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1 Gegeben sind die Punkte A (1 | 2 | 3), B (3 | – 2 | – 1) und C (0 | 4

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735708.indb 11.07.2012 11:32:31 Seite: 22 [Farbbalken für Fogra39] BlacK
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1 Gegeben sind die Punkte A (1 | 2 | 3),
B (3 | – 2 | – 1) und C (0 | 4 | – 1).
​_› ​__› ​_› ​__› ​_› ​__›
a) Bestimmen Sie die_
Vektoren ​
p ​
=
​
AB​
 
 
,
​ q ​ _
= ​BC​  , ​_
r ​  = ​CA​    sowie deren Beträge.
 
_
​› _
​›
​›
​›
​›
 
b) Bestimmen Sie 2 ​p ​  + ​q ​  – 3 ​r ​ und 0,5 ​
r ​  – 1,5 ​ p ​ .
​_›
c) Welcher Einheitsvektor hat dieselbe Richtung
wie
– ​p ​ ?
​_› ​_›
​_›
d) Untersuchen Sie, welche der Vektoren ​p ​ , ​ q ​  und ​r ​  orthogonal zueinander sind.
2 a) Füllen Sie die Lücken so aus, dass das Viereck ABCD mit A 2​  ​​2  |​ ​ ​1  |​ nn
nn
nn   3​,
B (5 | 0 | 1), C ​2  ​​9  | ​​​  |​ 6  3​und D ​2  ​​  |​ ​ ​1  |​ 8   3​ein Parallelogramm ist.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Mittelpunkte M1 , M2 , M3 und M4 der
­Parallelogrammseiten.
c) Weisen Sie mit Hilfe geeigneter Vektoren nach, dass das Viereck M1M2M3M4 wieder ein Parallelogramm ist.
3
a) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A (3 | 1 | – 2) und B (– 1 | 5 | 2). Geben Sie drei verschiedene Darstellungen für diese Gerade an.
b) Die Gerade h verläuft parallel zur x3-Achse durch den Punkt P (3 | 2 | 5). Geben Sie eine Gleichung für h an.
c) Die Gerade k verläuft in der x1x3-Ebene parallel zur ersten Winkelhalbierenden durch den Punkt R (1 | 0 | 4).
Geben Sie eine Gleichung für k an.
2  3 2  3
2  3 2  3
– 1
– 2
 3
 
 
 2
​_›
​_›
Gegeben sind die Geraden g: ​x ​  = ​   
​  3   ​  ​ + t · ​   
​ 2 ​   ​ und h: ​x ​  = ​   
​ 3 ​   ​ + t · ​   
​  0   ​  ​.
2
5
– 5
– 4
a) Untersuchen Sie, ob die Punkte A (6 | – 3 | – 11), B (0 | 9 | – 9) und C (– 6 | 3 | – 13) auf g bzw. h liegen.
b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.
c) Welche Punkte auf g sind von S jeweils eine Einheit weit entfernt?
4 2  3 2  3 2  3 2  3
2  3 2  3
2  3 2  3
– 1
0
– 1
 0
 
 
 0
 3
 
​_›
​_›
​_›
Gegeben sind die Geraden g: ​x ​  = ​   
​  4  ​  ​ + t · ​   
​ 2 ​   ​, h: ​ x ​  = ​ 7 
​    ​  ​ + t · ​ 2 
​  ​   ​ und k: ​x ​  = ​   
​  1​  ​ + t · ​   
​ 1 ​   ​.
  
  
– 10
5
1,5
1
1
4
Untersuchen Sie, ob die Geraden die Koordinatenachsen schneiden.
5  2
 3
​_›
Geben Sie zur Geraden g: ​x ​  = ​ – 4 
​  ​  ​ + t · ​   
​  2   ​  ​ eine Gerade h an, die …
  
1
– 5
a)… durch den Punkt P (1 | 0 | 0) parallel zu g verläuft.
b) … g in dem Punkt S schneidet, der für t = 1 auf der Geraden g liegt.
c) … durch einen Punkt W (2 | – 4 | ?) windschief zu g verläuft.
6 7 Untersuchen Sie, ob sich die Geraden g und h schneiden (geben Sie dann den Schnittpunkt an) oder ob
die Geraden parallel bzw. windschief sind.
2  3 2  3
2  3 2  3
2  3 2  3
2  3
2  3
2  3
2  3
2  3
2  3
0,5
 1
 3
 2
 
​_›
​_›
a)g: ​x ​  = ​ 0 
​  ​   ​ + t · ​   
​  2   ​  ​, h: ​ x ​  = ​ – 4 
​  ​  ​ + t · ​   
​ 1 ​   ​
  
  
9
1
– 5
– 1
1
2  3 2  3
2  3 2  3
2  3 2 
2  3 2  3
2  3 2  3
3 2  3 2  3
0,25
 4
  
 5
 2
​_›
​_›
b) g: ​ x ​  = ​ 3 
​  ​   ​ + t · ​    
​ 1  ​   ​, h: ​ x ​  = ​   
​  0   ​  ​ + t · ​   
​  1   ​  ​
  
3
_
2
​  4 ​
– 3
– 2
0
 ​ _2 ​
 0
 1
  
​_›
c) g: ​x ​  = ​   
​  1   ​  ​ + t · ​   
​  4 ​   ​, h: ​ x ​  = ​   
​  2   ​  ​ + t · ​ ​   
 ​  ​
1    
– 0,25
– 2
– 1
– 4
– 2
– 1
– 2
 
 
 
 4
​_›
​_›
d) g: ​ x ​  = ​   
​ ​  ​ + t · ​   
​  2   ​  ​, h: ​ x ​  = ​ – 8 
​  ​  ​ + t · ​   
​  2   ​  ​
– 3 
  
1
– 3
10
– 6
12
 0
 1
 
 3
​_›
​_›
e) g: ​x ​  = ​   
​ 0 ​   ​ + t · ​ 0 
​  ​   ​, g: ​ x ​  = ​ – 8 
​   ​  ​ + t · ​ – 2 
​   ​  ​
  
  
  
5
0
– 3
– 2
– 0,5
– 1
  
 1
 2
  
​_›
​_›
f) g: ​ x ​  = ​ ​  
​ 3    
​  ​, g: ​ x ​  = ​   
​  4 ​   ​ + t · ​ – 6 
​  ​  ​
1  ​   ​ + t · ​    
  
3
1
– 1
– 0,5
​_›
22 VIII Schlüsselkonzept: Vektoren
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