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Humboldt-Universität zu Berlin Probeklausur

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Humboldt-Universit¨
at zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakult¨at
Institut f¨
ur Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Prof. Dr. Remke Kloosterman
Dr. Frank Gounelas
Barbara Jung
Niels Lindner
Sven Sch¨
uler
Probeklausur
1. Lineares Gleichungssystem
Seien

2
A = −1
3

 
 
0 4
4
6
1 −1 ~b1 =  0  ~b2 = −3
3 11
14
11
(a) Bestimmen Sie Rang(A).
(b) Bestimmen Sie L¨
os(A, ~0), die L¨osungsmenge von A~x = ~0.
(c) Bestimmen Sie L¨
os(A, ~b1 ), die L¨osungsmenge von A~x = ~b1 .
(d) Bestimmen Sie L¨
os(A, ~b2 ), die L¨osungsmenge von A~x = ~b2 .
2. Minoren
a11 a12 a13
Sei A =
∈ M2×3 (R), a11 6= 0, a12 6= 0, a13 6= 0. Zeigen Sie, dass A genau
a21 a22 a23
dann Rang 1 hat, wenn
a
a12
a
a13
a
a13
det 11
= det 12
= det 11
= 0.
a21 a22
a22 a23
a21 a23
3. Polynomr¨
aume
Es sei P3 der Vektorraum der Polynome vom Grad h¨ochstens drei. Es sei
V = {f ∈ P3 | f (x) = f (−x) f¨
ur alle x ∈ R}.
(a) Welche der Vektoren 1, x, x2 , x3 sind in V ?
(b) Ist V ein Vektorraum? Falls V ein Vektorraum ist, berechnen Sie dim V .
4. Lineare Abbildung
Es sei f : R2 → R2 die lineare Abbildung, so dass
1
1
1
1
f
=
und f
=
.
0
−1
−1
1
(a) Bestimmen Sie f ((0, 1)T ).
(b) Geben Sie die Matrixdarstellung von f bzgl. der Standardbasis von R2 an.
(c) Geben Sie die Matrixdarstellung von f bzgl. der Basis
4
5
,
3
4
von R2 an.
(d) Bestimmen Sie Kern und Bild der Abbildung f .
5. Determinante
Berechnen Sie die Determinante von

6
1
2
−12
3
−3

 18 −17 6
−6
19
22

3
−4
.
2
13
6. Lineare Abh¨
angigkeit
Sei F : V → V eine lineare Abbildung, wobei V ein R-Vektorraum ist, und sei ~v ∈ V , so
dass f¨
ur eine nat¨
urliche Zahl n gilt
F n (~v ) 6= 0 und F n+1 (~v ) = 0.
Beweisen Sie, dass dann ~v , F (~v ), . . . , F n (~v ) linear unabh¨angig sind.
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