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R o ta ti o n und D i v e r g e n z — 1.2
5
1. 2
R ot a t i on u n d D ive rge nz
Betrachte
0
1 0
1
@/@x
@x
B
C B
C
r = @ @/@y A = @ @y A
@/@z
@z
formal als 3-Vektor.
Definition Die Rotation eines 3-dimensionalen Vektorfeldes F = (F1 , F2 , F3 )>
ist erklärt als
0
1 0 1 0
1
@x
F1
@y F3 @z F2
B
C B C B
C
rot F = r ⇥ F = @ @y A ⇥ @ F2 A = @ @z F1 @x F3 A
@z
F3
@x F2 @y F1
und ist wieder ein 3-dimensionales Vektorfeld. œ
8
Satz Für ein 3-dimensionales Vektorfeld F ist die Integrabilitätsbedingung i-b
äquivalent mit
rot F = 0.
œ
Für ein 2-dimensionales Vektorfeld definiert man eine Rotation, indem
man eine triviale dritte Komponente hinzufügt. Dies fuhrt zu folgendem
9
Satz
Definiert man für ein 2-dimensionales Vektorfeld F = (F1 , F2 , )>
rot F Õ @x F2
@y F1 ,
so ist die Integrabilitätsbedingung i-b ebenfalls äquivalent mit
rot F = 0.
œ
Bemerkung In diesem Fall ist aber rot F kein Vektorfeld, sondern eine
skalare Funktion! «
Ergänzungen
Für den formalen Differenzialoperator r = (@x , @y , @z )> sind noch weitere
Vektoroperationen erklärt.
6
1 — Kur v eni nt egr a le u n d P o te n z i a lfe lde r
Definition
Die Divergenz eines Vektorfeldes F = (F1 , F2 , F3 )> ist erklärt als
div F = r · F Õ @x F1 + @y F2 + @z F3 .
Entsprechend ist in höheren Dimensionen
div F Õ
Definition
n
X
i=1
@xi Fi .
œ
Man nennt
n
X
Õ r·r =
i=1
@x2i
den Laplaceoperator auf dem Rn . œ
Die verschiedenen r-Operationen bewirken im R3 also Folgendes:
f
F
F
f
grad:
rot:
div:
div grad:
Funktion
Vektorfeld
Vektorfeld
Funktion
é
é
é
é
rf Vektorfeld
r ⇥ F Vektorfeld
r · F Funktion
f Funktion
Außerdem gilt noch
div rot ⌘ 0,
rot div ⌘ 0
für jedes Vektorfeld respektive jede Funktion. Also
r · (r ⇥ F ) ⌘ 0,
r ⇥ (rf ) ⌘ 0.
Bemerkung Ein Vektorfeld F heißt quellenfrei, falls div F ⌘ 0 , und wirbelfrei, falls rot F ⌘ 0 . Dazu später mehr. «
1. 3
K ur v e n i n t eg ra le ska la re r Fu nktio ne n
Definition Sei : [a, b] ! D eine stückweise glate Kurve und f : D ! R
stetig. Dann heißt
Z
Zb
f ds Õ
f ( (t)) |˙(t)| dt
a
das Kurvenintegral von f entlang
. œ
Kur ve n in te g ra le s ka lar e r F u n k t i o n e n — 1.3
7
Bemerkungen a. Man nennt ds auch das skalare Bogenelement.
b. Es bezeichnet |˙| die euklidische Länge des Vektors ˙ .
c. Es genügt eigentlich, dass f auf der Spur von
erklärt und stetig
ist. «
10
Rechenregeln Das skalare Kurvenintegral ist linear im Integranden:
Z
Z
Z
(f + g) ds =
f ds +
g ds,
Z
Z
↵f ds = ↵ f ds.
œ
11
Mittelwertsatz Sei : [a, b] ! D eine stückweise glate Kurve und f : D ! R
stetig. Dann existiert ein Punkt x0 = (t0 ) auf der Kurve , so dass
Z
f ds = f (x0 )·L( ),
wobei
L( ) =
Zb
a
|˙(t)| dt
bezeichnet. œ
die Länge von
Auch das skalare Kurvenintegral ist invariant unter orientierungserhaltenden Parametertransformationen:
12
Satz
Sei
: [a, b] ! D eine stückweise glatte Kurve und
˜ ! [a, b]
˜ b]
g : [a,
eine orientierungserhaltende Parametertransformation, also bijektiv und
stetig differenzierbar mit g 0 > 0 . Dann gilt
Z
Z
f ds =
f ds
˜
mit der umparametrisierten Kurve ˜ =
˜ ! D. œ
˜ b]
g : [a,
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Gesundheitswesen
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