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Mathematisches Institut
Prof. Dr. Jürgen Saal
Dr. Florian Zanger
Dipl.-Math. Siegfried Maier
WiSe 2014/2015
21. Oktober 2014
Analysis III
2. Übung
Aufgabe 2.1 (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass Maße σ-subadditiv sind (Lemma 1.17 (6)): Seien (Ω, A, µ) ein Maßraum und A1 , A2 , . . . ∈ A. Dann
gilt
∞
∞
µ
Ak
k=1
Aufgabe 2.2
µ (Ak ) .
k=1
(5 Punkte)
a) Zeigen Sie (Bemerkung 1.18 (d)): Endliche, endlich additive und von oben stetige Mengenfunktionen auf σAlgebren sind stets σ-additiv.
b) Kann in a) auf die Forderung der Endlichkeit der Mengenfunktion verzichtet werden? Beweisen oder widerlegen
Sie.
Aufgabe 2.3 (4 Punkte)
Seien Ω := N, A := {A ⊂ N; A endlich oder Ac endlich} die Algebra der endlichen oder co-endlichen Mengen und
µ(A) :=
1,
0,
falls A unendlich
,
sonst
A ∈ A.
a) Zeigen Sie, dass µ (endlich) additiv ist.
b) Zeigen Sie, dass sich µ nicht zu einem Maß auf σ(A) fortsetzen lässt.
Aufgabe 2.4
(4 Punkte)
a) Zeigen Sie (Beispiel 1.16 (b)): Seien Ω nichtleer und M ⊂ Ω. Dann gelten
(i) Durch
µM (A) :=
|A ∩ M |, falls A ∩ M endlich
,
∞, sonst
A⊂Ω
wird ein Maß auf P(Ω) definiert.
(ii) Das Maß µM ist genau dann σ-endlich, wenn M abzählbar ist.
b) Stellen Sie für den Fall Ω = N anhand von Beispiel 1.16 (d) einen Zusammenhang zwischen den Dirac-Maßen δn
(n ∈ N) und dem Zählmaß µN her.
Abgabetermin: Dienstag 28. Oktober 2014 bis 14 Uhr in den Briefkästen auf dem Flur des Geschäftszimmers der Mathematik.
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Bildung
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