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15. Übung - Mathematisches Institut

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MATHEMATISCHES INSTITUT
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¨ ZU KOLN
DER UNIVERSITAT
apl. Prof. Dr. D. Horstmann
Dipl.-Wi.-Math. A. Barglowski
Wintersemester 2014/2015
28. Januar 2015
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¨ Biologen und Chemiker
15. Ubung
zur Mathematik I fur
*Uebungsblatt-Semesterferien*
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Keine Abgabe dieser Ubung!
Allgemeine Hinweise:
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• Diese Ubung
ist nur m¨undlich vorzubereiten und wird in der ersten Ubung
im neuen Semester besprochen.
• Details zu Orten, Zeiten und der Gruppen-Einteilung werden in der ersten Vorlesungswoche in der
jeweiligen Vorlesung besprochen.
Aufgabe 1.
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(mundlich)
(i) Bestimmen Sie die L¨osungen der Differentialgleichung y00 (t) + 2y0 (t) − 3y(t) = 0. Wie viele Anfangswerte m¨ussen gegeben sein, damit die L¨osung eindeutig ist. Geben Sie ein Beispiel an.
(ii) Bestimmen Sie die L¨osungen der inhomogenen Differentialgleichug y00 (t)+2y(t)−3y(t) = t 2 . Nutzen
Sie das das Ergebnis aus Teilaufgabe (i) und den ’Ansatz vom Typ der rechten Seite’.
Aufgabe 2.
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(mundlich)
Bestimmen Sie die L¨osung(-en) der folgenden Differentialgleichungen. Geben Sie dabei jeweils an, welches
L¨osungverfahren Sie nutzen.
(i) y0 (x)x3 = 2y(x) − 5
(ii) y00 (t) + 6y0 (t) = 2 cos(5t)
(iii) y0 (x) + y(x) = m exp(−nx), y(0) = 1.
(iv) y00 (x) + 6y0 (x) + 9y(x) = 0, y(0) = 1, y0 (0) = 1
Aufgabe 3.
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(mundlich)
(i) L¨osen Sie die Differentialgleichung y0 (x) = exp(−x − y) mittels ’Trennung der Variablen’. Beachten
Sie dabei, dass exp(a + b) = exp(a) · exp(b) gilt.
(ii) Ist die L¨osung f¨ur alle x ∈ R definiert? Geben Sie das Intervall an, auf dem die L¨osung definiert ist.
(Den Definitionsbereich der L¨osung einer Differentialgleichung nennt man auch ’Existenzintervall’.)
Aufgabe 4.
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(mundlich)
Bestimmen Sie die L¨osung(-en) des nachfolgenden homogenen linearen Differentialgleichungssystems.
0
Y (t) = A ·Y (t) =
1 2
1 0
Y (t).
Gehen Sie dazu wie folgt vor.
x1
(i) Zeigen Sie, dass ein L¨osungsansatz der Form Yhomogen (t) =
·
zum L¨osen der Eigenwertx2
gleichung Ax = λx f¨uhrt. Leiten Sie dazu Yhomogen nach t ab und setzten Sie es in die gegebene Differentialgleichung ein.
eλt
(ii) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A.
(iii) Die allgemeine L¨osung ist dann eine Linearkombination der Form
v11
v21
λ1 t
Yallgemein (t) = c1
e + c2
eλ2t ,
v12
v22
| {z }
| {z }
=:v1
=:v2
wobei c1 , c2 Konstanten sind. λ1 , λ2 ∈ R sind die Eigenwerte der Matrix A und v1 , v2 ∈ R2 die zugeh¨origen Eigenvektoren. Geben Sie die allgemeine L¨osung f¨ur das gegebene homogene System an.
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Gesundheitswesen
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