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Banachraeume und Lineare Operatoren

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Analysis II (FS 2015):
¨
BANACHRAUME
UND LINEARE OPERATOREN
Dietmar A. Salamon
ETH-Zu
¨rich
12. Februar 2015
1
¨
Aquivalente
Normen
Dieser erste Abschnitt ruft einige Definitionen und Resultate in Erinnerung,
die aus der Analysis I Vorlesung [2, Kapitel II] bekannt sind. Sei X ein reeller
Vektorraum. Eine Norm (oder Normfunktion) auf X ist eine Abbildung
X → R : x 7→ kxk mit folgenden Eigenschaften.
(i) F¨
ur alle x ∈ X gilt kxk ≥ 0 und kxk = 0 ⇐⇒ x = 0.
(ii) F¨
ur alle x ∈ X und alle λ ∈ R gilt kλxk = |λ| kxk.
(iii) F¨
ur alle x, y ∈ X gilt kx + yk ≤ kxk + kyk.
Ein normierter Vektorraum ist ein paar (X, k·k) welches aus einem reellen Vektorraum X und einer Normfunktion k·k auf X besteht. Eine wichtige
Klasse normierter Vektorr¨aume sind solche bei denen die Norm von einem
inneren Produkt erzeugt wird. Ein inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum X eine bilineare Abbildung X × X → R : (x, y) 7→ hx, yi , welche
die Bedingung hx, xi > 0 ist alle x ∈ X \ {0} erf¨
ullt. Ist solch ein inneres
Produkt gegeben, so definiert die Formel
p
kxk := hx, xi
f¨
ur x ∈ X
(1)
eine Norm und es gilt die Cauchy–Schwarz-Ungleichung |hx, yi| ≤ kxk kyk
f¨
ur alle x, y ∈ X.
1
Jeder normierte Vektorraum (X, k·k) besitzt eine Abstandsfunktion
d : X × X → R,
die durch die Formel
d(x, y) := kx − yk
f¨
ur x, y ∈ X
(2)
definiert ist. Dadurch wird also (X, d) zu einem metrischen Raum. Ein normierter Vektorraum (X, k·k) heisst Banachraum wenn der zugeh¨orige metrische Raum (X, d) vollst¨
andig ist, das heisst wenn jede Cauchy-Folge
in X konvergiert. (Es sei daran erinnert, dass eine Folge (xn )n∈N in V eine Cauchy-Folge ist, wenn es zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N gibt so dass f¨
ur
alle n, m ∈ N gilt: n, m ≥ n0 =⇒ kxn − xm k < ε.) Ein (reeller) Hilbertraum ist ein Paar (X, h·, ·i) welches aus einem reellen Vektorraum X
und einem inneren Product h·, ·i auf X besteht, so dass der zugeh¨orige metrische Raum (X, d) mit der durch (1) und (2) definierten Abstandsfunktion
vollst¨andig ist. Also ist jeder Hilbertraum auch ein Banachraum mit der
durch (1) definierten Normfunktion.
Es sei nun (X, k·k) ein normierter Vektorraum. Ist x ∈ X und r > 0, so
wird die Menge
Br (x) := Br (x; k·k) := Br (x; X, k·k) := y ∈ X kx − yk < r
der Ball vom Radius r mit Mittelpunkt x genannt. Eine Teilmenge
U ⊂ X heisst offen wenn es f¨
ur jedes Element x ∈ U ein ε > 0 gibt so
dass Bε (x) ⊂ U ist. Eine Abbildung f : X → Y zwischen zwei normierten
Vektorr¨aumen X und Y ist genau dann stetig wenn, f¨
ur jede offene Teilmenge
V ⊂ Y , auch die Urbildmenge f −1 (V ) := {x ∈ X | f (x) ∈ V } offen in X ist.
(Das gleiche Kriterium f¨
ur Stetigkeit gilt auch f¨
ur Abbildungen zwischen
beliebigen metrischen R¨aumen [2, Kapitel V].)
Beispiel 1.1. Sei Rn der euklidische Raum aller Vektoren x = (x1 , . . . , xn )
mit xi ∈ R. F¨
ur 1 ≤ p < ∞ definiert die Formel
!1/p
n
X
p
kxkp :=
|xi |
,
x ∈ Rn ,
(3)
i=1
eine Norm auf Rn . F¨
ur p = ∞ definiert die Formel
kxk∞ := max{|x1 | , . . . , |xn |},
eine Norm auf Rn .
2
x ∈ Rn ,
(4)
Beispiel 1.2. Eine symmetrische Matrix A = AT ∈ Rn×n , mit Koeffizienten
aij = aji f¨
ur i, j = 1, . . . , n, heisst positiv definit wenn sie die Bedingung
xT Ax =
n
X
xi aij xj > 0
f¨
ur alle x ∈ Rn \ {0}
i,j=1
erf¨
ullt. Jede positiv definite (n × n)-Matrix A definiert ein inneres Product
T
hx, yiA := x Ay =
n
X
xi aij yj
i,j=1
auf dem √
Rn . Die zugeh¨orige Norm eines Vektors x ∈ Rn ist durch die Formel
kxkA := xT Ax gegeben.
Beispiel 1.3. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Denn ist der Raum
BC(M ) := f : M → R f is stetig und beschr¨ankt
mit der durch
kf k∞ := sup |f (p)|
f¨
ur f ∈ BC(M )
(5)
p∈M
definierten Norm ein Banachraum (siehe [2, Kapitel V]). Ist (M.d) kompakt
(das heisst jede Folge in M besitzt eine konvergente Teilfolge) so ist jede
stetige Funktion f : M → R notwendigerweise beschr¨ankt. In diesem Fall
stimmt also der Raum BC(M ) mit dem Raum C(M ) aller stetigen reellwertigen Funktionen auf M u
¨berein, und der Raum C(M ) ist mit der Supremumsnorm (5) ein Banachraum.
Beispiel 1.4. Sei I = [a, b] ein kompaktes Interval reeller Zahlen (mit a < b).
Dann definiert die Formel
Z b
f (t)g(t) dt
f¨
ur f, g ∈ C(I)
(6)
hf, gi :=
a
ein inneres Produkt auf dem Raum C(I) aller stetigen reellwertigen Funktionen f : I → R (siehe [2, Kapitel VIII]). Die durch (1) definierte dazugeh¨orige
Normfunktion is die L2 -Norm
s
Z b
f (t)2 dt
f¨
ur f ∈ C(I).
(7)
kf k2 :=
a
¨
Der Raum C(I) ist mit dieser Norm nicht vollst¨andig (Ubung)
und somit ist
C(I) mit dem durch (6) definierten inneren Produkt kein Hilbertraum.
3
Definition 1.5. Seien k·k und k·k0 zwei Normfunktionen auf einem reellen
Vektorraum X. Die Normfunktion k·k heisst ¨
aquivalent zu k·k0 wenn eine
Konstante c > 0 existiert, so dass
1
kxk ≤ kxk0 ≤ c kxk
c
f¨
ur alle x ∈ X.
(8)
¨
Bemerkung 1.6. (i) Sei X ein reeller Vektorraum. Dann definiert die Aqui¨
valenz von Normen eine Aquivalenzrelation
auf der Menge aller Normfunktionen auf X. Das heisst, f¨
ur alle Normfunktionen k·k, k·k0 , k·k00 auf X gilt
folgendes. Erstens ist k·k stets ¨aquivalent zu sich selbst. Zweitens, wenn k·k
0
0
¨aquivalent zu k·k ist, dann ist auch k·k ¨aquivalent zu k·k. Drittens, wenn k·k
0
0
00
¨aquivalent zu k·k und k·k ¨aquivalent zu k·k ist, dann ist auch k·k ¨aquivalent
zu k·k00 . Diese Aussagen folgen sofort aus der Definition.
(ii) Seien k·k und k·k0 zwei ¨aquivalente Normen auf einem reellen Vektorraum X. Dann erzeugen die beiden Normen dieselben offenen Mengen. Um
dies zu zeigen, w¨ahlen wir c > 0 wie in (8). Sei U ⊂ X offen bez¨
uglich k·k
und sei x ∈ U . Dann gibt es eine Konstante ε > 0 so dass der Ball Bε (x; k·k)
in U enthalten ist. Sei δ := ε/c. Dann gilt f¨
ur alle y ∈ V folgendes.
y ∈ Bδ (x; k·k0 )
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
kx − yk0 < δ
kx − yk ≤ c kx − yk0 < cδ = ε
y ∈ Bε (x; k·k)
y ∈ U.
Das heisst, f¨
ur jedes x ∈ U haben wir eine Zahl δ > 0 gefunden so dass der
Ball Bδ (x; k·k0 ) in U enthalten ist. Also ist U auch offen bzgl k·k0 .
(iii) Seien k·k und k·k0 zwei ¨aquivalente Normen auf einem reellen Vektorraum X. Da die offenen Teilmengen von X bez¨
uglich der beiden Normen
dieselben sind, folgt dass alle topologischen Aussagen in X (also Aussagen
die sich mit Hilfe offener Mengen formulieren lassen, zum Beispiel Konvergenz, Stetigkeit, Abgeschlossenheit, Kompaktheit) nicht davon abh¨angen welche der beiden ¨aquivalenten Normen wir dazu verwenden. Ist zum Beispiel
A ⊂ X kompakt (beziehungsweise abgeschlossen) bez¨
uglich der Norm k·k so
ist A auch kompakt (beziehungsweise abgeschlossen) bez¨
uglich der Norm k·k0 .
Weiterhin gilt, dass eine Folge (xk )k∈N in X genau dann bez¨
uglich der Norm
k·k eine Cauchy-Folge ist, beziehungsweise konvergiert, wenn sie bez¨
uglich
der Norm k·k0 eine Cauchy-Folge ist, beziehungsweise konvergiert. Daher ist
(X, k·k) genau dann ein Banachraum wenn (X, k·k0 ) ein Banachraum ist.
4
Satz 1.7. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Dann sind je
zwei Normen auf X ¨aquivalent.
Beweis. Wir nehmen zun¨achst an dass X = Rn ist. Sei k·k eine Norm auf
Rn und sei k·k2 die Euklidische Norm (3) mit p = 2. Wir zeigen in zwei
Schritten, dass k·k ¨aquivalent zu k·k2 ist (siehe auch [2, Kapitel VI, Satz 6]).
Schritt 1. Es gibt ein c > 0 so dass kxk ≤ c kxk2 f¨
ur alle x ∈ Rn .
Die Vektoren ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (mit der 1 an der iten Stelle) f¨
ur
n
i = 1, . . . , n bilden die Standardbasis des R . Sei
v
u n
uX
kei k2 > 0.
c := t
i=1
Pn
xi ei f¨
ur jeden Vektor x ∈ Rn und daher
v
v
u n
u n
n
X
uX
uX
kxk ≤
|xi | kei k ≤ t
|xi |2 t
kei k2 = c kxk2 .
Dann gilt x =
i=1
i=1
i=1
i=1
Hier folgt die erste Ungleichung aus der Dreiecksungleichung f¨
ur k·k und die
zweite aus der Cauchy–Schwarz-Ungleichung f¨
ur die Euklidische Norm.
Schritt 2. Es gibt ein δ > 0 so dass δ kxk2 ≤ kxk f¨
ur alle x ∈ Rn .
Die Teilmenge S n−1 := {x ∈ Rn | kxk2 = 1} ist abgeschlossen und beschr¨ankt
und daher, nach dem Satz von Heine–Borel, kompakt. Wir definieren die
Funktion f : S n−1 → R durch f (x) := kxk . Nach Schritt 1 ist diese Funktion
Lipschitz-stetig, denn es gilt
|f (x) − f (y)| = |kxk − kyk| ≤ kx − yk ≤ c kx − yk2
f¨
ur alle x, y ∈ S n−1 . Daher ist f stetig. Nach einem Satz aus Analysis I nimmt
jede stetige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum ihr Minimum
an (siehe [2, Kap. V]). Es gibt also ein x0 ∈ S n−1 so dass f (x0 ) ≤ f (x) ist
f¨
ur alle x ∈ S n−1 Sei δ := f (x0 ) = kx0 k > 0 und x ∈ Rn irgendein von Null
n−1
verschiedener Vektor. Dann gilt kxk−1
und daher
2 x ∈ S
x x
= kxk .
=
δ≤f
kxk2
kxk2 kxk2
Hieraus folgt die Behauptung von Schritt 2.
5
Da jede Norm auf Rn ¨aquivalent zur Euklidischen Norm ist, folgt aus
Teil (i) von Bemerkung 1.6, dass je zwei Normfunktionen auf dem Rn ¨aquivalent sind. Damit folgt auch die Behauptung des Satzes f¨
ur jeden endlichdimensionalen reellen Vektorraum X. Ist n¨amlich X ein reeller Vektorraum der
Dimension n := dim X < ∞, so ist X isomorph zum Euklidischen Raum Rn ;
man w¨ahle einfach eine Basis e1 , . . . , en von X; dann ist die Abbildung
n
R → X : ξ = (ξ1 , . . . ξn ) 7→
n
X
ξi ei
i=1
linear und bijektiv, und ist daher ein Vektorraum-Isomorphismus. Damit ist
Satz 1.7 bewiesen.
Satz 1.7 hat einige wichtige Konsequenzen. Zum Beispiel wissen wir aus
der Analysis I Vorlesung, dass der Rn mit der Euklidischen Norm k·k2 vollst¨andig ist. Dies ergibt sich aus der Vollst¨andigkeit der reellen Zahlen (jede
Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert), und aus der Tatsache, dass eine
Folge xk = (xk1 , . . . , xkn ) ∈ Rn genau dann eine Cauchy-Folge ist, beziehungsweise konvergiert, wenn jede der Folgen (xki )k∈N , i = 1, . . . , n, eine
Cauchy-Folge ist, beziehungsweise konvergiert (siehe [2, Kapitel IV]). Da jede Norm auf dem Rn ¨aquivalent zur Euklidischen Norm ist, k¨onnen wir daraus schliessen, dass der Rn mit jeder beliebigen Norm vollst¨andig ist (siehe
Teil (ii) von Bemerkung 1.6). Daraus folgt, dass auch jeder beliebige endlichdimensionale normierte Vektorraum vollst¨andig ist. Weiterhin wissen wir,
nach dem Satz von Heine–Borel, dass eine Teilmenge K ⊂ Rn genau dann
kompakt ist bez¨
uglich der Euklidischen Norm, wenn sie abgeschlossen und
beschr¨ankt ist. Da alle drei Eigenschaften der Menge K (Kompaktheit, Abgeschlossenheit, Beschr¨anktheit) nach Satz 1.7 unabh¨angig von der Wahl
der Norm sind, folgt hieraus, dass eine Teilmenge K ⊂ X eines endlichdimensionalen normierten Vektorraumes X genau dann kompakt ist, wenn sie
abgeschlossen und beschr¨ankt ist. Das folgende Korollar fasst diese beiden
wichtigen Konsequenzen von Satz 1.7 zusammen.
Korollar 1.8. Sei (X, k·k) ein endlichdimensionaler normierter Vektorraum.
Dann gilt folgendes.
(i) (X, k·k) ist ein Banachraum.
(ii) Eine Teilmenge K ⊂ X ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen
und beschr¨ankt ist.
6
¨
Ubung
1.9. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Teilmenge K ⊂ X heisst konvex wenn sie die Bedingung
x, y ∈ K,
0≤t≤1
(1 − t)x + ty ∈ K
=⇒
f¨
ur alle x, y ∈ K und alle t ∈ R erf¨
ullt.
(i) Sei f : X → R eine Funktion. Die offene Teilmenge
U := {(x, s) ∈ X × R s > f (x)}
ist genau dann konvex wenn die Funktion f konvex ist.
(ii) Sei U ⊂ X eine offene, beschr¨ankte, konvexe Teilmenge so dass f¨
ur alle
x ∈ X folgendes gilt:
x∈U
⇐⇒
−x ∈ U.
(Nach Satz 1.7 h¨angen die Begriffe “offen” und “beschr¨ankt” f¨
ur Teilmengen
von X nicht von der Norm ab, welche f¨
ur die Definitionen verwendet wird.)
Dann definiert die Formel
kxk := inf λ > 0 | λ−1 x ∈ U
eine Normfunktion auf X und es gilt
U = {x ∈ X | kxk < 1}.
¨
Ubung
1.10. Auf dem Raum C([0, 1]) betrachten wir die Normfunktionen
Z
kf k∞ := sup |f (t)| ,
p
1/p
|f (t)|
kf kp :=
0≤t≤1
1
0
f¨
ur f ∈ C([0, 1]) und 1 ≤ p < ∞. F¨
ur welche p und q gibt es eine Konstante
c = c(p, q) > 0 so dass die Ungleichung
kf kp ≤ c kf kq
f¨
ur alle f ∈ C([0, 1]) gilt? Zeigen Sie, dass die Normen k·kp und k·kq f¨
ur p 6= q
nicht ¨aquivalent sind.
7
2
Die Operator-Norm
Seien (X, k·kX ) und (Y, k·kY ) normierte reelle Vektorr¨aume.
Definition 2.1. Ein linearer Operator T : X → Y heisst beschr¨
ankt, wenn
es eine Konstante c ≥ 0 gibt so dass die Ungleichung
kT xkY ≤ c kxkX
(9)
f¨
ur alle x ∈ X gilt. Die kleinste solche Konstante c ≥ 0 heisst Norm (bzw
Operatornorm) von T und wird mit
kT k := sup
x6=0
kT xkY
kxkX
(10)
bezeichnet. (Hier ist das Supremum u
¨ber alle von Null verschiedenen Vektoren
x ∈ X zu verstehen.) Die Menge der beschr¨ankten linearen Operatoren von
X nach Y wird mit L(X, Y ) bezeichnet.
Der Begriff “Operator” wird in der mathematischen Literatur oft gleichbedeutend mit dem Begriff “Abbildung” verwendet. Die Herkunft dieser Wortwahl liegt darin begr¨
undet, dass viele der wichtigsten motivierenden Beispiele
Differentialoperatoren oder Integraloperatoren aus der mathematischen Physik sind, f¨
ur deren Studium die Theorie der linearen Abbildungen entwickelt
wurde. Dies f¨
uhrt hin zum Gebiet der “Funktionalanalysis” welches wir in
dieser Vorlesung nur am Rande ber¨
uhren.
Beispiel 2.2. Seien k·k1 und k·k2 zwei Normen auf einem rellen Vektorraum X. Diese Normen sind genau dann ¨aquivalent wenn die beiden linearen
Abbildungen id : (X, k·k1 ) → (X, k·k2 ) und id : (X, k·k2 ) → (X, k·k1 ) be¨
schr¨ankt sind. Ubung:
Die Topologie eines normierten Vektorraumes ist die
Gesamtheit der durch die Norm bestimmten offenen Mengen. Zeigen Sie, dass
die durch k·k1 und k·k2 bestimmten Topologien auf X genau dann u
¨bereinstimmen, wenn diese beiden Normen ¨aquivalent sind. Zeigen Sie dass die Topologie eines endlichdimensionalen Vektorraumes unabh¨angig von der Wahl
der Norm ist. Hinweis: Satz 1.7 und Lemma 2.3.
Lemma 2.3. Sei T : X → Y ein linearer Operator. Dann sind folgende
Aussagen ¨aquivalent.
(i) T ist beschr¨ankt.
(ii) T ist stetig.
(iii) T ist stetig and der Stelle x = 0.
8
Beweis. Wir zeigen, dass (ii) aus (i) folgt. Wenn T beschr¨ankt ist, so ist T
auch Lipschitz-stetig, denn es gilt die Ungleichung
kT x0 − T x1 kY = kT (x0 − x1 )kY ≤ kT k kx0 − x1 kX
f¨
ur alle x0 , x1 ∈ X, un damit ist T auch stetig. Dass (iii) aus (ii) folgt, ergibt
sich unmittelbar aus der Definition der Stetigkeit.
Wir zeigen, dass (i) aus (iii) folgt. Sei also T stetig an der Stelle x = 0.
Dann folgt aus der Definition der Stetigkeit mit ε = 1, dass eine Konstante
δ > 0 existiert, so dass f¨
ur alle x ∈ X folgendes gilt:
kxkX ≤ δ
kT xkY ≤ 1.
δ Nun sei x ∈ X von Null verschieden. Dann gilt kxk x = δ und daher
X
X
δ
δ
1≥
kxk T x = kxk kT xkY .
X
X
Y
=⇒
Hieraus folgt
kT xkY ≤
1
kxkX
δ
f¨
ur alle x ∈ X. Also ist T beschr¨ankt.
Lemma 2.4. L(X, Y ) ist ein normierter Vektorraum.
Beweis. Folgende drei Aussagen sind zu beweisen.
(a) F¨
ur alle T ∈ L(X, Y ) gilt kT k = 0 =⇒ T = 0.
(b) F¨
ur alle T ∈ L(X, Y ) und λ ∈ R gilt λT ∈ L(X, Y ) und kλT k = |λ| kT k.
(c) F¨
ur alle S, T ∈ L(X, Y ) gilt S + T ∈ L(X, Y ) und kS + T k ≤ kSk + kT k.
Die Aussagen (a) und (b) folgen unmittelbar aus den Definitionen. Wir beweisen (c). Seien S, T : X → Y beschr¨ankte lineare Operatoren. Dann gilt
f¨
ur alle x ∈ X folgende Ungleichung
k(S + T )xkY
=
≤
≤
=
kSx + T xkY
kSxkY + kT xkY
kSk kxkX + kT k kxkX
(kSk + kT k) kxkX .
k(S+T )xk
Also ist S + T beschr¨ankt und f¨
ur x ∈ X \ {0} gilt kxk Y ≤ kSk + kT k .
X
Damit folgt die Dreiecksungleichung kS + T k ≤ kSk+kT k aus der Definition
der Operatornorm.
9
Lemma 2.5. Ist Y ein Banachraum so ist auch L(X, Y ) ein Banachraum.
Beweis. Es ist zu zeigen, dass L(X, Y ) vollst¨andig ist. Sei also (Tn )n∈N eine
Cauchy-Folge in L(X, Y ). Dann zeigt die Ungleichung
kTn x − Tm xkY ≤ kTn − Tm k kxkX ,
dass die Folge (Tn x)n∈N f¨
ur jedes x ∈ X eine Cauchy-Folge in Y ist. Da Y
vollst¨andig ist, konvergiert diese Folge und wir definieren T : X → Y durch
T x := lim Tn x
n→∞
f¨
ur x ∈ X. Wir werden beweisen, dass T ein beschr¨ankter linearer Operator
ist und dass die Folge Tn in der Operatornorm gegen T konvergiert.
T ist linear. F¨
ur x0 , x1 ∈ X gilt
T (x0 + x1 ) = lim Tn (x0 + x1 ) = lim Tn x0 + lim Tn x1 = T x0 + T x1 .
n→∞
n→∞
n→∞
Genauso zeigt man, dass T (λx) = λT x ist f¨
ur alle λ ∈ R und alle x ∈ X.
T ist beschr¨
ankt. Zunaechst folgt aus der Ungleichung
|kTn k − kTm k| ≤ kTn − Tm k ,
das die Folge (kTn k)n∈N eine Cauchy-Folge reeller Zahlen ist und daher konvergiert. Sei c := limn→∞ kTn k . Dann erf¨
ullt jedes x ∈ X die Ungleichung
kT xkY = lim Tn x = lim kTn xkY ≤ lim kTn k kxkX = c kxkX .
n→∞
Y
n→∞
n→∞
Daher ist T beschr¨ankt und kT k ≤ c.
Tn konvergiert gegen T . Sei ε > 0. Da Tn eine Cauchy-Folge ist, gibt es
ein n0 ∈ N so dass f¨
ur alle n, m ∈ N gilt:
m > n ≥ n0
=⇒
kTn − Tm k < ε.
Hieraus folgt die Ungleichung kTn x − Tm xkY < ε kxkX f¨
ur alle x ∈ X und
m > n ≥ n0 und daher
kTn x − T xkY = lim kTn x − Tm xkY ≤ ε kxkX
m→∞
f¨
ur alle x ∈ X und n ≥ n0 . Teilen wir durch kxkX im Fall x 6= 0 so ergibt
sich
kTn x − T xkY
kTn − T k = sup
≤ε
kxkX
x6=0
f¨
ur alle n ≥ n0 . Damit ist Lemma 2.4 bewiesen.
10
Lemma 2.6. Sei X endlichdimensional. Dann ist jeder lineare Operator
T : X → Y beschr¨ankt.
Beweis. Sei T : X → Y ein linearer Operator. W¨ahle eine Basis e1 , . . . , en
von X. Sei Φ : Rn → X der durch
Φξ :=
n
X
ξi ei
f¨
ur ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn
i=1
gegebene Isomorphismus und definiere
kxk := Φ−1 x
Φ
2
f¨
ur x ∈ X
Dies ist eine Norm auf X und sie ist ¨aquivalent zu k·kX nach Satz 1.7. Daher
existiert eine Konstante c1 > 0 so dass die Ungleichung
kxkΦ ≤ c1 kxkX
qP
2
n
f¨
ur alle x ∈ X gilt. Definiere c2 :=
i=1 kT ei kY . Dann gilt
kT ΦξkY ≤
n
X
|ξi | kT ei kY ≤ c2 kξk2 = c2 kΦξkΦ ≤ c1 c2 kΦξkX
i=1
f¨
ur alle ξ ∈ Rn . Also ist T : X → Y ein beschr¨ankter linearer Operator mit
kT k ≤ c1 c2 . Damit ist Lemma 2.6 bewiesen.
Ein wichtiger Spezialfall ist Y = R. Der Banachraum X ∗ := L(X, R)
heisst Dualraum des normierten Vektorraumes X. Lemma 2.5 zeigt, dass
dieser Dualraum stets vollst¨andig ist, auch wenn X nicht vollst¨andig ist.
¨
Ubung
2.7. (i) Sei X ein endlichdimensionaler normierter Vektorraum.
Dann ist X ∗ = L(X, R) endlichdimensional und dim X ∗ = dim X.
(ii) Sei n ∈ N und seien 1 ≤ p, q ≤ ∞ mit 1/p+1/q = 1.
ur y ∈ Rn definiere
PF¨
n
n
die lineare Abbildung φy : R → R durch φy (x) := i=1 xi yi f¨
ur x ∈ Rn .
Dann ist die Abbildung Rn → (Rn )∗ : y 7→ φy ein Vektorraum-Isomorphismus
und es gilt
|φy (x)|
kykq = sup
x6=0 kxkp
f¨
ur alle y ∈ Rn .
11
3
Banachalgebren
Sei (X, k·k) ein Banachraum. Dann ist auch der Raum
L(X) := L(X, X)
aller beschr¨ankten linearen Operatoren von X auf sich selbst ein Banachraum
nach Lemma 2.5. Dieser Raum besitzt eine Produktstruktur (S, T ) 7→ S ◦ T ,
die durch die Komposition gegeben ist. Diese Produktstruktur ist im allgemeinen nicht kommutativ, und es gibt auch nicht f¨
ur jeden von Null verschiedenen Operator T ∈ L(X) ein invereses Element; also ist L(X) kein K¨orper;
dieser Raum erf¨
ullt aber alle anderen Eigenschaften eines K¨orpers; einen solchen Raum nennt man eine Algebra. Der Begriff einer Banachalgebra ist
n¨
utzlich f¨
ur das Rechnen mit inversen Operatoren und Exponentialmatrizen.
Definition 3.1. Eine reelle Algebra besteht aus einem reellen Vektorraum A, einer bilinearen Abbildung
A × A → A : (x, y) 7→ xy,
(das Produkt genannt) und einem Element 1l ∈ A (das 1-Element genannt) welche folgende Axiome erf¨
ullen.
(i) Das Produkt ist assoziativ, d.h. (xy)z = x(yz) f¨
ur alle x, y, z ∈ A.
(ii) F¨
ur jedes x ∈ A gilt 1lx = x1l = x.
Eine reelle normierte Algebra besteht aus einer reellen Algebra A und
einer Norm A → [0, ∞) : x 7→ kxk welche die Produkt-Ungleichung
kxyk ≤ kxk kyk
(11)
f¨
ur alle x, y ∈ A erf¨
ullt. Eine reelle Banachalgebra ist eine reelle normierte Algebra in der jede Cauchy-Folge konvergiert (das heisst, als normierter
Vektorraum betrachtet ist A vollst¨andig, also ein Banachraum).
Beispiel 3.2. Der Raum Rn×n der quadratischen Matrizen ist eine Banachalgebra mit jeder Norm welche der Bedingung (11) gen¨
ugt. Eine solche
n×n
Norm auf dem Raum R
wird Matrixnorm genannt. Zum Beispiel kann
dies die zu einer beliebigen Norm auf dem Rn geh¨orige Operatornorm auf
Rn×n sein. Ein anderes Beispiel w¨are die euklidische Norm die sich durch das
12
2
Identifizieren vom Rn×n mit dem euklidischen Raum Rn ergibt; in diesem
Fall erh¨alt man
v
uX
u n 2
aij
kAk2 = t
i,j=1
¨
f¨
ur A = (aij ) ∈ Rn×n . Ubung:
Diese Norm erf¨
ullt die Bedingung (11) sowie
n×n
kAxk2 ≤ kAk2 kxk2 f¨
ur jede Matrix A ∈ R
und jeden Vektor x ∈ Rn .
Beispiel 3.3. Ist X ein Banachraum so ist L(X) mit der Operatornorm
¨
eine Banachalgebra, nach Lemma 2.5. Ubung:
Die Operatornorm auf L(X)
erf¨
ullt die Bedingung (11).
Beispiel 3.4. Der Raum C([0, 1]) der stetigen, reellwertigen Funktionen auf
dem Intervall [0, 1] ist eine Banachalgebra mit der Supremumsnorm. Gleiches
gilt f¨
ur den Raum BC(M ) der beschr¨ankten, stetigen und reellwertigen Funktionen auf einem beliebigen metrischen Raum (M, d) (Siehe Beispiel 1.3).
Beispiel 3.5. Eine Folge x = P
(x0 , x1 , x2 , . . . ) reeller Zahlen heisst absolut
summierbar wenn die Reihe ∞
k=0 xk absolut konvergiert. Die Norm einer
solchen absolut summierbaren Folge ist definiert durch
kxk :=
∞
X
|xk | .
k=0
Wir bezeichnen mit `1 den Raum aller absolut summierbaren Folgen (xk )k∈N0
reeller Zahlen. Der Vektorraum `1 ist mit dieser Norm ein Banachraum. Die
Faltung zweier Folgen x, y ∈ `1 ist definiert durch
(x ∗ y)k :=
k
X
xi yk−i ,
i=0
Diese Folge ist ebenfalls absolut summierbar und es gilt
kx ∗ yk ≤ kxk kyk .
(12)
(Dies folgt aus dem grossen Umordnungssatz in [2, Kapitel IV].) Damit ist
¨
`1 eine Banachalgebra. Ubung:
Beweisen Sie, dass `1 ein Banachraum ist.
Zeigen Sie dass das Faltungsprodukt bilinear und assoziativ ist.
13
4
Potenzreihen in Banachalgebren
Die Begriffe von Konvergenz und Stetigkeit hatten wir f¨
ur beliebige metrische
R¨aume eingef¨
uhrt, sie gelten also insbesondere f¨
ur Funktionen und Folgen
mit Werten in einem Banachraum oder einer Banachalgebra. Aufgrund der
Vektorraumstruktur l¨asst sich der Begriff der Konvergenz einer Reihe auch
sofort auf Reihen mit Werten in Banachr¨aumen u
k·k) ein
¨bertragen: Ist (X,P
Banachraum und (xk )k∈N eine Folge in X, so nennen wir die Reihe ∞
k=1 xk
konvergent, wenn die Folge der Partialsummen
sn :=
n
X
xk
k=1
konvergiert; in dem Fall bezeichnen wir den Limes mit
∞
X
xk := lim sn .
k=1
n→∞
Wir benutzen also die gleiche Bezeichnungsweise
wie f¨
ur Reihen reeller oder
P
x
”
hat
zwei Bedeutungen: er
komplexer Zahlen, d.h. der Ausdruck “ ∞
k=1 k
steht zum einen f¨
ur die Folge der Partialsummen (sn )n∈N und zum P
anderen
∞
f¨
ur deren Grenzwert, falls dieser existiert.
Wir
nennen
die
Reihe
k=1 xk
P∞
absolut konvergent, wenn die Reihe k=1 kxk k konvergiert.
Lemma 4.1. Sei (X, P
k·k) ein Banachraum und (xk )k∈N eine Folge in X.
Konvergiert die Reihe ∞
k=1 xk absolut, so konvergiert sie.
P
Beweis. Sei
sn := nk=1 xk die Folge der Partialsummen und
Psei ε > 0. Da
P∞
die Reihe k=1 xk absolut konvergiert, konvergiert die Reihe ∞
k=1 kxk k in R.
Das heisst, die Folge der Partialsummen
σn :=
n
X
kxk k
k=1
der Reihe der Normen konvergiert und ist daher eine Cauchy-Folge. Also gibt
es eine nat¨
urliche Zahl n0 ∈ N so dass f¨
ur alle m, n ∈ N folgendes gilt:
m > n ≥ n0
m
X
=⇒
k=n+1
14
kxk k = σm − σn < ε.
Es folgt nun aus der Dreiecksungleichung, dass
m
m
X
X
ksm − sn k = xk ≤
kxk k < ε,
k=n+1
k=n+1
f¨
ur m > n ≥ n0 . Da ε > 0 beliebig gew¨ahlt war, haben wir gezeigt, dass
(sn )n∈N eine Cauchy-Folge in X ist. De X ein Banachraum (und somit
vollst¨andig) ist, konvergiert diese Folge, und das heisst genau, dass die Reihe
P
∞
k=1 xk konvergiert, wie behauptet.
Sei A eine reelle Banachalgebra und
P (z) :=
∞
X
ak z k
(13)
k=0
eine Potenzreihe mit reellen Koeffizienten ak ∈ R und Konvergenzradius
ρ :=
1
lim supn→∞ |an |1/n
.
Wir nehmen an, dieser Konvergenzradius sei positiv (oder sogar unendlich).
Wir wollen nun die Variable z durch ein Element der Banachalgebra A ersetzen. Formal macht dies Sinn, da ja in einer Banachalgebra die Produkte
xk erkl¨art sind. Wir bezeichnen die daraus resultierende Reihe in A mit
PA (x) :=
∞
X
ak x k .
(14)
k=0
Hier treffen wir die Konvention x0 := 1l. Man kann nun die Frage stellen, f¨
ur
welche x ∈ A die Reihe (14) konvergiert.
Korollar 4.2. Die Reihe (14) konvergiert f¨
ur jedes x ∈ A mit kxk < ρ.
Beweis. Sei x ∈ A mit kxk < ρ. Es folgt aus der Bedingung (11) in der
Definition einer Banachalgebra, dass die Ungleichung
k
ak x ≤ |ak | kxkk
P∞
k
f¨
ur jedes k ∈ N0 gilt. Da kxk < ρ ist, konvergiert die Reihe P
k | kxk.
k=0 |a
∞ k
Nach dem Majorantenkriterium konvergiert
k=0 ak x .
P∞ auchk die Reihe
Dies heisst aber genau, dass die Reihe k=0 ak x in A absolut konvergiert
und somit, nach Lemma 4.1, konvergiert.
15
Wir haben also gezeigt, dass die Formel (14) eine Abbildung
PA : Bρ := {x ∈ A | kxk < ρ} → A
(15)
definiert, wobei ρ der Konvergenzradius von P ist. Das n¨achste Lemma zeigt,
dass diese Abbildung stetig ist. Zun¨achst notieren wir noch, dass sich der
Begriff der Differenzierbarkeit, und der der Ableitung, auf Funktionen mit
Werten in einem Banachraum Wort f¨
ur Wort u
¨bertragen l¨asst.
Definition 4.3. Sei I ⊂ R ein Intervall und (X, k·k) ein Banachraum. Eine
Funktion f : I → X heisst differenzierbar an der Stelle t ∈ I mit
Ableitung a =: f 0 (t) ∈ X wenn gilt: ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀h ∈ R:
0 < |h| < δ, t + h ∈ I
=⇒
kf (t + h) − f (t) − hak
< ε.
|h|
¨
Aquivalenterweise
heisst das, dass der Differenzenquotient h−1 (f (t+h)−f (t))
in X gegen a konvergiert (f¨
ur h → 0). Mit anderen Worten
f (t + h) − f (t)
,
h→0
h
f 0 (t) := lim
falls dieser Grenzwert existiert, und wenn er existiert so nennen wir f differenzierbar an der Stelle t.
Lemma 4.4. Sei A eine reelle Banachalgebra und sei (13) eine Potenzreihe
mit reellen Koeffizienten und Konvergenzradius ρ > 0. Dann gilt folgendes
(i) F¨
ur jedes r < ρ ist die Restriktion der Abbildung (15) auf die Teilmenge
B r := {x ∈ A | kxk ≤ r} Lipschitz-stetig; es gilt
kPA (x) − PA (y)k ≤ cr kx − yk ,
cr :=
∞
X
k |ak | rk−1 ,
k=1
f¨
ur x, y ∈ A mit kxk , kyk ≤ r.
(ii) F¨
ur jedes x ∈ A ist die Funktion t 7→ PA (tx) auf dem offenen Intervall
(−ρ/ kxk , ρ/ kxk) differenzierbar und es gilt
d
PA (tx) = xQA (tx),
dt
0
Q(z) := P (z) :=
∞
X
k=1
16
kak z k−1 .
(16)
Beweis. Wir beweisen (i). Es gilt
k
k
x −y =
k−1
X
xk−1−j (x − y)y j
j=0
f¨
ur jedes k ∈ N und damit
kxk ≤ r, kyk ≤ r
k
x − y k ≤ krk−1 kx − yk .
=⇒
Hieraus folgt
kPA (x) − PA (y)k ≤
∞
X
∞
k
X
k
|ak | x − y ≤
k |ak | rk−1 kx − yk = cr kx − yk
k=0
k=0
f¨
ur x, y ∈ A mit kxk , kyk ≤ r. Damit ist (i) bewiesen.
P
k−1
und daher
Zum Beweis von (ii) beachten wir, dass QA (x) = ∞
k=1 kak x
kPA ((t + h)x) − PA (tx) − hxQA (tx)k
∞
X
k
k
k−1
k
=
(t + h) − t − kht
ak x ≤
≤
=
k=2
∞
X
(t + h)k − tk − khtk−1 |ak | kxkk
k=2
∞ X
k X
k=2 j=2
∞ X
k
|h|j |t|k−j |ak | kxkk
j
k
k
k−1
|ak | kxkk
|t| + |h| − |t| − k |h| |t|
k=2
= |p(|t| + |h|) − p(|t|) − |h| p(|t|)|
˙
,
wobei p die folgende Potenzreihe ist:
p(λ) :=
∞
X
|ak | kxkk λk .
k=0
Diese Potenzreihe hat Konvergenzradius ρ/ kxk. Daher gibt es f¨
ur |t| < ρ/ kxk
zwei Konstanten δ > 0 und c > 0 so dass f¨
ur alle h ∈ R folgendes gilt
|h| < δ
=⇒
|p(|t| + |h|) − p(|t|) − |h| p(|t|)|
˙
≤ c |h|2 .
17
Damit gilt auch
kPA ((t + h)x) − PA (tx) − hxQA (tx)k ≤ c |h|2
f¨
ur jedes h ∈ R mit |h| < δ. Damit haben wir gezeigt, dass
PA ((t + h)x) − PA (tx)
=0
lim −
xQ
(tx)
A
h→0 h
und daraus folgt (ii).
Betrachten wir den Spezialfall A := Rn×n mit einer Matrixnorm
k·k.
P
k
Dann folgt aus Lemma 4.4, dass die Matrix-Reihe P (A) := ∞
a
A
f¨
ur
k=0 k
n×n
jede Matrix A ∈ R
mit kAk < ρ in dieser Norm konvergiert. W¨ahrend
die Schlussfolgerung (Konvergenz) nach Satz 1.7 unabh¨angig von der Wahl
der Norm ist, ben¨otigen wir bei der Voraussetzung (d.h. kAk < ρ) eine
Matrixnorm.
5
Die geometrische Reihe
Definition 5.1. Sei A eine Banachalgebra. Ein Element x ∈ A heisst invertierbar, wenn es ein Element y ∈ A gibt so dass xy = yx = 1l. Ist x
invertierbar, so ist dieses Element y durch x eindeutig bestimmt; es heisst Inverse von x und wird mit x−1 bezeichnet. Die Teilmenge der invertierbaren
Elemente bildet eine multiplikative Gruppe
A∗ := {x ∈ A | x ist invertierbar} .
¨
Ubung
5.2. Sind x, y ∈ A∗ so ist auch xy ∈ A∗ und (xy)−1 = y −1 x−1 .
Beispiel 5.3. Wir betrachten den Spezialfall
A = Rn×n .
F¨
ur eine Matrix A ∈ Rn×n bezeichnen wir mit TA : Rn → Rn die durch A
induzierte lineare Abbildung. Die Matrix A ist invertierbar (im obigen Sinne
als Element von A) genau dann wenn die lineare Abbildung TA bijektiv ist
und die inverse Matrix A−1 is die, welche die Umkehrabbildung TA−1 = TA−1
induziert. Aus der Linearen Algebra wissen wir, dass die invertierbaren Matrizen gerade die mit Determinante ungleich Null sind:
A∗ = A ∈ Rn×n | det(A) 6= 0 =: GL(n, R).
18
Wir betrachten die geometrische Reihe
G(z) :=
∞
X
zk
k=0
mit Konvergenzradius ρ = 1. Es gilt G(z) = (1 − z)−1 f¨
ur z ∈ C mit |z| < 1.
Diese Formel gilt auch in einer beliebigen Banachalgebra A. Mit anderen
Worten, ist x ∈ A mit kxk < 1 so ist 1l − x ∈ A∗ und
−1
(1l − x)
=
∞
X
xk .
(17)
k=0
Dies folgt aus den Formeln
(1 − x)GA (x) = GA (x)(1 − x) =
∞
X
xk −
k=0
mit
GA (x) :=
∞
X
∞
X
xk+1 = 1l
k=0
xk
k=0
f¨
ur kxk < 1. Die Gleichung (17) ist besonders n¨
utzlich f¨
ur das Invertieren
einer Matrix.
Satz 5.4. Sei A eine Banachalgebra. Dann ist die Menge A∗ ⊂ A offen und
die Abbildung
A∗ → A∗ : x 7→ x−1
ist stetig.
Beweis. Sei a ∈ A∗ und x ∈ A mit
kx − ak < ε :=
1
.
ka−1 k
Dann gilt
1l − a−1 x ≤ a−1 ka − xk < a−1 ε = 1.
Hieraus folgt a−1 x ∈ A∗ und damit auch x ∈ A∗ und
x
−1
−1
−1 −1
= (a x) a
=
∞
X
k=0
19
(1l − a−1 x)k a−1 .
Daher gilt die Ungleichung
∞
∞
X
X
−1
−1 k −1 −1 1l − a−1 xk
x − a−1 = (1l − a x) a ≤ a
k=1
= a−1 k=1
−1 2
−1
k1l − a xk
ka k kx − ak
≤
1 − k1l − a−1 xk
1 − ka−1 k kx − ak
f¨
ur jedes x ∈ A mit kx − ak < ε. Damit ist die Inversen-Abbildung stetig
an der Stelle a. Da a ∈ A∗ beliebig gew¨ahlt war, ist die Inversen-Abbildung
stetig. Damit ist Satz 5.4 bewiesen.
6
Die Exponentialabbildung
P
k
Sei A eine Banachalgebra. Die Potenzreihe exp(z) := ∞
k=0 z /k! hat den
Konvergenzradius ρ = ∞ und induziert damit eine Abbildung A → A : x 7→
ex die auf ganz A definiert ist; und zwar durch die Formel
x
e := exp(x) :=
∞
X
xk
k=0
k!
.
Man zeigt wie im Fall A = C, dass sich die Exponentialabbildung in der
Form
x n
x
e = lim 1l +
n→∞
n
ausdr¨
ucken l¨asst (siehe [2, Kap. V]). Ebenfalls wie im Fall A = C (siehe [2,
Kap. IV]) zeigt man f¨
ur x, y ∈ A:
xy = yx
=⇒
ex+y = ex ey .
Damit ist das Element ex invertierbar mit inversem Element (ex )−1 = e−x .
Es folgt, dass die Abbildung
R → A∗ : t 7→ etx
(18)
f¨
ur jedes x ∈ A ein Gruppenhomomorphismus ist. Nach Lemma 4.4 ist die
Abbildung (18) differenzierbar und es gilt
d tx
e = xetx .
dt
20
(19)
¨
Ubung
6.1 (Komposition von Potenzreihen). Seien
P =
∞
X
ak x k ,
Q=
∞
X
k=1
b` y `
`=0
zwei Potenzreihen mit reellen Koeffizienten und positivenPKonvergenzradien
∞
k
ρP und ρQ . W¨ahle eine positive Zahl ρ < ρP so dass
k=1 |ak | ρ < ρQ .
Dann gilt |P (z)| < ρQ f¨
ur jedes z ∈ C mit |z| ≤ ρ. Wir bezeichnen mit
Q ◦ P die durch Q ◦ P (z) := Q(P (z)) f¨
ur |z| ≤ ρ definierte Potenzreihe; ihr
Konvergenzradius ist gr¨osser als ρ (siehe Satz A.1). Beweisen Sie die Formel
(Q ◦ P )A (x) = QA (PA (x))
f¨
ur jedes x ∈ A mit kxk ≤ ρ. Folgern Sie daraus, dass die durch
log(1l − x) := −
∞
X
1
k=1
k
xk
definierte Logarithmusabbildung log : {y ∈ A | k1l − yk < 1} → A die Gleichung
exp(log(1l − x)) = 1l − x
f¨
ur x ∈ A mit kxk < 1 erf¨
ullt. Hinweis: Siehe [2, Kap. VI] oder [1, Seite
¨
44, Ubung
1.7.18].
7
Lineare Differentialgleichungssysteme
Die Exponentialabbildung auf der Banachalgebra A = Rn×n aller (n × n)Matrizen spielt eine wichtige Rolle bei der L¨osung eines Systems von n linearen Differentialgleichungen erster Ordnung in n Variablen. Ein solches
Differentialgleichungssystem hat die Form
x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ,
x˙ 2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn ,
..
.
x˙ n = an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn ,
x1 (0) = x01 ,
x2 (0) = x02 ,
(20)
xn (0) = x0n ,
wobei die aij ∈ R konstante reelle Koeffizienten sind und, f¨
ur jedes i, die
Variable xi eine stetig differenzierbare Abbildung xi : R → R bezeichnen
21
soll. Wir stellen uns das Argument dieser Abbildung als Zeitvariable t vor
und bezeichnen mit
dxi
x˙ i =
dt
die Ableitung der Funktion xi nach der Zeit t. In der physikalischen Interpretation bezeichnet das n-Tupel
x(t) := (x1 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn
den Ortsvektor eines Teilchens (oder mehrerer Teilchen gleichzeitig) zum
Zeitpunkt t und die Ableitung
x(t)
˙
= (x˙ 1 (t), . . . , x˙ n (t)) ∈ Rn
den Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t. Fassen wir die konstanten Koeffizienten zu einer Matrix
A = (aij )ni,j=1 ∈ Rn×n
zusammen so k¨onnen wir das Differentialgleichungssystem (20) auch in der
folgenden Kurzform schreiben
x˙ = Ax,
x(0) = x0 .
(21)
Hier bezeichnet
x0 := (x01 , . . . , x0n ) ∈ Rn
den Anfangsvektor (oder den Ortsvektor zum Zeitpunkt t = 0). Es folgt
nun aus der Gleichung (19), dass die eindeutige L¨osung der Differentialgleichung (21) durch die Formel
x(t) := eAt x0
gegeben ist, wobei
At
e
=
∞
X
Ak tk
k=0
k!
(22)
∈ Rn×n
die Exponentialmatrix bezeichnet. Die Konvergenz dieser Reihe folgt aus der
Konvergenz der Exponentialabbildung f¨
ur beliebige Banachalgebren A im
Spezialfall A = Rn×n .
22
Beispiel 7.1. F¨
ur
Λ := diag(λ1 , . . . , λn )
gilt Λk = diag(λk1 , . . . , λkn ) und damit
Λ
e =
∞
X
Λk
k=0
Beispiel 7.2. F¨
ur λ ∈ R gilt


λ 1 0
A= 0 λ 1 
0 0 λ
k!
= diag(eλ1 , . . . , eλn ).

eAt
=⇒

1 t t2 /2
t .
= eλt  0 1
0 0 1
¨
Ubung:
Verwenden Sie diese Formel zur Bestimmung der L¨osungen eines
geeigneten Systems von drei Differentialgleichungen erster Ordnung in drei
Variablen. Verallgemeinern Sie die Formel in diesem Beispiel auf vier und
f¨
unf Variablen, dann auf Matrizen beliebiger Gr¨osse.
Beispiel 7.3. F¨
ur
H :=
0 −1
1
0
gilt H 2k = (−1)k 1l und damit
t2 t4
t3 t5
tH
e
=
1 − + ∓ · · · 1l + t − + ∓ · · · H
2! 4!
3! 5!
cos t − sin t
=
.
sin t
cos t
(Siehe [2, Kap. V] f¨
ur die Potenzreihendarstellungen von Cosinus und Sinus.)
Da die Matrizen a1l und bH kommutieren, gilt f¨
ure die Matrix
a −b
A=
b
a
die Gleichung
e
tA
=e
at
cos(bt) − sin(bt)
sin(bt)
cos(bt)
f¨
ur alle t ∈ R.
23
Schlussbemerkungen
F¨
ur den Satz u
¨ber die Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen gew¨ohnlicher Differentialgleichungen sei an [2, Kap. VIII] erinnert. Dieser Satz wurde
in viel gr¨osserer Allgemeinheit (auch f¨
ur nichtlineare Differentialgleichungen) bewiesen. Formeln wie in den obigen Beispielen erlauben es uns im
Prinzip, ein lineares Differentialgleichungssystem beliebiger Ordnung explizit zu l¨osen (indem wir es zun¨achst in ein Differentialgleichungssystem erster
Ordnung verwandeln, anschliessend die Eigenwert-Zerlegung, das heisst die
Jordan’sche Normalform, der Matrix A bestimmen, und schliesslich die Exponentialmatrix der Jordan’schen Normalform ausrechnen). Bei nichtlinearen
Differentialgleichungen ist es aber nur in den seltensten F¨allen m¨oglich, explizite L¨osungen hinzuschreiben, und man kann oft bestenfalls hoffen, etwas
u
uhrt
¨ber das qualitative Verhalten der L¨osungen aussagen zu k¨onnen. Dies f¨
hin zur qualitativen Theorie dynamischer Systeme - einem ganz eigenen
und spannenden Gebiet der mathematischen Forschung.
Ein g¨anzlich anderes Thema, das hier kurz angeschnitten wurde, ist das der
Banachr¨aume und der linearen Operatoren. Diese Begriffe stehen am Anfang
der Funktionalanalysis, ein wichtiges Gebiet der Mathematik, das erst im
5. Semester vertieft wird, und in weiten Teilen sowohl der Mathematik (Partielle Differentialgleichungen bis hin zur Topologie und Geometrie) als auch
der Physik (zum Beispiel Quantenmechanik) eine zentrale Rolle spielt.
Schliesslich haben wir hier einen kurzen Einblick in die Banachalgebren erhalten, die im Schnittpunkt zwischen Analysis, Topologie und Algebra stehen,
und auch ein ganz eigenes Gebiet der mathematischen Forschung sind.
A
Komposition von Potenzreihen
Gegeben seien zwei Folgen (ak )k≥1 und (b` )`≥0 reeller Zahlen Wir betrachten
die Potenzreihen
f (x) :=
∞
X
k
ak x ,
g(y) :=
k=1
∞
X
b` y `
`=1
und nehmen an, dass ihre Konvergenzradien positiv sind:
ρf :=
1
1/k
lim supk→∞ |ak |
> 0,
ρg :=
24
1
lim sup`→∞ |b` |1/`
> 0.
F¨
ur k = 0, 1, 2, 3 . . . definieren wir
X
X
ck :=
b`
Q
P
m =`
Pi i
i imi =k
`≥0
`! Y mi
ai .
i mi ! i
Die zweite Summe ist u
¨ber allePendlichen Folgen
P(m1 , m2 , m3 , . . . ) nichtnegativer ganzer Zahlen so dass i imi = k und i mi = ` ist. Da jedes mi
kleiner oder gleich k ist und jedes mi mit i > k verschwindet, ist diese Summe endlich und verschwindet f¨
ur alle bis auf endlich viele `. Damit ist ck
wohldefiniert. Der n¨achste Satz zeigt, dass die Potenzreihe
h(x) :=
∞
X
ck x k
k=0
einen positiven Konvergenzradius hat und in einer hinreichend kleinen Umgebung des Ursprungs mit der Komposition g ◦ f u
¨bereinstimmt.
Satz A.1. Sei ρ eine reelle Zahl so dass
∞
X
0 < ρ < ρf ,
|ak | ρk < ρg .
k=1
Dann gilt
ρh :=
1
lim supk→∞ |ck |1/k
>ρ
und, f¨
ur jede reelle Zahl x,
|x| ≤ ρ
|f (x)| < ρg ,
=⇒
g(f (x)) = h(x).
Proof. F¨
ur jedes Paar ganzer Zahlen k, N ≥ 0 definieren wir
ck,N :=
N
X
`=0
b`
X
m1 +···+mN =`
PN
imi =k
i=1
`!
N
am1 am2 · · · am
N .
m1 ! · · · mN ! 1 2
Dann gilt ck,N = ck f¨
ur k ≤ N und ck,N = 0 f¨
ur k > N 2 . Insbesondere ist die
Funktion
X
hN (x) :=
ck,N xk
k≥0
ein Polynom.
25
Definieren wir
fN (x) :=
N
X
ak x k ,
gN (y) :=
k=1
N
X
b` y ` ,
`=0
so erhalten wir, f¨
ur jede reelle Zahl x,
X
hN (x) =
ck,N xk
k≥0
=
N
XX
m1 +···+mN =`
PN
imi =k
i=1
k≥0 `=0
=
N
X
=
N
X
X
b`
`=0
X
b`
m1 +···+mN
n!
N k
am1 am2 · · · am
N x
m1 ! · · · mN ! 1 2
n!
(a1 x)m1 (a2 x2 )m2 · · · (aN xN )mN
m
!
·
·
·
m
!
1
N
=`
b` a1 x + a2 x2 + · · · + aN xN
`
`=0
= gN (fN (x)).
P
k
Sei nun r > 0 so gew¨ahlt dass ∞
k=1 |ak | ρ < r < ρg und sei x ∈ [−ρ, ρ].
Dann konvergiert fN (x) gegen f (x) ∈ (−r, r). Da gN auf dem Intervall [−r, r]
gleichm¨assig gegen g konvergiert, folgern wir dass gN (fN (x)) gegen g(f (x))
konvergiert. Damit haben wir gezeigt, dass
lim hN (x) = g(f (x))
N →∞
∀x ∈ [−ρ, ρ].
(23)
Ersetzen wir die Koeffizienten ak und b` durch ihre Betr¨age, so erhalten wir
X
X
`! Y
Q
|ai |mi ,
|ck | ≤ c¯k :=
|b` |
m
!
P
i
i
m =`
i
`≥0
Pi i
i imi =k
|ck,N | ≤ c¯k,N :=
N
X
n=0
X
|b` |
m1 +···+mN =`
PN
imi =k
i=1
`!
|a1 |m1 |a2 |m2 · · · |aN |mN .
m1 ! · · · mN !
Da c¯k,N ≤ c¯k f¨
ur alle k, N sowie c¯k,N = c¯k f¨
ur k ≤ N und c¯k,N = 0 f¨
ur
2
k > N , folgt
0
N ≤
√
N
=⇒
X
k
c¯k,N 0 ρ ≤
k≥0
N
X
k=0
26
c¯k ρk ≤
X
k≥0
c¯k,N ρk .
P
P
Hier konvergieren die beiden ¨ausseren Terme gegen `≥0 |b` | ( k≥1 |ak | ρk )`
f¨
ur N, N 0 P
→ ∞, nach dem gleichen Argument wie oben. Also konvergiert die
Differenz k>N c¯k,N ρk der letzten beiden Terme gegen Null, und f¨
ur |x| ≤ ρ
gilt
N
X
X
X
N →∞
ck x k = ck,N xk ≤
c¯k,N ρk −→ 0.
(24)
hN (x) −
k=0
k>N
k>N
Es folgt aus (23) und (24), dass
X
k≥0
ck xk = lim
N →∞
N
X
ck xk = lim hN (x) = g(f (x))
N →∞
k=0
f¨
ur jedes x ∈ R mit |x| ≤ ρ. Insbesondere gilt ρh ≥ ρ, da andernfalls die Reihe
P
k
ur |x| = ρ divergieren w¨
urde. Da wir ρ ein wenig vergr¨ossern
k≥0 ck x f¨
k¨onnen, ohne die Voraussetzungen des Satzes zu verletzen, gilt sogar ρh > ρ
und damit ist Satz A.1 bewiesen.
Literatur
[1] K. K¨
onigsberger, Analysis 2, 5. Auflage, Springer Verlag, 2003.
[2] D. Salamon, Analysis I, Vorlesung an der ETHZ im Herbstsemester 2014.
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/math/analysis1
Videolink: http://www.multimedia.ethz.ch/lectures/math/2014/autumn/401-1261-07L
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