close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

- Gebirgsjägerkameradschaft 232

EinbettenHerunterladen
D-MATH
Prof. Alessandra Iozzi
Analysis I D-ITET
HS 2014
Musterlösung 4
1.
a) Für n = 0 ist die Aussage klar. Wir nehmen nun an, dass die Aussage
(1 + x)n ≥ 1 + nx,
für alle x ≥ −1
gilt und wollen zeigen, dass
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x,
für alle x ≥ −1.
Wir schreiben
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n .
Da nach Voraussetzung an x der Ausdruck (1 + x) ≥ 0 ist, bekommen wir somit
mit der Induktionsannahme weiter
(1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx) = 1 + nx + x + nx2
≥ 1 + nx + x = 1 + (n + 1)x,
was die Behauptung zeigt.
b) Für n = 2 ist es die Dreiecksungleichung. Wir nehmen nun an, die Ungleichung
stimmt für n. Durch Anwenden der Dreiecksungleichung und der Induktionsannahme erhalten wir dann direkt
|u1 + u2 + · · · + un + un+1 | ≤ |u1 + u2 + · · · + un | + |un+1|
≤ (|u1 | + |u2 | + · · · + |un |) + |un+1 |.
c) Für n = 1 sind beide Seiten gleich 1. Wir nehmen also an, die Gleichung gilt für
n. Damit folgt dann
n
n+1
k3 =
+ (n + 1)3 =
n(n + 1)
2
2
n2
+ (n + 1)
4
(n + 1)2 2
=
(n + 4n + 4)
4
k=1
k=1
= (n + 1)
=
2
k3
(n + 1)2
(n + 2)2 =
4
(n + 1)(n + 2)
2
+ (n + 1)3
2
,
was die Behauptung zeigt.
Bitte wenden!
1
2.
a) Wegen limx→0 x12 = ∞, ist limx→0 e− x2 = limy→∞ e−y = 0.
b) Es gilt
lim
x→∞
√
x+1−
√
√
√
1
( x + 1)2 − ( x)2
√
x = lim
= lim √
√
√ = 0.
x→∞
x→∞
x+1+ x
x+1+ x
c) Da sin( x1 ) ∈ [−1, 1] für alle x und somit beschränkt ist, folgt unmittelbar, dass
limx→0 (x · sin( x1 )) = 0.
√
√
√
√
d) Aus 2b) wissen wir, dass limx→∞ ( x − x − 1) = limx→∞ ( x + 1 − x) = 0
gilt. Da der Kosinus auf ganz stetig ist, können wir den Grenzwert hineinziehen
und erhalten
√
π
π √
= 0.
+ x − x − 1 = cos
lim cos
x→∞
2
2
Ê
e) Es ist
2 − x1
2x − 1
2x − 1
lim √
= lim 3
= lim √
√
x→∞ ( x + 1)3
x→∞ x 2 + 3x + 3 x + 1
x→∞
x + 3 + √3x +
1
x
= 0.
√
Da die Funktion x → sin( x) als Komposition stetiger Funktionen wieder stetig
ist, folgt also
2x − 1
√
= 0.
lim sin
x→∞
( x + 1)3
Document
Kategorie
Bildung
Seitenansichten
6
Dateigröße
24 KB
Tags
1/--Seiten
melden