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Prof. Dr. Angela Kunoth
Johannes Schmidt
Numerik partieller Differentialgleichungen II/Wissenschaftliches Rechnen III
WS 2014/2015
¨
Ubungsblatt
1
Ausgabe: 06.10.2014
Abgabe: Montag, 13.10.2014 bis 12:00 Uhr
Aufgabe 1: (15 Punkte)
Die Faltung zweier reellwertiger Funktionen f, g ∈ L2 (R) ist definiert als
( f ∗ g)(x) :=
f (t)g(x − t) dt.
R
Mit Hilfe der Faltung lassen sich die kardinalen B-Splines der Ordnung m ∈ N rekursiv definieren als
Nm := Nm−1 ∗ N1 ,
wobei
N1 := χ[0,1) ,
(1)



1, x ∈ [0, 1)
χ[0,1) (x) := 
,

0, sonst
die charakteristische Funktion bzgl. des Intervalls [0, 1) bezeichnet.
(a) Geben Sie die B-Splines der Ordnung m = 2, 3, 4 mit Hilfe der Definition (1) explizit als st¨uckweise
Polynome der Ordnung m an und plotten oder zeichnen Sie diese.
(b) Beweisen Sie f¨ur beliebige reellwertige Funktionen f, g, h ∈ L2 (R) die folgenden Eigenschaften der Faltung:
(i) Kommutativit¨at:
f ∗ g = g ∗ f.
(ii) Distributivit¨at:
f ∗(g + h) = f ∗ g + f ∗ h.
(iii) Shift:
f (· − i) ∗ g(· − k) = ( f ∗ g)(· − i − k),
i, k ∈ Z.
(iv) Skalierbarkeit:
1
f (2·) ∗ g(2·) = ( f ∗ g)(2·).
2
(c) Beweisen Sie die Verfeinerungsgleichung f¨ur B-Splines
m
Nm (x) = 21−m
k=0
m
Nm (2x − k),
k
x ∈ R,
m ∈ N.
Hinweis: Ein Beweis kann induktiv u¨ ber die Ordnung gef¨uhrt werden. Nutzen Sie hierzu die Definition
(1), die Eigenschaften der Faltung aus Aufgabenteil (b) sowie die Darstellung der charakteristischen
Funktion durch zwei skalierte und verschobene charakteristische Funktionen
χ[0,1) (x) = χ[0,1) (2x) + χ[0,1) (2x − 1).
(d) Geben Sie den Tr¨ager supp Nm der B-Splines f¨ur allgemeines m ∈ N an (mit Begr¨undung).
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Sei φ die auf ganz R definierte Funktion, welche implizit durch eine allgemeine Verfeinerungsgleichung mit
gegebenen Koeffizienten ak , k ∈ Z,
φ(x) =
ak φ(2x − k),
x ∈ R,
k∈Z
gegeben ist. Weiter definieren wir die Funktionen
φ j,k (x) := 2 j/2 φ(2 j x − k),
j, k ∈ Z,
(2)
durch Dilatation und Translation dieser Funktion φ.
(a) Seien zus¨atzlich die Translate von φ L2 (R)-orthonormal, d.h.
(φ, φ(· − k))L2 (R) :=
φ(x)φ(x − k) dx = δ0,k
f¨ur k ∈ Z.
R
Zeigen Sie, dass dann die Bedingung
am a2k+m = 2δk,0
f¨ur k ∈ Z
m∈Z
an die Koeffizienten erf¨ullt ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Skalierung in (2) gerade so gew¨ahlt ist, dass
φ j,k
L2 (R)
= φ
L2 (R)
gilt, d.h. die Norm unah¨angig von j ist. Hierbei ist die L2 (R)-Norm wie u¨ blich definiert als
φ
L2 (R)
2
|φ(x)| dx
:=
1
2
.
R
(c) Zeigen Sie die folgende Relation:
φ j,k (x) =
m∈Z
1
√ am−2k φ j+1,m (x).
2
(d) W¨ahlen Sie nun speziell φ := N2 (Hutfunktion) wie in Aufgabe 1. Skizzieren Sie f¨ur diese Wahl die in
(2) definierte Funktion φ j,k f¨ur allgemeines j, k ∈ Z.
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