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Extremwerte mit und ohne Nebenbedingungen Ext

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Dr. Frank Morherr
SS 2009
Übungen zur Vorlesung
Mathematik für Ingenieure
Blatt: Extremwerte mit und ohne Nebenbedingungen
Extremwerte ohne Nebenbedingung
(1) Rein formal. Bestimmen Sie die relativen und absoluten Extremwerte der Funktion
p
p
f (x) = 2 1 x + 2 x + 1
auf [ 1; 1] .
(2) Wirbelstrombremse: Die Bremskraft K einer Wirbelstrombremse im ICE in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit v hat die Gestalt
K (v) =
v2
v
mit a > 0 und v > 0 .
+ a2
Berechnen Sie, bei welcher Geschwindigkeit die Bremskraft Ihren größ
ten Wert erreicht.
(3) Einhüllende von Geradenscharen. Sei P = (0 j2 ) und zu jedem a 2 R sei Pa = (2a j 2 ) . Betrachten Sie die Geradenschar (ga ) , a 2 R , wo jeweils ga die Mittelsenkrechte der Strecke P Pa ist. (Falls
Sie die Gleichung von ga nicht herausbekommen, nehmen Sie die Gleichung y = a (x a) als Ersatz).
(i) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden ga , und fertigen Sie eine Skizze mit den Geraden ga
für a = 2; 1; 0; 1 und 2 an.
(ii) Finden Sie zu jedem x den Punkt (x jy ) mit der Eigenschaft:
- (x jy ) liegt auf mindestens einer der Geraden ga .
- y ist maximal unter allen solchen Punkten.
(iii) Bestimmen Sie die Gleichung der Kurve, auf der alle Punkte (x jy ) aus (ii) liegen und fügen Sie
die Kurve in Ihre Skizze ein.
(iv) Be‡ügelt von der Vorlesung sitzen Sie in der Cafeteria und Mangels eines attraktiven Gegenübers
schauen Sie in Ihre Ka¤eetasse. Sie entdecken seltsame Gebilde, die Sie ho¤en lassen.
Um welche Art von Kurven handelt es sich und "erklären" Sie die folgenden Bilder
1
Extremwerte unter Nebenbedingungen
(4) Flächenmoment (Zeichnung unten links). Ein beiderseits au‡iegender Balken mit einem rechteckigen Querschnittt wird durch eine konstante Streckenlast q = konst. belastet. Die Durchbiegung des
Balkens an der (festen) Stelle x ist dabei umgekehrt proportional zum Flächenmoment
1 3
ab ,
12
wobei a die Breite des Balkens und b die Dicke des Balkens ist.
I=
Der Balken soll aus einem kreisrunden Baumstamm vom Radius R herausgeschnitten werden und zwar
so, dass die Durchbiegung des (belasteten) Balkens möglichst klein wird.
Wie sind a und b zu wählen?
(5) Größ
tmögliche Leistungsaufnahme (Zeichnung oben rechts). Ein veränderlicher Verbraucherwiderstand Ra wird von einer Spannungsquelle mit der Quellspannung U0 und dem Innenwiderstand
Ri gespeist.
Bestimmen Sie den Verbraucherwiderstand so, dass er die größ
tmögliche Leistung P = Ra I 2 aufnimmt.
( I : Stromstärke).
(6) Eine Dose zum Abendessen. Da die Mensa natürlich wieder mal zu hat, bis Sie mit dem Arbeiten
fertig sind, greifen Sie zum Dosenregal. Es ist dunkel, und Sie ‡uchen," wieso können die nicht alle
Dosen unterschiedlich machen. Dann wäre es viel einfacher, die Richtige zu …nden."
Betrachten Sie eine zylinderförmige Dose mit der Höhe h und dem Radius r .
(i) Bestimmen Sie den Term für das Volumen der Dose in Abhängigkeit von h und r .
(ii) Bestimmen Sie den Term für die Ober‡äche der Dose in Abhängigkeit von h und r .
(iii) Gehen Sie von einem festen Dosenvolumen 1l aus. Bestimmen Sie die Größ
en von r und h so,
dass Sie die "optimale Dose" erhalten. Dies soll hier die Dose mit der kleinsten Ober‡äche bei
gegebenem Volumen sein.
(iv) Welche Fälle könnte man noch unter "optimaler Dose" verstehen?
(v) "Interpretieren" Sie die folgende Zeichnung.
2
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