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10. Blatt

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Dr. M. Bier (bier@is.mpg.de)
Physik der Flu
¨ ssigkeiten I
WiSe 2014/15
¨
10. Ubungsblatt
(http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/PdF1 14)
27. Januar 2015
16. Random phase approximation des Strukturfaktors
Betrachten Sie die random phase approximation (RPA) eines Fluids mit Wechselwirkung U(r − r′ ) bzgl. eines Referenz-Fluids mit Wechselwirkung Uref (r − r′ ). Das RPADichtefunktional lautet
Z
βΩ[̺] = dd r ̺(r) ln ̺(r)Λd − 1 − βµ − βV (r)
Z
Z
1
ex
d
+ βFref [̺] +
d r dd r ′ β∆U(r − r′ )̺(r)̺(r′ )
(1)
2
ex
mit dem Referenz-Exzessfunktional βFref
[̺] der Referenz-Wechselwirkung Uref (r − r′ ) und
′
der Differenz-Wechselwirkung ∆U(r − r ) := U(r − r′ ) − Uref (r − r′ ).
(a) Zeigen Sie, dass der Strukturfaktor S(q, ̺) des homogenen Fluids mit Dichte ̺ in
RPA mit dem Strukturfaktor Sref (q, ̺) des Referenz-Fluids mit Dichte ̺ durch die
Beziehung
verkn¨
upft ist.
1
1
b (q)
=
+ ̺β∆U
S(q, ̺)
Sref (q, ̺)
(2)
(b) Dr¨
ucken Sie die isotherme Kompressibilit¨at des Fluids, κT , durch die des ReferenzFluids, κT ref , aus.
17. Strukturfaktor des Hartkugelfluids in Percus-Yevick-N¨aherung
Betrachten Sie das homogene Fluid harter Kugeln mit Durchmesser σ in Percus-Yevick¨
N¨aherung aus Aufgabe 14 auf Ubungsblatt
8.
(a) Berechnen Sie den Strukturfaktor S(q, ̺).
(b) Stellen Sie S(q, ̺) als Funktion von |q|σ f¨
ur die Packungsdichten η =
0.3, 0.4, 0.5} graphisch dar.
π 3
̺σ ∈ {0.1, 0.2,
6
(c) Lesen Sie an S(q, ̺) den Abstand der n¨achsten Nachbarteilchen um ein fixiertes Teilchen sowie den Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Schichten ab.
¨
(d) Uberpr¨
ufen Sie Ihre Resultate aus Aufgabenteil (c) mit Hilfe der Paarverteilungsfunk¨
tion g(r, ̺) aus Aufgabenteil 14.(d) auf Ubungsblatt
8.
(e) Stellen Sie die isotherme Kompressibilit¨at κT als Funktion der Packungsdichte η ∈
[0, 0.5] graphisch dar.
Fortsetzung auf Seite 2
1
18. Strukturfaktor von fl¨ussigem Argon
¨
In der in Aufgabe 8 auf Ubungsblatt
4 zitierten Arbeit J.L. Yarnell, M.J. Katz, R.G. Wenzel
und S.H. Koenig, Phys. Rev. A 7, 2130 (1973) u
¨ber die experimentelle Bestimmung der
Struktur von fl¨
ussigem Argon bei einer Temperatur T = 85 K mittels SANS (small-angle
neutron scattering) ist in Tabelle I der gemessene Strukturfaktor S(Q) als Funktion der
Wellenzahl Q = |q| angegeben. Diese Werte finden sich auch in der Textdatei S Ar.txt
auf der Website zur Vorlesung.
(a) Stellen Sie S(Q) als Funktion von Q graphisch dar.
(b) Lesen Sie an S(Q) den Abstand der n¨achsten Nachbarteilchen um ein fixiertes Teilchen
sowie den Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Schichten ab.
¨
(c) Uberpr¨
ufen Sie Ihre Resultate aus Aufgabenteil (b) mit Hilfe der Paarverteilungsfunk¨
tion g(r) aus Aufgabe 8 auf Ubungsblatt
4.
(d) Bestimmen Sie die isotherme Kompressibilit¨at κT .
−3
(Hinweis: Im Artikel von Yarnell et al. wird die Dichte ̺ = 0.02125 ˚
A
2
angegeben.)
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