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60/2015 – Wiss. Mitarbeiter/Mitarbeiterin

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Gr¨
oßen f¨
ur Biologen
Maßeinheiten
I
I
1 Gramm entspricht:
103 Milligramm
10 3 Kilogramm
1 Meter entspricht:
103 Millimeter
10 3 Kilometer
Eine Zelle k¨
onnte 25pg (Pikogramm) wiegen und einen
Durchmesser von 10µg (Mikrometer) haben.
Die Gr¨oßenordnung ist wesentlich“
”
1 / 23
Umwandlung einer Gr¨oße: Ein Beispiel
I
2 / 23
(Dezimale) Gr¨oßenordnung
Wieviele Milligramm sind 4 Tonnen?
Wir m¨
ochten Gr¨
oßen grob absch¨atzen, indem wir die ungef¨ahre
Zehnerpotenz angeben.
Wir drucken eine Gr¨
oße durch eine Zehnerpotenz mal einer Einheit
aus.
1t = 106 g
3
1g = 10 mg
Daher:
1t = 106 g = 106 · 103 mg = 109 mg
I
I
Also:
9
4t = 4 · 10 mg
25pg ⇠ 10 · 10
85pg ⇠ 100 · 10
12 g
; 10
12 g
; 10
11 g
10 g
Hinweise:
Runde die Zahl auf eine Zehnerpotenz ab oder auf.
Berechne die entsprechende Zehnerpotenz.
Hinweise:
Nicht raten!
Sich die Umwandlungen notieren.
Alle Schritte ausf¨
uhrlich machen.
Die Plausibilit¨at der Ergebnisse u
ufen.
¨berpr¨
3 / 23
Internationales Einheitensystem
I
L¨ange: Meter, m
I
Masse: Kilogramm, kg
I
Zeit: Sekunde, s
I
Stromst¨arke: Ampere, A
I
Thermodynamische Temperatur: Kelvin, K
I
Sto↵menge: Mol, mol
I
Lichtst¨arke: Candela, cd
Umwandlung mehrerer Gr¨oßen: Ein Beispiel
I
Wieviele Kilometer pro Stunde sind 10 Meter pro Sekunde?
1m = 10
km
Also:
10
1N = 1
3
1Stunde = 3600Sekunden
m3
Volumen:
Geschwindigkeit: m/s
Beschleunigung: m/s2
Kraft: Newton N
4 / 23
m
10 3 km
= 10 ·
= 36 · 101
1
s
3600 h
; 1s =
3+2 km
h
1
h
3600
= 36
km
h
kg · m
s2
5 / 23
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Umwandlung mehrerer Gr¨oßen: Ein zweites Beispiel
I
Weitere Beispiele
Was wiegen 5 Tausend Liter Wasser, wenn 1 Kubikzentimeter
Wasser (zirka) ein Gramm wiegt?
I
1` = 1dm3 = 103 cm3
2 · 104 m2 = 2 · 104 · (10
1cm3 Wasser $ 1g
I
Also:
5 · 103 ` = 5 · 106 cm3 $ 5 · 106 g (F¨
unf Tonnen)
I
I
3
1
m3 = 5 · 10
1
· 10
3
km2 ) = 0, 02km2
· (102 · 102 · 102 cm3 ) = 500.000cm3
Wie viele m/s sind 100 km/h?
102 km/h = 102 · 103 ·
Also:
3
Wie viele cm3 sind 0, 5 m3 ?
5 · 10
Dieselbe Frage f¨
ur Quecksilber (Dichte 13,5459 g /cm3 )?
13, 5459g $ 1cm
Wie viele km2 sind 20.000 m2 ?
1
m/s = 27, 7m/s ⇠ 28m/s
3600
5 · 106 cm3 $ 5 · 106 · 13, 5459g
= 67, 7295 · 106 g ⇠ 68t
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Verst¨andniss internationaler Gr¨oßen:
8 / 23
Proportionale Gr¨oßen
I
I
The largest animal known to have ever existed is a blue whale,
with 98 ft lenght.
Herausfinden:
1ft = 1Foot = 0.3048m
A$B
2A $ 2B
I
Zwischen zwei ver¨anderlichen Gr¨
oßen (6= 0) besteht
Proportionalit¨at, wenn sie immer in demselben Verh¨altnis
zueinander stehen:
A
=K
ist eine Konstante
B
(Proportionalit¨atsfaktor, Proportionalit¨atskonstante).
I
Vertauschung der proportionalen Gr¨
oßen entspricht dem
Kehrwert des Proportionalit¨atsfaktors.
1
A = KB
B= A
K
Also:
98ft = 98 · 0, 3048m = 29, 8704m ⇠ 30m
Hinweis:
Punkt und Komma werden auf English vertauscht.
Bei zwei proportionalen Gr¨
oßen ist die Verdopplung
(Verdreifachung, Halbierung...) der einen Gr¨
osse stets mit
einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung...) der anderen
Gr¨
oße verbunden.
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Proportionale Gr¨oßen: Graph
10 / 23
Proportionale Gr¨oßen: Beispiele
Wenn wir die eine Gr¨
oße als Funktion der anderen ausdr¨
ucken,
haben wir als Graph eine Gerade durch den Ursprung, deren
Steigung der Proportionalit¨atsfaktor ist.
I
Mit konstanter Geschwindigkeit: Raum und Zeit
Der Proportionalit¨atsfaktor ist die Geschwindigkeit.
y = Kx
Raum = konst.Geschwindigkeit ⇥ Zeit
Falls die zwei Gr¨
oßen stets positiv sind, bekommen wir als Graph:
m = (m/s) ⇥ s
I
2
F¨
ur eine selbe homogene Substanz am gleichen Ort:
Masse und Gewichtskraft und Volumen
Bei mehreren Gr¨oßen vergleichen wir jedesmal nur zwei!
1
Gewichtskraft = konst.Schwerebeschleunigung ⇥ Masse
1
Masse = konst.Dichte ⇥ Volumen
2
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Proportionale Gr¨oßen: Anmerkungen
I
Proportionale Gr¨oßen: Weitere Beispiele
Oft sind physikalischen Gr¨
oßen nur positiv oder Null.
Gewichtskraft = konst.Schwerebeschleunigung ⇥ Masse
Als negative Gewichtskraft k¨
onnen wir eine Kraft in der
Gegenrichtung verstehen. Negative Masse gibt es aber nicht.
I
I
Sind direkt proportional:
Hier ist dann z.B. eine Verdopplung (mal 2) oder eine
Halbierung (mal 12 ) erlaubt, aber nicht eine Skalierung mal
2.
Kommutativit¨at: A ist zu B direkt proportional“ ist
”
gleichbedeutend B ist zu A direkt proportional“
”
A⇠B
,
B⇠A
I
Umfang und Radius eines Kreises (U = 2⇡R)
I
Quadrat des Radiuses und Fl¨ache einer Kugel (F = 4⇡R 2 )
Sind nicht direkt proportional:
I
Radius und Fl¨ache einer Kugel (F = 4⇡R 2 6= kR)
Transitivit¨at: Wenn zwei Gr¨
oßen zu einer dritten proportional
sind, dann sind sie auch zueinander proportional.
A⇠B
B⇠C
und
)
A⇠C
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Dreisatz (Proportionalit¨at)
Invers Proportionale Gr¨oßen
I
Seien A und B zwei direkt proportionale Gr¨
oße (6= 0).
Wir haben zwei Messungen: A1 , B1 und A2 , B2 .
Aus drei dieser Zahlen bestimmen wir die vierte, mit Hilfe von:
A1
A2
=
B1
B2
14 / 23
(oder, ¨aquivalent)
I
A1
B1
=
A2
B2
A2
B2
=
A1
B1
1
A·B =K
B
Vertauschung der invers proportionalen Gr¨
oßen entspricht
demselben Proportionalit¨atsfaktor.
A=K·
Weitere Beschreibungen sind:
A1 B2 = A2 B1
Zwei Gr¨
ossen A, B (6= 0) sind in indirekter (reziproker,
umgekehrter) Proportionalit¨at, falls A und B1 direkt
proportional sind.
¨
Aquivalent:
das Produkt A · B ist eine Konstante
I
A1 B2
= 1 usw .
A2 B1
B=K·
Anmerkung: A1 B2 = A2 B1 gilt auch, falls die Gr¨
oßen null sind.
1
A
A·B =K
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Invers proportionale Gr¨oßen: Graph
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Invers proportionale Gr¨oßen: Beispiele
Die Gleichung xy = K Konstante entspricht: der Graph der
Funktion y = Kx ist eine Hyperbel.
Falls beide Gr¨
oßen stets positiv sind, bekommen wir als Graph:
I
Mit konstanter Geschwindigkeit: Geschwindigkeit und Zeit
sind invers proportional (falls die Position konstant ist).
R =G ·T
I
2
I
1
Basis und H¨
ohe eines Dreiecks (falls der Fl¨acheninhalt
konstant ist):
1
F = B ·H
2
Druck und Fl¨ache sind invers proportional:
D=
1
K
F
2
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Invers proportionale Gr¨oßen: Anmerkungen
I
I
Umgekehrter Dreisatz (inverse Proportionalit¨at)
Kommutativit¨at: A ist zu B invers proportional“ ist
”
gleichbedeutend B ist zu A invers proportional“
”
1
1
A⇠
,
B⇠
B
A
Seien A und B zwei invers proportionale Gr¨
oßen (6= 0).
Wir haben zwei Messungen: A1 , B1 und A2 , B2 .
Aus drei dieser Zahlen bestimmen wir die vierte, mit Hilfe von:
keine Transitivit¨at: Wenn zwei Gr¨
oßen zu einer dritten invers
proportional sind, dann sind sie zueinander direkt proportional.
1
A⇠
B
und
1
⇠C
B
A1 B1 = A2 B2
Weitere Beschreibungen sind m¨
oglich, z.B.:
)
A2
A1
=
B1
B2
A⇠C
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Eine kleine Aufgabe
20 / 23
Nicht proportionale Gr¨oßen: die Temperatur
Gefrierpunkt und Siedehitze vom Wasser:
Wir wissen: 6 K¨
uhe geben in 10 Tagen 1.800 Liter Milch.
(1) Wieviel Milch geben 9 K¨
uhe in 3 Tagen? (2) Wie viele K¨
uhe
ben¨
otigt man, um jeden Tag 50 Liter Milch zu erhalten?
I
I
I
Wir nehmen an, dass die K¨
uhe alle gleich sind, und dass sie an jedem Tag dieselbe Menge Milch geben.
I
c=
1800
6·10 `
M =c ·K ·T
(1)
(2)
I
= 30` die Anzahl Liter Milch pro Kuh und pro Tag
M = 30` · 9 · 3 = 810`
50` = 30` · K · 1 ; K = 1, 6
#K ⇠ #M
#T ⇠ #M
1
#K ⇠
#T
Celsius: 0 bzw. 100
Kelvin: 273, 15 bzw. 373, 15
Fahrenheit: 32 bzw. 212
Temperaturen in den verscheidenen Skalen sind nicht direkt
proportional.
Die Di↵erenzen von Temperaturen sind in allen Skalen direkt
proportional:
1 Grad Kelvin = 1 Grad Celsius
also mindestens 2
1, 8 Grad Fahrenheit = 1 Grad Celsius
I
(mit T konstant)
Beispiel: Die Temperatur sinkt um
(mit K konstant)
10 Grad Celsius
10 Grad Kelvin
18 Grad Fahrenheit
(mit M konstant)
20 Grad Celsius
20 Grad Kelvin
36 Grad Fahrenheit
21 / 23
Quellen
http://fc03.deviantart.net/fs71/f/2012/141/7/e/photoshop cs5 1 elephant and mouse by nicktoons pokemond50l9k2.png
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