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Prof TeknD Timo Weidl, Dr. James Kennedy
FB Mathematik, Universit¨
at Stuttgart
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Ubung
am 31. Oktober 2014
Analysis III (WS 2014/15) — Blatt 3
I don’t quite hear what you say, but I beg to differ entirely with you.
(Augustus De Morgan; 1806–1871)
Hausaufgaben:
¨
Die Hausaufgabe ist in der Ubung
am 31.10.2014 abzugeben. Sie darf in Gruppen bearbeitet werden,
jeder muss aber seine eigenen L¨
osungen aufschreiben und einreichen.
3.1. (4 Punkte) Sei G ⊆ C eine offene Menge und f : G → C holomorph mit f stetig. Ferner sei
z0 ∈ G mit f (z0 ) = 0. Beweisen Sie, dass es offene Umgebungen U ⊆ G von z0 und V ⊆ C von
f (z0 ) mit den folgenden Eigenschaften gibt:
(i) f : U → V ist bijektiv;
(ii) Die Umkehrabbildung f −1 : V → U ist ebenfalls holomorph;
(iii) Es gilt: (f −1 ) (w) = 1/f (f −1 (w)) f¨
ur alle w ∈ V .
Hinweis: Betrachten Sie f als eine Abbildung von R2 nach R2 und wenden Sie den Satz u
¨ber
die lokale Invertierbarkeit an.
Votieraufgaben:
3.2. F¨
ur jede der folgenden Funktionen uk : Ωk → R, k = 1, . . . , 6, entscheiden Sie, ob uk der
Realteil einer holomorphen Funktion fk : Ωk → C ist, und geben Sie ggf. ein entsprechendes fk
an.
(a) u1 (z) = x3 − 3x2 y;
(c) u3 (z) =
(b) u2 (z) = x3 − 3xy 2 ;
(d) u4 (z) =
x
;
x2 +y 2
1
;
x2 +y 2
(e) u5 (z) = ex sin y;
(f ) u6 (z) = Re
(x + iy)2 − 1.
Dabei ist z = x + iy ∈ C, und Ωk ⊆ C ist der nat¨
urliche Definitionsbereich von uk .
3.3. Give an example of a function f : C → C which is
(a) holomorphic everywhere except at z = ±i;
(b) continuous everywhere and holomorphic nowhere, with Re f and Im f non-constant;
(c) continuous everywhere and holomorphic nowhere, but its restriction to R, f |R : R → R, is
(real) differentiable at every point x ∈ R.
3.4. (a) Berechnen Sie f¨
ur gegebenes R > 0 das Integral
∂B(0,R)
1
dz,
z
wobei ∂B(0, R) = {z ∈ C : |z| = R} den Kreis um den Ursprung mit Radius R > 0
bezeichne, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werden soll.
Hinweis: Finden Sie eine geeignete Parametrisierung!
c
james.kennedy@mathematik.uni-stuttgart.de
timo.weidl@mathematik.uni-stuttgart.de
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Ubung
am 31. Oktober 2014
(b) Was passiert in (a), wenn man den Kreis durch ein im Ursprung zentriertes achsenparalleles
Quadrat mit Seitenl¨
ange R > 0 ersetzt?
3.5. (a) Sei f : C → C gegeben durch f (z) = z 3 . Finden Sie a, b ∈ C, f¨
ur welche kein z ∈ ab mit
der Eigenschaft
f (b) − f (a)
= f (z)
b−a
existiert. Dabei bezeichne ab = {z ∈ C : z = ta + (1 − t)b f¨
ur ein t ∈ [0, 1]} die Strecke
in der komplexen Ebene zwischen a und b. Es gibt also kein direktes komplexes Analogon
des aus der reellen Analysis bekannten Mittelwertsatzes.
(b) Beweisen Sie, dass der Hauptsatz der Differentialrechnung, auch bekannt als die Mittelwertungleichung, trotzdem noch gilt:
Satz. Sei G ⊆ C eine offene Menge und f : G → C eine holomorphe Funktion. F¨
ur alle
a, b ∈ C mit a = b und ab ⊂ G gilt die Absch¨
atzung
|f (b) − f (a)| ≤ sup |f (z)||b − a|.
z∈ab
c
james.kennedy@mathematik.uni-stuttgart.de
timo.weidl@mathematik.uni-stuttgart.de
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Seele and Geist
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