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Mathematik II für WT

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Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Sommersemester 2013
Mathematik II für WT
Übungsaufgaben
Serie 3: Unendliche Reihen, Laplace-Transformation
1. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz:
∞
X
3k
,
2
(k!)
k=1
a)
und
∞ X
1
b)
5
+
2 k
k=1
k+1
∞
X
cos(kπ)
c)
,
k=1
k
1
1
1
1
+
+
+
+ ··· .
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
d)
2. Für welche Werte von x ∈ R konvergieren die folgenden Potenzreihen:
a) − 2x + 4x2 − 8x3 + 16x4 + · · · ,
und
c)
∞
X
2k
k=1
k
k
x ,
b) x +
2! 2 3! 3 4! 4
x + x + x + ···
4
9
16
k
∞ X
1
d)
x
?
k
+
1
k=0
3. Geben Sie den Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihen an:
a)
∞
X
k4
k=1
3k
(x + 3)k
b)
∞
X
k=2
1
x3k .
(k − 1)k2
4. Ermitteln Sie ohne Formelsammlung jeweils die Taylorreihe für die Funktion f (x) =
sin(2x), einmal im Punkt x0 = 0 und weiterhin im Punkt x0 = π2 .
5. Entwickeln Sie die Funktion f (x) =
deren Konvergenzbereich.
1
x
bei x0 = 1 in eine Taylor-Reihe und bestimmen Sie
6. Entwickeln Sie die nachstehende Funktion in ein Taylorpolynom angegebenen Grades in
der Umgebung der Entwicklungsstelle x0 :
f (x) = e2−2x + 3 ln(2x − 1),
n=3
x0 = 1 .
cos x − 1
mit Hilfe von Potenzreihenentwicklung.
x→0
x2
Z
sin x
8. Geben Sie mit Hilfe von Potenzreihenzerlegung die Stammfunktion
dx in Form
x2
einer Potenzreihe an.
7. Berechnen Sie den Grenzwert lim
9. Entwickeln Sie die folgenden Funktionen mit Periode 2π jeweils in eine Fourier-Reihe:
a)
b)
f (x) = π 2 − x2 , −π ≤ x < π , f (x + 2π) = f (x) ∀x ∈ R ,
f (x) = cos x2 ,
0≤x<π ,
f (x) = −f (−x) und f (x + 2π) = f (x) ∀x ∈ R.
Skizzieren Sie zunächst die Funktion und untersuchen Sie deren Symmetrieverhalten.
1
10. Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion
f (x) = |x| ,
−1 ≤ x < 1 ,
f (x + 2) = f (x) ∀x ∈ R.
Skizzieren Sie zunächst die Funktion und untersuchen Sie deren Symmetrieverhalten.
11. Entwickeln Sie die Funktion f (x) = 3| cos x| in eine Fourier-Reihe (Periode T = π).
12. Ermitteln Sie jeweils die Bildfunktion F (s) bezüglich der Laplace-Transformation zu folgenden Originalfunktionen:
√
sin(ωt) t cos(ωt)
b) f (t) =
−
a) f (t) = 3t
ω3
ω2
c)
e)
f (t) = 4e−3t sin(2t)
d)
f (t) = (t − 2)3
f)
f (t) = t3 e−2t
f (t) =
0
(t − 2)3
: t<2
: t≥2
13. Ermitteln Sie die jeweilige Originalfunktion f (t) zu folgenden Bildfunktionen:
s+5
1
b) F (s) = 2
a) F (s) = 2
s + 2s + 17
s + 2s + 17
c)
F (s) =
e)
F (s) =
s3
1
+ 9s
s+6
2
s + 6s + 13
d)
F (s) =
f)
F (s) =
s2
1
+s−6
e−5s
s−2
g) F (s) =
14. Bestimmen Sie die Originalfunktion f (t) zur Bildfunktion F (s) =
des Faltungssatzes.
s4
1 − e−s2π
.
s2 + 1
1
+ 16s2
mit Hilfe
15. Wie lautet die zugehörige Originalfunktion f (t) zu folgenden Bildfunktionen? (Verwenden
Sie Partialbruchzerlegung.)
a)
3s2 + 5s + 2
F (s) = 3
s − 2s2 + s
b)
F (s) =
(s3
5s + 15
.
− s2 + 4s − 4)
16. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation:
a)
b)
c)
y ′ − 4y = 2 sin t ,
y(0) = 0 ,
y ′′ + 2y ′ − 8y = 0 ,
y ′′′ − 16y ′ = 0 ,
y(0) = 3 , y ′ (0) = 0 ,
y(0) = 3 , y ′ (0) = 2 , y ′′ (0) = 48 .
———————————————————————————————————————
Aufgaben zum Selbststudium:
1. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz:
∞
X
1 2 3
4
1
1
1
1
a)
ke−2k , b) − + − +
+ · · · , c)
+
+
+
+ ··· .
5 7 9 11
2 + 1 4 + 2 8 + 3 16 + 4
k=1
2. Für welche Werte von x ∈ R konvergieren die folgenden Potenzreihen:
a)
∞
X
(k 2 + k) xk ,
k=1
2
b)
∞
X
3k k
x ?
k+1
2
k=0
3. Berechnen Sie die Eulerzahl e auf 5 Stellen nach dem Komma genau.
4. Bestimmen Sie mit Verwendung bekannter Reihen die Taylor-Reihe für die Funktion
f (x) = ln(2 + x2 ) mit Entwicklungsstelle x0 = 0 und geben Sie deren Konvergenzbereich
an.
5. Entwickeln Sie die folgende Funktion in ein Taylorpolynom angegebenen Grades in der
Umgebung der Entwicklungsstelle x0 :
f (x) = 1 + 3x − 2x2 + cos(2πx),
n=4
x0 = 1.
Z 2x
e
dx in Form
6. Geben Sie mit Hilfe von Potenzreihenzerlegung die Stammfunktionen
x
einer Potenzreihe an.
7. Entwickeln Sie die folgende Funktion mit Periode 2π in eine Fourier-Reihe:
f (x) =
π−x
,
2
0 ≤ x < 2π , f (x + 2π) = f (x) ∀x ∈ R .
Skizzieren Sie zunächst die Funktion und untersuchen Sie deren Symmetrieverhalten.
8. Entwickeln Sie die folgende Funktion in eine Fourier-Reihe:
f (x) = 2x ,
0≤x<1,
f (x + 1) = f (x) ∀x ∈ R .
Skizzieren Sie zunächst die Funktion und untersuchen Sie deren Symmetrieverhalten.
9. Bestimmen Sie die Originalfunktion f (t) zu folgenden Bildfunktionen mit Hilfe des Faltungssatzes:
1
8
a) F (s) = 2
b) F (s) =
.
s + 2s − 15
s(s − 2)3
10. Wie lautet die zugehörige Originalfunktion f (t) zu folgenden Bildfunktionen? (Verwenden
Sie Partialbruchzerlegung.)
a)
F (s) =
1
s 4 − a4
b)
F (s) =
s2 + 2s + 3
.
(s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5)
11. Ermitteln Sie die zu der periodischen Funktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0 gehörige
Bildfunktion F (s) bezüglich der Laplace-Transformation:
sin t : 0 ≤ t < π
a) f (t) =
und f (t + 2π) = f (t) für alle t ≥ 0 ,
0
: π ≤ t < 2π
1 : 0 ≤ t < T1
b) f (t) =
mit 0 < T1 < T und f (t + T ) = f (t) für alle t ≥ 0 .
0 : T1 ≤ t < T
12. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation:
a)
b)
y ′ − 2y = e2t ,
y(0) = 7 ,
y ′′ − 6y ′ + 9y = te3t ,
y(0) = 1 , y ′ (0) = 0 .
3
Schriftliche Aufgaben:
Abgabe in den Übungen der 13. Semesterwoche:
13.1. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom dritten Grades (d.h. bis zur dritten Potenz) der Funktion
√
f (x) = 3 ln(2x − 1) + 3x − 2 an der Stelle x0 = 1 .
13.2. Untersuchen Sie, ob die folgende Reihe konvergent ist
9
16
4
+ ... .
1+ + +
2! 3!
4!
13.3. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe
∞
X
k=1
2k
1
xk .
· k2
Abgabe in den Übungen der 14. Semesterwoche:
14. Ermitteln Sie für die periodische Funktion
f (x) = 4x , 0 ≤ x < 2π , f (x + 2π) = f (x) für alle x ∈ R
die Fourier-Reihe.
———————————————————————————————————————
Alte Klausuraufgaben zu den restlichen Themen:
1. Ermitteln Sie für die periodische Funktion
f (t) = π − t , 0 ≤ t < 2π , f (t + 2π) = f (t) für alle t ∈ R
die Fourier-Reihe.
2. Bestimmen Sie unter Verwendung des Faltungssatzes die zugehörige Originalfunktion
bezüglich der Laplace-Transformation zur Bildfunktion
1
F (s) = 4
.
s + 9s2
3. Lösen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation das folgende Anfangswertproblem
y ′′ + 4y = t , y(0) = 0 , y ′ (0) = 2 .
4. Ermitteln Sie für die periodische Funktion
f (x) = 1 + |x| , −π ≤ x < π , f (x + 2π) = f (x) für alle x ∈ R
die Fourier-Reihe.
Hinweis: Skizzieren Sie zunächst die Funktion und untersuchen Sie sie auf Symmetrieeigenschaften.
5. Bestimmen Sie unter Verwendung des Faltungssatzes die zugehörige Originalfunktion
bezüglich der Laplace-Transformation zur Bildfunktion
1
F (s) = 2 2
.
s (s + 4)
6. Bestimmen Sie die Originalfunktion f (t) bezüglich der Laplace-Transformation zur Bildfunktion
s
.
F (s) = 2
s − 4s + 13
4
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