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Höri - Singener Wochenblatt

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2.4. Wichtige elementare Funktionen
2.4
33
Wichtige elementare Funktionen
Aus dem Vorrat der rationalen Funktionen, der trigonometrischen Funktionen, sowie
der Exponentialfunktionen kann man durch Verkn¨
upfung mithilfe der Grundrechenarten, durch Umkehrung, sowie durch Zusammensetzung neue Funktionen bilden.
Dabei ist der Definitionsbereich eventuell geeignet zu verkleinern. Die so gebildeten
Funktionen sind, die wie im vorigen Kapitel schon erw¨ahnt, alle stetig. Man bezeichnet sie als elementare Funktionen. Einige wichtige elementare Funktionen werden
wir uns jetzt genauer anschauen.
Eine harmonische Schwingung wird durch eine Funktion der Form
f (t) = A sin(ωt + ϕ) (t ∈ R)
beschrieben. Dabei ist A > 0 die Amplitude, ω > 0 die Frequenz und ϕ die Phasenverschiebung der Schwingung. Zum Beispiel k¨onnte f (t) die vertikale Auslenkung
einer schwingenden Saite zum Zeitpunkt t angeben. Auch die Auslenkung einer Feder
durch eine daran befestigte Masse wird durch eine solche Funktion beschrieben.
Das exponentielle Wachstum oder auch der radioaktive Zerfall werden durch eine
Exponentialfunktion beschrieben. Dazu m¨
ussen wir erst etwas ausholen.
Ist a ∈ R, a > 1 vorgegeben, so definiert man die Exponentialfunktion ax zur
Basis a zun¨achst rekursiv f¨
ur nat¨
urliche Exponenten:
a0 := 1,
a1 := a,
an+1 = a · an
f¨
ur n ∈ N.
Dann dehnt man die Definition auf negative ganze Zahlen aus:
a−n :=
1
an
f¨
ur n ∈ N.
Durch vollst¨andige Induktion ergibt sich das bekannte Potenzgesetz:
an+m = an · am
f¨
ur alle n, m ∈ Z.
Und schliesslich setzt man f¨
ur rationale Exponenten fest:
p
√
a q := ( q a)p f¨
ur p ∈ Z, q ∈ N.
Diese Festlegung h¨angt nicht davon
der rationale Exponent dargestellt ist.
√ ab, wie√
′
′
′
Denn angenommen pq = pq′ , so ist ( q a)p = ( q a)p , wie man mithilfe der Potenzgesetze f¨
ur ganze Exponenten und der Eindeutigkeit der Wurzeln zeigen kann. Ausserdem
gilt
p
ur alle p, q ∈ N.
a q > 1 f¨
√
Denn da die Funktion fp : x → xp und die Funktion gq : x → q x√wie eben
bemerkt
√
q
q
beide streng monoton wachsend sind, folgt aus a > 1 zun¨achst a > 1 = 1 und
p
√
dann a q = ( q a)p > 1p = 1, wie behauptet. Die Potenzgesetze gelten auch f¨
ur
beliebige rationale Exponenten.
Die Exponentialfunktion l¨asst sich sogar auf beliebige reelle Exponenten fortsetzen. Dazu halten wir zun¨achst fest, dass die Exponentialfunktion zur Basis a als
34
Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
Funktion auf der Menge der rationalen Zahlen Q → Q>0 , x → ax , streng monoton steigend ist. Denn da ar > 1 f¨
ur alle r ∈ Q>0 , folgt mit dem Potenzgesetz f¨
ur
rationale Exponenten:
x<y
⇒
ax < ax · ay−x = ax+y−x = ay
f¨
ur alle x, y ∈ Q.
Deshalb ist es sinnvoll, f¨
ur x ∈ R \ Q zu definieren: ax := sup{at | t ∈ Q, t < x} .
Das Supremum existiert, weil die Potenzfunktion streng monoton wachsend ist, und
daher die Menge {at | t ∈ Q, t < x} zum Beispiel durch an nach oben beschr¨ankt
ist, wenn n eine nat¨
urliche Zahl ist, die gr¨osser als x ist.
F¨
ur jede reelle Zahl a > 1 erhalten wir eine streng monoton wachsende Funktion
expa : R → R>0 , x → ax , die auf ganz R definiert ist und nur positive Werte annimmt.
F¨
ur beliebige Exponenten gilt das bekannte Potenzgesetz:
a0 = 1 und ax+y = ax · ay
f¨
ur alle x, y ∈ R.
Wie wir gleich genauer begr¨
unden werden, ist die Exponentialfunktion stetig und es
gilt
lim ax = ∞ und
lim ax = 0 .
x→∞
x→−∞
Eine besonders wichtige Rolle spielt die Exponentialfunktion zur Basis e, der sogenannten Eulerschen Zahl . Wie bereits erw¨ahnt, k¨onnen wir e definieren durch
e := lim (1 +
n→∞
1 n
)
n
und ex = lim (1 +
n→∞
Ausserdem gilt:
∞
e=
k=0
x n
)
n
f¨
ur x ∈ R .
1
.
k!
Mithilfe der Exponentialfunktion k¨onnen wir, wie schon erw¨ahnt exponentielles
Wachstum, aber auch Abklingvorg¨ange beschreiben. Zum Beispiel wird der Zerfall
einer radioaktiven Substanz durch
f (t) = K0 e−λt
(t ≥ 0)
beschrieben. Dabei ist t die Zeit, K0 bezeichnet die zum Zeitpunkt t = 0 vorliegende
Menge und λ > 0 ist die Zerfallsrate.
Ein Wachstumsprozess, bei dem eine S¨attigung eintritt, l¨asst sich durch eine
Funktion der folgenden Form modellieren:
f (t) = a(1 − e−λt ) + b (t ≥ 0) .
Hier handelt es sich um eine monoton steigende Funktion, die zum Zeitpunkt t = 0
mit dem Wert b startet und f¨
ur t gegen ∞ den Grenzwert a + b hat.
Eine Kombination von Sinus und Exponentialfunktion wird verwendet, um ged¨ampfte Schwingungen darzustellen:
f (t) = Ae−λt sin(ωt + ϕ) (t ≥ 0) .
2.4. Wichtige elementare Funktionen
35
Hier ist λ > 0 eine D¨ampfungsrate, und der Faktor e−λt sorgt f¨
ur eine allm¨ahliche
Abnahme der Amplitude der Schwingung, w¨ahrend die Frequenz unver¨andert bleibt.
Schliesslich sei noch die Gausssche Glockenkurve erw¨ahnt. Die Funktion
f (x) = a exp(−b(x − x0 )2 ) (x ∈ R)
hat tats¨achlich die Gestalt einer Glocke, erreicht den Maximalwert a bei x = x0 und
ur x gegen ±∞ gegen 0. Sie wird in der Statistik h¨aufig verwendet und
konvergiert f¨
beschreibt dort eine sogenannte Normalverteilung.
Die Exponentialfunktion expa : R → R>0 f¨
ur eine Basis a > 1 ist bijektiv und
daher umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man den Logarithmus loga zur Basis
a. Die Funktion loga : R>0 → R ist nur definiert f¨
ur positive Zahlen und es gilt:
aloga (y) = y
loga (ax ) = x f¨
ur alle x ∈ R, y ∈ R>0 .
und
Der Logarithmus zur Basis e ist der sogenannte nat¨urliche Logarithmus, den wir
mit loge = ln bezeichnen. Durch Umkehrung der Potenzgesetze ergibt sich f¨
ur Logarithmen folgendes Gesetz:
loga (1) = 0 , loga (a) = 1 und
loga (x · y) = loga (x) + loga (y) f¨
ur alle x, y ∈ R>0 .
Die Logarithmusfunktion ist streng monoton wachsend und es gilt:
lim loga (x) = ∞ und
x→∞
lim loga (x) = −∞ .
x→0
2.4.1 Bemerkung Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Exponentialfunktionen ist folgender: F¨
ur jede Basis a > 1 gilt:
ax = ex ln a
f¨
ur alle x ∈ R.
Beweis. Dies folgt aus den Rechenregeln f¨
ur Logarithmen, denn f¨
ur x ∈ R gilt
x
ln(ax ) = x ln(a) und daher ax = eln(a ) = ex ln a wie behauptet.
q.e.d.
2.4.2 Bemerkung Die Exponentialfunktionen und die Logarithmenfunktionen sind
stetig.
Beweis. Sei a > 1, und betrachten wir expa . Zeigen wir zun¨achst die Stetigkeit an
¨
der Stelle x = 0. In den Ubungen
wurde bereits gezeigt:
√
1
lim n a = lim a n = 1 .
n→∞
n→∞
Sei jetzt (xk )k∈N eine beliebige Nullfolge und ǫ > 0. Dann gibt es einen Index n ∈ N
1
mit a n < 1 + ǫ, und zu diesem n wiederum einen Index k0 mit 0 ≤ |xk | < n1 f¨
ur alle
k ≥ k0 . Weil die Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist, folgt daraus
1
ur alle k ≥ k0 .
1 = a0 ≤ a|xk | < a n < 1 + ǫ f¨
36
Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
Das heisst aber gerade
lim ax = 1 = a0 .
x→0
Die Stetigkeit an einer beliebigen Stelle t ∈ R folgt nun aus dem Potenzgesetz, denn
f¨
ur a > 0 gilt:
lim ax = lim at+h = lim (at · ah ) = at · a0 = at .
x→t
h→0
h→0
Also ist die Exponentialfunktion u
ur die Loga¨ berall stetig, und dasselbe gilt auch f¨
rithmusfunktion zur Basis a, weil es die dazugeh¨orige Umkehrfunktion ist.
q.e.d.
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