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23. Oktober 2014
Fachgruppe Angewandte Analysis und Numerik
Dr. Martin Gutting
Katrin Seibert
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Wintersemester 2014/15
Übungsblatt 3
Bitte geben Sie Ihre Lösungen der Aufgaben am Donnerstag, 30. Oktober 2014, in der Vorlesung ab.
Die Aufgaben werden in der Übung am 3. November 2014 besprochen.
Aufgabe 3.1 (4 Punkte):
Medikamente wie z.B. Beruhigungsmittel werden im Körper nach dem exponentiellen Zerfallsgesetz
u˙ = −λu, λ > 0, abgebaut. Ihre Halbwertszeiten hängen von vielen Faktoren (Dosierung, Darreichungsform, individuelle Resorption, etc.) ab, z.B. hat Diazepam eine Halbwertszeit τ von 9 bis 24
Stunden bei einmaliger Gabe, aber von 2 bis 6 Tagen bei einer Dauertherapie. Es besteht also Kumulationsgefahr. Wir nehmen an, dass τ = 40h. Bei t0 = 0 beginnt ein Patient damit, alle 24 Stunden
eine Tablette mit 7mg Diazepam einzunehmen.
n+1
(a) Zeigen Sie ohne Differentialgleichungen, dass der Körper nach n Tagen Wn = 7 1−q
mg des
1−q
Wirkstoffs enthält mit q = exp(−0.6 ln(2)).
Wie lautet der Grenzwert W für n → ∞? Wann sind 90% dieses Endwerts W erreicht? Wann
99%? Wieviel Wirkstoff ist nach 10 Tagen im Körper?
(b) Betrachten Sie den gleichen Prozeß mit Hilfe der Anfangswertaufgabe u˙ = −λu + β, u(0) = 7mg,
und der Wirkstoffzufuhr β = 7/24mg/h. Wie groß ist der Grenzwert U = lim u(t)?
t→∞
(c) Wie ist die Situation, wenn der Patient nun alle 12h die halbe Dosis von 3.5mg einnimmt? Wie ist
es bei der Dosis von 1.75mg alle 6h? Vergleichen Sie den prozentualen Fehler (W − U )/W · 100%.
Aufgabe 3.2 (4 Punkte):
Berechnen Sie die allgemeine Lösung der folgenden linearen Differentialgleichungen. Bestimmen Sie
gegebenenfalls die Konstante mit der Anfangsbedingung.
(a) x˙ +
x
t
= 2.
(b) x˙ = cos(t) (x + sin(t)), x(0) = 0.
2
(c) x˙ + 2tx = 2te−t .
(d) tx˙ − x = t3 + 1.
Bitte wenden!
Aufgabe 3.3 (4 Punkte):
Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen mit Hilfe einer geeigneten Substitution. Bestimmen
Sie gegebenenfalls die Konstante mit der Anfangsbedingung.
(c) x˙ = et+x − 1 mit x(1) = −1.
(a) t3 x˙ − 3tx2 − t2 x = 0 für t = 0.
(b) 2tx˙ − x2 − 2x + t2 = 0 für t = 0, mit x(1) = 0.
Aufgabe 3.4 (4 Punkte):
(a) Die folgende Differentialgleichung modelliert die Verkaufsrate S(t) eines Produkts unter der
Wirkung einer konstanten Rate A der Aufwendungen für Werbung:
dS
M −S
= rA
− λS.
dt
M
Es ist λ > 0 die Verkaufszerfallskonstante, M das Sättigungsniveau bei der Werberate A und r
ein Maß für die Wirkung der Werbung.
Lösen Sie die Differentialgleichung unter der Anfangsbedingung S(0) = S0 .
(b) In tropischen Wäldern verfault die abgestorbene Vegetation. Die Änderungsrate ist hier proportional zur vorhandenen Menge an totem Material selbst. Gleichzeitig sammelt sich aber neues
totes Material an, nehmen wir einmal an 6g pro Quadratzentimeter und Jahr. Stellen Sie eine Differentialgleichung auf, die die Menge u(t) des abgestorbenen Pfanzenmaterials auf einem
Quadratzentimeter beschreibt und geben Sie deren Lösung an.
Bestimmen Sie die in der Differentialgleichung auftretende Proportionalitätskonstante, so dass
nach einem Jahr nur noch 80% des ursprünglichen Materials vorhanden sind. Vernachlässigen
Sie hierbei den Zuwachs von neuem Material pro Jahr.
Zeigen Sie außerdem, dass sich die Menge des Materials im Laufe der Zeit stabilisiert.
(c) Eine Regentonne sei vollständig mit 300L Wasser gefüllt. In diesem Wasser seien 3g Kalk gelöst.
Nachdem es angefangen hat zu regnen, fließt durch eine Zuleitung aus der Dachrinne pro Minute
2L Wasser mit einem Kalkgehalt von 1mg je Liter in die Tonne. Durch eine Differentialgleichung beschreibe man nun den Mischungsprozess für den Kalkgehalt in der Tonne. Dabei soll
angenommen werden, dass genau so viel Wasser aus der Tonne abfließt, wie hinein fließt, und
dass der hineingefloßene Wasserstrahl zu einer sofortigen Durchmischung der unterschiedlichen
Kalkgehalte im Wasser führt. Lösen Sie anschließend die Differentialgleichung.
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Gesundheitswesen
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