen Kompensation der thermischen Dehnung. Bei Piezoaktoren mit metallischen
Endstücken sind deren Beiträge zur thermischen Gesamtdehnung zu berücksichtigen.
Temperaturabhängigkeit der Piezoeffizienz Bei Piezomaterialien mit niedriger
Curietemperatur nimmt die Aktordehnung zu höheren Temperaturen hin geringfügig ab. Piezomaterialien mit hoher Curietemperatur zeigen eine geringe
Zunahme der Dehnung.
piezosystem jena berät Sie gern hinsichtlich des Temperaturverhaltens von Piezokompositen und findet die optimale Lösung für Ihre Anwendung.
3
1.2
Aufbau der Aktoren
Hochvolt-Aktoren für Spannungsbereiche bis 1.000 V basieren auf der Verklebung von fertig gesinterten piezokeramischen Scheiben und eingelegten Flächenelektroden. Sie sind also nicht monolitisch aufgebaut, sondern stellen einen
Verbundwerkstoff (Komposit) dar, weshalb sie als Piezokomposite bezeichnet
werden. Abbildung 1 zeigt einen Piezokomposit-Aktor von elektrisch kontaktierten Einzelschichten in diskreter Fügetechnik.
Abb. 1: Piezostapel in diskreter Fügetechnik. 1. nicht kontaktierte Stirnflächen, 2. fertig gesinterte piezokeramische
Scheiben, 3. gegenpolige Elektroden.
4
1.3
Bauformen
Piezokomposite besitzen in der Regel eine zylindrische Form mit unterschiedlichen Durchmessern. Die Länge der Stapel ergibt sich aus der Menge der verwendeten Keramikscheiben und den zwischenliegenden Elektroden. Sie werden
in diskreter Fügetechnik hergestellt. Man unterscheidet in zwei Formen. Hohlzylindrische Stapel mit einer Innenapertur und Vollkeramiken. Die Art und Weise
der Verarbeitung unterscheidet sich zwischen beiden Ausführungen nicht. Die
Apertur von Hohlzylindern kann zur passiven oder aktiven Kühlung des Aktors
im dynamischen Betrieb genutzt werden. Siehe dazu Kapitel 1.5 Wärmemanagement von Piezokompositen.
Abb. 2: Piezokomposite verschiedener Formen, Durchmesser und Längen.
1.4
Stapelkonfektionierung
Das Augenmerk richtet sich bezüglich der Funktionalität von Piezoaktoren meist
nur auf die verwendete Piezokeramik. Dabei sind für die Aktorperformance und
-zuverlässigkeit auch andere Dinge äußerst wichtig. Die Füge- und Verbindungs5
techniken für den Stapelaufbau, die Art der Elektrodierung, die Isolationstechnik
zur Trennung gegenpoliger Flächen- und Versorgungselektroden und die Oberflächenisolierung.
Insbesondere im dynamischen Betrieb mit gleichzeitig hohen mechanischen
und elektrischen Belastungen dieser Strukturkomponenten können sich sehr
deutliche Unterschiede in der Zuverlässigkeit zwischen verschiedenen Aktorkonzepten ergeben. Piezostapel aus unterschiedlichen Lieferquellen können sich
nicht nur durch die verwendeten Piezomaterialien unterscheiden, sondern auch
in der Konfektionierung von Schicht- und Stapelstruktur. Die Eignung für eine
spezielle Anwendung kann dadurch sehr unterschiedlich ausfallen und muss
durch Vorversuche abgeklärt werden. piezosystem jena bietet insbesondere
neben allgemeintauglichen Standardaktoren für niedrige und mittlere Dynamik
auch Sondersysteme für hoch- und höchstdynamische Anwendungen mit speziell hierfür entwickelten Konfektionierungsverfahren an. Siehe dazu Kapitel 4
Axiale Piezo-Stoßgeneratoren hoher Leistung PIA und Kapitel 3 Piezo-Shaker
PiSha.
Piezokeramikstapel werden oft in weiteren Ausbaustufen in Metallgehäusen mit integrierter mechanischer Vorspannung gefasst. Optional können
weitere Funktionen wie internes Wärmemanagement, Positionssensorik etc.
implementiert werden.
Abb. 3: Schema eines Piezostapels in einem vorgespannten Gehäuse.
6
1.5
Wärmemanagement von Piezokompositen
Piezokeramik setzt bei gängigen Betriebsbedingungen ca. 5 bis 20% der elektrischen Ansteuerleistung in Wärme um. Die Verlustleistung hängt dabei nicht
nur von der elektrischen Leistungsaufnahme ab, sondern auch in gewissem Umfang von den mechanischen Betriebsbedingungen. Blockierbedingungen (Dehnung = 0) führen z.B. zu einer deutlich geringeren Verlustleistung. Bei dynamischer Ansteuerung lagert sich dann das Festkörpergefüge der Keramik nicht
um (keine innere Reibung“). Deswegen ist die Verlustleistung im dynamischen
”
Betrieb unter diesen Umständen deutlich reduziert. Ebenso fällt im Tieftemperaturbetrieb praktisch keine Verlustwärme an, weil die verlusterzeugenden nichtlinearen ferroelektrischen Phänomene weitgehend ausgefroren“ sind.
”
Piezostapel heizen sich im Dynamikbetrieb auf, da ein Teil der elektrischen Ansteuerleistungen in Wärme umgewandelt wird. Bei längerem Leistungsbetrieb
ist ein Wärmemanagement für den Piezostack nötig, um den Piezo-Aktor im optimalen Betriebsbereich zu halten bzw. unzulässige Übertemperaturen zu vermeiden. Die resultierende Aktortemperatur ergibt sich aus dem Gleichgewicht
von Heizleistung des Aktors und der Wärmeabfuhr bzw. Kühlleistung in die Umgebung. Bei zu hohen Temperaturen verschlechtern sich die Eigenschaften von
Piezoaktoren bzw. können sie infolge Übertemperatur ausfallen. Mit der Option
Thermostable“ bietet piezosystem jena ein äußerst elegantes und effektives
”
Wärmemanagement für Aktoren in Gehäuseausführung. Die Gehäuseabmessungen ändern sich dabei nicht gegenüber den Standardversionen. Äußerlich
sind solche Aktoren an den hoch wärmeleitfähigen Gehäuse- oder Hüllrohren
z.B. aus Messing erkenntlich. Die Vorteile des Thermostable“-Konzepts sind:
”
• Hohe Wärmeabfuhr aus der Piezokeramik
• Homogenisierung der Temperaturverteilung im Keramikstapel
• Vermeidung von Hotspots
Für die weitere Wärmeabfuhr aus dem Aktorgehäuse genügt in vielen Fällen bereits die thermische Kopplung an die umgebene Mechanik (Abbildung 4) oder
normale Luftkonvektion. Bei Bedarf kann die Luftkühlleistung durch zusätzliche Kühlkörper und Ventilation oder auch Flüssigkeitskühlung weiter gesteigert
werden.
7
Abb. 4: Links: Thermografieaufnahme eines eingespannten, dynamisch betriebenen Piezokomposit-Aktors an
Luft. Die Kühlwirkung durch die Einspannung ist deutlich zu erkennen. Rechts: Aktoren in Ausführung
Thermostable“ in verschiedenen Gehäuseformen, Kühlkörper als weitere Zusatzausstattung.
”
1.6
Belastbarkeiten und Kraftgrenzen
Die in den Datenblättern des Grundsortiments angegebenen maximalen Belastungsgrenzen sind als statische Grundlast aufzufassen, der Piezo-Aktor wird
also mit einer konstanten Last beaufschlagt. Bis zu solchen Belastungen arbeitet der Piezo-Aktor ohne Nachteile mit voller Kraft-/Weg-Erzeugung. Bei
noch höheren Belastungen reduziert sich allmählich infolge von Druckdepolarisierung das Leistungsvermögen von Piezoaktoren. Dieser Vorgang ist reversibel. Eine weitere Erhöhung der Belastung führt zur irreversiblen Depolarisation und letztendlich zur mechanischen Beschädigung (Bruch der Keramikschichten und damit verbundene Spannungsdurchbrüche). Bei sehr großen Längen/Durchmesserverhältnis > 15 wird die Belastungsgrenze auch zunehmend
durch die Biege- und Knickfestigkeit der Stapelstruktur bestimmt. Hier besteht
bei Überlast durchaus die Gefahr einer irreversiblen mechanischen Beschädigung.
8
2
Jenseits der Positionierung
Piezokomposite finden zunehmend attraktive Anwendungen in Bereichen,
in denen weniger die präzise Positionierung, sondern die Erzeugung hoher Kräfte, Beschleunigungen, Stoßwellen, Impulse oder hochfrequenter
Schwingungen im Vordergrund steht.
2.1
Krafterzeugung
Piezokomposit-Aktoren erzeugen Kräfte nur dann, wenn sie in einem System mit einer Steifigkeit > 0 verbaut sind, d.h. wenn sie in ihrer Ausdehnung gehindert werden. Dieser Sachverhalt wird im Arbeitsdreieck (Abbildung 5) deutlich. Eine konstante Belastung behindert die Ausdehnung
jedoch nicht, da die nötige Gegenkraft durch den Piezo-Aktor bereits beim
Aufbringen der Last erzeugt wird.
Abb. 5: Arbeitsdreieck von Piezokompositen.Die Federkennline zeigt die maximale Längenänderung bei maximaler Krafterzeugung für einen Aktor, der gegen eine Feder dieser Steifigkeit arbeitet. Zudem wird deutlich,
dass maximale Ausdehnung und maximale Krafterzeugung (Blockierkraft) nicht gleichzeitig erreicht werden können.
9
Arbeitet ein Piezo-Aktor mit einer Steifigkeit cT gegen eine veränderliche äußere
Kraft, z.B. eine Feder der Steifigkeit cF , wird er eine Kraft Fef f nach:
Fef f = cT · ∆l0 · 1 −
cT
cT + cF
erzeugen. Eine äußere, wegabhängige Kraft (z.B. Federkraft) auf den Piezo-Aktor
verringert seinen Leerlaufhub ∆l0 und die zur Verfügung stehende Kraft. In diesem Sinn stellt auch die Vorspannung eine äußere Kraft dar. Diese wird bei Piezokompositen für den jeweiligen Anwendungsfall eingestellt. Die mit der Vorspannung einhergehende Wegverkürzung wird bei der Auslegung berücksichtigt. Vorgespannte Aktoren sind in der Lage, Zugkräfte aufzunehmen, und sind
somit für dynamische Anwendungen geeignet! Um Schäden zu vermeiden ist
in jedem Fall zu beachten, dass die auftretende Zugkraft stets kleiner sein muss
als die aufgebrachte Vorspannungskraft.
2.2
Blockierkraft
Wird der Piezo-Aktor vollständig an der Dehnung gehindert kann er seine
maximale Kraft, die Blockierkraft Fmax , erzeugen (Abbildung 5). Dies setzt
jedoch eine unendlich steife Mechanik voraus. Mit einer passiven Einspannung ist es, aufgrund der endlichen E-Module der Werkstoffe, streng genommen unmöglich, eine unendlich steife Mechanik zu realisieren. Der Piezo-Aktor
wird also seine Maximalkraft nicht vollständig entfalten. Durch Positionsregelung des Aktors kann die unendlich steife Einspannung aber realisiert werden.
Hierbei ist zu beachten, dass der Piezo-Aktor nur bis zu Maximalspannung betrieben wird. Die Gleichung zur Krafterzeugung reduziert sich bei cF → ∞ zu:
Fmax = cT · ∆l0
Blockierbedingungen sind unter anderem beim Erzeugen von Schließkräften
oder in der Materialprüfung, wie z.B. beim Hopkinson-Stab, von Interesse. Weiterführende Informationen können Abschnitt 4 Stoßgeneratoren entnommen
werden.
10
Es ist zu beachten, dass der Piezo-Aktor unter Blockierbedingungen keine
Bewegung aufweist.
Beispiel
Ein geregelter PSt 1000/35/80 nimmt bei 600 V eine Position ein, die stabilisiert werden soll. Die maximale Lasterhöhung, die der Piezo-Aktor durch eine
Spannungserhöhung auf 1000 V noch ausgleichen kann entspricht der 400 VBlockierkraft des Aktors. Diese beträgt 14 kN.
2.3
Dynamischer Betrieb
Piezoaktoren zeichnen sich insbesondere durch potentiell hohe Dynamik
aus, d.h. Stellbewegungen können mit sehr hohen Beschleunigungen durchgeführt werden. Der Begriff des dynamischen Betriebs“ von Piezoaktoren
”
beschreibt vorzugsweise Anwendungen mit hohen Beschleunigungsraten, Beschleunigungskräften, höherer elektrischer Leistungsaufnahme bei hohen Frequenzen und der damit verbundenen Problematik der Eigenerwärmung. Der
Begriff wurde in der Vergangenheit als Abgrenzung gegen unkritisch langsam
ablaufende Justiervorgänge eingeführt ( quasistatischer Betrieb“), denen die
”
üblichen Standardaktoren in Verbindung mit Versorgungen sehr niedriger Leistung genügen.
Der Begriff Dynamik“ soll dem Anwender signalisieren, dass bei der Konzeption
”
piezoelektrischer Systeme komplexere Wechselwirkungen zwischen Piezo-Aktor
und Elektrik bzw. Mechanik zu beachten sind als bei langsamen Positionieraufgaben einer Komponente von A nach B.
Hochdynamische Anwendungen von Piezoaktoren finden sich in Bereichen wie
Motion Control, Schwingungskontrolle, schnelle Ventilbetätigung, Shakern, Schockgeneratoren, Miniaturpumpen, hydraulischen Hochdruckpumpen, Prüfeinrichtungen und Scanner.
Piezoaktoren werden dabei in den allermeisten Fällen nicht-resonant betrieben.
Sie können mit angepassten Amplituden über einen großen Betriebsfrequenzbereich von DC bis kHz oder sogar > 10 kHz eingesetzt werden. Die Breitbandigkeit (frequenzmäßige Durchstimmbarkeit) unterscheidet die Piezoaktorik von
resonant arbeitenden Elementen wie z.B. Ultraschallgeneratoren, die nur auf ei-
11
ner bestimmten Frequenz ≥ 20 kHz arbeiten, dafür aber mit vergleichsweise
großen Dauerschwingungsamplituden.
3
Piezo-Shaker zur piezoelektrischen Schwingungserzeugung PiSha
Piezoelektrische Schwingungsanreger von piezosystem jena können sowohl in
herkömmlichen Frequenzbereichen bis ca. 80% der Resonanzfrequenz betrieben werden, als auch mit speziellen Anpassungen im Bereich der Resonanzfrequenz und darüber. Dies macht eine Vorspannung der Aktoren unerlässlich. Es
ist zu beachten, dass im resonanten Betrieb die Amplitude der Resonanzüberhöhung unterliegt. Oberhalb der Resonanzfrequenz fällt die Amplitude stark ab.
Ein Großteil der eingebrachten Energie wird dabei in innere Reibung“ und nicht
”
mehr in aktive Bewegung umgesetzt. Dabei entsteht Verlustleistung in Form von
Wärme und macht ein geeignetes Wärmemanagement erforderlich, siehe dazu
Abschnitt 1.5 Wärmemanagement.
piezosystem jena ist ihr Spezialist für hochdynamische Aktor-Anwendungen.
Abb. 6: Arbeitsbereiche piezoelektrischer Shaker.
3.1
Funktionsprinzip von piezoelektrischen Shakern
Piezo-Shaker basieren auf speziell ausgelegten Piezostapelaktoren, die das elektrische Anregungssignal piezomechanisch unmittelbar in eine Bewegung umsetzen. Durch die Betriebsspannung des Shakers wird die Amplitude der Aus-
12
lenkung bestimmt bzw. durch den Ladestrom die Geschwindigkeit der ShakerBewegung (im sub-resonanten Betrieb).
Der Aufbau der Shaker erfolgt so, dass sie den im Betrieb auftretenden hohen
Beschleunigungen, Kräften und Drücken auch bei hoher Dauerschwingungsbelastung zuverlässig stand halten können.
3.2
Wesentliche Eigenschaften von piezoelektrischen Shakern
Die folgenden Eigenschaften sind vorrangig an die Konfiguration der Shaker sowie deren elektrische Ansteuerung
gekoppelt. Shaker sind im Allgemeinen hinsichtlich einer
Vielzahl von Betriebsparametern und Leistungen zu optimieren. piezosystem jena analysiert ihre Anwendung und setzt die für Sie
optimale Lösung konsequent um.
Frequenzbereiche:
bis zu 100 kHz, in Abhängigkeit zur ShakerKonfiguration
Amplituden:
µm bis einige 100 µm in Abhängigkeit zur Betriebsfrequenz
Kraftmodulation:
bis einige 10 kN, in Abhängigkeit zur ShakerDimensionierung, Betriebsfrequenz und Montagebedingungen
Beschleunigungen:
≤ 100 000 m · s−2 (10 000 g), für kleine Aktoren mit geringen Amplituden, extreme Beschleunigungen über 10 000 g sind mit piezoelektrischen Stoßgeneratoren zu erreichen.
Kompakte Abmessungen:
Die Abmessungen der Piezostrukturen reichen bis in den mm-Bereich hinab.
3.3
Vergleich PiSha mit elektromagnetischen Shakern
Bezogen auf die Baugröße weisen Piezo-Shaker eine höhere Steifigkeit und höheres Kraftpotential bei vergleichsweise kleineren Wegen auf als elektromagnetische Shaker. Piezo-Shaker decken daher meist andere Anwendungen ab
als elektromagnetische Shaker, insbesondere hin zu höheren Frequenzen und
13
Kräften. Ein weiterer Vorteil liegt im Bereich miniaturisierter Komponenten, hier
ermöglicht die Piezo-Technik wesentlich höhere Leistungsdichten. Die Arbeitsbereiche sind schematisch in Abbildung 7 dargestellt.
Abb. 7: Vergleich der Arbeitsbereiche elektromagnetischer und piezoelektrische Shaker.
3.4
Vorteile von piezoelektrischen Shakern
Piezoelektrische Shaker arbeiten über ein breites Frequenzband, dies unterscheidet sie wesentlich von Ultraschall-Generatoren, die resonant auf einer Frequenz arbeiten. Piezoelektrische Shaker sind für höchste Dynamiken ausgelegt
und sind daher hervorragend für den Dauerschwingbetrieb geeignet. Sie zeichnen sich aus durch:
• hohe Steifigkeit
• hohe Kräfte und Drücke
• einen weiten Frequenzbereich
• Auslegung von Mini-Shakern bis hin zu
• Massivausführungen mit seismischen Massen bis zu 200 kg
14
Damit sind sie sehr gut für die unterschiedlichsten Anwendungsgebiete wie
Modalanalyse mechanischer Strukturen, Materialcharakterisierung, Ermüdungstests, Defektuntersuchungen usw. geeignet.
Abb. 8: Links: Größenvergleich von Piezo-Mikro-Shakern mit einem Fingerhut. Rechts: Schematische Darstellung
der Erzeugung von Bodenschwingungen mittels eines Geo-Shakers. Gesamthöhe vom Boden 0,3 m.
3.5
Ausblick
Durch die große Zahl an Variationsmöglichkeiten hinsichtlich der Shaker-Konfiguration
und der Ansteuerung der Shaker bieten Piezokomposite eine sehr gute Alternative zu herkömmlichen Schwingungserzeugern. Sie sind in unzähligen Baugrößenvariationen mit Längen von wenigen mm bis zu mehreren cm skalierbar.
Anders als bei Ultraschallgeneratoren sind einzelne Shaker in der Lage, einen
weiten Frequenzbereich abzudecken, sodass keine Notwendigkeit besteht mehrere Einzelelemente zur Schwingungserzeugung einzusetzen. Ihre volle Stärke
spielen piezoelektrische Shaker bei hohen Frequenzen aus. Dies zeigt sich vor
allem in der Möglichkeit, sie im Bereich der Resonanzfrequenz und darüber hinaus zu betreiben.
4
Axiale Piezo-Stoßgeneratoren hoher Leistung PIA
Mit Piezo-Stoßgeneratoren ist es möglich, zeitgenaue mechanische Impulse mit einstellbaren Stoßparametern zu erzeugen. Da die Stoßpartner bereits vor dem Stoß in Kontakt zueinander stehen sind hohe Wiederholraten
15
möglich. Gezielte mechanische Stöße treten bei vielen technischen Vorgängen
im Alltag auf, z.B.:
• bei Abbauprozessen an Baustoffen/Beton mit Meißelhämmern,
• bei stoßbasierten Messtechniken wie Körperschallanalysen,
• im Impact-Echo-Verfahren bei geologischen oder bautechnischen Untersuchungen,
• bei der Bestimmung von Materialeigenschaften,
• bei hohen Dehnraten,
• bei Indentation-Härte-Tests.
Die quantitativen physikalischen Abläufe des Stoßvorgangs sind dabei oft nur
unzureichend berücksichtigt. Ein tieferes Verständnis der Stoßprozesse und eine mögliche Kontrolle des Stoßverlaufs eröffnen daher ein immenses Optimierungspotential.
In den meisten Fällen wird der Stoß dadurch erzeugt, dass in einer Anlaufphase eine Masse (z.B. Hammerkopf) beschleunigt wird und auf einen Stoßpartner
trifft. In der kurzzeitigen Kontaktphase (typisch µs) werden Impuls und Energie an den Stoßpartner übergeben (sog. Kraftstoß). Der zeitliche Verlauf dieses
Kraftstoßes ist im Wesentlichen eine Konsequenz der akusto-elastischen Verhältnisse der beteiligten Körper.
Wegen der Unwägbarkeiten der Anlauf- und Kontaktphase eines solchen klassischen Stoßexperiments sind reproduzierbare Stoßverläufe nur mit erheblichem
Aufwand realisierbar. Die Stoßwiederholraten sind begrenzt. Insbesondere ein
zeitgenaues Auslösen des Stoßereignisses für Messzwecke (Timing im µs-Bereich)
ist nicht möglich.
Diese Einschränkungen können durch die Piezotechnik als adaptives mechanisches Stoßgeneratorprinzip überwunden werden.
Im Folgenden wird die Stoßerzeugung durch axial wirkende Piezostapel beschrieben, deren wesentliche Merkmale sind:
Spezielle Ausgangssituation:
• Stoßpartner sind bereits vor dem Stoß in Kontakt
16
• Das Stoßsystem befindet sich in Ruhe, keine Anlaufphase
Adaptive Stoßerzeugung:
• Einstellbare Stoßparameter wie Energie, Beschleunigung, Pulsbreite
• hohe Reproduzierbarkeit der Stoßparameter
• variable Stoß-Wiederholraten bis typisch 1 kHz (Burst)
• µs-genaues Auslösen des Stoßes
Weite Auslegungsbreite für spezifische Anwendungen:
• Stoßerzeugung an unzugänglichen Stellen
• Miniaturisierte Stoßgeneratoren/Mikrostoßerzeugung (z.B. für die Kalibrierung von Beschleunigungssensoren)
• exotische Betriebsbedingungen (Stoßerzeugung im Tieftemperaturbereich)
• höchste Beschleunigungen (500.000 m · s−2 realisierbar)
• Kräfte bis einige 10 kN
4.1
Das Anwendungsziel piezoelektrischer Stoßgeneratoren
Piezostoßgeneratoren wurden konzipiert, um Testobjekte, Strukturen, Materialien usw. hohen Beschleunigungen oder schnellen Kraftmodulationen/Stößen
auszusetzen, um z. B. Aussagen über Materialeigenschaften, Strukturverhalten,
Lebensdauer und Funktion unter extremen dynamischen Betriebsbedingungen
vornehmen zu können. Unter diesem Gesichtspunkt zielen die Piezo-Stoßgeneratoren
auf ähnliche Anwendungen wie Piezo-Shaker, wobei aber auf die physikalischen
Unterschiede zwischen Stößen und Materialschwingungen hinzuweisen ist.
Die spezifischen Unterschiede zwischen Shakern und Stoßgeneratoren liegen
u. a. auch in ihren Betriebsweisen.
Shaker laufen idealerweise im Dauer-Sinus-Betrieb, wobei die erzielbaren Kräfte und Beschleunigungen von der Frequenz abhängen. Dies wirkt sich auf den
Aufwand für die elektrische Ansteuerung mit zunehmenden Anforderungen an
Kraft- und Beschleunigungserzeugung wegen der nötigen höheren Dauerleistungen aus.
17
Stoßgeneratoren arbeiten hingegen mit (angenäherten) Rechteckimpulsen, deren Kraft- und Beschleunigungspotential unabhängig von der Wiederholrate ist.
Es können daher auch Einzelstöße sehr hoher Kinetik erzeugt werden.
Bei Stoßgeneratoren sind die Einzelpulsleistung und die Wiederholrate vollkommen entkoppelt. Ein Piezostoßgenerator kann mit höchster Pulsleistung und
Beschleunigung betrieben werden, solange die Wiederholrate der Stöße der Eigenerwärmungsproblematik entsprechend angepasst wird.
Eine Anpassung an die verschiedenen Anwendungsfälle bzgl. Energiegehalt der
Stöße, Anstiegszeiten usw. erfolgt sowohl durch Auslegung der verwendeten
Piezoaktoren als auch der elektrischen Ansteuerung.
Piezo-Stoßgeneratoren können sowohl als großkalibrige Piezo-Hämmer“ als
”
auch als miniaturisierte Piezo-Schocker ausgeführt werden.
4.2
Der physikalische Stoß
Ein physikalischer Stoß liegt vor, wenn in einem elastischen Medium (z.B. Stahlstab) durch einen schnellen Prozess (z.B. Hammerschlag) in benachbarten Bereichen ein unterschiedlicher mechanischer Spannungszustand (Druckunterschied)
erzeugt wird. Dieses Druckgefälle breitet sich dann mit der für das Medium charakteristischen Schallgeschwindigkeit aus (Größenordnung 5 km · s−1 bei Stahl).
Die sog. Schallschnelle ist die Geschwindigkeit, mit der ein Teilchen, des den
Schall übertragenden Mediums, um seine Ruhelage schwingt. Sie ist also die Geschwindigkeit der Materialverschiebung im Medium als Folge des Druckwechsels. Diese ist um Größenordnungen kleiner als die Schallgeschwindigkeit. Die
Schallschnelle trägt den physikalischen Impuls des Stoßes.
Stoßkinetik und Stoßausbreitung hängen wesentlich von der Form der Stoßpartner ab. So ergeben sich sehr unterschiedliche Abläufe, je nachdem ob Kugeln
oder Stäbe beteiligt sind. Messtechnisch werden Stoßexperimente gerne mit
massiven Stäben durchgeführt, um eine möglichst einfache Modellsituation auf
der Basis der Stabtheorie zu realisieren.
Die mit einem Stoß verbundene, dynamische Materialstauchung in einem Stab
wird z.B. durch Dehnmessstreifen (DMS) erfasst. Mit Hilfe eines Laser-DopplerAnemometers (LDA) wird die Schallschnelle (an der Staboberfläche) gemessen.
Propagierende Stöße spalten an Materialinhomogenitäten und/oder Querschnitts18
änderungen in transmittierte und reflektierte Anteile gemäß den akustoelastischen Eigenschaften der Stoßpartner auf. Dies wird bei sog. Hopkinson-BarAnordnungen gemäß Abbildung 9 ausgenutzt, um z.B. Materialeigenschaften
bei hohen Dehnraten zu ermitteln.
Abb. 9: Hopkinson-Stoßanordnung für Materialtests unter Stoßbelastung mit hohen Dehnraten. Mittels DMS
(Dehnmessstreifen, strain gage) und LDA (Laser-Doppler-Anemometer) werden einlaufender und auslaufender Stoß verglichen.
4.3
Charakterisierung der Piezostapel für den Einsatz als Stoßgenerator
In Analogie zur allgemeinen Piezo-Aktorik auf der Basis von Piezostapeln lassen
sich Piezo-Stoßgeneratoren wie folgt charakterisieren.
• Erzielbare Auslenkung des Stößels:
hängt wesentlich von der Baulänge des Piezostapels, der applizierten elektrischen Feldstärke und dem verwendeten Piezomaterial ab. Je nach Aktorauslegung bis > 100 µm.
• Kraftentwicklung bei Stoßbeginn (= Blockierkraft):
hängt vom Querschnitt des Aktors, der applizierten Feldstärke und dem
verwendeten Piezomaterial ab. Je nach Aktorauslegung N bis einige 10 kN.
• Pulsbreite des Stoßes:
hängt von der Laufzeit des mechanischen Pulses im Piezo-Aktor ab und
19
damit von seiner Baulänge und der Schallgeschwindigkeit. Je nach Aktorauslegung µs bis einige 10 µs. Die Pulsbreite nimmt durch Reflexion an
einer seismischen Masse zu.
• Schallschnelle im Piezomaterial:
maximal einige m · s−1 (entspricht der maximalen Verschiebegeschwindigkeit eines Piezo-Aktors).
• Mechanischer Energiegehalt des Stoßes:
hängt von der Aktormasse, der applizierten Feldstärke und dem verwendeten Piezomaterial ab. Je nach Aktorauslegung bis einige J.
• Stoßimpuls:
Produkt aus der bewegten Masse in der Stoßfront und der Schallschnelle:
hängt von der Aktormasse und dem Piezomaterial ab. Je nach Auslegung:
bis Größenordnung 1 kg · m · s−1 .
• Piezokeramik:
Für hocheffektive Piezostoßgeneratoren hoher Leistungsdichte wird eine
spezielle hochdielektrische Piezokeramik verwendet. Sie weist eine doppelt so hohe mechanische Stoßenergiedichte auf wie gängige Aktorkeramiken.
4.4
Der Piezostapel als Stoßgenerator
Der aktive Stab
Erfolgt die elektrische Aufladung des Piezostabes ausreichend schnell, so springt
in der Piezokeramik über die gesamte Länge die axiale Druckspannung verzögerungsfrei auf einen hohen Wert. Es baut sich im Keramikstapel der sog. Blockierdruck auf und der Piezo-Stab beginnt in der Folge beschleunigt zu expandieren
und baut z.B. in einem angekoppelten Körper eine propagierende Druckfront
auf.
Ein Piezostapelaktor stellt also einen sogenannten aktiven Stab“ dar, der bei
”
Ansteuerung mit elektrischen Leistungspulsen mechanische Stöße erzeugt.
Da sich der Piezostab zu Beginn der elektrischen Anregung in Ruhe befindet,
20
laufen aus Gründen der Impulserhaltung zwei entgegengesetzte Stöße mit Schallgeschwindigkeit in axialer Richtung zu den Stapelenden. Der Stoß ist superelastisch, da die kinetische Energie im Gesamtsystem nach dem Stoß größer ist als
vor dem Stoß. Symmetrischer Piezo-Stoßgenerator
Die oben erwähnte Symmetrie bzgl. der Impulsausbreitung im aktiven Piezost”
ab“ kann für symmetrische Stoßanordnungen mit Ableitung der gegenläufigen
Stoßanteile in den jeweiligen Stoßpartner genutzt werden. Solche Anordnungen ermöglichen elegante Lösungen für simultane Vergleichsmessungen und
Kalibrierungen.
Abb. 10: Schema eines axial wirkenden symmetrischen Piezo-Stoßgenerators.
Einseitig wirkender Piezo-Stoßgenerator
Bei Abstützung des Piezostapels an einer großen seismischen Masse erfolgt eine weitgehende Reflexion des rückwärts laufenden Stoßes, in Vorwärtsrichtung
erfolgt also ein Doppelstoß. Die Verzögerung des reflektierten Pulses gegenüber dem vorwärts gerichteten Impuls entspricht der Schalllaufzeit durch den
Stoßgenerator. Die Gesamtstoßdauer nimmt entsprechend zu. Hierdurch kann
die Stoßenergie im Idealfall nahezu verdoppelt werden. Die seismische Masse
nimmt dabei den Impuls des Piezostoßes auf (Rückstoß wie bei einer Schusswaffe). Der einseitig wirkende Piezo-Stoßgenerator leitet sich aus dem symmetrischen Fall durch Abschluss einer Seite mit einer seismischen Masse ab.
21
Abb. 11: Schema eines einseitig wirkenden Stoßsystems mit seismischer Masse. Durch Überlagerung von Primärimpuls und zeitlich verzögertem reflektierten Puls entsteht ein Doppelpulsprofil.
4.5
Elektrische Ansteuerung
Piezo-Stoßgeneratoren stellen im wesentlichen Kondensatoren dar. Durch einen intensiven Ladungsstoß wird deren Kapazität geladen und über die piezoelektrische Kopplung ein mechanischer Stoß erzeugt. Ziel ist die Erzeugung
hoher Stoßenergien, deshalb muss einerseits ein großes Aktorvolumen und
andererseits speziell hochdielektrisches Piezomaterial gewählt werden. Damit
wird der Energieinhalt des Stoßes nur noch von den elektrischen Ansteuerdaten
bestimmt. Das hochdielektrische Piezomaterial wird in Hochvolttechnik zu Piezostapeln aufgebaut, woraus bei den großen Volumina Aktorkapazitäten von
typisch 10 µF (Kleinsignalwert) resultieren.
Eine Kapazität von 10 µF hat bei einem Ladewiderstand von 1 Ω eine Ladezeitkonstante von RC = 10 µs. Damit wird gewährleistet, dass die elektrischen
Anstiegszeiten kürzer sind als die durch die Aktorgeometrie vorgegebene Pulsbreite des Stoßes (Faltung). Beim Laden auf eine Spannung von U0 = 800 V
beträgt der Spitzenstrom dann U0 /R = 800 A. Der Kondensator nimmt die Ladung Q = C · U0 = 8 · 10−3 Coulomb und die Energie von
1/2 · C · U20 = 3,6 J auf. Diese Werte gelten nur als Richtwerte, da das Großsignalverhalten (ferroelektrische Hysterese) berücksichtigt werden muss. Insbesondere kann beim sogenannten semibipolaren Betrieb eine bis zu einem Faktor
2 höhere Energiedichte erzielt werden.
22
Der elektrische Ladungsstoß wird über einen Hochleistungstransistorschalter in
einer Anordnung gemäß Abbildung 12 erzeugt. In allen Fällen wird über ein
Hochspannungsnetzteil eine hochkapazitive Kondensatorbatterie auf die gewünschte Endspannung geladen (typischerweise bis maximal +800 V). Bei unipolarer Aktivierung ist der Piezostapel vor der Stoßauslösung entladen (Ansteuerspannung 0 V). In der semi-bipolaren Schaltung jedoch kann der Piezo-Aktor
über ein separates Netzteil mit Spannungen bis -200 V negativ vorgeladen werden. Der Spannungshub beträgt dann 1000 V statt 800 V. Der Ladungspuls bei
Stoßauslösung ist jedoch aufgrund nicht-linearer Effekte des verwendeten Piezomaterials nicht 25% höher, sondern bis doppelt so hoch.
Nach der Stoßauslösung wird der Piezo-Aktor langsam über einen größeren
Widerstand (typisch 50 , RC = 0,5 ms) wieder entladen, bevor er kurz vor dem
nächsten Stoß erneut negativ gepolt wird.
Die Hochvolt-Pulser (HVP) können bei entsprechender Nachladeleistung der
Kondensatorbank auch mit Pulswiederholraten bis 100 Hz arbeiten. Wegen des
begrenzten Kühlvermögens der Aktoren sinnvollerweise nur im Burst-Betrieb.
Abb. 12: Semi-bipolare Ansteuerung eines piezoelektrischen Stoßgenerators mittels Hochvolt-Pulser. Der angedeutete Schalter mit drei Stellungen steht für eine Kombination aus Hochleistungstransistoren (IGBT),
die über eine Logikschaltung angesteuert werden. 1. Negatives Aufladen auf -200 V, 2. Stoßförmiges
Aufladen auf +800 V, 3. Entladen auf 0 V.
23
4.6
Ausblick
Die piezoelektrischen Parameter von Piezostapeln (Dehnung, Blockierdrücke,
Energiedichte etc.) sind über einen weiten Bereich baugrößenunabhängig. Effiziente Piezo-Stoßgeneratoren können daher bzgl. Abmessungen, Bauformen
und Leistungsbereich skalierbar in einem weiten Bereich ausgelegt werden. Von
Miniaturausführungen einerseits bis hin zu großvolumigen Schockgeneratoren.
Infolge der hohen Reproduzierbarkeit und potentiell hohen Wiederholraten eignen sich Piezo-Stoßgeneratoren insbesondere auch für realitätsnahe Belastungstests von Komponenten mit hohen Beschleunigungsraten und übertreffen dabei
übliche Schwinger-/Shaker-Anordnungen.
Piezo-Stoßgeneratoren ersetzen im Bereich Modalanalyse im hochfrequenten
Bereich zunehmend die Shaker-Schwingungsmesstechnik. Piezo-Stoßgeneratoren
eignen sich hervorragend zur gezielten Erzeugung von Beschleunigungsprofilen mit hohen Pegeln und hoher Dynamik. Sie sind damit eine erste Wahl für
die Kalibrierung von Stoß- und Crash-Sensoren.
Die zeitexakte Auslösung von Stößen im µs-Bereich erlaubt die Anordnung mehrerer Stoßgeneratoren in sog. phased arrays“ zur Erzeugung variabler Stoß”
frontformen. Stöße bzw. dynamische Materialdeformationen können zeitgenau
mit anderen schnellen physikalischen Vorgängen synchronisiert werden.
Piezoelektrische Anregungselemente eignen sich auch für die dauerhafte Integration z.B. durch Eingießen in Materialstrukturen, um eine Langzeitüberwachung auch an unzugänglichen kritischen Stellen zu ermöglichen.
Durch Invertieren des Betriebszustandes können Piezo-Stoßgeneratoren durch
schnelle Kontraktion auch transiente Stoßvorgänge auffangen“ (Stoßdämp”
fung, Stoßkompensation).
4.7
Theorie des Stabstoßes
Stoßausbreitung im idealen Stab
Der ideale Stab ist dünn im Vergleich zu seiner Länge. Eine elastische Störung in
Form eines Stoßes kann sich, gemäß dem mathematischem Ansatz nach d'Alembert zur Lösung der Wellengleichung, im Stab beidseitig ausbreiten ohne zu
zerfließen. Ein kurzzeitiger Druck- oder Zugimpuls wird in diesem Sinne im Fol-
24
genden als Stoßwelle oder besser Stoßimpuls verwendet, um von dem Begriff
der Welle als sog. harmonische Welle, ebene Welle, oder Schwingung als stehende Welle zu unterscheiden.
Für die Ausbreitung elastischer Stoßimpulse in dünnen Stäben kann die sog.
Stabtheorie (Graff, Johnson) angewandt werden. Wird in longitudinaler Richtung eines homogenen Stabes mit Querschnitt A am Stabende ein elastischer
Impuls eingebracht, so breitet sich dieser in seiner Form unverändert im Stab
longitudinal mit Schallgeschwindigkeit aus. Für die Schallgeschwindigkeit c gilt:
c=
E
ρ
Synchron und in der Signalform ähnlich durchwandert mit dem elastischen Impuls ein Geschwindigkeitsimpuls der Teilchen (Teilchenschnelle) den Stab, also
auch mit Schallgeschwindigkeit, wobei für die Teilchenschnelle die fundamentale Beziehung gilt:
σ(t) = −I · v(t)
Diese ist nichts anderes als die Anwendung des Impulssatzes auf den Stab mit
der sogenannten akustischen Feldimpedanz I
I =ρ·c
Über das Vorzeichen entscheidet die Richtung des Stoßes. Das Hooke'sche Gesetz mit
σ=E·
verknüpft dabei die Spannung mit der Dehnung. Fundamental für den Stoß ist,
dass potentielle und kinetische Energie gleichwertig nebeneinander bestehen
und sich nicht austauschen, außer an den Enden des Stabes und bei Änderungen
im Querschnitt und/oder der Impedanz. Eine Welle ist durch den sinusförmigen,
harmonischen Energieaustausch der kinetischen und potentiellen Energie charakterisiert, ein wichtiger Unterschied zum Stoßimpuls.
Im allgemeinen breiten sich zwei Stoßimpulse nach rechts und links unabhängig
25
voneinander aus. Die Stoßspannung am Ort x und zum Zeitpunkt t ergibt
σ(x,t) = σr (x − ct,t) + σl (x + ct,t)
Stoßfortpflanzung im Stab mit Schallgeschwindigkeit c. Der Stab ist also ein
idealer Leiter des Körperschalls.
Für die korrespondierende Schallschnelle ergibt sich
v(x,t) =
1
· (σr (x,t) − σl (x,t))
I
Die Impedanz des Stabes beträgt für Stahl ca. 4·107 kg·m−2 ·s−1 . Der Impulssatz
kann auch als erstes Integral der Bewegungsgleichung verstanden werden. Bei
σ = 200 MPa beträgt die Schallschnelle ca. 5 m · s−2 . Die Stoßenergie, die zur
einen Hälfte elastisch und zur anderen kinetisch transportiert wird, kann gemäß
W =
A
·
2·I
T
σ 2 (t)dt
0
aus dem zeitlichen Verlauf der Spannung oder auch aus dem der Schallschnelle
berechnet werden. Dabei ist A der Querschnitt des Stabes. Hier unterscheiden
sich die Messtechniken zur Erfassung der Stoßenergie mittels Dehnungsmessstreifen DMS und Laser Doppler Geschwindigkeitsmessung LDA.
W =
A·I
·
2
T
v 2 (t)dt
0
Einerseits wird der Stabstoß durch einen Kraftstoß erzeugt, andererseits wird er
durch den Stab geleitet und am anderen Ende je nach Randbedingung wieder
wirksam. Für den transportierten Impuls p gilt
TImpulse
p=A·
σ(t)dt
0
Trifft der Impuls auf das Stabende, so wird er reflektiert. Gilt das Ende als akustisch frei (schallweich), so wechselt die Spannung das Vorzeichen, die Teilchenschnelle aber nicht. Ist das Ende akustisch hart (ideal festgehalten), so wechselt
die Teilchen-schnelle das Vorzeichen, die Spannung dagegen nicht. Während
also im unendlich langen Stab elastische und kinetische Energie gleich sind,
26
befindet sich dagegen am Stabende die Energie entweder komplett in der elastischen Form (hartes Ende) bzw. in der kinetischen Form (freies Ende). Bei der
Berechnung gilt es die Integrationslängen zu beachten.
Ändert sich der Stabquerschnitt von A1 nach A2 , so gelten einfache Transmissions(τ ) und Reflexionsgesetze (r) für die Spannung (und analoge auch für die Schnelle).
A1
A1 + A2
τ =2·
r=
A2 − A1
A1 + A2
Ändert sich die Impedanz an der Schnittstelle von Impedanz I1 nach I2 so gilt
τ =2·
r=
I2
I1 + I2
I2 − I1
I1 + I2
Bei gleichzeitiger Änderung von Querschnitt und Impedanz lauten die Gleichungen
τ =2·
r=
A1 · I2
A1 · I2 + A2 · I2
A2 · I2 − A1 · I1
A1 · I1 + A2 · I2
Im Allgemeinen werden sich also in beiden longitudinalen Richtungen des Stabes unabhängig voneinander Spannungsimpulse ausbreiten und zu jeder Zeit
an einem definierten Ort zu einer resultierenden Spannung überlagern. Ebenso
entsteht die Resultierende für die Teilchenschnelle.
Die Grenzen der Stabtheorie sind erreicht, wenn endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit quer zur Ausbreitungsrichtung zu berücksichtigen ist und deshalb kein
ebener Spannungszustand mehr vorliegt.
Stoßerzeugung durch einen rammenden Stab
Ein Stoß lässt sich durch Aufeinandertreffen zweier zylindrischer, stabförmiger
Körper erzeugen, so wie sie in Abbaugeräten durch Flugkolben, Stößel und
Werkzeugschaft gegeben sind. Die Kontaktflächen seien relativ zueinander leicht
sphärisch, so dass man die Hertz'sche Kontakttheorie zugrunde legen kann. Der
27
Stoß zweier Zylinder mit ideal planen Flächen kann entweder als Grenzfall des
Hertz'schen Kontakts mit sehr großen Radien betrachtet oder muss mit einem
akustischen Ansatz gelöst werden.
E bezeichnet das Elastizitätsmodul, der Index 1 bezieht sich auf Stab 1,2 auf Stab
2. Das effektive E-Modul Eef f ergibt sich zu:
Eef f =
1 − ν12
1 − ν22
+
E1
E2
Effektiver Radius der sich berührenden Kontaktflächen mit Radien R1 und R2 :
1
1
1
=
+
Ref f
R1
R2
Mit Eeff und Reff ergibt sich eine Kraftkonstante k nach Hertz:
kHertz =
1
4
2
· Eef f · Ref
f
3
Mit ihr wird die Kontaktkraft in Abhängigkeit der Durchdringung der Kontaktflächen w im statischen Fall durch
3
Fk (w) = kHertz · w 2
beschrieben. Im dynamischen Hertz'schen Kontakt zwischen 1 und 2 gilt mit der
effektiven Masse:
1
1
1
=
+
mef f
m1
m2
und der dynamischen Kraft
3
Fk (w(t)) = kHertz · w 2 (t)
Für die Dauer des Kontaktes tKontakt gilt:
TKontakt = 2,9432 ·
15
16
2
5
·
1
2
5
Eef f
28
2
5
· mef
f ·
1
1
5
ref f
·
1
1
v5
Der frei fliegende Stab kann durch zwei virtuelle Spannungsimpulse σl und σr
(gleicher Betrag, aber entgegengesetztes Vorzeichen) beschrieben werden
σ0 =
I · v0
2
Die resultierende Schallschnelle durch:
v0 =
1
Iσr −σl
Beim Stoß dieses Stabes (Hammerkopf, bzw. Flugkolben) werden Energie und
Impuls an den Stab übertragen und mit Schallgeschwindigkeit weitertransportiert.
Zur prinzipiellen Darstellung (Abbildung 13) werden hier berechnete zeitliche
Verläufe von Kraft F(t) (ideal gaußartig“) und Stoßspannung σ(t) benutzt. Die
”
Impulsdauer T = TImpuls wird hier zu 50 µs angenommen.
Abb. 13: Links: Kraftstoß. Rechts: Stoß-Spannung.
Die Maximalkraft von 50 kN (5 t) entspricht im Stab mit 18 mm Durchmesser einer Maximalspannung von 200 MPa (Zugfestigkeit von Stahl 52 beträgt
520 MPa). Bekanntlich hängen Kraft und Spannung durch
σt =
Ft
A
zusammen. Der Impulssatz der Mechanik verknüpft das zeitliche Integral über
29
die Kraft mit der Änderung des Impulsmoments ∆p zum Kraftstoß:
T
∆p =
F (t)dt
0
Man kann diesen Impuls einer Masse zuordnen gemäß:
p = m · ∆v
Die Impulsänderung von 1,3 kg · m · s−1 steckt also in der Geschwindigkeitsänderung.
Für den Gauß'schen Impuls gilt in guter Näherung:
σ = σ0 · sin
π·t
T
3
2
Damit lässt sich die Energie analytisch zu
W =
4 · T · A · σ02
3·π·I
berechnen. Der Impuls p ist nicht analytisch darstellbar.
Zu bemerken ist, dass der Stoß und eine einzige harmonische Schwingung nicht
zusammen passen. Man braucht eine zeitliche und räumliche Fourierverteilung.
Ein hin- und herlaufender Stoßimpuls hat mit einer Resonanzschwingung nur
die Frequenz gemeinsam, nicht aber die mechanische Spannungsverteilung im
Stab.
Piezo-Aktor als ruhender Stab
Man unterscheidet den direkten und den inversen piezoelektrischen Effekt (1880
von den Gebrüdern Curie an Quarzkristallen entdeckt). Beim direkten PiezoEffekt wird eine elektrische Polarisation durch eine äußere Kraft erzeugt. Der
direkte Piezo-Effekt findet in der Sensorik Anwendung.
Der inverse Piezoeffekt ist durch eine mechanische Dehnung
charakterisiert,
die durch ein elektrisches Feld E erzeugt wird. Es gilt die Zustandsgleichung:
= cE · σ + d33 · Eel
30
cE ist die Elastizitätskonstante bei konstanter elektrischer Feldstärke (z.B. Eel = 0).
d33 ist die piezoelektrische Ladungskonstante in longitudinaler (axialer) Ausdehnungsrichtung. Wird keine mechanische Spannung erzeugt, d.h. herrschen freie
Randbedingungen, so ist die Dehnung der elektrischen Feldstärke proportional.
Wird die Dehnung blockiert, so resultiert eine mechanische Spannung
σ=−
d33
· Eel
cE
Diese ist negativ (Druckspannung). Diese Gleichung ist die Basis zur piezoelektrischen Stoßerzeugung.
Da die Stoßerzeugung im Stab direkt erfolgt, nennen wir den Stab aktiv.
Legt man an einen Stapel von parallel kontaktierten Piezoscheiben instantan
eine elektrische Spannung an, so antwortet dieser aktive Stab mit zwei Stoßimpulsen pr und pl mit gleichem Betrag p0 und gleichem Vorzeichen, aber
entgegengesetzten Richtungen. Für die Stoßenergie gilt:
Wo =
1
· VP iezo · EP iezo · d233 ·
2
U0
d
2
Dabei steht VP iezo für das Stapelvolumen, EP iezo für das E-Modul des Stapels
und U0 /d für die elektrische Feldstärke.
In der Realität muss das Ansteuerungssignal infolge seiner nicht beliebig kurzen
Anstiegszeit mit dem mechanischen Spannungsimpuls gefaltet“ werden und
”
der sonst ideale Rechteckimpuls wird verrundet.
31
Nomenklatur
Formelzeichen
Bezeichnung
Einheit
A
Querschnittsfläche
m2
c
Schallgeschwindigkeit
m · s−1
cF
Federsteifigkeit
N · cm−1
cT
Aktorsteifigkeit
N · µm−1
cE
Elastizitätskonstante bei konstanter elektri-
m2 · N−1
scher Feldstärke
d
Dicke einer Keramikscheibe
µm
d33
longitudinale piezoelektrische Ladungskon-
m · V−1
stante
E
Elastizitätsmodul
N · m−2
Eel
elektrisches Feld
V · m−1
Dehnung
ohne
F
Kraft
N
I
akustische Feldimpedanz
kg · m−2 · s−1
l0
Dehnung des Aktors ohne äußere Belastung
µm
m
Masse
kg
ν
Poissonzahl/ Querkontraktionszahl
ohne
p
Impuls
N·s
∆p
Kraftstoß
N·s
R
Radius
m
r
Reflexionsgrad
ohne
ρ
Dichte
g · cm−3
σ
mechanische Spannung
N · m−2
T
Impuls-Dauer
s
τ
Transmissionsgrad
ohne
U
elektrische Spannung
V
V
Volumen
m3
v
Schallschnelle
m · s−1
W
Energie
J
w
Durchbiegung
m
32
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Seele and Geist
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