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Professur E-Learning und Neue Medien
Institut für Medienforschung
Philosophische Fakultät
Allgemeines Lineares Modell
Matrixalgebra
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
Überblick
• Definitionen (z. B. Matrizen, Vektoren, Skalare)
• Matrizen transponieren
• Rechnen mit Matrizen und Vektoren
• Addieren
• Subtrahieren
• Multiplizieren
• Dividieren
• Inverse, Determinante und Kofaktorenmatrix
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
2
Einführung
• Matrix: Mathematische Einheit (ähnlich wie eine Zahl)
• Ziel der Matrizenschreibweise: Große Informationsmengen
übersichtlich und ökonomisch darstellen
• Matrix X: Besteht aus einer geordneten Menge von Elementen xij
• Index i = 1, 2, 3, … z
 Angabe der Zeile
• Index j = 1, 2, 3, … s
 Angabe der Spalte
• Beispiel:
Typ einer Matrix:
 x11 x12 
X  (x ij )   x 21 x 22 
 x 31 x 32 
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
z x s (gelesen: z mal s)
Im Beispiel: 3 mal 2
Merkhilfe: „Zeilen zuerst,
Spalten später“
2. Matrixalgebra
3
Definitionen
• Vektor x: Spezielle Matrix, die jeweils nur aus einer Zeile oder einer
Spalte besteht
• Spaltenvektor: Spezielle Matrix, die nur aus einer Spalte besteht
(z x 1)
7 
• Beispiel:
 
x  9 
2
(Typ 3 x 1)
• Zeilenvektor: Spezielle Matrix, die nur aus einer Zeile besteht
(1 x s)
• Beispiel:
x  1 4 5
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
(Typ 1 x 3)
2. Matrixalgebra
4
Definitionen
• Einsenvektor: Vektor, dessen Elemente alle gleich Eins sind (1)
• Einsenspaltenvektor: Einsenvektor, dessen Zeilenelemente alle
gleich eins sind
• Beispiel:
1
1  1
1
(Typ 3 x 1)
• Einsenzeilenvektor: Einsenvektor, dessen Spaltenelemente alle
gleich eins sind
• Beispiel:
1  1 1 1
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(Typ 1 x 3)
2. Matrixalgebra
5
Definitionen
• Quadratische Matrix: Matrix, die ebenso viele Zeilen wie Spalten
besitzt (m x m)
7 2 5 
• Beispiel für m = 3:
X  (x ij )  8 9 1
3 4 0
• Diagonalelemente: Elemente, für die i = j gilt
• Hauptdiagonale: alle Diagonalelemente einer quadratischen Matrix
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2. Matrixalgebra
6
Definitionen
• Symmetrische Matrix: Quadratische Matrix, für deren Elemente gilt:
xij = xji (d. h. Matrix kann an der Hauptdiagonalen gespiegelt werden)
• Beispiel:
 12 8  2
X  (x ij )   8 3 0 
 2 0 2 
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2. Matrixalgebra
7
Definitionen
• Diagonalmatrix: symmetrische Matrix, in der alle nicht auf der
Hauptdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind
• Beispiel:
0
88 0
X  (x ij )   0  5 0 
 0 0 43
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2. Matrixalgebra
8
Definitionen
• Skalarmatrix: Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente alle gleich
sind
• Beispiel:
7 0 0 
X  (x ij )  0 7 0
0 0 7
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2. Matrixalgebra
9
Definitionen
• Einheitsmatrix (I): Skalarmatrix, deren Diagonalelemente alle Eins
sind
• Beispiel:
1 0 0
X  (x ij )  0 1 0
0 0 1
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2. Matrixalgebra
10
Definitionen
Vektoren
Matrizen
Einsenvektoren
Quadratische Matrizen
Symmetrische
Matrizen
Diagonalmatrizen
Skalarmatrizen
Einheitsmatrizen
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2. Matrixalgebra
11
Addition (X + Y = Z)
• Voraussetzung für die Addition von zwei Matrizen: Die Matrizen
müssen vom gleichen Typ sein
• Berechnung: Die Addition erfolgt elementweise  xij + yij = zij
• Beispiel:
 7 8  4 6 3  7  13 11  11
 0 3 1   8 0 2    8

3
3

 
 

 9 12 6  5 1 5   4 13 11 
• Für die Addition von Matrizen gilt das Kommutativgesetz
X+Y=Y+X
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2. Matrixalgebra
12
Subtraktion (X - Y = Z)
• Voraussetzung für die Subtraktion von zwei Matrizen: Die Matrizen
müssen vom gleichen Typ sein
• Berechnung: Die Subtraktion erfolgt elementweise  xij – yij = zij
• Beispiel:
5 3
 7 8  4  6 3  7   1
 0 3 1   8 0 2     8 3  1

 
 

 9 12 6  5 1 5   14 11 1 
• Für die Subtraktion von Matrizen gilt das Kommutativgesetz nicht
 X – Y ≠ Y – X (sofern gilt: X ≠ Y)
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2. Matrixalgebra
13
Skalarmultiplikation
• Multiplikation einer Matrix X mit einem Skalar c (konstante Zahl)
• X·c=Y
• Berechnung: Die Skalarmultiplikation erfolgt elementweise
 xij · c = yij
• Beispiel:  7
8  4
 35 40  20
0 3

 9 12
1  · 5   0 15
 45 60
6 
5 
30 
• Für die Skalarmultiplikation gilt das Kommutativgesetz  X · c = c · X
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2. Matrixalgebra
14
Skalardivision
• Division einer Matrix X durch ein Skalar c
• X:c=Y
• Berechnung: Die Skalardivision erfolgt elementweise, indem mit dem
Kehrwert von c, nämlich 1/c = c-1 multipliziert wird  xij : c = xij · (1/c)
= xij · c-1 = yij
• Beispiel:  0
 4
 0 8  4
 0 4  2
 0 2 6  : 2   0 2 6 ·1   0 1 3 



 2 

 8 12 6 
 8 12 6 
 4 6 3 
8
• Für die Skalardivision gilt das Kommutativgesetz
 X · (1/c) = (1/c) · X
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2. Matrixalgebra
15
Transposition
• Transposition: „Achsenspiegelung“ einer Matrix
• Alle Spaltenvektoren xj einer Matrix X werden zu Zeilenvektoren, die
Zeilenvektoren xi von X werden zu Spaltenvektoren
• Transponierte Matrix X wird X´ genannt
• Ist Matrix X vom Typ (n x m), so ist X´ vom Typ (m x n)
• Für symmetrische Matrizen gilt: X = X´
• Transposition einer transponierten Matrix führt zur Ausgangsmatrix
zurück: (X´)´ = X
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2. Matrixalgebra
16
Transposition
• Beispiel:
2 3
8 1
5 0
X´
2
8
5
3
1
0
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X
2. Matrixalgebra
17
Skalarprodukt zweier Vektoren
• Skalarprodukt: Produkt x · y, wobei x ein Zeilenvektor vom Typ (1 x m)
ist und y einen Spaltenvektor vom Typ (m x 1) darstellt
• Voraussetzung: Vektoren sind vom korrespondierenden Typ
• Korrespondierender Typ: „Linker“ Vektor x besitzt genauso viele
Spalten wie der „rechte“ Vektor y Zeilen, d. h. die „inneren“
Typangaben müssen übereinstimmen
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
18
Skalarprodukt zweier Vektoren
• Beispiel:
x
·
(1 x m)
y
(m x 1)
=
z
(1 x 1)
m=m
Typ der Ergebnismatrix
(1 x 1)  eine Zahl
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2. Matrixalgebra
19
Skalarprodukt zweier Vektoren
• Berechnung
• 1. Multiplizieren: Nacheinander jedes der m Elemente xj des
Zeilenvektors x mit dem korrespondierenden (d. h. i = j) Element yi
des Spaltenvektors y multiplizieren
• 2. Aufsummieren: Alle m Teilprodukte zu einer skalaren Größe
aufsummieren
• Formel:
x ·y 
 x j · yi   z
m
i  j1
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z wird auch
Kreuzproduktsumme
genannt
2. Matrixalgebra
20
Skalarprodukt zweier Vektoren
• Beispiel:
3 · 7 = 21
7
-6 · 5 = -30
5
2·3=6
3
8·0=0
0
1 · 1 =1
x
3
-6
2
8
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y
1
1
21+(-30)+6+0+1 = -2
2. Matrixalgebra
z
21
Matrizenmultiplikation (X · Y = Z)
• Voraussetzung: Multiplizierende Matrizen sind vom
korrespondierenden Typ
• Korrespondierender Typ: „Linke“ Matrix X besitzt genauso viele
Spalten wie die „rechte“ Matrix Y Zeilen, d. h. dass die „inneren“
Typangaben übereinstimmen müssen
• Ergebnismatrix Z ist dann durch die „äußeren“ Typangaben definiert
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2. Matrixalgebra
22
Matrizenmultiplikation (X · Y = Z)
• Beispiel:
X
·
(n x m)
Y
(m x k)
=
Z
(n x k)
m=m
Typ der Ergebnismatrix
(n x k)
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2. Matrixalgebra
23
Matrizenmultiplikation (X · Y = Z)
• Berechnung: Sukzessive Berechnung der n · k Skalarprodukte der
Matrizen X und Y
• Formel:
m
z ij  x i · y j 
 (x ih · y hj)
h 1
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2. Matrixalgebra
24
Matrizenmultiplikation (X · Y = Z)
• Beispiel:
(2 · 6) + (3 · 2) + (6 · 4) = 42
(2 · 1) + (3 · 8) + (6 · 3) = 44
X
6
1
2
2
8
6
4
3
7
2
3
6
42
44
...
4
1
5
...
...
...
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2. Matrixalgebra
Y
Z
25
Matrizenmultiplikation (X · Y = Z)
• Beispiel:
X
6
1
2
2
8
6
4
3
7
2
3
6
42
44
64
4
1
5
46
27
49
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
Y
Z
26
Matrizenmultiplikation (X · Y = Z)
• Für die Matrizenmultiplikation gilt das Kommutativgesetz nicht
X·Y≠Y·X
• Das Kommutativgesetz gilt auch dann nicht, wenn beide Matrizen
vom gleichen Typ sind
• Das Kommutativgesetz gilt ebenfalls nicht bei Multiplikation einer
Matrix mit ihrer Transponierten  X · X´ ≠ X´ · X
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2. Matrixalgebra
27
Inverse Matrix (Y-1)
Inverse Matrix: Kehrwert einer Matrix (Y-1)
Es gilt: Y · Y-1 = I = Y-1 · Y
Inverse Matrizen nur für quadratische Matrizen definiert
Nicht jede quadratische Matrix besitzt auch eine inverse Matrix
Eine inverse Matrix existiert nur dann, wenn die „Ausgangsmatrix“
keine linearen Abhängigkeiten enthält (wird später noch erläutert)
• Es gilt das Kommutativgesetz: Y · Y-1 = Y-1 · Y
•
•
•
•
•
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
28
Inverse Matrix (Y-1)
• Berechnung: Transponierte der Kofaktorenmatrix (K´) der Matrix Y
geteilt durch die Determinante der Matrix Y (|Y|)
• Formel:
K'
Y 
Y
-1
• Daraus folgt:
• Ist die Determinante |Y| (entspricht einer reellen Zahl) gleich Null,
dann ist die Inverse nicht definiert
• Demnach wird zunächst die Determinante berechnet. Ist diese
gleich Null, so erübrigt sich die Berechnung der Transponierten
der Kofaktorenmatrix (K´)
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2. Matrixalgebra
29
Determinante (|Y|)
• Determinante (|Y|) der m-reihigen Matrix Y: Reelle Zahl
• Verschiedene Berechnungsmöglichkeiten
• Im Folgenden wird die Reihenentwicklung vorgestellt, genauer gesagt
die Entwicklung über die erste Zeile
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2. Matrixalgebra
30
Determinante (|Y|)
• Formel zur Berechnung:
m
Y   (y1j  ( 1)
1 j
 M1j )
j1
Determinante
der Matrix Y
„Summenzähler“
der von
1 bis m „läuft“
stellt die Elemente
der ersten Zeile
von Y dar:
y11, y12, y13 ... y1m
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nimmt abwechselnd
den Wert +1 und -1 an:
+1 wenn j ungerade ist
-1 wenn j gerade ist
2. Matrixalgebra
Minormatrix der Matrix Y:
entsteht aus der
ursprünglichen Matrix Y
durch Verkleinerung um
die Zeile i (hier 1) und die
Spalte j. Die Minormatrix
stellt eine (m-1)-reihige
Matrix dar.
Genauere Erläuterung auf
den folgenden Seiten!
31
Determinante (|Y|)
• Determinanten von Zahlen: Zahlen (Matrizen vom Typ 1x1)
• Berechnungsformel ist nicht anwendbar
• Es gilt: Determinante einer einzelnen Zahl ist die Zahl selbst
• Formel: y  y
• Anmerkung: |y| steht für die Determinante, nicht deren Betrag!
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2. Matrixalgebra
32
Determinante (|Y|)
• Determinanten von 2-reihigen Matrizen (m = 2):
2
Y   (y1j  ( 1)1 j  M1j )
j1
 Y  y11  (1)11  M11  y12  (1)12  M12
 Y  y11  (1)2  M11  y12  (1)3  M12
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
33
Determinante (|Y|)
• Determinanten von 2-reihigen Matrizen (m = 2):
Y  y11  (1)  M11  y12  (1)  M12
Es gilt:

Y  y11  M11  y12  M12
M11  y22  y22
M12  y21  y21

Y  y11  y22  y12  y21
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
34
Determinante (|Y|)
• Determinanten von 2-reihigen Matrizen (m = 2)
• Beispiel:
 4 6
Y
 Y  4  8  2  6  32  12  20

2 8
• Allgemein gilt:
• Produkt der Hauptdiagonalelemente – Produkt der
Nebendiagonalelemente
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
35
Determinante (|Y|)
• Determinanten von 3-reihigen Matrizen (m = 3)
3
Y   (y1j  ( 1)1 j  M1j )
j1

Y  y11  (1)11  M11  y12  (1)12  M12  y13  (1)13  M13

Y  y11  M11  y12  M12  y13  M13
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
36
Determinante (|Y|)
• Determinanten von 3-reihigen Matrizen (m = 3)
• Beispiel:
1 4 2 
1 4
3 4
3 1


Y   3  1 4  Y  1 
 4
 2
1 3
2 3
2 1
2 1 3

Y  1  (1  3  1  4)  4  (3  3  2  4)  2  (3  1  2  (1))

Y  7  4  10  1
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
37
Determinante (|Y|)
• Determinanten von m-reihigen Matrizen (m > 3)
• m-reihige Matrizen werden wie 3-reihige Matrizen berechnet
• Die Minormatrizen werden dabei so lange reduziert bis die Formel
für Determinanten 2-reihiger Matrizen angewandt werden kann
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2. Matrixalgebra
38
Determinante (|Y|)
• Beispiel:
1
2
Y
0

4
0 2 4
3 1 3

1 0 1

1 0 2

3 1 3
2 1 3
2 3 3
2 3 1
Y  1 1 0 1  0  0 0 1  2  0 1 1  4  0 1 0
1 0 2
4 0 2
4 1 2
4 1 0
 0 1
 0 1
1 1
1 0
0 1
0 0
Y  1 3 
 1
 3

0

2


1


3




1 2
1 0
4 2
4 0
 0 2
 0 2
 1 1
 1 0
0 1
0 1
0 0
0 1
 2  2 
 3
 3

4

2


3


1




1
2
4
2
4
1
1
0
4
0
4
1





Y  1 (0  1  0)  2  (2  12  12)  4  (0  0  4)

Y  1  4  16  19
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2. Matrixalgebra
39
Eigenschaften von Determinanten (|Y|)
• Determinante von Y ist dieselbe Zahl wie die Determinante von Y´ 
|Y| = |Y ´|
• Enthält Y eine Zeile bzw. Spalte mit lauter Null-Elementen, so ist auch
|Y| gleich Null
• Hat Y zwei gleiche Zeilen bzw. Spalten, so ist |Y| gleich Null
• Allgemein gilt: Ist mindestens eine Zeile bzw. Spalte einer Matrix von
anderen Zeilen bzw. Spalten der Matrix linear abhängig, so ist |Y|
gleich Null
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2. Matrixalgebra
40
Lineare Abhängigkeit
• Lineare Abhängigkeit einer Matrix Y: Mindestens ein Spaltenvektor yj
bzw. ein Zeilenvektor yi kann durch eine Linearkombination der
übrigen Spaltenvektoren bzw. Zeilenvektoren gebildet werden
• Linearkombination: Gewichtete Summe
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2. Matrixalgebra
41
Lineare Abhängigkeit
• Beispiel I:
1 2 3 
Y  4 6 6
7 10 9
• Y ist linear abhängig
• Begründung:
y1
y2
y3
1
y 2  1  y 1   y3
3
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
2
1 
 3
1
  6   1 4   6
3
10
7
9
2. Matrixalgebra
42
Lineare Abhängigkeit
• Beispiel II:
1 2 8
Y  2 4 8
3 6 8
y1
y2
y3
• Y ist linear abhängig
• Begründung:
y2  2  y1  0  y3
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 2
1 
8
 4  2  2  0  8
6
3
8
2. Matrixalgebra
43
Lineare Abhängigkeit
• Singuläre Matrizen: Matrizen, deren Determinante gleich Null ist (d. h.
die lineare Abhängigkeiten enthält)
• Fundamentale Matrizen: Matrizen, die nicht singulär sind
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2. Matrixalgebra
44
Kofaktorenmatrix K
• Kofaktorenmatrix K der Matrix Y: Matrix, die vom selben Typ wie Y ist
und deren Elemente wie folgt berechnet werden (vgl. Ähnlichkeit zur
Determinantenberechnung):
kij  (1)
nimmt „abwechselnd“
den Wert +1 und -1 an:
+1 wenn i+j gerade ist
-1 wenn i+j ungerade ist
Prof. Dr. Günter Daniel Rey
i j
 Mij
Minormatrix der Matrix Y:
entsteht aus der ursprünglichen
Matrix Y durch Verkleinerung um
die Zeile i und die Spalte j.
Die Minormatrix stellt eine
(m-1)-reihige Matrix dar.
2. Matrixalgebra
45
Kofaktorenmatrix K
• Beispiel I:
1 4 2 
Y  3  1 4
2 1 3


 1

 1
 4
K  
 1
 4
 1

4
3
2
3
2
4

3 4
2 3
1 2
2 3
1 2

3 4
3 1 

2 1 
1 4


2 1
1 4 
3  1 
  7 1 5 
K   10  1 7 
 18
2  13
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2. Matrixalgebra
46
Kofaktorenmatrix K
• Beispiel II:
1 2
Y

3
4


 4  3
 K

 2 1 
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2. Matrixalgebra
47
Inverse Matrix (Y-1)
• Es gilt (s. vorherige Folien):
• Beispiel:
K'
Y 
Y
-1
1 4 2 
Y  3  1 4
2 1 3
• Aus den vorherigen Folien ist bereits folgendes bekannt:
Y  1
  7 1 5 
K   10  1 7 
 18
2  13
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2. Matrixalgebra
48
Inverse Matrix (Y-1)
• Transponierte der Kofaktorenmatrix bilden (K´):
  7 1 5 
 10  1 7 


 18
2  13
K´
K
 7  10 18 
 1 1

2


 5
7
 13
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2. Matrixalgebra
49
Inverse Matrix (Y-1)
• Einsetzen in die Formel
Y -1 
K'
Y
 7  10 18 
 1 1

2


 5
7
 13
-1
Y 
1
• ergibt:

 7  10 18   7 10  18
1 

Y -1 
  1 1
2    1
1

2


1
 5
7  13  5  7 13 
• Zur Überprüfung mit der Ausgangsmatrix multiplizieren! Wenn richtig
gerechnet wurde, dann gilt: Y · Y-1 = I
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2. Matrixalgebra
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Matrizendivision (X : Y = Z)
• X : Y = X · Y-1
• Berechnungsschritte bei der Matrizendivision (s. vorherige Folien zur
Berechnung):
• 1. Determinante der Matrix Y berechnen
• 2. Kofaktorenmatrix K der Matrix Y ermitteln
• 3. Kofaktorenmatrix K transponieren
K'
• 4. Inverse Matrix Y-1 ausrechnen Y  Y
• 5. Matrizen X und Y-1 miteinander multiplizieren
-1
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2. Matrixalgebra
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Verknüpfungsregeln
• Assoziativgesetz der Addition: (X+Y) + Z = X + (Y+Z) = X + Y + Z
• Kommutativgesetz der Addition: (X+Y) + Z = (Y+Z) + X = (Z+X) + Y
• Assoziativgesetz der Multiplikation
• (X·Y) · Z = X · (Y·Z) = X · Y · Z
• X · Y · (1/c) = X · (1/c) · Y = (1/c) · X · Y
• Kommutativgesetz der Multiplikation für Matrizen gilt nicht
• Kommutativgesetz der Multiplikation für Skalare
• X·c=c·X
• X · (1/c) = (1/c) · X
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Verknüpfungsregeln
• Matrixinversion: (c · X)-1 = c-1 · X-1 = X-1 · c-1
• Erstes Distributivgesetz der Transposition: (X + Y)´ = X´ + Y´
• Zweites Distributivgesetz der Transposition: (X · Y)´ = Y´ · X´
• Vertauschte Reihenfolge beachten!
• Distributivgesetz der Addition/Multiplikation
• (X + Y) · Z = X · Z + Y · Z
• Z · (X + Y) = Z · X + Z · Y
• Reihenfolge beachten!
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Prüfungsliteratur
• Moosbrugger, H. (2011). Lineare Modelle. Regressions-und
Varianzanalysen. (4., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage).
Bern: Huber.
• Grundbegriffe der Matrixalgebra (S. 231-259)
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