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10
Freie und erzwungene Schwingungen; Resonanz
Physik
II. Mechanische Schwingungen
Seite 1 von 7
10
Freie und erzwungene Schwingungen; Resonanz
10.1
Freie Schwingung
10.1.1
Eigenfrequenz
Man kann einen schwingungsfähigen Körper oder ein schwingungsfähiges System durch einmalige Anregung in Form von einmaliger Energiezufuhr - z.B. mittels einer arbeitsverrichtenden Kraft - zum Schwingen bringen. Dabei wird der Schwinger aus der Gleichgewichtslage
(Nulllage) gebracht. Nach diesem einmaligen Anstoß wird der Oszillator sich selbst überlassen: Er schwingt dann frei mit seiner Eigenfrequenz f 0 . Die bei der einmaligen Anregung zugeführte Energie ist die Schwingungsenergie des Oszillators, die sich während der Schwingung ständig von Lage- in Bewegungsenergie umwandelt und umgekehrt.
10.1.2
Gedämpfte Schwingung
Bei einer freien Schwingung wird infolge der Reibung ständig Schwingungsenergie an die
Umgebung abgegeben. Dies führt zu einer Abnahme der Amplitude im Laufe der Zeit.
Erinnerung: WSchwing 
1
DA2
2
Die Eigenfrequenz f 0 und somit auch die Periodendauer T bleiben während des gedämpften
Schwingungsablaufs konstant.
10.2
Erzwungene Schwingung
10.2.1
Versuche
Man kann einen Schwinger auch durch periodische Anregung zum Schwingen bringen.
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1.
Freie und erzwungene Schwingungen; Resonanz
Federpendel (im Wasserbad)
Exzenter
2.
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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ω
Körper zwischen zwei Federn
Exzenter
ω
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3.
Freie und erzwungene Schwingungen; Resonanz
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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Pohlsches Drehpendel
10.2.2
Versuchsergebnisse
1.
Jeder Schwinger (Oszillator, Resonator) kann durch periodische Anregung - z.B. mit einer periodisch wirkenden Kraft - zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden. Dabei
stimmt die Frequenz f dieser erzwungenen Schwingung stets mit der Erregerfrequenz
f err überein.
2.
Die Amplitude A der erzwungenen Schwingung ist von der Erregerfrequenz f err abhängig. Die Amplitude nimmt mit wachsender Erregerfrequenz zu. Sie wird maximal, wenn
die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz des tatsächlichen (d.h. gedämpften) Schwingers übereinstimmt: Resonanz. Steigert man die Erregerfrequenz weiter, so nimmt die
Amplitude bis auf Null ab. Zu beachten ist: f err  0  A  0 . Die Form der Resonanz-
kurve A  A  f err  ist von der Dämpfung des Schwingers abhängig. Durch die Dämpfung
verschiebt sich die Eigenfrequenz und damit auch die Resonanzstelle zu kleineren Frequenzen hin. Je größer die Dämpfung ist, umso kleiner ist die Resonanzamplitude. Bei
einem ungedämpften Schwinger würde gelten: f err  f 0  A   (Resonanzkatastrophe).
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Freie und erzwungene Schwingungen; Resonanz
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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Amplitude A
der
erzwungenen
Schwingung
keine Dämpfung
kleine Dämpfung
mittlere Dämpfung
große Dämpfung
Eigenfrequenz f0
der ungedämpften
freien Schwingung
A f  
A f  
3.
50
 25  f 
2 2
 0 f 2
50
 25  f 
2 2
 9 f 2
A f  
A f  
Erregerfrequenz
ferr
50
 25  f 
2 2
 1, 69  f 2
50
 25  f 
2 2
 64  f 2
Die Phasenlage zwischen periodischer Anregung und erzwungener Schwingung ist von
der Erregerfrequenz f err abhängig. Bei niedriger Erregerfrequenz sind Anregung und erzwungene Schwingung zueinander gleichphasig. Mit steigender Erregerfrequenz tritt eine
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Freie und erzwungene Schwingungen; Resonanz
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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Phasenverschiebung  auf: Der Schwinger bleibt gegenüber der Anregung zurück. Unπ
abhängig von der vorhandenen Dämpfung beträgt die Phasenverschiebung  90 ,
2
wenn die Erregerfrequenz f err mit der Eigenfrequenz f 0 des ungedämpften Schwingers
übereinstimmt. Für große Frequenzen strebt die Phasenverschiebung  gegen π  180
(gegenphasig). Je größer die Dämpfung ist, umso allmählicher erfolgt der Phasenübergang.
keine Dämpfung
kleine Dämpfung
mittlere Dämpfung
große Dämpfung
Eigenfrequenz f0
der ungedämpften
freien Schwingung
Erregerfrequenz
ferr
1,3  f
 π
25  x 2
8 f
Δ  f   arctan
 π
25  x 2
Δ  f   arctan
Δ  f   arctan
3 f
 π
25  x 2
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Freie und erzwungene Schwingungen; Resonanz
10.3
Musteraufgabe
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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Bei einem Oszillator wird durch periodische Anregung mit der Erregerfrequenz f err eine erzwungene harmonische Schwingung verursacht.
Die Dämpfung durch Reibung bei dieser erzwungenen Schwingung ist zwar gering, aber nicht
vernachlässigbar.
Die Erregerfrequenz f err wird stufenweise von 0 Hz bis zu sehr hohen Frequenzen gesteigert.
Registriert werden die Amplitude A der erzwungenen Schwingung und die Phasendifferenz
Δ zwischen periodischer Anregung (Erregerschwingung) und erzwungener Schwingung.
1.
Welches grundsätzliches Schwingungsverhalten ist bei der erzwungenen Schwingung zu
beobachten?
Die Frequenz der erzwungenen Schwingung stimmt stets mit der Erregerfrequenz f err
überein.
2.
Erläutern Sie qualitativ anhand eines geeigneten Diagramms und mit Worten, wie die
Amplitude A der erzwungenen Schwingung von der Erregerfrequenz f err abhängt.
Die Amplitude A der erzwungenen Schwingung ist von der Erregerfrequenz f err abhängig. Die Amplitude nimmt mit wachsender Erregerfrequenz zu. Sie wird maximal, wenn
die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz des (tatsächlichen, d.h. gedämpften) Schwingers übereinstimmt: Resonanz. Steigert man die Erregerfrequenz weiter, so nimmt die
Amplitude bis auf Null ab. Zu beachten ist: f err  0  A  0 .
3.
Beschreiben Sie qualitativ mithilfe eines geeigneten Diagramms und mit Worten, wie sich
die Phasendifferenz Δ zwischen periodischer Anregung (Erregerschwingung) und erzwungener Schwingung in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz f err verhält.
Die Phasenlage zwischen periodischer Anregung und erzwungener Schwingung ist von
der Erregerfrequenz f err abhängig. Bei niedriger Erregerfrequenz sind Anregung und erzwungene Schwingung zueinander gleichphasig. Mit steigender Erregerfrequenz tritt eine
Phasenverschiebung  auf: Der Schwinger bleibt gegenüber der Anregung zurück. Die
π
Phasenverschiebung beträgt  90 , wenn die Erregerfrequenz f err mit der Eigenfre2
quenz des (ungedämpften) Schwingers übereinstimmt. Für große Frequenzen strebt die
Phasenverschiebung  gegen π  180 .
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Freie und erzwungene Schwingungen; Resonanz
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Amplitude A
der
erzwungenen
Schwingung
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Eigenfrequenz
der (ungedämpften)
freien Schwingung
Erregerfrequenz
Eigenfrequenz
der (ungedämpften)
freien Schwingung
Erregerfrequenz
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Gesundheitswesen
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