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Blatt 14

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¨
14. Ubung
zur Analysis I
Wintersemester 2014/15, Dirk Werner
Ausgabe: 3.2.2015
Abgabe: bis sp¨
atestens 12.2.2015, 10 Uhr; Tutorenf¨acher B2 (Matthias) und F2 (Paul)
Schließlich wird dem Leser vermutlich auffallen, daß auf das Riemann-Integral,
diesen ehrw¨
urdigen Gegenstand von Analysisvorlesungen, u
¨berhaupt nicht eingegangen wird. Man darf wohl annehmen, daß dieser Begriff, w¨are er nicht mit
einem so klangvollen Namen verkn¨
upft, schon viel fr¨
uher u
¨bergangen worden w¨are;
denn bei allem schuldigen Respekt vor dem Genius Bernhard Riemanns ist sich
jeder aktive Mathematiker v¨
ollig dar¨
uber im klaren, daß diese Theorie“ heutzu”
tage in der allgemeinen Maß- und Integrationstheorie bestenfalls die Bedeutung
¨
einer halbwegs interessanten Ubungsaufgabe
besitzt. Nur der sture Konservativismus akademischer Tradition konnte das Riemannsche Integral als vollwertigen
Bestandteil der Analysisvorlesung erhalten, lange nachdem es seine historische
Bedeutung u
¨berlebt hatte.
´, Grundz¨
Jean Dieudonne
uge der modernen Analysis, Band 1
Dies ist ein freiwilliger Aufgabenzettel, mit dem all die, die noch Punkte brauchen, Sonderpunkte erhalten k¨
onnen.
Aufgabe 45. Seien ϕ, ψ: [a, b] → R Treppenfunktionen. Dann ist auch ϕ · ψ eine Treppenfunktion.
Aufgabe 46. Zeigen Sie, dass die Funktion
sin(1/x) f¨
ur x 6= 0
f : [0, 1] → R, f (x) =
0
f¨
ur x = 0
integrierbar ist.
R1
Aufgabe 47. Sei f : [0, 1] → R eine stetige Funktion mit f ≥ 0 und 0 f (x) dx = 0. Zeigen
Sie, dass f = 0 ist. Gilt das auch, wenn f nur als integrierbar statt als stetig vorausgesetzt
ist?
Aufgabe 48. Seien a < b < c reelle Zahlen, und sei f : [a, b] → R eine beschr¨ankte
Funktion. Zeigen Sie, dass f genau dann integrierbar ist, wenn die Einschr¨ankungen von
f auf [a, c] und [c, b] integrierbar sind. (Die Einschr¨
ankung von f auf eine Teilmenge
M ⊆ [a, b] ist die Funktion f|M : M → R, f|M (x) = f (x).) In diesem Fall gilt
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
c
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Seele and Geist
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