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Experimentalphysik VI

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Prof. Dr. Peter Michler, Universität Stuttgart
Fortgeschrittene Molekül- und Festkörperphysik
Stuttgart, Wintersemester 2014 / 2015
Revision: 28. Januar 2015
Für Hinweise auf Druckfehler und Kommentare jeder Art bin ich dankbar.1
1
Henri Menke, henrimenke@gmail.com
Übertragung in LATEX durch Henri Menke, Michael Schmid, Marcel Klett und Jan Schnabel.
Dieses Werk ist unter einer Creative Commons Lizenz vom Typ Namensnennung - Nichtkommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland zugänglich. Um
eine Kopie dieser Lizenz einzusehen, konsultieren Sie http://creativecommons.org/
licenses/by-nc-sa/3.0/de/ oder wenden Sie sich brieflich an Creative Commons, 444
Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
8.4
8.5
8.6
8.7
9
Die effektive Massennäherung 1
Löcher 4
Boltzmann-Gleichung und Relaxationszeit-Näherung 6
Elektronen im Magnetfeld 7
8.7.1 Zyklotronresonanz 8
8.7.2 Landau-Niveaus 10
8.7.3 Zustandsdichte im Magnetfeld 12
8.7.4 Hall-Effekt 12
8.7.5 Quanten-Hall-Effekt 14
Halbleiter 17
9.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter 18
9.2 Vergleich: Direkte und indirekte Halbleiter 19
9.3 Undotierte Halbleiter 20
9.4 Dotierte Halbleiter 22
9.5 Leitfähigkeit und Beweglichkeit 24
9.6 Inhomogene Halbleiter 25
9.6.1 p-n-Übergang 26
9.6.2 Metall-Halbleiter-Kontakt 32
9.6.3 Halbleiter-Heterostrukturen 33
9.6.4 Bauelemente basierend auf einem p-n-Übergang 34
10 Supraleiter 37
10.1 Grundphänomene 37
10.2 Grundkenntnisse über Supraleitung 39
10.3 Londonsche Gleichungen 41
10.4 Cooper-Paare und BCS-Theorie 42
10.5 Messung der Energielücke 46
10.6 Supraleiter zweiter Art 49
10.7 Hochtemperatur-Supraleiter 51
11 Magnetismus 53
11.1 Paulische Spinsuszeptibilität 55
11.2 Heisenberg-Modell 56
12 Magnetische Resonanz 63
12.1 Einführung 63
12.2 Kernspinresonanz 64
13 Dielektrische und optische Eigenschaften 77
13.1 Dielektrische Funktion und optische Messungen 77
13.2 Lokales Feld 78
13.3 Elektrische Polarisation in Isolatoren 80
13.3.1 Elektrische Polarisierbarkeit 80
ExPhys6
iii
Inhaltsverzeichnis
13.3.2 Ionenpolarisation 82
13.3.3 Optische Phononen 83
13.3.4 Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Wellen und optischen
Phononen 84
13.3.5 Phonon-Polariton 85
13.3.6 Orientierungspolarisation 86
13.3.7 Ferroelektrizität 88
13.3.8 Exzitonen 88
A Zusammenfassungen 89
A.1 Effektive Masse 89
A.2 Halbleiter 90
A.3 Theoretisches Verständnis der Supraleitung 91
A.4 Supraleiter 92
A.5 Josephson-Effekte 92
A.6 Diamagnetismus 93
A.7 Paramagnetismus 93
A.8 Ferromagnetismus 93
A.9 Austausch-Wechselwirkung zwischen lokalisierten Elektronen 94
A.10 Kernspinresonanz 95
iv
ExPhys6
Inhaltsverzeichnis
8.4 Die effektive Massennäherung
Wir nehmen im Folgenden die Elektronen im Festkörper als Materiewellenpakete mit Wellenvektoren aus der nächsten Umgebung von k an. Die Wellenfunktion lautet dann
ψn (r, t) =
k+∆k/2
X
c(k)uk (r)ei(k·r−En (k)t/) ,
k−∆k/2
mit der Gruppengeschwindigkeit
v g (k) =
dω(k)
1 dE(k)
=
.
dk
dk
(8.15)
Diese spiegelt den Einfluss des Kristalls über die Dispersionsrelation E(k), d.h. die Bandstruktur wieder.
Andererseits ist der Energieübertrag dE(k) in einem Feld gegeben durch
dE(k) = F · dr = F · v dt
(8.16)
mit (8.15) folgt
dk
=F
dt
(8.17)
Nun lässt sich die Bewegungsgleichung für k-Vektoren im Impulsraum aus (8.15) ableiten:
!
dv g
1 d2 E
F
=
dt
2 dk2
=⇒ F =
2
d2 E
dk2
·
dv g
dt
(8.18)
Die Gleichung (8.18) hat die Form des zweiten Newtonschen Gesetzes. Damit definieren wir
die effektive Masse m∗ :
m∗ =
2
d2 E
dk2
(8.19)
Die effektive Masse ist proportional zur Krümmung des Energiebandes. Die Definition lässt
sich erweitern auf anisotrope Energieflächen:
1
1 ∂2E
∗ =
mij
2 ∂ki ∂kj
(8.20)
Falls die Energieflächen Paraboloide sind folgt, dass m∗ konstant ist. Paraboloide erhält man
auch bei der Lösung der simplizierten2 Schrödingergleichung:
!
2
2
∇
+
E
ψ = 0.
2mi∗ i
In mi∗ ist die Wirkung des periodischen Potentials bereits enthalten, da
En,i =
2
2 k2i
2mi∗
(8.21)
kein Potential
2014-10-14
1
8.4 | Die effektive Massennäherung
E
k
m∗
π /a k
ñ1
...
Einige Zahlenwerte für m∗ /m:
ñ
Cu, Au, Ag ≈ 1
ñ
Alkalimetalle ≈ 0.85–1.1
ñ
Pl, Ni, Fe, Co ≈ 10
ñ
Ge, Si ≈ 0.1–0.4
ñ
InSb ≈ 0.014
Bemerkung: Für große Wellenvektoren k sind Abweichungen zu erwarten.
Ç
Ç
1. Bemerkung
1. m∗ ist groß, wenn die Krümmung klein ist. Merke: Ist die Krümmung
klein, dann ist das Band schmal und somit die Austauschwechselwirkung klein,
also die e− sind nahe am Atom. Dies führt zu großer Trägheit, also ist m∗ groß.
Diskussion: Eine Kraft (z.B. ein elektrisches Feld) führt zu einer Zunahme von k (dk =
1
eE dt). Dies treibt die Elektronen näher in den Bereich von π /a wo Braggreflexion
1
stattfindet (k = 2 G100 ). Daraus resultiert eine Impulszunahme in Gegenrichtung und
∗
m wird negativ!
In einem konstanten äußeren Feld E würde ein Festkörperelektron somit eine permanente Pendelbewegung ausführen.
Erfahrung: Es fließt ein Strom gegeben durch die mittlere Bewegung der e− in Feldrichtung.
Ursache: Streuung der e− an Phononen und Gitterfehlern.
ñ
2
k-Zuwachs auf kleinen Wert kstationär beschränkt.
2014-10-14
Inhaltsverzeichnis
E
G
−π /a
ñ2
π /a
k
...
ñ
e− bei kleinen k (teilgefüllte Bänder)
ñ
Volle Bänder kein Strom
Ç
2. Bemerkung Pendelbewegung bzw. Blochoszillation (Abbildung 2)
Die Bewegungsgleichung lautet
dk
= eE.
dt
Für die Bewegung des Elektrons durch die Brillioun-Zone mit konstanter Geschwindigkeit gilt
˙ = eE = const
|k|
mit der Periode
TB =
2π /a
=
eE/
aeE
und der daraus abgeleiteten Blochfrequenz
ωB =
2π
eEa
=
TB
(8.22)
Dies entspricht einer periodischen Geschwindigkeit im k-Raum als auch im reellen
Raum.
Vorraussetzung: Es finden keine Streuprozesse innerhalb von TB statt, also
ω B T2 ≤ 1
(8.23)
mit der Streuzeit mit Phononen und Gitterelektronen T2 (ps bis einige ns).
¸ Beispiel
E = 1 kV m−1 , a = 2 Å =⇒ TB = 20 ns, νB = 50 MHz, δx = 5 mm
µ
Halbleiter-Übergitter: (Abbildung 3)
Die e− können die Zonenränder ohne Streuprozesse erreichen. Dies ist ein oszillierender Dipol, der Terahertz-Strahlung aussendet.
2014-10-16
3
8.5 | Löcher
Übergitter
ñ3
...
E
ke
ñ4
kh
k
...
8.5 Löcher
In der Halbleiterphysik und der Festkörperphysik (elektrisch) spielen Eigenschaften von
unbesetzten Zuständen in einem sonst gefüllten Bang eine wichtige Rolle.
Eigenschaften
Im Folgenden werden Löcher den Index h erhalten (engl.: hole) und Elektronen den Index
e.
1. Wellenvektor:
(8.24)
kh = −ke
P
−
Der Gesamtwellenvektor in einem gefüllten Band ist k = 0. Fehlt ein e mit ke ist
der Gesamtwellenvektor des System −ke. Unser Arbeitsbegriff ist
Das Loch ist eine andere Beschreibung für ein Band mit fehlenden Elektronen.
2. Energie:
εh (kh ) = −εe (ke )
(8.25)
Je tiefer im Band das fehlende Elektron sitzt, desto größer ist die Energie des Systems. Die Energie des Lochs hat das entgegengesetzt Vorzeichen wie die Energie des
fehlenden Elektrons
εe (ke ) = εe (−ke ) = −εh (ke ) = −εh (kh )
Dies folgt aus der Symmetrie des Bandes.
4
2014-10-16
Inhaltsverzeichnis
E
Lochband
kh
k
ke
ñ5
Inversion des Bandes
...
3. Geschwindigkeit:
v h (kh ) = v e (ke )
(8.26)
Die Ableitung ist offensichtlich
∇k εh (kh ) = ∇k εe (ke )
vh = ve
4. Masse
mh∗ = me∗
(8.27)
Die effektive Masse ist umgekehrt proportional zur Krümmung des Bandes.
5. Kraft:
dkh
= e(E + v h × B)
dt
(8.28)
Diese Beziehung folgt aus der Bewegungsgleichung (8.17):
dke
= −e(E + v e × B)
dt
mit ke = −kh und v e = v h folgt unmittelbar (8.28). Die Bewegungsgleichung eines
Lochs ist die eines Teilchens mit positiver Ladung e.
Ausblick: Beim Stromtransport bewegen sich Elektronen und Löcher in entgegengesetzte
Richtungen, da sich e− an der Unterkante des Leitungsbandes und die Löcher sich an der
Oberkante des Valenzbandes aufhalten. Ihr Strombeitrag addiert sich.
Lochband
E
+
−
v Drift
e
v Drift
h
Ç
k
Valenzband
2014-10-16
5
8.6 | Boltzmann-Gleichung und Relaxationszeit-Näherung
8.6 Boltzmann-Gleichung und Relaxationszeit-Näherung
In unserer bisherigen makroskopischen Beschreibung galt σ = eµn.
µ=
e
vD
¯=
τ
m
E
¯ und der Driftgeschwindigkeit vD .
mit der gemittelten Relaxationszeit τ
Für eine mikroskopische Beschreibung betrachten wir die Verteilungsfunktion f (r, k, t).
Diese beschreibt die Ladungsträger am Ort r zur Zeit t in den Zuständen k.
¸ Beispiel Die Verteilungsfunktion der Elektronen im Gleichgewicht ist die Fermi-DiracStatistik
1
f0 (E(k)) = (E(k)−µ)/k T
.
µ
B
e
+1
Nichtgleichgewichtsverhalten (Einschalten einer Störung)
Sei δf eine Auslenkung aus der Gleichgewichtsverteilung f0 :
f (r, k, t) = f0 + δf .
Nach Abschalten der Störung relaxiert die Verteilung exponentiell zurück in Gleichgewicht
mit einer Proportionalität δf ∼ exp(−t/τ).
δf
dδf =−
.
dτ Stöße
τ
(8.29)
Diese Näherung heißt Relaxationszeitnäherung mit der Relaxationszeit τ.
Annahme: Für das stationäre Gleichgewicht gilt
∂f
=0
∂t
df
df0 dδf
+
=
dt
dt
{z }
| dt
=0
d
d δf
f (r, k, t)
=
f
=−
dt
dt Stöße
τ
Feld
∂f
∂f
∂f ˙
df
˙+
=
+
r
k
dt
|∂t
{z }
|∂r
{z }
|∂k
{z }
=0
Diffusionsterm
Feldterm
δf
˙ gradk f
−
= v gradr f + k
τ
−
δf
e
= v gradr f − (E + v × B) gradk f
τ
(8.30)
(8.31)
Dies ist die Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung.
6
2014-10-16
Inhaltsverzeichnis
Sei die Störung δf nun klein:
f = f0 + δf ≈ f0
e
δf = −τ v gradr f − (E + v × B) gradk f
(8.32)
Dies ist die linearisierte Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung.
¸ Beispiel Gesucht ist die Nichtgleichgewichtsverteilung unter Einfluss eines homogenen
elektrischen Feldes E. Für einen stationären Zustand gilt ∂t f = 0. Außerdem hängt f nicht
vom Ort ab, d.h. gradr f = 0.
e
E gradk f0
e
f (k) = f0 (k) + τ E gradk f0
δf = τ
(8.33)
Gleichung (8.33) lässt sich als Entwicklung von f0 (k + ∆k) um den Punkt k (in einem
linearisierten Problem) wie folgt auffassen.
e
(8.34)
f (k) ≈ f0 k + τE
µ
Die sich unter dem Einfluss eines äußeren Feldes E und der Wirkung von Stößen einstellende
stationäre Verteilung lässt sich somit als eine um eτE/ verschobene Gleichgewichts-FermiVerteilung darstellen.
Die Änderung der Fermi-Verteilung f (E(k)) gegenüber der Gleichgewichtsverteilung f0 ist
nun merklich in der Umgebung der Fermi-Energie bzw. der Fermi-Radius kF (Abbildung 6).
Merke: Nur Elektronen in der Nähe der Fermi-Energie sind in Metallen für den Stromtransport
relevant.
Ç
Vergleich mit dem Drude-Modell:
Drude
2
e τ
n
m
eτ
µ=
n
m
σ =
parabolisches Band
e2 τ(EF )
n
m∗
eτ(EF )
µ=
m∗
σ =
(8.35)
8.7 Elektronen im Magnetfeld
Die experimentelle Bestimmung der Fermiflächen (also des Elektronengases) wird vor allem
mit Messungen in Magnetfeldern durchgeführt. Hier werden verschiedene Effekte ausgenutzt:
eB
m∗
ñ
Zyklotronresonanz ωC =
ñ
De Haas-van Alphén Effekt (Magnetisierung µ =
2014-10-21
∂U
∂B
)
7
8.7 | Elektronen im Magnetfeld
ky
kF
δkx
kx
ky
f
kx
f − f0
δkF
ñ6
kx
...
ñ
Shabmikov-de Haas Effekt (Längswiderstand im Quanten-Hall-Effekt)
ñ
Magnetowiderstand
8.7.1 Zyklotronresonanz
Die Probe wird im statischen Magnetfeld bestrahlt. Die Frequenz der Mikrowelle wird durchgestimmt. Das Absorptionsmaximum liegt bei der Zyklotronfrequenz.
Es gelten die Gleichungen (8.15) und (8.17).
1
1 ∂Em (k)
∇k E(k) =
,
∂k
˙ = F = −e[E(r, t) + v m (k) × B(r, t)].
k
r˙ = vm (k) =
Daraus folgt
dk = −
8
e
[∇k E(k) × B] dt.
2
(8.15)
(8.17)
(8.37)
2014-10-21
Inhaltsverzeichnis
Die Bedeutung dieser Gleichungen ist, dass sich Elektronen im Magnetfeld auf Flächen
konstanter Energie bewegen, also dk steht senkrecht auf ∇k E.
Die Trajektorien der Elektronen mit der Fermi-Energie (EF ) liegen auf der Fermifläche. In
vielen Fällen ist dies auf Grund der Symmetrie der Fermi-Flächen längs einer geschlossenen
Bahn.
dE
.
|∇k E(k) × B| = B|∇k E(k)|⊥ = B
dk⊥
Durch Integration in (8.37) erhält man die Umlaufzeit T˜, die ein Elektron für einen Bahnumlauf
benötigt.
I
I
I
2
| dk|
2 dk⊥
T˜ = dt =
=
| dk|
eB | dE/ dk⊥ |
eB
dE
H
mit Querschnittsfläche im k-Raum gilt dS = dk⊥ | dk|
T˜ =
2 dS
.
eB dE
(8.38)
Die Umlaufzeit wird durch die Energieabhängigkeit der im k-Raum von der Bahn eingeschlossenen Schnittfläche bestimmt.
Für das freie Elektronengas gilt (E = 2 k2 /2m):
2π m
dS
=
.
dE
2
(8.39)
Alle Elektronen besitzen die gleiche Umlaufzeit mit der Umlauffrequenz
ωC =
eB
.
m∗
(8.40)
Für Elektronen im Festkörper gilt
m → m∗ .
Achtung Die Zyklotronmasse ist nicht mit der dynamischen Masse (8.20) identisch. mC∗ wird
durch die Lage der Bahn auf der Fermi-Fläche bestimmt und nicht durch eine elektrischen
Zustand.
eB
ωC =
.
(8.41)
m∗
Ï
Ergänzungen:
ñ Bahnen im realen Raum sind Spiralen, da auch die z-Komponente des
Wellenvektors berücksichtigt werden muss.
ñ
Stimmen Zyklotron- und Mikrowellenfrequenz überein, so werden die Elektronen
beschleunigt und nehmen aus dem elektrischen Feld Energie auf. Man erhält ein
Absorptionsmaximum.
ñ
In Metallen treten Komplikationen durch den Skin-Effekt auf. Die Eindringtiefe ist
gegeben durch
s
2
δ=
.
µ0 ωσ
Daraus ergibt sich, dass das umlaufende Elektron nur an der Probenoberfläche (Metall)
mit dem E-Feld in Berührung kommt. Der Energieeintrag oder -austrag bestimmt
2014-10-21
9
8.7 | Elektronen im Magnetfeld
sich je nach Phasenlage. Nicht nur bei ωC erscheint ein Maximum, sondern zwischen
zwei Durchläufen eine ganzzahlige Anzahl von Perioden der elektromagnetischen
Schwingung verstreicht.
??? Was zur Hölle ???
ñ
Scharfe Resonanzen treten nur auf, wenn ein Elektron mehrere Umläufe ungestört
vollenden kann, d.h. es muss die Bedingung erfüllt sein
ωC T 1 (T : mittlere Stoßzeit).
Hohe Frequenzen, hohe B-Felder, tiefe Temperaturen und reine Proben (keine Defekte)
sind notwendig.
ñ
Die effektiven Massen von Elektronen sind nicht gleich. Der Unterschied in den Umlauffrequenzen ωC äußert sich in der Absorption von verschiedenen Frequenzen. Man
erwartet folglich keine scharfe Absorption. Diese wird dennoch beobachtet, wofür es
zwei Gründe gibt.
1. Nur Elektronen an der Fermi-Fläche können Energie aufnehmen (und tragen zur
Absorption bei in Form ihrer unbesetzten Zustände).
2. Das Signal kommt von Elektronen, die mit annähernd der gleichen Frequenz
umlaufen. Die Querschnittsfläche S hat ein Extremum, wodurch Extremalbahnen
auftreten.
Ç
8.7.2 Landau-Niveaus
Es folgt die Quantisierung der Elektronenbahnen im konstanten Magnetfeld.
Annahme:
ñ
ñ
Quasifreie Elektronen mit effektiven Massen m∗ .
Spin wird vernachlässigt (Zusatzterm in der Energie)
Ç
Die stationäre Schrödingergleichung lautet
Hψ = Eψ.
In der quantenmechanischen Beschreibung wird des Magnetfeld B = (0, 0, B) über das
Vektorpotential A im Hamiltonian berücksichtigt.
1
(−i∇ + eA)2 ψ = Eψ
2m∗
(8.42)
mit Magnetfeld B in z-Richtung und A = (0, xB, 0) ergibt sich mit dem von Landau gewählten
Ansatz (in y- und z-Richtung ebene Welle):
−i(ky y+kz z)
˜
ψ = ψ(x)e
.
Die Energieniveaus sind gegeben durch
2 k2z
1
E = E` + E(kz ) = ` +
ω0 +
2
2m∗
10
(8.43)
2014-10-21
Inhaltsverzeichnis
E
1
ω
2
3
` = 1 : ω
2
`=0:
−2
ñ7
−1
0
2 kz
1
...
1
mit ` ≥ 0 ergeben sich die Landau-Niveaus. (Spin-Beitrag ± 2 gS µB B)
Die parabelförmige Bahn freier Elektronen spalten im B-Feld in Sublevel auf, die als LandauNiveaus bezeichnet werden. Die Energieeigenwerte ergeben sich zu δE = ωC .
Bohrsches Korrespondenzprinzip
Im Grenzfall großer Quantenzahlen (bei EF ) gehen klassische und quantenmechanische Beschreibung ineinander über. Die Elektronen bewegen sich in der x, y-Ebene auf Kreisbahnen
mit Bahnradius r` , der durch die Amplitude des linearen Oszillators gegeben ist
1
1 ∗ 2 2
m ωC r` = ` +
ωC
2
2
1
2
r`2 = ` +
2 m ∗ ωC
(8.44)
(8.45)
Quantisierung des magnetischen Flusses
1 Φ` = π r`2 B = ` +
2 e
(8.46)
Im k-Raum durchlaufen die Elektronen Kreisbahnen mit quantisiertenm k` und schließen
definierte Flächen S` ein. Klassische Umlaufgeschwindigkeit v` = ωC v` und v` = k` .
1 2m∗ ωC
k2` = ` +
2
(8.47)
1 2π eB
S` = ` +
2
(8.48)
Im k-Raum Si = π k2`
Für die Fläche im Ortsraum gilt A` = π v`2 = (2` + 1)π /eB
A` =
eB
2
S`
(8.49)
Mit steigendem Magnetfeld verengen sich im Ortsraum die Spiralen.
2014-10-23
11
8.7 | Elektronen im Magnetfeld
Auf einem Kreis mit der Quantenzahl ` kondensieren die Zustände, die sich ohne Magnetfeld
in der kx , ky -Ebene in den Kreisring befinden, der durch die Bedingung
k2`−1/2 < k2` < k2`+1/2
festgelegt ist.
Die eingeschlossene Kreisfläche ist unabhängig von der Quantenzahl
∆S` =
2π m∗ ωC
.
Die Zustandsdichte einer quatr. Probe mit Kantenlänge L ist gegeben
%k =
L2
.
4π 2
Der Entartungsgrad der Landau-Niveaus ist
g` =
c
L2 m∗ ωC
= L2 B
2π
(8.50)
8.7.3 Zustandsdichte im Magnetfeld
In zweidimensionalen Systemen erhalten wir eine vollständige Quantisierung der Zustände.
Die Zustandsdichte ist dann eine Summe von δ-Funktionen mit Gewicht ge .
In dreidimensionalen Systemen treten Van-Hove-Singularitäten im Abstand von ωC auf.
2D-Fall: Mit zunehmendem Feld vergrößert sich der Abstand zwischen den Landau-Niveaus.
Wird das B-Feld erhöht, steigt die Fermi-Energie EF mit dem obersten besetzten Zustand
an. Gleichzeitig wächst der Entartungsgrad, sodass in den unteren Niveaus immer mehr
Elektronen Platz finden. Die Besetzung des obersten Niveaus nimmt daher stetig ab. Ist es
vollständig entleert, so springt die Fermi-Energie abrupt auf das darunterliegende Niveau.
Immer wenn
N = `ge
(8.51)
erfüllt ist (bei T = 0 K) gibt es nur volle oder leere Bänder, wobei N die Anzahl der Elektronen
und ` die Anzahl der besetzten Niveaus ist.
8.7.4 Hall-Effekt
Der klassische Hall-Effekt erlaubt die Bestimmung der Ladungsträgerkonzentration in einer
Probe.
12
2014-10-23
Inhaltsverzeichnis
Herleitung: Lorentzkraft in die Bewegungsgleichungen da bei Hall-Messungen zusätzlich
zum E-Feld ein B-Feld anliegt.
˙ = −e[E + v × B] − m∗
m∗ v
~
v
.
τ
(8.52)
˙ = 0. Die
Wir legen ein B-Feld in z-Richtung an und betrachten den stationären Fall v
Driftgeschwindigkeit der Elektronen (Ausmittlung der Lorentz-Kraft durch Stöße) lautet
eτ
(Ex + vd,y B),
m∗
eτ
= − ∗ (Ey + vd,x B),
m
eτ
= − ∗ Ez .
m
vd,x = −
vd,y
vd,z
(8.54)
Auflösung nach v d unter Berücksichtigung von j = −envd:

 
 
eτ
1
− m∗ B
0
Ex
jx
σ0
 
 
 eτ B
1
0
 m∗
  Ey 
jy  =
e2 τ 2 2
e2 τ 2
1 + m∗2 B
Ez
jz
0
0
1 + m∗2 B 2
(8.55)
Wir betrachten im folgenden einen flachen Stab (Skizze), kein Stromfluss in z-Richtung.
!
!
!
jx
σxx
σxy
Ex
=
(8.56)
jy
−σxy σxx
Ey
Die Leitwerte werden mit der Zyklotronfrequenz ωC = eB/m∗ ausgedrückt
σxx =
ne ωC τ
B 1 + ω2C τ 2
und
σxy = −
ne ω2C τ 2
.
B 1 + ω2C τ 2
(8.57)
Auflösen nach dem E-Feld
Ex
Ey
!
=
%xx
−%xy
%xy
%xx
!
jx
jy
!
.
(8.58)
Die auftretenden Widerstände sind durch
%xx =
1
m∗
B
=
ne ωC τ
ne2 τ
und
%xy = −
B
ne
gegeben. Die Komponente %xx entspricht dem üblichen Ausdruck für den spezifischen
Widerstand, %xy ist die Verknüpfung mit dem Hallwiderstand.
Bemerkung: In anisotropen Medien treten auch bei größeren %yy und %yx auf. In isotropen
Materialien und gewählten Richtung des Magnetfeldes ist jedoch %xx = %yy und %yx =
−%xy .
Ç
Da nur Strom in x-Richtung fließt gilt jy = 0.
Ey = −
eτ
BEx .
m
(8.59)
Im Magnetfeld baut sich also ein elektrisches Feld in y-Richtung auf, das man als HallFeld bezeichnet. Die Ursache dieses Feldes ist die Ablenkung der Elektronen durch die
2014-10-23
13
8.7 | Elektronen im Magnetfeld
Metall
Wertigkeit
RH (e− /Atom)
ñ1
Li
1
0.8
Cu
1
1.5
Al
3
−0.9
Hall-Koeffizienten ausgewählter Metalle.
Lorentzkraft beim Anlegen eines Magnetfeldes in z-Richtung. Im stationären Gleichgewicht
kompensieren sich die resultierende elektrische Kraft des Hall-Feldes gerade die LorentzKraft (FL = FHall ).
Der Stromfluss in x-Richtung ist bei der vorgegeben Geometrie durch
j x = σ 0 Ex
(8.60)
gegeben. Einsetzen in (8.58) ergibt das Hall-Feld
Ey = −
1
Bjx = RH Bjx
ne
(8.61)
Ey
1
=−
.
jx B
ne
(8.62)
mit der Hall-Konstante
RH =
Bemerkung:
1. Da Ex , jx und B Messgrößen sind, lässt sich RH und somit die Elektronendichte direkt bestimmen.
2. Die Interpretation der experimentell ermittelten Daten ist häufig schwierig, da RH von
B, T und Probenpräparation abhängt. Abweichende Werte sowie Vorzeichenänderungen
da meist mehrere Bänder zum Ladungstransport beitragen (vgl. Alkali-, Erdalkalimetalle) bzw. Löcher zum Ladungstransport beitragen. Einige Hall-Konstanten sind in
Tabelle 1 angegeben.
Wenn Elektronen und Löcher oder verschiedene Bänder zum Stromtransport beitragen miss
dies berücksichtigt werden, es ergibt sich:
RH =
pµp2 − nµn2
e(pµp + nµn )2
.
(8.63)
Hierbei stehen n und m für die Dichte, µn und µp für die Beweglichkeit der Elektronen bzw.
Löchern.
Je nach Dichte und Beweglichkeit der Ladungsträger kann also RH < 0 oder RH > 0 sein.
8.7.5 Quanten-Hall-Effekt
Hall-Messungen in zweidimensionalen Systemen bei tiefen Temperaturen und hohen Magnetfeldern. Realisierung eines zweidimensionalen Elektronengases mit Hilfe von Halbleiterheterosystemen oder Feldeffekttransistoren in dünnen Schichten/Filmen mit Kantenlänge L und
Dicke d.
14
2014-10-23
Inhaltsverzeichnis
Berechnung des Hall-Effekts
%xy Ry = d .
(8.64)
In der Probe sind keine teilbesetzten Niveaus vorhanden, wenn N Elektrone auf p voll
besetzte Niveaus verteilt sind.
N = nL2 d = pge = p
e 2
L B.
h
(8.65)
In vollbesetzten Landau-Niveaus tritt keine Elektronenstreuung auf, die Stoßzeit τ ist also
unendlich. Somit ergibt sich für die Leitwerte und den Widerstand in x-Richtung σxx = 0
und %xx = 0.
Der Strom wird nicht durch das elektrische Längsfeld Ex = 0 durch die Probe getrieben,
sondern durch das Hall-Feld Ey . Der Hall-Widerstand sollte linear mit der Magnetfeldstärke
ansteigen. Werte können den durch die Gleichung (8.65) vorgegebenen Werte annehmen:
Ry =
%xy
25 812.807 572 Ω
h
=
=
d
pe2
p
Im Experiment werden Palteaus in Ry beobachtet und Bereiche in denen der Längswiderstand
verschwindet: Quanten-Hall-Effekt.
Bemerkung:
1. Nur Elektronen an der Fermi-Kante tragen zum Stromtransport bei.
2. Solange EF im Bereich lokalisierter Zustände σxx = 0: Hall-Plateaus.
3. Stromtransport findet über Randkanäle statt, Leitwertquantum GQ = 2e2 /h (Spinentartung der Landau-Niveaus berücksichtigt).
4. Seit 1.1.1990 Widerstandsnormal 25 812.807 Ω.
2014-10-28
Ç
15
Halbleiter | 9
9
Halbleiter
Halbleiter sind von überragender Bedeutung für die Elektronik, Optoelektronik und Photonik.
Sie besitzen ein hohes Potential für Quantentechnologien. Einige Beispiele:
Elektronik: Si-Technologie: Prozessoren, Speicherchips, Detektoren
Optoelektronik und Photonik, Quantentechnologien:
ñ
ñ
ñ
Halbleiter-Laser
ñ
Optische Nachrichtentechnik (1.3 µm und 1.5 µm)
ñ
Compact Disk CD, DVD
ñ
Laser-Display Technolgie
ñ
Sensortechnik, Medizintechnik
Einzel-Photonen-Lichtquellen
ñ
Quantenkryptographie
ñ
Quantencomputer
LEDs
ñ
Anzeigeinstrumente
ñ
Ampeln, Scheinwerfer
ñ
Zukunft: Raumbeleuchtung
ñ
Nobelpreis Physik 2014: Entwicklung der blauen und weißen LED
Besondere Eigenschaften
ñ
Die elektrische Leitfähigkeit ist stark temperaturabhängig (exponetionell)
ñ
σ kann durch geringfügige Materialzusätze um viele Größenordnungen variiert werden.
ñ
Bandlücke: Valenzband (VB) voll, Leitungsband (LB) leer bei T = 0 K.
2014-10-28
17
9.1 | Daten einiger wichtiger Halbleiter
E
E
E
−
EF
−
−
−
−
Metall
EF
EF
−
−
+
−
x
−
−
−
−
−
Halbleiter x
−
−
Isolator
−
x
ñ8
Das Bändermodell. Das Leitungsband ist orange, das Valenzband blau dargestellt. Kreise mit
einem „−“ sind Elektronen, Kreise mit einem „+“ sind Defektstellen.
9.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter
1. Typische Element-Halbleiter sind: Si, Ge (Diamant). Eine Mischung der s- und pWellenfunktion führt auf ein tetraedrisches Bindungsorbital (sp 3 ). Im Gleichgewichtsabstand spalten sie auf in ein bindendes und antibindendes Orbital. In bindenden
Oribtalen ist das Valenzband voll, in antibindenden ist das Leitungsband leer. Aus
Abbildung 8 erkennt man, dass die Energielücke temperaturabhängig ist, da sich mit
wachsender Temperatur der Gitterabstand auf Grund der thermischen Ausdehnung
vergrößert.
Si, Ge:
ñ
Anisotrope Energiebänder
ñ
Energieflächen der Leitungselektronen
E(k) = 2
k2x + k2y
2mz∗
+
k2z
2m`∗
!
= const
(9.1)
mit der transversalen Masse mt∗ und der longitudinalen Masse m`∗ .
Indirekte Halbleiter:
E
k
Eg (Si)
Eg (Ge)
T = 0K
T = 300 K
1.17 eV
0.75 eV
1.12 eV
0.67 eV
Valenzbandstruktur:
18
2014-10-28
Halbleiter | 9
E
k
Dies rührt von der Spin-Bahn-Wechselwirkung her. Die Energieflächen bei k = 0
sind sphärisch.
2. Verbindungs-Halbleiter
a) Verbindungen von III und IV Hauptgruppe: GaAs, InP, Alx G1−x As, InSb, InAs haben
gemischt ionisch-kovalente Bindungen.
b) Verbindungen von III und IV Hauptgruppe: ZnSe, ZnS, CdTe, Znx S1−x Se haben
einen stärkeren ionischen Anteil als bei III-IV-Halbleitern.
3. Direkte Halbleiter
E
k
Annahme: GeP und AlSb besitzen indirekte Bandlücken. Die Elektronen haben eine
sphärische Energiefläche, die Löcher sind ähnlich wie bei Ge, Si.
9.2 Vergleich: Direkte und indirekte Halbleiter
E
E
Ω
ω
−π /a
ñ
ω
π /a
k
−π /a
π /a
k
Optische Übergänge: Energie- und Impulserhaltung müssen erfüllt sein
LB
kVB
e + kPhoton = ke
2014-10-28
19
9.3 | Undotierte Halbleiter
ñ
Abschätzung:
2π
2π
=
λ
500 nm
π
π
=
=
a
0.5 nm
kPhoton =
kRand d. BZ
kPhoton
= 10−3
kRand d. BZ
Im E(k)-Diagramm zeigt sich dies als senkrechter Übergang.
In indirekten Halbleitern sind Übergänge nur mit Phononenbeteiligung möglich (Impulserhaltung). Wegen sehr vieler kleiner Übergangswahrscheinlichkeiten sind indirekte Halbleiter
nicht geeignet für effiziente Lichtemitter (z.B. Halbleiter-Laser oder EPQ).
9.3 Undotierte Halbleiter
Beim Halbleiter tragen Elektronen und Löcher zum Stromtransport bei. Nach (7.24) und (7.25)
σ = |e|(nµn + pµp )
(9.2)
mit den Beweglichkeiten der Elektronen und Löcher µn und µp und den Volumenkonzentrationen der Elektronen und Löcher n und p.
Intrinsische Halbleiter besitzen freie Elektronen und Löcher durch thermische Anregung
über die Energielücke. Um die Besetzung zu erhalten müssen wir berechnen:
Z∞
n=
DL (E) f (E, T ) dE
(9.3)
EL
Z EV
p=
DV (E) (1 − f (E, T )) dE
(9.4)
−∞
Mit den Zustandsdichten DV des Valenzbandes und DL des Leitungsbandes und der FermiDirac-Statistik f (E, T ). Die Zustandsdichten sind bekannt als
∗ 3/2 p
(2mn
)
E − EL
2π 2 3
∗ 3/2 p
(2mp )
DL (E) =
EV − E
2π 2 3
DL (E) =
(E > EL )
(9.5)
(E < EV )
(9.6)
Anmerkung: In der Halbleiterphysik nennt man das chemische Potential µ oft Fermi-Niveau
EF .
Ç
Da die „Aufweichungszone“ der Fermi-Funktion (≈ 2kB T ) bei üblichen Temperaturen klein
ist gegen den Bandabstand (≈ 1 eV) lässt sich innerhalb der Bänder die Fermi-Funktion durch
die Boltzmann-Besetzungswahrscheinlichkeit annähern.
1
e
20
E−EF
kB T
E−E
≈e
− k TF
B
1 für E − EF 2kB T
+1
2014-10-30
Halbleiter | 9
ni [cm−3 ]
Eg [eV]
Ge
Si
GaAs
ñ2
2.4 · 1013
1.5 · 1010
5 · 107
0.67
1.1
1.43
Intrinsische Ladungsträgerdichten bei 300 K.
Damit folgt für (9.3)
n=
Z∞
(2m∗ )3/2 EF /kB T
e
2π 2 3
p
E − EL e−E/kB T dE
EL
Mit der Substitution XL = (E − EL )/kB T ergibt sich
n=
(2m∗ )3/2
(kB T )3/2 e−(EL −EF )/kB T
2π 2 3
Z∞
0
1/2
XL e−XL dXL
mit
L −(EL −EF )/kB T
e
n = Neff
V (EV −EF )/kB T
p = Neff
e
und
L
=2
Neff
V
und Neff
=2
∗
2π mn
kB T
h2
3/2
2π mp∗ kB T
!3/2
(9.7)
(9.8)
h2
wobei Neff die effektive Zustandsdichte ist.
Anmerkung: Bei hohen Ladungsträgerdichten (Dotierung) kann diese Näherung nicht mehr
verwendet werden. Man spricht dann von entarteten Halbleitern.
Ç
Aus (9.7) und (9.8) folgt das Massenwirkungsgesetz
V −Eg /kB T
L
np = Neff
Neff
e
=4
kB T
2π 2
3
∗
(mn
mp∗ )3/2 e−Eg /kB T
(9.9)
Bei einem intrinsischen Halbleiter gilt die Neutralitätsbedingung
n=p
q
V −Eg /2kB T
L
und ni = pi = Neff
Neff
e
(9.10)
Für T = 300 K sind einige intrinsische Ladungsträgerdichten in Tabelle 2 aufgetragen.
Aus n = p folgt
EF =
2014-10-30
EL + EV
kB T
+
ln
2
2
L
Neff
V
Neff
!
=
EL + EV
3
+ kB T ln
2
4
mp∗
∗
mn
!
(9.11)
21
9.4 | Dotierte Halbleiter
9.4 Dotierte Halbleiter
Dotierte Halbleiter sind technologisch wichtig. Praktisch alle Bauelemente sind dotiert.
¸ Beispiel Man setzt einen subtituionellen Donator, z.B. Phosphor P (5-wertig) auf einen
Gitterplatz im Si-Gitter (4-wertig). Das fünfte nicht für die Bindung zum Silizium benötigte
Elektron bewegt sich praktisch wasserstoffartig um das positive P-Zentrum. Wir lösen das
Wasserstoffproblem unter Berücksichtigung des anwesenden Festkörpers. Damit ergibt sich
die Donator-Rydberg-Energie:
me∗ /m0 H
RyD =
Ry
µ
ε2
Abschätzung:
me∗ ≈ 0.01 . . . 0.5m0
ε ≈ 7 . . . 12
B
ED
≈ 7 . . . 50 meV
Ç
p-Halbleiter
n-Halbleiter
E
E
B
ED
Donatorniveau
A
ED
x
Akzeptorniveau
x
Die Neutralitätsbedingung (9.10) muss modifiziert werden
n + NA− = p + ND+
(9.12)
wobei
ND = ND0 + ND+
und
NA = NA0 + NA+ .
Die Fermi-Energie EF muss aus dieser Neutralitätsbedingung berechnet werden.
Die Gesamtkonzentration der Donatoren und Akzeptoren ist gegeben durch ND und NA . Die
Konzentrationen der ionisierten Donatoren und Akzeptoren sind ND+ und NA− .
Für die Besetzung der Donatoren mit Elektronen bzw. der Akzeptoren mit Löchern gilt
Z
ND0 = DD (E) fD0 (E) dE
(9.13)
DD (E) = ND δ(E − ED )
fD0 (E) = gi
22
1
e(ED −EF )/kB T + 1
(9.14)
(9.15)
2014-10-30
Halbleiter | 9
mit gi dem Entartungsgrad der i-ten Störstelle. Der Entartungsfaktor berücksichtigt die
Entartung der Störstellenniveaus. Bei einfachen Donatoren kann ein Elektron mit Spin nach
oben oder nach unten eingebaut werden. Das heißt wir haben doppeltes statistisches Gewicht
gi = 2. Dieser Faktor wird im Folgenden vernachlässigt.
h
i−1
ND0 = ND 1 + e(ED −EF )/kB T
h
i−1
NA0 = NA 1 + e(EF −EA )/kB T
(9.16)
(9.17)
Berechne Zahl der freien Elektronen als Funktion der Temperatur
1. im Falle von Donatoren und Akzeptoren nur numerisch möglich.
2. n-dotierte Halbleiter (keine Akzeptoren)
Es gilt
L −(EL −EF )/kB T
n = Neff
e
(9.7)
ND = ND0 + ND+
h
i−1
ND0 = ND 1 + e(ED −EF )/kB T
(9.16)
Freie Elektronen können nur von Donatoren oder aus dem Valenzband stammen d.h.
n = ND+ p
(9.18)
Zur Vereinfachung sagen wir, dass der Hauptteil von den Donatoren kommt, d.h. ND+ ni
also n ≈ ND+ = ND − ND0 . Damit folgt mit (9.16)
n ≈ ND 1 −
1
1 + exp[(ED − EF )/kB T ]
!
(9.19)
Die Fermi-Energie EF lässt sich über Gleichung (9.7) ausdrücken als
n
L
Neff
!
eEl /kB T = eEF /kB T
das heißt
n=
ND
1 + eEd /kB T
n
L
Neff
s
n = 2ND 1 +
Drei Grenzfälle von (9.20):
mit
Ed = EL − ED
ND
1 + 4 L eEd /kB T
Neff
!−1
(9.20)
1. Für kleine Temperaturen: Störstellenreserve
ND Ed /kB T
1
L e
Neff
q
L −Ed /2kB T
n = ND Neff
e
4
2014-10-30
(9.21)
23
9.5 | Leitfähigkeit und Beweglichkeit
2. Für mittlere Temperaturen: Störstellenerschöpfung
4
ND Ed /kB T
1
L e
Neff
n = ND = const
(9.22)
3. Für hohe Temperaturen: Intrinsischer Bereich
n ∼ e−Eg /2kB T
(9.23)
Ç
9.5 Leitfähigkeit und Beweglichkeit
Die Leitfähigkeit ist gegeben durch
σ = |e|(nµn + pµp )
(9.24)
γ = σE
(9.25)
Vergleich Metall und Halbleiter
Metall
Halbleiter
µn und µp müssen beim Halbleiter als Mittelwerte über die von e− und h besetzten Zustände im unteren Leitungsband und oberen
Valenzband berücksichtigt werden. Dies erfordert eine Behandlung mit der BoltzmannGleichung. Hier: Qualitative Diskussion der
Streuprozesse.
Nur die e− an der Fermikante tragen bei. Die
Zahl der Stöße pro Zeiteinheit ist proportional zum Streuquerschnitt Σ und der Geschwindigkeit der e−
1
∼ Σ hvi
τ
1
1
∼ Σv(EF ) =⇒ Σ ∼
τ
τ
(9.26)
hvi ist im Gegensatz zu Metallen als thermischer Mittelwert über alle e− - und h-Geschwindigkeiten zu betrachten.
q
3k T
Bemerkung: Kinetische Gastheorie: hvi = mB∗
hvi ∼
√
T
e
τ(EF )
m∗
1
1
1
=
+
τ
τPhonon
τStör
v(EF ) = const(T )
1. Phononen
(9.27)
1
(T Θ)
T
ΣPhonon ∼ T
τPhonon ∼
1. Phononen
ΣR ∼ T
1
∼ T 3/2
τPhonon
1
µPhonon ∼ 3/2
T
24
µ=
(9.29)
µ∼
1
T
σ ∼
1
T
(9.28)
2014-10-30
Halbleiter | 9
2. Störstellen
2. Störstellen
1
∼ NStör · const(T )
τStör
Streuung an ionisierten Donatoren und
Akzeptoren. Rutherfordstreuung
ΣPhonon ∼ hvi
√
hvi ∼ T
=⇒
−4
1
NStör
∼ 3/2
τStör
T
µ ∼ T 3/2
(9.30)
log µ
T 3/2
ionisierte
Störstellen
T −3/2
Phononen
log T
Zusätzlich können in piezoelektrischen Halbleitern (z.B. III–V- und II–VI-Halbleitern) noch
Beiträge von Streuung an Phononen herrühren, die mit einer Polarisation behaftet sind.
ñ
piezoelektrische Streuung
ñ
Streuung an optischen Phononen
In modernen Halbleiter-Bauelementen werden Felder > 105 V m−1 erreicht. Das Ohmsche
Gesetz gilt nicht mehr, vD ist nicht mehr proportional zur Feldstärke
~ bis ca. 2 · 103 V m−1 (GaAs,Si,Ge)
~D ∼ E
v
~ beschleunigt, bis
Ladungsträger werden im äußeren Feld entlang der Energiebänder E(k)
die Energie (bezogen auf EF ) optische Phononen mit hoher Zustandsdichte (etwa 60 meV
bei Si, 36 meV bis GaAs) erreichen. Dies führt zur Anregung optischer Phonenen und die
Driftgeschwindigkeit VD sättigt.
Eine weitere Besonderheit bei direkten Halbleitern (GaAs, InP, GaN) ist, dass ab einer kritischen Feldstärke Elektronen in Seitentäler (L,X) gestreut werden. Es resultiert ein negativer
differentieller Widerstand (in den Seitentälern ist die effektive Masse größer).
Die beschleunigten Elektronen gewinnen so viel Energie, dass sie weitere Elektronen aus dem
Valenzband ins Leitungsband anregen können.
9.6 Inhomogene Halbleiter
Das Verständnis von inhomogenen Halbleitern ist Vorraussetzung zum Verständnis der
technischen Anwendung von Halbleitern.
2014-11-04
25
9.6 | Inhomogene Halbleiter
9.6.1 p-n-Übergang
Im Folgenden betrachten wir abrupte Übergänge, also sprunghafte Änderungen in der
Dotierung.
E
ELn
EFn
ED
p
EF
p
EV
EA
x
− − − −
−
−
−
−eVD
◦ ◦ ◦ ◦
◦
−
˜−
−e
(x)− −
−V
◦
◦ ◦ ◦ ◦
◦
◦
Dabei ist VD die Diffusionsspannung. Im Kontakt ist die Diffusion von Ladungsträgern aus
den jeweiligen Gebieten hoher in jene niedriger Konzentration.
ñ
Ausgleich der Ferminiveaus
ñ
Aufbau von Diffusionsspannung VD
ñ
Bandverbiegung
ñ
Störung entgegen der Diffusion
p
Die Diffusionsspannung ist durch die Differenz EFn − EF der beiden Fermi-Niveaus der
dotierten Kristalle gegeben.
p
eVD = EFn − EF
im Beispiel der Störstellenerschöpfung gilt
n ≈ ND
26
(9.22)
2014-11-04
Halbleiter | 9
und damit
n
L −(EL −EF )/kB T
n = ND = Neff
e
!
L
Neff
− EV − kB T ln
eVD = EL − kB T ln
ND
!
V
L
Neff
Neff
= Eg − kB T ln
ND NA
V
Neff
NA
!
=⇒ eVD = Eg
Die Minoritätsladungsträger sind
ñ
e− im p-Gebiet
ñ
h im n-Gebiet
In großer Entfernung vom Übergang gilt
nn ≈ ND+ ≈ ND
bzw. pp ≈ NA− ≈ NA
Massenwirkungsgesetz
np · pp = nn · pn = ni · pi
Bei üblichen Dotierungen ist die Majoritätsladungsträgerdichte sehr viel größer, die Minoritätsladungsträger sehr viel kleiner als die ni -Ladungsträgerdichte im Übergangsbereich.
˜ (x)
ELn (x) = EL − eV
p
˜ (x)
EV (x) = EV − eV
L
n(x) = Neff
exp −
V
p(x) = Neff
exp −
log n, p
p-HL
˜ (x) − EF
EL − e V
kB T
!
˜ (x)
EF − EV + e V
kB T
!
ND+
(9.31a)
(9.31b)
n-HL
NA−
pq
np
x=0
x
Verarmungszone
ñ
ND > NA
ñ
Störstellen völlig ionisiert
2014-11-04
27
9.6 | Inhomogene Halbleiter
Massenwirkungsgesetz:
n(x)p(x) = const
In der Verarmungszone wird die Ladung der ionisierten Donatoren und Akzeptoren nicht
mehr durch die freien Ladungsträger kompensiert. Es resultiert ein Aufbau von einer Raumladung.
Raumladungsdichte:
%(x) = e[ND+ − nn (x) + pn (x)] ,
%(x) =
−e[NA−
x>0
+ np (x) − pp (x)] ,
x<0
(9.32)
(9.33)
Der Potentialverlauf und die Raumladung sind über die Poissongleichung verknüpft.
∂2
%
˜ (x) = −
V
∂x 2
ε0 εr
(9.34)
Die Lösung muss über ein selbstkonsistentes Verfahren erfolgen. In der Raumladungszone
ist die Konzentration freier Ladungsträger gering und wird daher vernachlässigt. Wir machen
hier die Näherung: Der Verlauf von %(x) wird durch einen rechteckigen Verlauf ersetzt. Dies
führt auf das Schottky-Modell.

0





−eNA
%(x) =
eNA





0
für 0 < −dp
für −dp < x < 0
für 0 < x < dn
(9.35)
für x > dn
Dabei sind dn und dp die Dicken der Raumladungszone. Für den n-leitenden Teil lösen wir
die Poisson-Gleichung.
∂2
eND
˜ (x) = −
U
∂x 2
ε0 εr
∂U (x)
eND
Ex = −
=−
(dn − x)
∂x
ε0 εr
eND
˜ (x) = U
˜n (∞) −
U
(dn − x)2
2ε0 εr
28
(9.36)
(9.37)
(9.38)
2014-11-04
Halbleiter | 9
%(x)
+
eND
−
eNA
E(x)
x
V (x)
˜ (−∞)
V
x
˜ (+∞)
V
x
x = 0 dn
dp
Neutralitätsbedingung:
ND dn = NA dp
(9.39)
˜ (x = 0)
Aus (9.39) und der Stetigkeit von U
e
˜n (∞) − V
˜p (∞) = VD
(ND d2n + NA d2p ) = V
2ε0 εr
Lassen sich die Dicken dp und dn berechnen
s
2ε0 εr VD
dn =
e
s
2ε0 εr VD
dp =
e
NA /ND
NA + ND
(9.40)
ND /NA
NA + ND
(9.41)
¸ Beispiel eVD = Eg = 1 eV und NA = ND = 1020 . . . 1024 m−3 .
=⇒ dn = dp = 1 µm . . . 10 nm
E = 106 V m−1 . . . 108 V m−1
µ
Ströme im p-n-Übergang
− − − −
−
−
−
◦ ◦ ◦ ◦
◦
− − − −
◦
◦ ◦ ◦ ◦
◦
◦
2014-11-06
−
29
9.6 | Inhomogene Halbleiter
Der Diffusionsstrom (Rekombinationsstrom) ensteht aufgrund der Ladungsträgerkonzentration auf den beiden Seiten des p-n-Übergangs. Die e− (h) die im Leitungsband (Valenzband)
eine sehr hohe Energie haben (Boltzmann-Ausläufer) und die nach dem Durchlaufen der
Raumladungszone mit den entgegengesetzt geladenen Ladungsträgern rekombinieren.
∂n
∂p
j d = jnd + jpd = e Dn
− Dp
∂x
∂x
(9.42)
Der Feldstrom (Generationsstrom) wird durch das elektrische Feld verursacht und wirkt dem
Diffusionsstrom entgegen. Im thermodynamischen Gleichgewicht werden ständig ElektronLoch-Paare gebildet, wobei die Elektronen und Löcher sofort über die p-n-Schicht fließen.
j f = fnf + jpf = e(nµn + pµp )Ex
(9.43)
Im thermodynamischen Gleichgewicht kompensieren sich die Ströme
jd + jf = 0
(9.44)
dies gilt auch für die Elektronen- und Löcher-Ströme einzeln.
für e−
Dn
˜ (x)
∂V
∂n
= nµn
∂x
∂x
Ex = −
˜ (x)
∂V
∂x
Siehe (??)
"
L
n(x) = Neff
exp −
˜ (x) − EF
EL − e V
kB T
!#
˜ (x)
∂n
e ∂V
=n
∂x
kB T ∂x
(9.45)
Die Transportgrößen sind über die Einstein-Beziehung verknüpft:
kB T
µn
e
kB T
µp
Dp =
e
Dn =
(9.47)
Annahme: Ist die Raumladungszone dünn, so kann der Rekombinationsstrom von Elektronen und Löchern in der Raumladungszone vernachlässigt werden und für die Diffusionslänge
gilt
LD dn + dp
Die Stärke des Stroms hängt nicht vom Potentialverlauf ab. Die Elektronen müssen gegen die
Potentialdifferenz anlaufen.
jd ∼ e
eV
−k D
T
B
|j d | = |j f | = a(T )e
eV
−k D
T
B
Der Vorfaktor a(T ) hängt schwach von der Temperatur ab.
30
(9.48)
Ç
2014-11-06
Halbleiter | 9
Der p-n-Übergang unter äußerer Spannung Eine äußere Spannung stört das Gleichgewicht
von Feld- und Diffusionsstrom. Die Gleichgewichtsthermodynamik ist nicht mehr anwendbar.
Eine angelegte Spannung U fällt hauptsächlich in der Raumladungszone ab, da dort wenig
Ladungsträger und damit R groß ist.
˜n (∞) − V
˜p (−∞) = VD − U
V
(9.49)
Konvention Eine positive Spannung ist der Diffusionsspannung entgegengerichtet. Eine positive Polung bei p und eine negative Polung bei n entspricht der Durchlassrichtung. Der
umgekehrte Fall ist die Sperrrichtung.
Ï
In der Raumladungszone sind die Ladungsträger nicht im Gleichgewicht, d.h. sie haben kein
gemeinsames Fermi-Niveau. Falls aber Elektronen und Löcher untereinander im Gleichgewicht
gibt es ein Quasi-Fermi-Niveau der Elektronen EFn und der Löcher EFp .
−e(VD − |U|)
EL
EFn
EFp
EV
−e(VD + |U|)
EFp
EL
EFn
EV
Einfluss der angelegten Spannung:
1. Der Feldstrom wird in erster Näherung nicht beeinflusst. Jeder Ladungsträger innerhalb
der Raumladungszone wird abgesaugt.
jnf (U ) = jnf (0)
2. Der Diffusionsstrom ändert sich, da die Potentialbarriere geändert wird auf VD − U.
jnd (U ) = a(T )e−e(VD −U )/kB T = jnd (0)eeU /kB T
3. Der Feld- und Diffusionsstrom fließen entgegengesetzt
jn (U ) = jnd (U ) − jnf = jnf eeU /kB T − jnf = jnf eeU /kB T − 1
f
wobei |jnd (0)| = |jn (0)|.
2014-11-06
31
9.6 | Inhomogene Halbleiter
j(U ) = (jnf + jpf ) eeU /kB T − 1 = jS eeU /kB T − 1
(9.50)
I
f
f
−(jn + jp )
U
Zenerdurchbruch
f
f
Zur Berechnung von (jn + jp ) siehe Ibach, Lüth S. 435.
!
eDp
eDn
pn +
np
eeU /kB T − 1
j(U ) =
Lp
Ln
(9.51)
mit
q
Lp = Dp τp
p
Ln = Dn τn
mit der Lebensdauer τ.
9.6.2 Metall-Halbleiter-Kontakt
φM
EVak
χ
EVak
EL
φM Austrittsarbeit
EF
ñ
Austrittsarbeit: φM = EVak − EF
ñ
Elektronenaffinität: χ = EVak − EL
EF
EV
Idealer Fall
Es existieren keine Grenzflächenzustände am Metall-Halbleiter-Kontakt.
Grundregeln
1. Ohne Kontakt wird die gegenseitige Energieanordnung durch das gemeinsame Vakuumniveau vermittelt.
32
2014-11-06
Halbleiter | 9
Si
GaAs
ñ3
φBa = 0.27 φm − (0.55 ± 0.22 eV)
φBa = 0.075 φm − (4.49 ± 0.24 eV)
Experimentelle Daten zur Schottky-Barriere.
2. Mit Kontakt ist das Fermi-Niveau in beiden Materialien durchgehend konstant.
3. Die Majoritäten bestimmen die Ausgleichsprozesse an der Grenzfläche. Daher wird die
Barrierenhöhe φB zwischen dem metallischen Fermi-Niveau und der Bandkante der
Majoritätsträger gerechnet.
Realer Fall
Am Metall-Halbleiter-Kontakt bilden sich Grenzflächenzustände mit hoher Dichte aus. Diese
bestimmen die Lage des Fermi-Niveaus. Dies führt zur Ausbildung einer Barriere, der sogenannten Schottky-Barriere. Diese ist für den Metall-Halbleiter-Übergang charakteristische
Größe.
9.6.3 Halbleiter-Heterostrukturen
n-HL
stark dotiert
n-HL
schwach dotiert
∆EL
∆EV
entartetes e− Gas (2D)
EF
Es bilden sich
ñ
Banddiskontinuitäten ∆EL , ∆EV
ñ
Bandverbiegungen
¸ Beispiel GaAs/Ge:
∆EV = 0.45 eV
∆EL = 0.28 eV
2014-11-11
µ
33
9.6 | Inhomogene Halbleiter
An der Grenzfläche entsteht ein 2D Elektronengas. Den Vorteil liefern Störstellen (Dotieratome im Halbleiter mit größerer Bandfläche), da sie zu höherer Elektronen-Beweglichkeit
führen (Quantenhalleffekt, FQHE).
Für die Energiezustände betrachten wir einen Quantentrog:
Ej (kx , ky ) =
2 (k2x + k2y )
∗
2mxy
+ Ej
(9.52)
∗
mit der effektiven Masse in der x, y-Ebene mxy
und der transversalen Energie Ej . Im Falle
eines unendlichen Potentialtopfs gilt
Ej =
2 π 2 j 2
2mz∗ dz2
HL1
Ej
mit j = 1, 2, 3
HL2
HL1
EL
Ej
dz
EV
HL1
EL
Minibänder
EV
9.6.4 Bauelemente basierend auf einem p-n-Übergang
1. Solarzelle: Die Absorption eines Photons in der Raumladungszone.
ω
RL
ñ
34
↓I
p
n
Das Elektron-Loch-Paar wird durch das elektrische Feld getrennt.
2014-11-11
Halbleiter | 9
ñ
Ein zusätzlicher Strom IL in Richtung des Feldstroms.
I = IS eeU /kB T − 1 − IL
(9.53)
2
Typische Werte bei einer Fläche von 4 cm sind IL ∼ 100 mA und IS ∼ 1 mA.
I
U
P = UI
Arbeitspunkt
Leerlaufspannung:
I = 0 =⇒ UL ≈
kB T
IL
ln
e
IS
typisch sind hier 0.5 V.
Kurschlussstrom:
U = 0 =⇒ I ≈ IL ∼ Bleuchtungsstärke
Die Betriebsbedingungen müssen so gewählt werden, dass die Fläche des Rechtecks
(siehe Abbildung) minimal wird. Fausregel: U ≈ 80 %UL . Der Verbrauchswiderstand RL
muss an die Solarzelle angepasst werden.
Amorphes Si ∼ 10 %
Polykrist. Si ∼ 15 %
Kristallines Si ∼ 20 %
GaAs (3 Schichten) ∼ 25 %
ñ4
Typische Wirkungsgrade
2. Photodiode: Betrieb in Sperrrichtung.
3. Leuchtdioden: Betrieb in Durchlassrichtung.
4. Halbleiterlaser (p-n-Übergang in Durchlassrichtung): Rekombination von e− und h im
Bereich der Raumladungszone. Voraussetzung für Lasertätigkeit: Besetzungsinversion.
Elektronen und Löcher halten sich an den Bandkanten auf:
f (E = EL ) > f (E = EV )
h
i−1
n
f (EL ) = 1 + e(EL −EF )/kB T
h
i−1
p
f (EV ) = 1 + e(EV −EF )/kB T
p
EFn − EF > EL − EV = Eg
2014-11-11
(9.54)
(9.55)
35
Supraleiter | 10
10
Supraleiter
10.1 Grundphänomene
1911 H. K. Onnes (Hg)
%
T
TC
Messung: Erzeugung eines Dauerstroms
Herausziehen
IS
S
B
N
B
1. Abkühlen T < TC
2. Herausziehen des Magneten
˙ ). Bei
3. Durch das Herausziehen des Magneten wird ein Strom induziert (rot E = −B
endlichem Widerstand klingt der induzierte Strom als
I(t) = I0 e−Rt/L
(10.1)
ab mit dem Widerstand R des Rings und der Induktivität L.
Abklingzeit > 105 a
Meißner-Ochsenfeld-Effekt
Feldverdrängung im Supraleiter:
Ba = µ 0 H
Bi = µ0 (H + M) = µ0 (H + χH) = µ0 H(1 + χ) = 0
χ = −1
2014-11-13
(10.2)
37
10.1 | Grundp hänomene
Oberflächenströme
Ba
ñ9
Bi = Ba
Ba
Bi = 0
Durchflutung eines Leiters nach dem Meißner-Ochsenfeld-Effekt
Ein Supraleiter ist ein idealer Diamagnet. Wird das äußere Feld erhöht, so bricht die Abschirmung bei einem kritischen Feld BC zusammen und es folgt ein Übergang in den Normalzustand.
Bi
Ba
BC
Empirisch:
"
BC (T ) = BC (0) 1 −
T
TC
2 #
(10.3)
BC
NL
BC (T )
SL
T
BC umfasst hierbei
1. externe Felder Ba
2. interne Felder Bi
Bi wird aufgebaut wenn der Supraleiter von einem Strom durchflossen wird. Bei einem Draht
mit Radius R0 ist Bi an der Oberfläche
Bi =
µ0 I0
2π R0
Es muss gelten Bi + Ba ≤ BC (T ).
Supraleitung kann durch zu hohen Strom unterbrochen werden. Es gibt einen Grenzstrom
I > IC bei dem die Supraleitung verschwindet. (IC = 5 . . . 200 A für T = 0 K).
38
2014-11-13
Supraleiter | 10
Torsionsfaden
Lichtzeiger
BM
10 µm
SiO2 Quarzröhrchen
Pb
Be
ñ 10
Versuchsaufbau von Doll und Nähbauer zur Feldquantisierung
10.2 Grundkenntnisse über Supraleitung
1.
i) Elementsupraleiter sind vor allem Nichtübergangsmetalle sowie einige Übergangsmetalle mit nicht gefüllten inneren Schalen.
ii) Ferromagneten sind keine Supraleiter.
2. Verbindungs-Supraleiter haben eine höhere Sprungtemperatur
ñ
Element-Supraleiter ≤ 10 K
ñ
Verbindungs-Supraleiter ≥ 20 K
ñ
Hochtemperatur-Supraleiter bis 135 K
3. TC ist mit der Masse der Gitterbausteine verknüpft.
const
TC ∼ √
m
(10.4)
Isotopieeffekt.
Die Wechselwirkung, die bei der Supraleitung auftritt muss etwas mit der Masse der
Atomrümpfe zu tun haben. Phononen spielen also eine Rolle.
4. Bei der Messung sehr kleiner Abschirmströme stellte sich heraus, dass sie gequantelt
sind. Siehe dazu das Experiment von Doll und Nähbauer in Abbildung 10.
a) T > TC : Be einschalten, Be geht auch durch die Röhrchenmitte.
b) T < TC : Feldverdrängung aus dem supraleitenden Pb-Zylinder nicht jedoch aus dem
Quartzröhrchen.
c) Be ausschalten: Die Feldlinien können aus dem Quartzröhrchen nicht austreten. Be
wird im Quartzröhrchen eingefroren. Der magnetische Fluss ist Φe = Be A mit der
Querschnittsfläche A des Röhrchens (≈ 7.5 Å).
2014-11-13
39
10.2 | Grundkenntnisse über Supraleitung
d) Bleizylinder mit Röhrchen wirkt als magnetischer Dipol µ im Feld BM und erfährt
ein Drehmoment D = µ × B. Im Prinzip ist eine statische Magnetisierung möglich,
die es erlaubt Φe zu bestimmen.
Dynamische Methode (sehr viel empfindlicher)
ñ
Wechselfeld BM = BM,z sin ωt
ñ
Erzwungene Torsionsschwingung
ñ
Resonanzamplitude bestimmt Φe
Quantisierung des Flusses
Φe = nΦ0 = n
h
2e
(10.5)
(Elementares Flussquant h/e).
Abschrimströme werden nicht von Einzelelektronen, sondern von Elektronen-Paaren
mit der Ladung 2e, den sogenannten Cooper-Paaren, getragen.
5. Spezifische Wärme
cV
TC
T
Für Normalleiter gilt Ce (NL) ∼ T mit C = γT + αT 3 . Beim Supraleiter beobachtet man
eine exponentielle Abhängigkeit
Ce (SL) ∼ e−∆/kB T
(10.6)
Dies lässt vermuten, dass die Anregung der Elektronen über eine Energielücke erreicht
wird. Wir erhalten einen Phasenübergang zweiter Ordnung
ñ
Es tritt keine latente Wärme auf
ñ
aber Sprung in cV
Der Effekt der Elektronen ist S(SL) < S(NL) =⇒ geordneter Zustand.
Theoretischer Überblick
Ein theoretisches Verständnis der Phänomene, die mit der Supraleitung verbunden sind, wird
auf verschiedene Arten gewonnen.
1. Phänomenologische Gleichungen
a) Londonsche Gleichungen (Ergänzungen zu den Maxwellgleichungen) (1930)
b) Landau-Ginzburg-Gleichungen (1950)
2. Quantentheorie des Supraleiters: Bardeen, Cooper, Schriefer
40
2014-11-13
Supraleiter | 10
10.3 Londonsche Gleichungen
Für idealen Leiter % = 0 wird der Stoßterm/Reibungsterm in den klassischen Bewegungsgleichungen vernachlässigt.
mvD
= 0 =⇒ m˙
v = −eE
(10.7)
2
Für die Stromdichte gilt
(10.8)
j S = −env
und es folgt die 1. Londonsche Gleichung
jS =
nS eS2
E
mS
(10.9)
der Index S steht für Suprastrom. Nicht die Stromdichte wie beim Ohmschen Gesetz (j = σ E),
sondern ihre zeitliche Ableitung ist proportional zur Feldstärke. Für E = 0 ist ∂t j = 0, also
j = const, d.h. ein einmal angeworfener Strom fließt auch ohne angelegtes Feld. Einsetzen
˙:
von (10.9) in die Maxwellsche-Gleichung rot E = −B
∂
∂t
mS
rot j S + B
nS eS2
!
(10.10)
=0
Die Gleichung besagt, dass der Magnetfluss durch eine beliebige Fläche innerhalb der Probe
zeitlich unveränderlich ist. Da nach dem Meißner-Effekt in einem Supraleiter aber das
Magnetfeld und nicht nur seine zeitliche Ableitung verschwindet, muss der Klammerausdruck
selbst verschwinden.
nS eS2
rot j S = −
B
(10.11)
mS
Dies ist die 2. Londonsche Gleichung.
Da Abschrimströme auch die Präsenz von Magnetfelder erfordern muss das Magnetfeld
etwas eindringen. Betrachte dazu rot B = µ0 j S :
rot rot B = −∇2 B = µ0 rot j S
mit (10.11)
∇2 B −
µ0 nS eS2
B=0
mS
(10.12)
SL
Vakuum
z
∼ e−x/λL
x
2014-11-13
41
10.4 | Cooper-Paare und BCS-Theorie
Bz (x) = B0 e−x/λL
(10.13)
−x/λL
(10.14)
mS
µ0 nS eS2
(10.15)
jS,y = jS,0 e
mit der Londonschen Eindringtiefe
s
λL =
Abschätzung für λ ≈ 15 nm.
Falls die Probendicke sehr viel kleiner als die Eindringtiefe ist d λL so durchdringt das
Feld den Supraleiter. Der Meißnereffekt ist nicht vollständig (Supraleiter zweiter Art).
10.4 Cooper-Paare und BCS-Theorie
Es folgt eine kurze Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse, die in die Theorie einfließen müssen.
1. Es gibt eine kritische Temperatur TC , einen kritischen Strom IC und ein kritisches Feld
BC bei dem die Supraleitung verschwindet.
2. Der eingefrorene Fluss ist mit h/2e quantisiert.
√
3. TC ∼ 1/ m
4. CV zeigt einen Sprung bei TC und exponentielles Verhalten für T < TC .
aus 2. e− -Paare sind für die Supraleitung verantwortlich
aus 3. Die Wechselwirkung der e− untereinander ist phononischer Natur
aus 4. Supraleitung ist mit einer Energielücke verbunden.
Cooper (1956): Bei einer attraktiven Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen ist der
Grundzustand des Fermi-Gases nicht mehr stabil und die Energie dieser zwei Elektronen
wird abgesenkt. Wie kann es zur einer attraktiven Wechselwirkung kommen?
ñ
e− -Gitter-e− -Wechselwirkung: Ein Elektron polarisiert das Gitter und es entsteht eine
positive Ladungswolke, die ein anderes Elektron anziehen kann. Erst nach einem
Viertel der Ionen-Schwingungszeit bildet sich die höchste positive Ladungsdichte
aus. Das erste Elektron ist nach dieser Zeit schon ca. 100 nm weiter entfernt. Die
Elektron-Elektron-Coulomb-Wechselwirkung mit einem zweiten Elektron ist klein und
die attraktive Wechselwirkung überwiegt.
ñ
Theoretische Beschreibung: Die Elektronen tauschen virtuelle Phononen aus. Man kann
eine Impulsbetrachtung vornehmen.
Vor dem Phononenaustausch k1 , k2
Nach dem Phononenaustausch
0
k1 = k1 + q
0
k2 = k2 − q
42
2014-11-18
Supraleiter | 10
k1
k2
−k
k
0
k
−k
ñ 11
0
k
Die beiden Elektronen im k-Raum (zweidimensionale Projektion).
Impulserhaltung muss weiterhin gelten. Aus der Gesamtimpulserhaltung folgt:
0
0
k1 + k2 = k1 + k2 = k
(10.16)
Die folgenden Betrachtungen gelten für T = 0 K. Für die beiden Elektronen sind nur
Zustände oberhalb von EF zugänglich, also der Energiebereich EF bis EF + ωD wobei
ωD die Debye-Frequenz ist. Im k-Raum bedeutet das
2 (kF + δk)2
= EF + ωD
2m
mωD
=⇒ δk =
kF
Bei vorgegebenem k können nur Elektronenpaare in den in Abbildung 11 schraffierten
Bereichen die Impulserhaltung erfüllen. Am wahrscheinlichsten ist die für k = 0. Für
ein Cooper-Paar gilt
k1 = −k2
(10.17)
Betrachten wir die Zwei-Teilchen-Wellenfunktion ψ(r 1 , r 2 ) des Cooper-Paars. Wir wählen den Ansatz
ψ = Aeik1 r 1 eik2 r 2 = Aeik1 (r 1 −r 2 ) = Aeikr
mit der Relativkoordinate r = r 1 − r 2 . Die Lösung der Schrödingergleichung ist eine
Superposition solcher Paarzustände.
kF +δk
ψ(r) =
X
Ak eikr
(10.18)
k=kF
dabei ist |Ak |2 ein Maß für die Wahrscheinlichkeit ein spezielles Paar im Zustand
(k, −k) zu finden. Die Schrödingergleichung lautet
"
#
2
˜ (r 1 , r 2 ) ψ(r 1 , r 2 ) = Eψ(r 1 , r 2 )
−
(∇21 + ∇22 ) + V
(10.19)
2m
˜ (r 1 , r 2 ) zwei Anteile:
Hier hat V
1. attraktive Wechselwirkung (Phononenaustausch),
2. Coulomb-Abstoßung.
2014-11-18
43
10.4 | Cooper-Paare und BCS-Theorie
Für eine ausführliche Lösung siehe [1, 3, 2].
δE = E − 2EF =
2ωD
˜
≈ −2ωD e−4/(V0 D(EF ))
1 − e4/(V˜0 D(EF ))
(10.20)
˜0 das konstantes Matrixelement der Wechselwirkung ist. Die Energieändewobei V
rung ist negativ, d.h. die Energie der Cooper-Paare wird reduziert. An der Oberfläche
des Fermi-Sees bilden sich Zwei-Elektronenzustände, deren Energie um den Wert δE
gegenüber der Energie der freien Elektronen bei T = 0 K abgesenkt ist.
Bemerkung:
1. Die Gleichung (10.20) erlaubt eine Erklärung der scheinbar paradoxen
Beobachtung, dass gute Metalle wie Silber oder Kupfer nicht supraleitend sind. Die
Elektronen koppeln nur schwach an die Phononen.
2. Elektronen sind Fermionen, die Gesamtwellenfunktion muss also antisymmetrisch sein.
Die Wellenfunktion (10.18) ist symmetrisch bezüglich Elektronenaustausch. Wir wählen
also den Spinanteil antisymmetrisch.
(k↑, −k↓) (Singulett-Paar (S = 0)
Dieses verhält sich nach außen hin wie ein Boson. Es ist also ein gemeinsamer quantenmechanischer Grundzustand möglich.
3. Falls die Wechselwirkungen zwischen den Elektronen nicht isotrop ist, können auch
andere Fälle auftreten, z.B.
ñ
Suprafluides 3 He: Triplett S = 1 Ortswellenfunktion p-artig und antisymmetrisch.
ñ
Hochtemperatur-Supraleiter: Ortswellenfunktion d-artig.
4. Die Ausdehnung eines Cooper-Paares beträgt 100 nm to 1000 nm. Das bedeutet, dass
sich zwischen den beiden Elektronen eines Cooper-Paares Millionen andere aufhalten.
Ç
BCS-Grundzustand: Die theoretische Beschreibung des Gesamtzustandes ist mathematisch
sehr aufwändig [1, 3, 2]. Im Energiespektrum des Supraleiters tritt eine Energielücke ∆ auf.
Diese ist eng mit der Bindungsenergie der Cooper-Paare verbunden.
"
#
2
∆ = 2ωD exp −
˜0 D(EF )
V
Die minimale Energie, die nötig ist um ein Cooper-Paar aufzubrechen beträgt
δEmin = 2∆
(10.21)
−
Angeregte Elektronen werden im Allgemeinen als Quasi-Teilchen (teils e , teils h-Charakter)
bezeichnet. Der gemeinsame Grundzustand der Cooper-Paare ist von den Zuständen der
Quasiteilchen durch die Energielücke getrennt.
Bemerkung:
1. Bei endlicher Temperatur sind nicht alle Elektronen an der Fermi-Fläche
gepaart, denn durch thermische Anregung werden Cooper-Paare aufgebrochen und
damit Quasiteilchen erzeugt. Für T → TC geht ∆ → 0. Aus der Theorie
∆(0) = 1.764 kB TC
44
(10.22)
2014-11-18
Supraleiter | 10
2. Cooper-Paare sind im quantenmechanischen Grundzustand. Sie beteiligen sich nicht
an der spezifischen Wärme und am Wärmetransport. Die Quasiteilchen sind dafür
zuständig.
Ç
Stromfluss im Supraleiter
Die Suprastromdichte lautet
j S = −nS ev
und
mv = k
0
Jedes einzelne Elektron in einem Cooper-Paar erfährt damit bei Stromfluss eine Änderung
seines k-Vektors um
1 0
m
k =−
j
2
nS e S
1 0
1 0
Cooper-Paar
k + k ↑, −k + k ↓
2
2
(10.23)
Der Strom wird im Supraleiter durch die Schwerpunktsbewegung des Cooper-Paars hervorgerufen. Für die Wellenfunktion gilt
0
0
0
ψCP (k ) = eik R ψCP (k = 0)
mit der Schwerpunktskoordinate R. Bei Stromfluss ändert sich die Wellenfunktion des CooperPaars nur um einen Phasenfaktor. Alle Cooper-Paare erhalten denselben Impulszuwachs. Wir
haben also ein kohärentes quantenmechanisches System, denn alle Cooper-Paare besitzen
die gleiche Phase und wir haben eine Wellenfunktion für die Beschreibung.
Eine Änderung des Zustands durch inelastische Elektronenstreuung (z.B. mit Phononen) kann
nur durch Aufbrechen mindestens eines Cooper-Paares zustande komme. Was inelastische
Elektronen-Stöße angeht, so sind diese als Ursache für Ladungsträgerrelaxation, wie der
Gesamtimpuls P nicht mit einer Energieaufnahme verknüpft ist, die Anregungen über 2∆
hinaus ermöglicht.
Betrachte ein Elektron des Cooper-Paares bei Stromfluss:
k→k+
1 0
k
2
Für die Energie:
E=
k+
k0
2
2m
2
k0
2
02
2 k 2
2 k
k 2
=
+
+
m
| 2m
{z }
| 8m
{z }
E0
klein
0
da |k | kF .
Für die Energiezunahme:
δE 0 =
2014-11-20
1 2 kF k0
2 m
(10.24)
45
10.5 | Messung der Energielücke
Damit der supraleitende Zustand zusammenbricht muss gelten 2δE 0 > 2∆
2δE 0 =
=⇒ jC '
2 kF k0
2kF
=
jS ≥ 2∆
m
enS
enS ∆
kF
(10.25)
BC = µ0 λC jC
(10.26)
ohne Herleitung
Kritischer Strom, kritische Magnetfeldstärke und Energielücke sind direkt miteinander verknüpft, unabhängig ob die Stromdichte durch Abschirm- oder Transportströme hervorgerufen wird.
Bei endlicher Temperatur T < TC werden Cooper-Paare aufgebrochen und Cooper-Paare
durch aussenden eines Phonons gebildet. Im Gleichgewicht heben sich die beiden Prozesse
auf.
Frage: Warum verursachen thermisch angeregte Quasi-Teilchen keine Verluste? Im statische
Zustand sind die elektrischen Felder kurzgeschlossen. Die Quasiteilchen werden daher nicht
beschleunigt und tragen nicht zum Stromtransport bei.
Bemerkung: Diese Argumentation gilt nicht beim Anlegen von Wechselspannung, da in
diesem Fall entsprechend den 1. Londonschen Gleichungen ein elektrisches Feld existiert.
Die Quasiteilchen werden beschleunigt, wechselwirken mit dem Gitter und rufen Verluste
hervor.
Verlustfreie Leitung nur bei Gleichstrom
Ç
10.5 Messung der Energielücke
1. Mikrowellen und Infrarotexperimente:
ñ
ω < 2∆ Strahlung wird nicht absorbiert.
ñ
ω > 2∆ Strahlung wird absorbiert.
2. Tunnel-Kontakt-Spektroskopie (T = 0 K):
U
I
Metall 1
Metall 2
Isolator
46
2014-11-20
Supraleiter | 10
a) Metall 1 und 2 sind Normalleiter
I
t
se
EF
e
h
sc
EF
D(E)
z
e
sG
hm
O
eU
U
Die Tunnelwahrscheinlichkeit (im mV-Bereich) ist unabhängig von der Spannung.
b) Metall 1 ist Supraleiter und Metall 2 ist Normalleiter:
E
D(E)
∆
I
EF
◦◦ ◦◦ ◦◦
eU
T = 0K
T > 0K
U0 =
∆
e
U
ñ
Für U < UG gibt es im Supraleiter keine freien Zustände I = 0 (T = 0 K).
ñ
Für 0 < T < TC können Quasi-Teilchen tunneln.
c) Metall 1 und 2 sind Supraleiter (Josephson-Effekte1 ):
U
SL1
SL2
Isolator
R
Uext
Falls die Isolatorschicht sehr dünn (∼ 1 nm) reicht die Wellenfunktion des einen
Supraleiters merklich in den Bereich des anderen Supraleiters. Dies führt zu einer
Kopplung der Supraleiter. Die makroskopische Wellenfunktion des BCS-Zustands
lautet:
√
ψ = ψ0 eiϕ(r ) = nS eiϕ(r )
(10.27)
wobei
ψψ∗ = |ψ0 |2 = nS
1
(10.28)
Josephson-Effekte vorhergesagt 1962, Nobelpreis 1973
2014-11-20
47
10.5 | Messung der Energielücke
ϕ(r ) beschreibt die Phase und besitzt über makroskopische Entfernungen einen
wohldefinierten Wert.
i. Supraleiter voneinander getrennt:
˙ 1 = H1 ψ1
iψ
˙ 2 = H2 ψ2
iψ
mit den Eigenwerten E1 und E2 .
ii. Für gekoppelte Supraleiter betreiben wir Störungstheorie:
˙ 1 = E1 ψ1 + κψ2
iψ
(10.30)
˙ 2 = E2 ψ2 + κψ1
iψ
mit dem Kopplungsparameter κ. Falls die Supraleiter aus dem gleichen
Material sind gilt nS1 = nS2 = nS und E1 = E2 . Falls die Spannung an der
Isolationsschicht abfällt gilt
E2 − E1 = −2eU
Man setzt (10.27) in (10.30) ein und man lässt eine zeitliche Entwicklung der
Dichte nS und der Phase ϕ zu. Trennen von Real- und Imaginärteil liefert
˙ S1 =
n
2κ √
nS1 nS2 sin(ϕ2 − ϕ1 )
˙ S2 = −
n
2κ √
nS1 nS2 sin(ϕ2 − ϕ1 )
(10.31)
˙1 =
ϕ
κ
s
nS1
E1
cos(ϕ2 − ϕ1 ) −
nS2
˙2 =
ϕ
κ
s
nS1
E2
cos(ϕ2 − ϕ1 ) +
nS2
(10.32)
Die Differenz der beiden letzten Gleichungen ist
˙2 − ϕ
˙ 1 ) = −(E2 − E1 ) = 2eU
(ϕ
1. Fall
(10.33)
Zwischen den Tunnelkontakten herrscht keine Spannung
˙1 − ϕ
˙ 2) = 0
=⇒ (ϕ
=⇒ ϕ1 − ϕ2 = const
˙ S1 = −n
˙ S2
=⇒ n
Der Strom sollte zwischen den beiden Supraleitern fließen wobei nS1 und nS2 konstant sind
(ansonsten Aufladung).
IS = Ij sin(ϕ2 − ϕ1 )
(10.34)
Es fließt ein Gleichstrom durch den Tunnelkontakt, an der Isolatorschicht fällt keine Spannung ab. Dies ist der Josephson-Gleichstrom-Effekt. Ij hängt von der Dichte nS der CooperPaare, der Kontaktfläche A (typisch 0.1 cm2 ) und von κ ab: Ij ≈ 1 mA.
48
2014-11-25
Supraleiter | 10
Erhöht man Uext so springt bei Ij die Spannung am Kontakt auf einen endlichen Wert
E2 − E1 = −2eU
Integration von (10.33)
ϕ2 − ϕ1 =
2eU
t + ϕ0 = ωj t + ϕ0
(10.35)
Einsetzen von (10.35) in (10.34) liefert
≈
ICP
= Ij sin(ωj t + ϕ0 )
(10.36)
mit Kreisfrequenz
ωj =
2eU
(10.37)
Dies ist der Josephson-Wechselstrom-Effekt.
¸ Beispiel U = 100 µV → ν = 48 GHz. Wenn e/h bekannt ist, Erzeugung von Spannungsnormal mit hoher Präzision.
µ
Josephson-Kontakte im Magnetfeld: Makroskopische Quanteninterferenz.
Ein durch einen supraleitenden Kreis mit zwei Kontakten hindurchtretendes Magnetfeld
bewirkt, dass der Suprastrom Interferenzeffekte als Funktion der Magnetfeldintensität zeigt.
Dieser Effekt wird genutzt für empfindliche Magnetometer, sog. SQUID bis 10−14 T.
10.6 Supraleiter zweiter Art
Bemerkung: BC2 kann bis zu 100 · BC1 sein. Rekord BC2 = 60 T. Eingang zur technischen
Nutzung.
Ç
Frage: Warum gibt es Supraleiter zweiter Art? Antwort: Erklärung hierfür gibt die Betrachtung
der Grenzfläche zwischen Normalleiter und Supraleiter im Rahmen der Ginzburg-LandauTheorie (thermodynamische Betrachtung).
Zwei „Gegenspieler“
1. Grenzflächen verkleinern die Kondensationsenergie, da dort die Cooper-Paar-Dichte
reduziert ist.
2. Bei Anlegen eines Magnetfeldes leistet der Supraleiter Verdrängungarbeit, Grenzflächen reduzieren die Verdrängungarbeit, da dort diese Energie nicht aufgebracht werden
muss.
Aus der Ginzburg-Landau-Theorie:
∆EGrenz = ∆EKon − ∆EVerdräng = (ξGL − λL )A
2014-11-25
2
BC,+k
2µB
(10.38)
49
10.6 | Supraleiter zweiter Art
Supraleiter 1. Art
Supraleiter 2. Art
−M
−M
B
BC
BC1
MeissnerPhase
B = 0
idealer Diamagnet
M = −B
BC,th
BC2
ShubnikovPhase B 6= 0
supraleitend
(bei Flusswirbel Verankerung)
ñ 12
Vergleich von Supraleitern erster und zweiter Art.
Die Kohärenzlänge ξGL , spiegelt die charakteristische Länge wieder, über die sich die Wellenfunktion ändern kann.
NL SL
Ba
nS
λL
ξGL
ñ
ξGL > λ =⇒ ∆EG immer positiv, Ausbildung von Grenzflächen werden unterdrückt:
Supraleiter 1. Art.
ñ
ξGL < λ =⇒ Ausbildung von Grenzflächen günstiger: Supraleiter 2. Art.
Genauere Rechnung:
λL
ξGL
1
κ < √ → Supraleiter 1. Art
2
1
κ > √ → Supraleiter 2. Art
2
κ=
50
2014-11-25
B
Supraleiter | 10
Eindringen von B durch dünne Flussschläuche. Jeder Flussschlauch trägt ein Flussquant
φ = h/2e.
In perfekten Kristallen ordnen sich die Flussschläuche regelmäßig an: Abrikosov-Struktur.
10.7 Hochtemperatur-Supraleiter
Wichtigste Fortschritte: J. G. Beduouz und K. A. Müller BaLuCuO mit TC = 30 K (1986) Nobelpreis.
BaLuCuO
La1.85Ba0.15CuO4
YBa2Cu3O7
Tl2Ba2Ca2Cu3O10
Tl2Ba2Ca2Cu3O8.33
TC
TC
TC
TC
TC
= 30 K
= 36 K
= 90 K
= 120 K
= 138 K
(LBCO)
(YBCO)
(TBCO)
CuO2-Ebenen senkrecht zur C-Achse sind für die Ausbildung der Supraleitung verantwortlich.
Die Materialien sind spröde. ξGL ist klein (≈ 1 nm). Die Ursache für Supraleitung ist nicht
geklärt, es werden magnetische Wechselwirkungen vermutet.
2014-11-27
51
Magnetismus | 11
11
Magnetismus
Die Magnetisierung ist gegeben durch
M = n¯
µg = ngµB JB(x)
(11.1)
Der Überschuss der parallelen gegenüber den antiparallelen magnetischen Momente macht
den Paramagnetismus.
Fallunterscheidung
1. x → ∞, kB T gµB JB, B(x) → 1. Alle Momente sind in Feldrichtung ausgerichtet. Dies
nennt man Sättigungsmagnetisierung.
2. x 1, gµB JB kB T ,
1
x
+
x
3
g 2 µB J(J + 1)B
¯g =
µ
3kB T
coth x →
n¯
µg µ0
nµ0 g 2 J(J + 1)µB2
nµ0 p 2 µB
C
=
=
=
B
3kB T
3kB T
T
p
Dies ist das Curie-Gesetz mit der effektiven Magnetonenzahl p = g J(J + 1).
χ=
(11.2)
Diskussion
a) Im Fall von reinem Spinmagnetismus:
L=0,
J=S=
N
,
2
gS = 2
Wobei N die Anzahl der Spins ist. Sättigung
M = ngµB J = n2µB
N
= NnµB
2
gibt die Zahl der Spins.
b) Seltene Erden: [K, L, M, 4s 2 4p 6 4d10 4f ∗ , 5s 2 , 5p 6 ]
Ionen 3+ , 300 K
3+
Cenium Ce
Holonium Ho3+
2014-12-02
x
L
S
J
Pexp
Ptherm
1
10
3
6
1/2
2
5/2
8
2.4
10.4
2.54
10.6
53
11 | Magnetismus
c) Übergangsmetalle (Salze der Eisengruppe): [K, L, 3s 2 p 6 dx ]
Cr3+
3
3
J=
2
2
= 3.8
x=3 L=3 S=
Ptherm = 0.77 Pexp
aber falls nur die Spins berücksichtigt werden: Ptherm = 3.87!
Hier macht also allein der Spin den Paramagnetismus obwohl die Atome L 6= 0. Der Grund
sind stark inhomogene elektrische Kristallfelder. Diese kommen bei seltenen Erden nicht
zur Wirkung da die f -Schale ist sehr gut abgeschirmt ist (5s 2 , 5p 6 ). Ein elektrisches Feld
wirkt auf die Elektronenkonfiguration und wirkt auf den Bahndrehimpuls (nicht auf den
Spin).
ñ
WW(Kristall-Feld) WW(Spin-Bahn)
ñ
LS-Kopplung zerbricht
ñ
¯ z = 0 → µL = 0
Lz keine konstante der Bewegung mehr L
ñ
Spinmagnetismus bewirkt Paramagnetismus.
d) Magnetische (d- bzw. f -Elektronen) Ionen in Metallen.
¸ Beispiel CuMn ist metallisches Kupfer mit geringer Konzentration an Mangan: Mn:
3d5 4s 2 . Der Grundzustand ist 6 S5/2 . Die paramagnetischen Eigenschaften sind wie erwartet.
µ
¸ Beispiel AlMn: Die magnetischen Eigenschaften verschwinden vollständig. Die Ursache
ist die starke Wechselwirkung der d-Elektronen mit den delokalisierten s-Elektronen von
Al. Dies führt zu einer Hybridisierung der Zustände und der Unterdrückung der lokalen
magnetischen Momente.
µ
e) Anwendungen.
ñ
Messung der Magnetisierung, bzw. der Suszeptibilität wird zur Temperaturmessung
herangezogen. Typische Materialien sind:
a) Ce-Magnesium Nitrat (CMN) erlaubt Temperaturmessung bis auf wenige milli
Kelvin.
b) PdFe oder AuEr: Bessere Wärmeleitfähigkeit
ñ
SQUID-Magnetometer erlauben Suszeptibilitätsmessungen mit hoher Empfindlichkeit
und Genauigkeit.
ñ
Kernmagnetismus für Temperaturen < 10 mK
µK ∼
54
1
µ`
1000
Kernspinresonanz
2014-12-02
Magnetismus | 11
11.1 Paulische Spinsuszeptibilität
Wir möchten die temperaturabhängige paramagnetische Suszeptibilität des freien ElektronenGases erhalten. Das Elektron im Magnetfeld hat zwei mögliche Einstellungen. Die Energieaufspaltung der beiden Niveaus ist
δE = gµB B
(11.3)
mit g = 2 gilt δE = 2µB B. Mit dem Curiegesetz (??) gilt
χp0 =
nµ0 µB2
kB T
(11.4)
300 K
300 K
χNa
(theo) = 6.9 · 10−4 , χNa
/exp) = 8.6 · 10−6 . Experimentelle Werte sind um Größenordnungen zu klein.
Ursache: Fermi-Statistik! Wie bei der spezifischen Wärme trägt nur ein Bruchteil der Spins
zur Magnetisierung bei.
E
µB B
EF
↓ ↑
2µB B
1
D(E)
2
1
D(E)
2
Da µB B EF ist die Verschiebung klein. Die Zustandsdichte ist konstant im Bereich EF ±
µB B.
δn =
1
D(EF )µB B · 2
2
M = δnµB = D(EF )µB2 B =
χp = µ0 D(EF )µB2
=⇒
(11.5)
3nµB2 B
2kB TF
(11.6)
χp
3 T
=
χp0
2 TF
(11.7)
Reduktion gegenüber klassischer Rechnung um Faktor ∼ T /TF (siehe spezifische Wärme).
Leitungselektronen besitzen gleichzeitig auch diamagnetische Eigenschaften, die auf die
Bahnbewegung zurückgehen. Falls meff = m0 und (??)
χ = χp − χd =
2014-12-09
2
µ0 D(EF )µB2
3
(11.8)
55
11.2 | Heisenberg-Modell
11.2 Heisenberg-Modell
Die Austauschenergie zweier Elektronen kann in der Form
U = −JS 1 S 2
(11.9)
geschrieben werden, gerade so, als ob es eine direkte Kopplung zwischen den Richtungen
der Spins gibt. Der allgemeinste Hamiltonoperator lautet
XX
ˆi S
ˆj
HSpin = −
Jij S
(11.10)
i j6=i
ˆi und S
ˆj sind SpinDie Summation erfolgt über alle Atome i und alle Nachbarn j. Die S
Operatoren und die Jij sind Austauschkoeffizienten.
Um den Zusammenhang von J und λ, bzw. C in der Molekularfeldtheorie besser zu verstehen
berechne die potentielle Energie berechne die Energie, die ein Spin in Molekularfeldtheorie
besitzt und vergleiche mit der Austauschenergie.
1. Molekularfeldtheorie
(??)
U = −µB Beff = gµB S i Beff = µ0 gµB λS i M
(11.11)
ˆj durch seinen Erwartungswert hS
ˆj i. Wir
2. Austauschenergie Ersetze den Operator S
beschränken außerdem die Wechselwirkung auf z nächste Nachbarn.
ˆj i
M = −ngµB hS
ˆj i =
U = −zJS i hS
zJ
Si M
ngµB
(11.12)
Vergleiche (11.11) mit (11.12).
λ=
zJ
nµ0 g 2 µB2
(11.13)
mit (??) Curie-Weiß-Gesetz und der Curie-Konstante
J=
3kB TC
zS(S + 1)
(11.14)
wobei J = S gesetzt wurde, da bei Ferromagneten der Bahnbeitrag unterdrückt ist.
Fazit: Die Austauschenergie ist vergleichbar mit der thermischen Energie am Phasenübergang.
Bemerkung:
1. Nicht in allen Fällen wechselwirken die Ionen direkt miteinander, d.h. es
tritt nicht immer ein Überlapp der Elektronenhüllen der Spin-tragenden Ionen auf.
Beispiel: MnO.
↑↑↑↑↑
Mn2+
56
↓
↑
O2–
↓↓↓↓↓
Mn2+
2014-12-09
Magnetismus | 11
Hier wird die Austauschwechselwirkung von den dazwischen liegenden O2– vermittelt:
Superaustausch.
2. Bei seltenen Erden beobachtet man einen indirekten Austausch. Die 4f -Elektronen
tragen die magnetischen Momente wobei der Überlapp gering ist. Die Koppling erfolgt über die Leitungslektronen. Das magnetische Moment des Aufatoms richtet die
Spins der Leitungslektronen in der Umgebung aus und diese orientieren die Spins der
benachbarten Ionen.
↑
↑
↑
↑↑ ↑
↑↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
4f -Ionen
freie e−
Das Potential dieser RKKY-Wechselwirkung (Rudermann, Kittel, Kasuya, Yosida) lautet
URKKY ∼
1
cos2 kF r
r3
(11.15)
und hat eine große Reichweite. Es ist abhängig vom Abstand und der parallelen oder
antiparallelen Ausrichtung.
Ç
Austausch-Wechselwirkung im freien Elektronengas
Für Eisen, Kobalt und Nickel kann das oben diskutierte Konzept zwischen lokalisierten
magnetischen Momenten nicht verwendet werden. Kollektive Eigenschaften der dreidimensionalen Elektronen spielen eine wichtige Rolle. Dazu kombinieren wir das Bändermodell
und die Austausch-Wechselwirkung. Betrachte zwei Elektronen mit parallelem Spin: Antisymmetrische Überlagerung von ebenen Wellen (Elektronengas und Pauli-Prinzip).
ψ(r 1 , r 2 ) = N eik1 r 1 eik2 r 2 − eik1 r 2 eik2 r 1
h
i
= Nei(k1 r 1 +k2 r 2 ) 1 − e−i(k1 −k2 )(r 1 −r 2 )
(11.16)
Wahrscheinlichkeit e1 in dV1 und e2 in dV2 zu finden:
|ψ(r 1 , r 2 )|2 dV1 dV2 = |N|2 {1 − cos[(k1 − k2 )(r 1 − r 2 )]} dV1 dV2
(11.17)
Fazit: Die Wahrscheinlichkeit zwei Elektronen mit gleichem Spin am gleichen Ort zu finden
verschwindet für beliebige Wellenvektoren, ohne dass die abstoßende Coulomb-Wechselwirkung
berücksichtigt wurde.
Greift man ein Elektron mit vorgegebener Spinrichtung heraus so ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen mit der gleichen Spinrichtung in der Nachbarschaft reduziert.
Dies bewirkt ein Austauschloch mit einem Radius von ≈ 1 bis 2 Å. Die Abschirmung der
Atomrümpfe durch freie Elektronen ist nicht mehr so effizient. Es findet eine Reduktion
der Energie des Aufelektrons statt, d.h. höhere Bindungsenergien. Eine Parallelstellung von
Spins führt daher zu einem Energiegewinn. Der Korrelationseffekt wirkt wie eine kollektive
Austausch-Wechselwirkung mit positivem J.
2014-12-09
57
11.2 | Heisenberg-Modell
Gegenspieler: Zunahme in kinetischer Energie der Elektronen1 . Die quantitative Beschreibung
des Band-Ferromagnetismus erfolgte durch E. C. Stoner und E. P. Wohlfahrt, siehe [3, S. 703]
und [1, S. 520].
Spinwellen, Magnonen
Im Grundzustand eines Ferromagneten sind alle Spins parallel.
↑
↑
↑
↑
↑
Abschätzung der Energie zum Umklappen eines Spins nach (11.12)
U1 Ò ↑↑↑↑↑
U = −zJS i hS j i
U2 Ò ↑↑↓↑↑
z=2
U1 = −zJS 1 S 2 = −zJS 2 = −2JS 2
U1 = −zJS 1 (−S 1 ) = zJS 2 = 2JS 2
δE = U1 − U2 = 2zJS 2 = 4JS 2
Jetzt ist J ≈ kB TC :
δE = 2zkB TC S 2
Derartige Einspinanregungen werden weit unterhalb von TC kaum erzeugt. Energetisch günstiger ist die Anregung einer kollektiven Präzessionsbewegung. Die Anregung von Spinwellen
ist möglich.
Sm−1
Sm
Sm+1
Die Spin präzedieren mit gleichem ω und festem Winkel zwischen S m und S m+1 . Führen wir
nun eine klassische Behandlung des Problems durch.
Anmerkung: Wie bei den Phononen ist auch hier die Amplitude der Auslenkung quantisiert,
sodass jedes Magnon die Energie ω zugeschrieben werden kann. Die Anregung eines
Magnons entspricht dem Umklappen eines Spin 1/2.
Ç
Modell: Lineare Kette aus identischen Atomen.
z
↑
↑
↑
↑
↑
a
1
oder Manuel Neuer
58
2014-12-11
Magnetismus | 11
Falls ein Spin mit den magnetischen Momenten µ aus der z-Richtung ausgelenkt wird tritt
ein Drehmoment auf
(11.18)
D = µ × BM
mit µ = −gµB S.
dS
= −gµB S × BM
dt
(11.19)
Es gibt nur Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn.
Um = −JS m (S m−1 + S m+1 )
(11.20)
und Um = −µBM = gµB S m BM .
=⇒ BM =
−J
gµB
!
(S m−1 + S m+1 )
(11.21)
Setze (11.21) in (11.19) ein
dS m
J
= S m × (S m−1 + S m+1 )
dt
(11.22)
Für kleine Auslenkungen in x- und y-Richtung eignet sich der Lösungsansatz
Sm,x = A cos(mka − ωt)
Sm,y = A sin(mka − ωt)
p
Sm,z = S 2 − A2
(11.24)
Setze (11.24) in (11.22) ein. Wir erhalten die Dispersionsrelation
ω=
4JS
2JS
[1 − cos(ka)] =
sin2
ka
2
(11.25)
Für kleine Wellenvektoren
ω=
JS 2 2
a k
(11.26)
ω
π /a
k
Für ein kubisches Gitter
ω=
2014-12-11
z
JS X
[z − cos(kr i )]
i=1
(11.27)
59
11.2 | Heisenberg-Modell
Die Energie einer Mode der
Quantisierung der Spinwelle (analog wie bei Phononen):
Frequenz ωk mit nk Magnonen ist gehen durch
1
ωk
Ek = nk +
2
(11.28)
Die Anregung eines Magnons entspricht dem Umklappen eines Spin 1/2.
Thermodynamik der Magnonen: Zahl der angeregten Magnonen bestimmt den Temperaturverlauf der Magnetisierung bei tiefen Temperaturen. Mit (11.1) J = S
MS (0) = ngµB S
(Sättigungsmagnetisierung)
(11.29)
Jedes Magnon entspricht dem Unklappen eines Spins. Daraus folgt die Reduktion des Gesamtspins um und die Reduktion der Magnetisierung um gµB unabhängig von der Magnonenenergie ω.
MS (T ) = MS (0) − gµB nmag
(11.30)
mit der Zahl der angeregten Magnonen pro Volumen nmag .
Berechnung von nmag :
Das Vorgehen ist dasselbe wie bei Phonen in Kapitel 5.
Z
nmag = D(ω) hn(ω, T )i dω
(11.31)
mit der Zustandsdichte D(ω) (siehe [1, S. 527]) und der Bose-Einstein-Statistik hn(ω, T )i.
MS (0) − MS (T )
∼ T 3/2
MS (0)
(11.32)
ist das Blochsche Gesetz.
Nachweis der Magnonen: Neutronenstreuexperimente, ein Neutron sieht zwei Aspekte
eines Kristalls. Verteilung der Kerne. Verteilung der el. Magnetisierung (µm ↔ µe ). Der
Wirkungsquerschnitt der Neutron-Elektron-Wechselwirkung ist ungefähr von der Ordnung
des Wirkungsquerschnitts der Neutron-Kern-Wechselwirkung.
kn
0
kn
Newton
0
kn = kn + k + G
k Magnon
2 k2n
2 k02
n
+
+ ωk
2Mn
2Mn
Trennung der Magnonendispersionsrelation von der Phononedispersionsrelation durch Aufheizen über TC (T TC keine Spinwellen).
60
2014-12-11
Magnetismus | 11
Ferromagnetische Domänen: Die freie Energie der Probe wird durch die Bildung von
Domänen minimiert. Energieformen:
1. Austauschenergie: E1 = −JS 1 S 2
R
1
2. Magnetische Energie: E2 = 2 HB dV
3. Anisotropieenergie: Experimentell beobachtet man leichte und schwere Richtungen.
Die Austauschenergie ist in Kristallen richtungsabhängig, da das Überlappintegral der WelP
lenfunktion richtungsabhängig ist. Der realisierte Zustand ist der mit i Ei = Minimum.
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
Stetiger Übergang der Magnetisierung.
↑↑↑ ↑ ↑
Blochwände 180°:
↑↑↑ ↑ ↑ ↑ ↑
einige 100 Spins
↑↑
Blochwände kosten Energie, da Spins nicht alle in leichte Richtung stehen.
Antiferromagnetismus
Paramagnetismus
χ
Ferromagnetismus
χ
Antiferromagnetismus
χ
χ⊥
χk
T
χ = C/T
Curie-Gesetz
T
TC
χ=
C
T − TC
TN
2C
T +Θ
T > TN
χ=
T > TC
Curie-Weiss-Gesetz
T
⊥: B-Feld senkrecht
zur Spinachse
k: B-Feld parallel zur
Spinachse
Experimenteller Beobachtung: Beispiel MnO.
ñ
Verschiedene Reflexe oberhalb und unterhalb von TN in der Neutronenbeugungsaufnahme.
MnO:
TN = 116 K
chemische Einheitszelle: a = 4.45 Å
chemische Einheitszelle: a = 8.85 Å
Zwei unterschiedliche Mn-Untergitter.
2014-12-11
61
11.2 | Heisenberg-Modell
Ferrimagnetismus
Eigenschaften: Hysterese, MS , TC , aber die Sättigungsmagnetisierung MS ist sehr klein.
Ferrite: MeFe2D4 = (Me2+D2–) (Fe23+O32–), Me: zweiwertiges Metall.
Magnedit: Fe3O4 = (Fe2+D2–) (Fe23+O32–), T2 = 858 K.
Fe2+
3d6
3+
5
Fe
3d
4 Spins/Ion
↑↓↑↑↑↑
↑↑↑↑↑
5 Spins/Ion
Man erwartet für Fe3O4: 14µB , Messung ∼ 4µB
↑↑↑↑↑
| {z }
Fe3+
62
↓↓↓↓↓
| {z }
Fe3+
↑↑↑↑
| {z }
Fe2+
2014-12-16
Magnetische Resonanz | 12
12
Magnetische Resonanz
12.1 Einführung
Die magnetische Resonanzspektroskopie benützt die Spins und magnetischen Momente von
Elektronen und Kernen als Sonden zum Studium von elektronischen Strukturen, Defekten in
Festkörpern, dynamischen Prozessen und chemischen Strukturen von Molekülen.
Techniken:
ñ
Kernspinresonanz (NMR)
ñ
Kernquadrupolresonanz (NQR)
ñ
Elektronenspinresonanz (ESR)
ñ
Ferromagnetische Resonanz (FMR)
Die Grundideen sind sehr einfach, moderne NMR-Methoden sind in der Zwischenzeit sehr
fortgeschritten und sehr speziell.
ESR: S ≠ 0, mindestens ein ungepaarter Spin, magnetisches Moment. Radikale haben
beispielsweise S = 1/2, Triplettzustände haben S = 1, Übergangsmetallionen haben S =
1/2 . . . 5/2, seltene Erden haben S = 1/2 . . . 7/2.
NMR: I ≠ 0, beispielsweise 11H mit I = 1/2 hat eine natürliche Häufigkeit von 99.89 %, 13
6C mit I = 1/2 und einer Häufigkeit von 1.1 %. Der Gesamtdrehimpuls eines Atomkerns
ist die Summe der Eigendrehimpulse der Nukleonen und ihrer Bahndrehimpulse. Diesen
Gesamtdrehimpuls nennt man Kernspin I. Die meisten Atomkerne besitzen ein oder mehrere
stabile Isotope mit I ≠ 0. Der Kernspin kann halb- oder ganzzahlig sein. Je nachdem ist der
Kern in Fermion oder ein Boson.
Fundamentale Eigenschaften des Drehimpulses
Elektronen:
q
|S| = S(S + 1)
q
|J| = J(J + 1)
Kerne:
2014-12-16
q
|I| = I(I + 1)
63
12.2 | Kernspinresonanz
Mit dem Spin ist ein magnetisches Dipolmoment µ verknüpft:
antiparallel
parallel
µS = −gS µ0 S
µI = −gI µk I
µJ = −gJ µB J
e
µB =
2me
µk =
Bohrsches Magneton
e
µB me
=
2mprot
mprot
Bohrsches Magneton
g-Faktoren: Die Kern-g-Faktoren liegen zwischen −4.255 ≤ gI ≤ 5.95
gS = 2.002
gJ = 1 +
J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)
2J(J + 1)
mJ = −J, −J − +1, . . . , J − 1, J
Jz = mJ I z = mI 12.2 Kernspinresonanz
Magnetisches Moment
µ = gI µk I = γI
(12.1)
mit
gI µ k
(12.2)
ist das gyromagnetischen Verhältnis. Das Kernmagneton hat den Wert µk = 0.505 · 10−26 A m2 .
Im homogenen Magnetfeld B0 = (0, 0, B0 ) spalten die Energieniveaus eines Systems mit Kernspin in einzelne quantisierte Niveaus auf. Wechselwirkungsenergie
γ=
U = −µB0
mit
ˆ
B0 = B0 z
= −µz B0 = −γB0 I z
UmI = −mI gI µk B0
(12.3)
1
Beispiel: I = 1/2, z.B. H-Kerne.
E
mI = −1/2
B0
mI = +1/2
64
2014-12-16
Magnetische Resonanz | 12
ω0 = γB0 = gI µk B0
ω0 = γB0
(12.4)
Für Proton: ν(MHz) = 42.58 B0 (T).
Die NMR benützt magnetische Dipolübergänge zwischen den in einem Magnetfeld aufgespalteten Energieniveaus. NMR vorallen an 1H-Kernen.
Wasserstoff 1H kommt in praktisch allen organischen Molekülen vor und ist in chemisch
relevanten Gruppen wie CH3, CH2, COOH. Die OH-Gruppe ist Strukturbestandteil vieler
Moleküle.
Die NMR benötigt hauptsächlich:
ñ
Starkes, homogenes Magnetfeld B0 (bis 22.3 T). Ausrichtung der magnetischen Momente.
ñ
Eine sehr monochromatische elektromagnetische Strahlung bei der Frequenz ω0 =
gI µk B0 .
B1 (t) = e x 2B1 cos ω0 t
(12.5)
ez
B1 (t)
ex
ey
B0
Für ein NMR-Experiment ordnet man eine kleine Sende-/Empfängerspule mit ihrer
Zylinderachse senkrecht zum B0 -Feld.
gI µ k
B0
1
H ist f0 = 42.576 MHz T−1
f0 =
=⇒ B0 = 22.3 T → f0 = 950 MHz
ñ
Leistungsverstärker bei f0 (10 W bis 1 kW).
ñ
Hochempfindliches Nachweissystem für sehr kleine in der Spule induzierte Spannungen Uind (t) = Uind cos(2π f0 + ϕ).
ñ
Erforderliche Homogenität von B0 : ∆B0 /B0 ≤ 10−9 bei einem Volumen von 35 µl
(∅ = 1 mm).
Eindimensionale FFT-NMR
Gemessen wird in der NMR immer im Ensemble-Mittel an einer sehr großen Zahl an Molekülen
(identische Moleküle).
2014-12-16
65
12.2 | Kernspinresonanz
5 mm
3 mm
Typische Probenvolumina sind 35 µl (3.5 · 10−8 m3 ). Bei einer Konzentration von z.B. 1 mmol l−1
hat man 35 nmol, d.h. 2.1 · 1016 Moleküle in der Probe.
Empfängerspule
B0
M = nµ
π /2-Puls
M
M klappt in x, yEbene und präzediert
Nach der Anregung des Kernspinsystems durch einen kurzen Hochfrequenzimpuls hat man
in der Probe in präzedierendes magnetisches Moment.
Mx (t) = M0 cos ω0 t e−t/T2
Mx (t)
t
f0 = ω0 /(2π ) = Betriebsfrequenz des Spektrometers z.B. 950 MHz
In der Spule wird durch das präzedierende magnetische Moment eine Spannung U(t) induziert
U (t) = U0 cos ω0 t e−t/T2
(12.6)
Dieses Signal wird als FID (Free Induction Decay) bezeichnet. Das Frequenzspektrum erhält
man durch eine Fourier-Trafo von U (t).
FFT
∆f =
1
2π
T2
t
f0
66
2014-12-16
Magnetische Resonanz | 12
Für kleine Moleküle sind die T2 -Zeiten sehr lange (T2 ∼ 1 s). Spektrallinien sind sehr schmal,
∆f ∼ 1/(2π T2 ) ∼ 160 MHz. Bei einer Spektrometerfrequenz von f0 = 400 MHz hat man eine
Auflösung von
Deltaf /f0 ≈ 4 · 10−10 .
NMR ist eine hochauflösende Spektroskopie. Kleinste Unterschiede der Kerne können quantitativ bestimmt werden. NMR ist für die chemische Analyse wichtig.
Chemische Verschiebung
Misst man den spektralen Bereich eines Isotops (z.B. 1H, 13C) mit hoher Auflösung, so findet
man meist nicht nur eine Resonanzlinie, sondern praktisch so viele wie unterscheidbare
Kerne in der Probe vorhanden sind. Dies nutzt man zur Strukturaufklärung von Molekülen.
¸ Beispiel Ethanol: CH3CH2OH, hat drei Gruppen von Protonen, also drei Gruppen von Linien.
Die relativen Intensitäten sind 3 : 2 : 1.
µ
Ursache: Für die Resonanz von (??) ist nicht das angelegte Feld, sondern das lokale Feld
des Kerns maßgeblich. Durch Anlegen von B0 wird im Molekül ein Strom induziert und damit
ein magnetisches Moment erzeugt, das dem äußeren Feld entgegenwirkt (Lenzsche Regel).
Diamagnetische Abschirmung.
B0
Beff = B0 − Bind = B0 − σ B0 = B0 (1 − σ )
(12.7)
Bemerkung:
ñ σ hängt von der Dichte und Bindungszustand der Elektronen in der Nähe
des Kerns ab.
ñ
σ ist im allgemeinen Fall ein Tensor σ, insbesondere im Festkörper zu beachten. Es
gilt
hν = gI µk Blok = gI µk B0 (1 − σ )
ñ
Induziertes Feld kann auch am Ort des betrachteten Kerns gleichgerichtet sein (z.B.
Benzol).
ñ
Chemische Verbindung wird gegenüber der Resonanzfrequenz ν0 eines Standards in
ppm gemessen. Für Tetramethylsilen Si(CH3)4 (TMS) hat man
δ=
2014-12-18
BStandard − BProbe
· 106 ppm
BStandard
Ç
67
12.2 | Kernspinresonanz
Magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung
Ein magnetischer Dipol µ1 im Ursprung des Koordinatensystems erzeugt ein Feld
Bµ1 (r) =
µ0
[3(µ · r)r − (r · r)µ]
4π r 5
(12.8)
µ2
r 12
θ
µ1
B0
Ein zweiter Dipol µ2 am Ort r = r 12 spürt dieses Magnetfeld. Wechselwirkungsenergie
W12 = −µ2 · Bµ1 .
!
µ 0 µ1 µ2
(µ1 r 12 )(µ2 r 12 )
W =
(12.9)
−
3
5
3
4π
r12
r12
Diese Wechselwirkungsenergie muss bei der ESR und NMR berücksichtigt werden. Für die
magnetischen Dipolmomente µ1 und µ2 lassen sich alle Kombinationen des Moments
µI = gI µk I ,
(Kern)
µS = ge µB S ,
(Spin)
verwenden.
µ1
µ2
Effekt
S
S
I
S
I
I
ESR-Feinstruktur
ESR-Hyperfeinstruktur
NMR-Feinstruktur
Annahme: Beide Dipole sind durch ein starkes Magnetfeld entlang der z-Achse ausgerichtet
µ1 r 12
= µ1 cos θ
|r 12 |
3
=⇒ 2 (µ1 r 12 )(µ2 r 12 )
r 12
3
2
= 2 µ1 cos2 θr12
µ2
r 12
=⇒
= 3 cos2 θµ1 µ2
=⇒ W =
68
µ0 1
2
3 µ1 µ2 [1 − 3 cos θ]
4π r12
(12.10)
2014-12-18
Magnetische Resonanz | 12
1
Θm ∼ 54°
0
magischer Winkel
Θ
π /2
−1
−2
Betrachte die direkte Kernspin-Kernspin-Kopplung. Der Kern A ist im Zustand mI und der
Kern B im Abstand r 12 .
BA = −
1
µ0
gI µk mI 3 (1 − 3 cos2 θ)
4π | {z } r12
(10.15)
µI
Annahme: Kern sei Proton mit I = 1/2. Es gibt also zwei Einstellmöglichkeiten mI =
±1/2. Kern B sieht ein elektrisches Feld B0 ≠ BA . Für Kern B existieren zwei Resonanzfelder mit Abstand 2BA . Signal wird Dublett, Energieabstand nennt man J, die Spin-SpinKopplungskonstante.
Gleiche Überlegung gilt umgekehrt auch für Kern B
¸ Beispiel HD-Molekül
ID = 1 ,
IH = 1/2 ,
mI = 1, 0, −1
mI = −1/2, 1/2
Die Anzahl der Linien entspricht der Multiplizität 2N + 1.
Bemerkung:
ñ
ñ
µ
Typische Werte für BA ∼ 10−4 T für r12 = 0.2 mm.
In flüssiger oder gasförmiger Phase ändert sich jedoch normalerweise der Winkel θ
zwischen den wechselwirkenden Kernen relativ zu B0 rasch im Vergleich zur KernspinResonanzfrequenz. (1 − 3 cos2 θ) wird im Zeitmittel 0. Das Magnetfeld wir BKern = 0,
die Dipol-Dipol-Wechselwirkung wird ausgemittelt (Bewegungsverschmälerung). Große
biologische Moleküle bewegen sich langsamer und es findet eventuell keine vollständige
Ausmittelung statt.
Ç
Induzierte Kernspin-Kernspin-Kopplung
Wird durch die Bindungselektronen zwischen Kernspins vermittelt
ñ
wird nicht durch die Bewegung ausgemittelt
ñ
unabhängig von B0
ñ
Grundlage ist die Fermi-Kontakt-Wechselwirkung zwischen Kernen und Elektronen
2014-12-18
69
12.2 | Kernspinresonanz
ñ
Faktor 102 bis 104 kleiner als direkte Kernspin-Kernspin-Wechselwirkung.
Indirekte Kernspin-Kernspin WW
IA SA
S B IB
↑⇓
⇑↓
Pauli-Prinzip
C
IA S A
SB IB
↑⇓
⇑↑
13
1
C
H
H
ohne Kopplung
mit Kopplung
Anspaltung in zwei Linien
13
C-1H-Bindung. SB antiparallel aufgrund des Pauli-Prinzips, zwei Möglichkeiten
für IB . ⇑ ↓ energetisch günstiger als ⇑ ↑ (Fermi-Kontakt-Wechselwirkung).
µ
¸ Beispiel
Bemerkung: Die über die Bindungselektronen vermittelte Wechselwirkung zwischen zwei
Protonen kann auch noch über mehrere Bindungen hinweg messbar sein.
H H
H C
H. . . H
Molekül
H2
CH4
H C H
H C C H
J [s−1 ]
276
125
−10 . . . −15
5 . . . −8
Ç
Die indirekte Kernspin-Kernspin-Wechselwirkung zwischen mehreren Kernen führt zur
charakteristischen Aufspaltung und Multiplizitäten.
Br
70
H
H
C
C
H
H
H
2015-01-08
Magnetische Resonanz | 12
CH2
CH3
1 3 3 1
↓↓↓
↓↓↑
↓↑↓
↓↓↑
f
1 2 1
↓↑↑
↑↓↑
↑↑↓
↑↑↑
↓↓
↓↑
↓↑
↑↑
Bewegungsgleichungen
Im Magnetfeld wirkt auf I ein Drehmoment µ × B0 . Nach dem Drehimpulssatz gilt
dI
= µ × B0
dt
(12.11)
dµ
= γµ × B0
dt
(12.12)
bzw.
Mit M als magnetisches Moment pro Volumen M = nµ.
dM
= γµ × B0
dt
(12.13)
Annahme:
1. Kerne im statischen Feld B0 = B0 ˆ
z
2. Thermisches Gleichgewicht
=⇒ Mx = My = 0
(12.14)
3. Die Magnetisierung eines Spinsystems mit I = 1/2 ist durch den Besetzungsunterschied
n1 − n2 des oberen und unteren Niveaus gegeben.
Mz = (n1 − n2 )µ
(12.15)
Das Verhältnis der Besetzungszahlen wird durch den Boltzmannfaktor gegeben
µB
n2
−2 0
= e kB T
n1
2015-01-08
(12.16)
71
12.2 | Kernspinresonanz
Gleichgewichtsmagnetisierung:
M0 = nµ tanh
µB0
kB T
(12.17)
Falls die Magnetisierungskomponente Mz sich nicht im thermischen Gleichgewicht befindet
treffen wir die Annahme
dMz
M0 − Mz
=
(12.18)
dt
T1
Dabei ist T1 die longitudinale Relaxationszeit oder Spin-Gitter-Relaxationszeit.
Z Mz
Z
1 t 0
dMz
dt
=
M0 − Mz
T1 0
0
M0
t
ln
=
M0 − Mz
T1
Mz (t) = M0 [1 − e−t/T1 ]
(12.19)
Dominante Spin-Gitter-Wechselwirkung paramagnetischer Ionen in Kristallen erfolgt über
die von Phononen bewirkte Modulation des Kristall elektrischen Feld. Mit (12.18) in die
Bewegungsgleichungen (12.13)
M0 − Mz
dMz
= γ(M × B0 )z +
dt
T1
(12.20)
Falls in einem statischen Feld B0 ˆ
z die transversalen Magnetisierungskomponenten Mx , My
anfangs nicht null sind, werden sie auf null abnehmen, da sie im thermischen Gleichgewicht
null sind. Transversale Relaxation
dMx
= γ(M × B0 )x −
dt
dMy
= γ(M × B0 )y −
dt
Mx
T2
My
T2
(12.21)
(12.22)
mit der transversalen Relaxationszeit T2 . (12.20)–(12.22) sind die Blochgleichungen.
Diskussion einfacher Spezialfälle
1. Betrachte die Bewegung für B = (0, 0, B0 ) und vernachlässige Relaxation
dMx
= γB0 My
dt
dMy
= −γB0 Mx
dt
dMz
=0
dt
(12.23)
Lösung:
dMx (t) = M⊥ cos ω0 t
dMy (t) = −M⊥ sin ω0 t
mit ω0 = γB0
(12.24)
dMz (t) = Mz = const
Die Magnetisierung M(t) präzediert also mit der Larmorfrequenz ω0 um die Richtung
von B0 . Der Betrag der „Quermagnetisierung“ ist konstant.
72
2015-01-08
Magnetische Resonanz | 12
y
y
x
x
M⊥
M⊥
ohne transversale Relaxation
mit transversaler Relaxation
2. Wie bringt man das magnetischer Moment M(t) aus der Ruhelage entlang des Feldes B0
„quer“ zum Feld B0 ? Man legt über die Spule ein kleines Magnetfeld B1 (t) in x-Richtung
an, welches mit der richtigen Frequenz ω0 oszilliert.
B1,x = 2B1 cos ω0 t
Das gesamte Feld ist damit


2B1 cos ω0 t


0
B(t) = 

B0
 



Mx
2B1 cos ω0 t
My B0






˙
0
M(t)
= γM × B = γ My  × 
 = γ 2B1 Mz cos ω0 t − Mx B0 
Mz
B0
−2B1 My cos ω0 t

(12.25)
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Spiralbewegung der Magnetisierung
vom Nordpol hinunter zum Äquator und weiter zum Südpol. Die formale Behandlung
erfolgt am besten im rotierenden Koordinatensystem, welches mit der Larmorfrequenz
ω0 um die z-Achse rotiert.
z
ω1 t
M
⊥
Wir benötigen nur die Lösung aus der Skizze. Unter dem Einfluss von B0 rotiert die
Magnetisierung mit der Rabi-Frequenz ω1 = γB1 (f1 = ω1 /(2π )) von der z-Achse in
der Querrichtung
M⊥ (t) = M0 sin ω1 t
(12.26)
Mz (t) = M0 cos ω1 t
Nach welcher Zeit τπ /2 ist die Magnetisierung quergestellt?
!
ω1 τπ /2 = π /2 =⇒ τπ /2 =
2015-01-13
π
π
1
=
=
2ω1
4π f1
4f1
(12.27)
73
12.2 | Kernspinresonanz
Doppelresonanzverfahren
Elektron-Kern-Doppel-Resonanz
ENDOR:
¸ Beispiel H-Atom
⇑↓
mS
mI
4
1/2
−1/2
3
1/2
1/2
⇑
⇑↑
B0 = 0
ESR
↑ B0
2
⇓↓
NMR
⇓
⇓↑
ZeemanEnergie des e−
gS µB mS B0
−1/2 −1/2
1
Zeeman-Energie
des Kerns
−gI µk mI B0
−1/2
1/2
HyperfeinWW Kern e−
amI mS
Im ESR-Spektrum ist ∆ms = ±1 erlaubt.
Probleme:
ñ
Reines ESR-Spektrum: Inhomogene Verbreiterung durch Wechselwirkung mit anderen
Kernen.
ñ
Reines NMR-Spektrum: Geringe Nachweisempfindlichkeit der NMR, sehr viele Spins
notwendig.
ñ
ENDOR:
1. Sättigung des ESR-Signals durch Einstrahlung resonanter Mikrowellen hoher
Leistung, z.B. 1-3-Übergang. Der Bevölkerungsunterschied von 1 und 3 ist gering.
2. Einstrahlung von resonanter Strahlung 3-4-Übergang (NMR). Verminderung der
Besetzung in 3. Entsättigung des ESR-Signals 1-3.
IESR
3-4
74
1-2
ν NMR
µ
2015-01-13
Magnetische Resonanz | 12
ESR
S1
E
τx
T1
S0
ñ 13
Nx
τy
Phosphoreszenz
ca. 20 000 cm−1
(grün)
Ny
τz
Nz
Phosphoreszenz
selektiv aus τx
(Auswahlregeln)
Besetzungszahlen
Energieniveauschema für B0 = 0 bei ODMR.
ODMR: (Optically detected magnetic resonance) Man verwendet die Intensität eines im optischen Spektralbereich liegenden Elektronenübergangs um e− -Spin- oder Kernspinübergänge
nachzuweisen.
¸ Beispiel aus der Molekülphysik. Metastabiler Triplett-Zustand T1 von organischen Molekülen S = 1. Durch Dipol-Dipol-Wechselwirkung der beiden magnetischen Momente kommt es
zu einer Nullfeldaufspaltung der drei möglichen Spinzustände (mS = −1, 0, 1). (Rechnung [4,
S. 409 ff.])
µ
Die Phosphoreszenzintensität des Prozesses in Abbildung 13 ist dabei von der strahlenden
Übergangswahrscheinlichkeit Kx (strahlend) und von den zugehörigen Besetzungen Nx
abhängig
I(Phos) ∼ Kx · NX
Nx wird bei Sättigung der ESR-Übergänge erhöht, folglich nimmt I(Phos) zu.
I(Phos)
τx → τy
τx → τz
ν [GHz]
¸ Beispiel Stickstoff-Fehlstellenzentrum im Diamant. NV-Zentrum: S = 1 Triplett im Grundund angeregten Zustand.
2015-01-13
75
12.2 | Kernspinresonanz
3
E
τ ∼ 13 ms
Singulett
Übergang in mS = 0
637 nm
3
G
mS = 1
mS = −1
2.87 GHz ESR-Übergang
mS = 0
µ
Im angeregten Zustand zwei Möglichkeiten:
1. Strahlender Übergang (637 nm)
2. Strahlungsloser Übergang zum metastabilen Singulett: Optischer Übergang zum mS =
0-Grundzustand, selektive Besetzung von mS = 0.
3. ESR: Entvölkerung von mS = 0, Fluoreszenz wird erniedrigt, ODMR-Signal.
Kombination von ODMR und konfokaler Mikroskopie ermöglicht die Detektion von nur einem
Feststoffzentrum. Beobachtung der Manipulation eines einzelnen Spins möglich. Anwendungen in den Quanteninformationstechnologien und Anwendungen als Magnetfeldsensor.
76
2015-01-15
Dielektrische und optische Eigenschaften | 13
13
Dielektrische und optische
Eigenschaften
Die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Feldern und Festkörpern lässt sich
mikroskopisch und makroskopisch beschreiben. Die Betrachtungsweisen sollen verknüpft
werden.
13.1 Dielektrische Funktion und optische Messungen
Isolator im elektrischen Feld:
P = ε0 χE
(13.1)
dabei ist P die Polarisation, χ die dielektrische Suszeptibilität (symmetrischer Tensor zweiter
Stufe, bei kubischen Kristallen und amorphen Festkörpern ist χ ein Skalar).
ε=1+χ
(13.2)
ist der Dielektrizitätstensor. Die dielektrische Flussdichte, bzw. die dielektrische Verschiebung ist gegeben durch
D = ε0 E + P = ε0 εE
(13.3)
Die Größen D und E sind im Allgemeinen zeitabhängig. Wir machen eine Zerlegung in die
spektralen Anteile mit Hilfe der Fourier-Transformation.
Z∞
E(t) =
E(ω) e−iωt dω
−∞
(13.4)
Z∞
D(t) =
D(ω) e−iωt dω
−∞
wobei D(ω) = ε0 ε(ω)E(ω).
In zeitlich veränderlichen Feldern gilt die Maxwellsche Gleichung
rot H = j +
∂D
∂t
(13.5)
mit dem Ohmschen Gesetz j = σ E
rot H = σ E(ω) − iωε0 εE(ω)
˜ E(ω)
=σ
(13.6)
˜ = σ − iωε0 ε als frequenzabhängige verallgemeinerte Leitfähigkeit. Umgekehrt kann
mit σ
man auch
rot H(ω) = −iε0 ε˜(ω)ωE(ω) = −iωD(ω)
(13.7)
2015-01-15
77
13.2 | Lokales Feld
schreiben mit ε˜(ω) = ε(ω) + iσ /(ε0 ω) als verallgemeinerte Dielektrizitätskonstante. Beide Beschreibungen sind austauschbar, da sich die Unterscheidung zwischen freien und
gebundenen Ladungen bei Wechselfeldern vermischt.
Anmerkung: Real- und Imaginärteil sind über eine Kramers-Kronig-Relation miteinander
verknüpft
ε = ε0 + iε00
Z ∞ 0 00
2
ω ε (ω0 )
ε0 (ω) − 1 = P
dω0
02
2
π
0 ω −ω
Z ∞ 00
ε (ω0 )
2
ε0 (ω) = − P
dω0
02
2
π
0 ω −ω
mit P dem Hauptwert des Integrals.
(13.8)
(13.9)
Ç
Zusammenhang mit den optischen Größen
ε0 + iε00 = (n0 + iκ)2
(13.10)
und damit
ε0 = n02 − κ 2
mit ε00 = 2n0 κ
(13.11)
0
mit dem Brechungsindex n und dem Extinktionskoeffizient χ.
Die Reflektivität bei senkrechtem Einfall ist gegeben durch
√
ε − 1 2
(n0 − 1)2 + κ 2
R=
√ε + 1 = (n0 + 1)2 + κ 2
(13.12)
13.2 Lokales Feld
Frage: Welches Feld herrscht an einem bestimmten Atom om Isolator, wenn wir ein äußeres
Feld an die Probe anlegen?
Die Atome werden polarisiert
P = ε0 αE
(13.13)
mit der Polarisierbarkeit α. Im Festkörper wirkt nicht nur das äußere Feld (angelegte Feld)
E a , sondern auch Felder der benachbarten Atome.
ñ
Feld am Ort des Atoms E lok
ñ
Makroskopisches Feld, das in die Maxwell-Gleichungen eingeht ist der Mittelwert über
die lokal variierenden Felder: E
Verknüpfung zwischen E lok ↔ E a . Mikroskopisch gilt
P = np = nε0 αE lok
während makroskopisch gilt
P = ε0 χE =⇒ E = nαE lok
78
2015-01-15
Dielektrische und optische Eigenschaften | 13
freie Ladungen
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Polarisationsladungen bzw.
induzierte Ladungen
− − −
−
Aufatom
−
×
+
Scheibe
+
+ + +
ñ 14
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Scheibe im Plattenkondensator
Den Zusammenhang zwischen den Feldern leitet man über folgende Zerlegung des lokalen
Feldes her
E lok = E a + E D + E L + E K
(13.14)
Betrachte zum Beispiel eine Scheibe im Plattenkondensator.
Die induzierten Ladungen auf der Oberfläche bewirken ein Feld
ED = −
1
P.
ε0
(13.15)
Im allgemeinen Fall hängt das Depolarisationsfeld von der Geometrie der Probe ab, d.h.
E D = −f
1
P
ε0
(13.16)
mit dem Depolarisationsfaktor P.
Geometrie
Dünne Platte
Kugel
Langer dünner Zylinder
f
1
1/3
0
Um zu geometrieunabhängigen Aussagen zu kommen fasst man das äußere Feld E a und das
Depolarisationsfeld E D zum makroskopischen Feld E = E a + E D zusammen.
Berechnung des Lorentzfeldes E L : Betrachte geladene Kugel mit Radius R.
EL =
P
3ε0
(13.17)
Der Einfluss der Nachbaratome auf das Aufatom hängt von der Kristallstruktur ab. Bei
kubischer Anordnung ist E K = 0, allgemein ist E K relativ klein.
Das Endergebnis für das lokale Feld in kubischer Anordnung ist
E lok = E +
2015-01-15
P
3ε0
(13.18)
79
13.3 | Elektrische Polarisation in Isolatoren
Aus der Beziehung χE = nαE lok folgt mit (13.18) und P = ε0 χE
χ=
nα
nα
1− 3
(13.19)
Ohne Berücksichtigung des lokalen Feldes wäre χ = nα, mit ε = 1 + χ folgt
ε−1
nα
=
ε+2
3
Clausius-Mosotti-Beziehung
(13.20)
13.3 Elektrische Polarisation in Isolatoren
13.3.1 Elektrische Polarisierbarkeit
Optische Eigenschaften von Festkörpern werden durch
ñ
Interbandübergänge
ñ
Intrabandübergänge
bestimmt. Ein einfaches klassisches Modell (Oszillatormodell) ergibt schon eine gute Beschreibung.
Kern
e−
Elok
0
Elok (t) = Elok
e−iωt
Ladungswolke wird durch einfallende elektromagnetische Welle zu harmonischen Schwingungen angeregt.
¨ + mγ x
˙ +mω20 x = −eElok
mx
(13.21)
| {z }
Dämpfung durch Energieabstrahlung
mit der Resonanzfrequenz des ungedämpften Oszillators ω0 und der Dämpfungskonstante
γ. Die stationäre Lösung ist
x(t) = −
e
1
Elok
m ω20 − ω2 − iγω
(13.22)
Mit dem Dipolmoment p = −ex und (13.13) (p = ε0 αElok ) folgt
α=
80
e2
1
ε0 m ω20 − ω2 − iγω
(13.23)
2015-01-20
Dielektrische und optische Eigenschaften | 13
Beachte: Mittleres makroskopisches Feld E unterscheidet sich von E lok
Elok = E +
p
nex
=E−
3ε0
3ε0
(13.24)
(13.24) in (13.21)
¨ + mγ x
˙ + mω20 −
mx
ne2
3ε0
!
x = −eE
(13.25)
hieraus ergibt sich für ε(ω) = 1 + χ(ω)
ε(ω) = 1 +
ne2
ε0 m
ω20
|
1
ne2
−ω2 − iγω
−
3ε m
{z 0 }
(13.26)
ω2
1
Das lokale Feld, das von den Nachbarn hervorgerufen wird führt zu einer Verschiebung der
Resonanzfrequenz
ε(ω) = 1 +
ne2
1
ε0 m ω21 − ω2 − iγω
(13.27)
Zerlegung der komplexen dielektrischen Funktion ε = ε0 + iε00 in Real- und Imaginärteil
ε0 (ω) = 1 +
ε00 (ω) =
ne2
ω21 − ω2
2
ε0 m (ω1 − ω2 )2 + γ 2 ω2
γω
ne2
ε0 m (ω21 − ω2 )2 + γ 2 ω2
(13.28)
(13.29)
ε00
ε0
ω1
ω
Bemerkung:
1. In Atomen, bzw. Festkörpern existieren mehrere Resonanzen, die sich
unterschiedlich stark auf die Polarisation auswirken.
ε(ω) = 1 +
ne2 X
fk
ε0 m k ω2k − ω2 − iγk ω
(13.30)
mit fk der Oszillatorstärke. Diese kann experimentell angepasst werden und ist durch
das Matrixelement des jeweiligen Übergangs bestimmt.
2. Das gleiche Frequenzverhalten findet man auch in einer quantenmechanischen Rechnung.
2015-01-20
81
13.3 | Elektrische Polarisation in Isolatoren
3. In Festkörpern hängt die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Übergang ab von:
ñ
Matrixelement
ñ
elektronische Zustandsdichte der Anfangs- und Endzustände (kombinierte Zustandsdichte)
ñ
außerdem können auch Phononen-assistierte Prozesse beitragen.
Daher erhält man ein komplexes Spektrum, bestimmt durch die Energielücken, kritische
Punkte der Zustandsdichte, d.h. durch die Bandstruktur der Festkörper.
Ç
13.3.2 Ionenpolarisation
Im Rahmen der mikroskopischen Beschreibung kann die Wechselwirkung von Infrarotstrahlung mit den Ionen eines Gitters als Stoß zwischen Photonen und optischen Phononen
beschrieben werden. Es gilt Quasiimpulserhaltung beim Stoß: kPhoton = k0Photon , weil kPhonon
sehr klein.
ω
TO
relevante
Phonenen
mit ungefähr
konstanter
Energie
k
π /a
Für lange Wellenlängen kPhonon = 0
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
Die Ionen ⊕ sind in Gegenphase zu den Ionen . Für eine makroskopische Beschreibung
reicht es ein Ionenpaar herauszugreifen, da sich alle Ionenpaare gleich verhalten.
Eigenschwingungen von Ionenkristallen
Elastische und elektrische Kräfte (vgl. Kapitel Gitterschwingungen). Es sind u1 , u2 die Auslenkungen der Massen M1 und M2 .
¨ 1 + 2Cu1 − 2Cu2 = qElok
M1 u
¨ 2 + 2Cu2 − 2Cu1 = −qElok
M2 u
82
(13.31)
2015-01-20
Dielektrische und optische Eigenschaften | 13
Man interessiert sich für die Relativbewegung der beiden Untergitter. Wir führen neue
Variablen ein
u = u2 − u1
µ Ò reduzierte Masse
1
1
1
+
=
µ
µ1
µ2
Damit
¨ + µω20 u = qElok
µu
(13.32)
mit der Resonanzfrequenz ω20 = 2C/µ, falls nur elektrische Kräfte wirksam sind. Dies ist
wieder die Bewegungsgleichung eines getriebenen linearen harmonischen Oszillators. Berücksichtigung der Dämpfung mit der Dämpfungskonstante γ. Deren physikalische Bedeutung
ist
ñ
Dämpfung durch Energieabstrahlung
ñ
Kopplung der Phononen untereinander (Anregung höherer Moden)
¨ + µγ u
˙ + µω20 u = qElok
µu
(13.33)
0
e−iωt erhält man die stationäre Lösung
mit Elok (t) = Elok
u(t) =
q
1
Elok (t)
µ ω20 − ω2 − iγω
(13.34)
13.3.3 Optische Phononen
Vor der Diskussion von (13.34) betrachten wir die Natur der Gitterschwingungen, um den
Einfluss der lokalen elektrischen Felder auf das Schwingungsspektrum zu studieren. Die
Bewegung der Ionen ergibt:
ñ
oszillierendes Dipolmoment p(t) = q u(t)
ñ
oszillierende Polarisation p(t) = nq u(t)
Gesamtpolarisation der Probe
elektronischer Anteil
z
}|
{
p(t) = nq u(t) + nε0 αElok (t)
| {z }
(13.35)
ionischer Anteil
Unterschiede zwischen transversalen und longitudinalen Wellen. Falls kein äußeres Feld
anliegt:
ñ
Bei longitudinal optischen Phononen ist die atomare Auslenkung parallel zum Wellenvektor. E und P sind senkrecht zur Knotenebene, der Depolarisationsfaktor f = 1 und
P`
P`
2 P`
+
=−
(13.36)
ε0
3ε0
3 ε0
Lokales Feld wirkt der relativen Auslenkung u = u1 − u2 der Untergitter entgegen und
versucht die Auslenkung zu reduzieren, entspricht also einer zusätzlichen rücktreibenden Kraft.
`
Elok
= ED + EL = −
2015-01-20
83
13.3 | Elektrische Polarisation in Isolatoren
ñ
Bei transversal optischen Phononen liegt kein Entelektrisierungsfeld an, da Elok und P
parallel zur Scheibenoberfläche sind
`
Elok
= ED + EL = 0 +
P`
P`
=
3ε0
3ε0
(13.37)
Das lokale Feld hat gegenüber longitudinal optischen Wellen ein entgegengesetztes
Vorzeichen und wirkt den rücktreibenden Kräften entgegen. Das Material wird „weicher“.
Mit (13.34) und (13.35) und der Vernachlässigung der Dämpfung in (13.34)
ω2t = ω20 −
1
nq2
3ε0 µ 1 − nα
3
(13.38)
ω2` = ω20 −
2nq2
1
3ε0 µ 1 − 2nα
3
(13.39)
also ω` > ωt .
13.3.4 Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Wellen und optischen
Phononen
Longitudinal optische Phononen wechselwirken nicht mit elektromagnetischen Wellen, da
die Felder senkrecht aufeinander stehen. Transversal optische Phononen wechselwirken
jedoch, da die Felder parallel sind. Im Infraroten können wir direkte Absorption erreichen.
Die dielektrische Funktion lautet
ε(ω) = 1 + χ = 1 +
P
ε0 E
wobei E das mittlere makroskopische Feld ist. Eliminiere nun Elok (t) und u(t) in (13.35) mit
Hilfe von (13.18) und (13.34)
ε(ω) = 1 +
nα
nq2
nα +
1− 3
ε0 µ
| {z }
elektronischer Anteil
1
nα
1− 3
!2
1
2
nq
ω20 −
−ω2 − iγω
3ε0 µ(1 − nα/3)
|
{z
}
(13.40)
ω2
t
|
{z
Ionenbeitrag
}
Umschreiben:
ε(ω) = ε(∞) +
ω2t (εstat − ε(∞))
ω2t − ω2 − iγω
(13.41)
ε(∞) und εstat stehen für die Grenzwerte des Ionenbeitrags für hohe und tiefe Frequenzen.
εstat beinhaltet den Ionen- und Elektronenanteil.
Bemerkung: „∞“ weist nicht auf unendlich hohe Werte, sondern auf Frequenzen hin, die groß
gegen die Frequenz der Ionenresonanz sind, d.h. ε(∞) spiegelt die elektronische Polarisation
im Grenzfall kleiner Frequenzen wieder.
Ç
84
2015-01-22
Dielektrische und optische Eigenschaften | 13
Zerlegung der dielektrischen Funktion ε = ε0 + iε00 in Real- und Imaginärteil.
ε0 (ω) = ε∞ +
ε00 (ω) =
(εstat − ε∞ )ω2t (ω2t − ω2 )
(ω2t − ω2 )2 + γ 2 ω2
(εstat − ε∞ )ω2t γω
(ω2t − ω2 )2 + γ 2 ω2
(13.42)
(13.43)
Division von (13.38) und (13.39) ergibt
ω2`
ω2t
=
εstat
ε∞
Lyddane-Sachs-Teller-Beziehung
(13.44)
Dielektrische und elastische Eigenschaften sind eng miteinander verknüpft.
13.3.5 Phonon-Polariton
Transversal optische Phononen können direkt an elektromagnetische Wellen ankoppeln. Eine
Mischung der beiden Wellentypen heißt Polariton.
¸ Beispiel Eine elektromagnetische Wellen wechselwirkt mit einer transversal optischen
Welle, die sich in x-Richtung ausbreitet. Beide Wellen sind in y-Richtung polarisiert.
ñ
ˆ 0 e−i(ωt−kt x)
Phonon: Pt = yP
ñ
elektromagnetische Welle: Wellengleichung:
¨
c 2 ∇2 E = ε(ω)E
Lösung:
ˆ −i(ωt−kt x)
E = ye
Dispersionsrelation:
ω2 =
1
c 2 k2t
ε(ω)
(13.46)
mit ε(ω) von (13.41), Vernachlässigung der Dämpfung und einsetzen von (13.46)
"
#
ω2 (εstat − ε∞ )
ω2 ε∞ + t 2
= c 2 k2t
ωt − ω2
ω
ck
√ t
ε∞
(13.47)
ck
√ t
εstat
ω`
ωt
kt
2015-01-22
85
13.3 | Elektrische Polarisation in Isolatoren
für
ñ
ω ωt → ω =
ck
√ t
εstat
ñ
ω ωt → ω =
ck
√ t
ε∞
Der Mischzustand bei ω = ωt , ω` wird Polariton genannt.
µ
Bemerkung: Treffen elektromagnetische Wellen mit ωt < ω < ω` auf die Probe werden sie
totalreflektiert.
Ç
13.3.6 Orientierungspolarisation
Statische Polarisation
Annahme: Es ist ein permanentes Dipolmoment vorhanden. Die potentielle Energie im Feld
ist gegeben durch
U = −p · E = −pE cos θ
Eine typische experimentelle Bedingung ist dabei p · E kB T . Dies führt dazu, dass nur eine
partielle Ausrichtung stattfindet. Wir berechnen den thermischen Mittelwert
hcos θi =
pE
3kB T
Die Langevin-Debye-Gleichung ist
P0 = np hcos θi = np
Bemerkung:
pE
3kB T
(13.48)
1. Der Temperaturverlauf entspricht dem Curie-Gesetz.
2. Im Festkörper können die Moleküle manchmal auch noch in feste Phase umorientiert
werden. Voraussetzung dafür ist, dass es keine kovalenten Bindungen gibt und die
Moleküle näherungsweise kugelförmig sind.
Ç
Die Moleküle können nicht wirklich frei rotieren, sondern nehmen bevorzugte diskrete
Orientierungen ein.
Falls es zwei diskrete Einstellmöglichkeiten zum Feld gibt (parallel und antiparallel), so zeigt
sich in der Rechnung (siehe Magnetismus):
P0 = np tanh
pE
np 2 E
≈
kB T
kB T
(13.49)
Dynamische Polarisation
Wechselwirkungen mit einem Wechselfeld, d.h. einer elektromagnetischen Welle. Die Dynamik
der Orientierungsprozesse bestimmt die Reaktion des Systems
dP (t)
P (t) − P0 (t)
=−
dt
τ
86
2015-01-27
Dielektrische und optische Eigenschaften | 13
Dabei ist P0 (t) der Wert, den P bei verschwindend kleiner Relaxationszeit in einem Wechselfeld einnehmen würde und τ die Relaxationszeit.
Bei sprunghaftem Einschalten des Feldes
P (t) = P0 1 − e−t/τ
(13.50)
Die Relaxationszeit, d.h. die Reorientierungszeit der Dipole ist thermisch aktiviert (Sprung
über die Potentialbarriere). Der einfachste Ansatz für ein periodisches Wechselfeld ist
E(t) = E0 e−iωt
Die Polarisation wird dieser Anregung folgen
P (t) = P (ω)e−iωt
gleiches gilt für den Gleichgewichtswert
P0 (t) = P0 (0)e−iωt
Dabei bezeichnet man P0 (0) als statische dipolare Suszeptibilität (ω = 0).
Setze diese Ansätze nun in (??) ein und verwende P (ω) = ε0 χ(ω)E(t). Man erhält die
dipolare Suszeptibilität
χd (ω) =
χd (0)
1 − iωτ
(13.51)
Die dielektrische Funktion lautet
ε(ω) = 1 + χd (ω) + χion (ω) + χe (ω)
(13.52)
χd (ω) ist nur im Mikrowellenbereich von Bedeutung.
ε(ω) = 1 + χion (ω) + χe (ω) +
χd (0)
εstat − ε∞
= ε∞ +
1 − iωτ
1 − iωτ
(13.53)
Die Größen ε∞ und εstat sind wie im vorherigen Kapitel definiert. Wir teilen die komplexe
Größe ε(ω) noch in Real- und Imaginärteil
εstat − ε∞
1 + ω2 τ 2
(εstat − ε∞ )ωτ
ε00 (ω) =
1 + ω2 τ 2
ε0 (ω) = ε∞ +
(13.54)
εstat −ε∞
2
ε00
εstat
Debye-Gleichungen
ε0
ε00
ε∞
log ωτ
0.01
2015-01-27
0.1
1
10
100
87
13.3 | Elektrische Polarisation in Isolatoren
13.3.7 Ferroelektrizität
Ähnlich wie sich in den ferromagnetischen Materialien eine spontane Magnetisierung einstellt,
stellt sich in pyroelektrischen Kristallen eine spontane elektrische Polarisation ein. Als
ferroelektrisch bezeichnet man Kristalle, wenn die spontane Polarisation durch ein genügend
starkes, der Polarisation entgegen gerichtetes Feld umgeklappt werden kann. Oberhalb
einer kritischen Temperatur Tc verschwindet die Polarisation und die Kristalle werden
paraelektrisch.
C
Curie-Weiss-Gesetz
(13.55)
T > Tc : εstat =
T −Θ
mit der materialspezifischen Konstante C und der paraelektrischen Curie-Temperatur Θ.
Ferromagnetismus und Ferroelektrizität haben sehr große phänomenologische Ähnlichkeit
aber unterschiedliche mikroskopische Ursachen. Ferromagnetismus ist ein Phasenübergang
2. Ordnung, Ferroelektrizität eine Phasenübergang 1. oder 2. Ordnung.
Man unterscheidet zwei Mechanismen:
1. Übergänge, die mit einem Ordnungs-Unordnungs-Übergang verbunden sind (Ausrichtung von vorhandenen Dipolen). Hydrogenphosphate: KH2PO4 (KDP-Typ)
2. Dipole werden am Phasenübergang erst durch Verschiebung von Ionen erzeugt. Wenn
die auslenkende Kraft, die auf ein Ion auf Grund des lokalen elektrischen Feldes wirkt,
schneller mit der Verschiebung ansteigt als die lineare elektrische Rückstellkraft kommt
es zur Polarisationskatastrophe. Die Auslenkung bleibt endlich wegen zusätzlicher
nichtlinearer Kräfte.
¸ Beispiel Perowskite: BaTiO3, SrTiO3, LiNbO3.
µ
Anwendungen: T > Tc : εstat ist sehr groß, Dielektrika in Kondensatoren.
T < Tc : große piezoelektrische Konstanten, piezoelektrische Aktuatoren. Große elektrooptische Effekte (Frequenzverdopplung).
Ç
13.3.8 Exzitonen
Strahlt man Photonen mit einer Energie etwas kleiner als die Bandlücke ein, kann es zu einer
speziellen elektrisch neutralen Anregung, bei der e− und h nicht vollständig voneinander
getrennt werden, kommen. Auf Grund der Coulomb-Wechselwirkung ziehen sich e− und h
an und bilden eine Einheit, ein Exziton.
Voraussetzung ist, dass beide Ladungsträger sich mit der gleichen Gruppengeschwindigkeit.
Dies ist an den kritischen Punkten der Elektronenbänder der Fall.
Man unterscheidet zwei Exzitonen-Grundtypen:
88
ExPhys6
Zusammenfassungen | A
A
Zusammenfassungen
A.1 Effektive Masse
Die Bewegungsgleichung für die k-Vektoren lautet
dk
=F
dt
(A.1)
Die effektive Elektronenmasse ist gegeben durch
1 ∂ 2 E(k)
1
∗ =
mij
2 ∂ki ∂kj
(A.2)
Falls die Energieflächen Paraboloide sind gilt m∗ = const und E =
2 k2
2m∗
.
E
m∗
k
π /a k
Für Blochoszillationen in Übergittern gilt
ω B T2 ≤ 1
(A.3)
mit der Blochfrequenz ωB und der Streuzeit T2 .
folie02
89
A.2 | Halbleiter
A.2 Halbleiter
Besetzung der Bänder
Z∞
DL (E)f (E, T ) dE
n=
EL
Z EV
DV (E)[1 − f (E, T )] dE
p=
−∞
Für E − EF 2kB T :
L
n = Neff
e
V
e
p = Neff
E −E
− Lk T F
B
EV −EF
kB T
V
L
mit den effektiven Zustandsdichten Neff
und Neff
Massenwirkungsgesetz
V −Eg /kB T
L
e
Neff
n · p = Neff
Undotierte Halbleiter: Neutralitätsbedingung n = p
EF =
EL − EV
kB T
+
ln
2
2
V
Neff
L
Neff
!
Dotierte Halbleiter: Neutralitätsbedingung n + NA− = p + ND+
log n
Steigung ∼
Ed
2kB
Np > ND
Steigung ∼
Eg
2kB
ND
1/T
log µ
T 3/2
T −3/2
Streuung an
ionisierten
Störstellen
Phononenstreuung
log T
σ = |e|(nµn + pµp )
90
folie02
Zusammenfassungen | A
log σ
therm. Aktivierung von e− auf
den Donatoren
Eigenleitung
Streuung an
Phononen
1/T
A.3 Theoretisches Verständnis der Supraleitung
1. Phänomenologische Gleichungen
a) Londonsche Gleichungen (Ergänzungen der Maxwellgleichungen)
b) Landau-Ginzburg-Gleichungen
2. Quantentheorie der Supraleitung
BCS-Theorie (1975)
Londonsche Gleichungen
∂t j S =
nS eS2
E
mS
1. Londonsche Gleichung
vgl. Ohmsches Gesetz j = σ E.
rot j S = −
nS eS2
B 2. Londonsche Gleichung
mS
Die Londonsche Eindringtiefe ist gegeben durch
s
λL =
mS
µ0 nS eS2
SL
Vakuum
z
∼ e−x/λL
x
folie04
91
A.5 | Josephs on-Effekte
A.4 Supraleiter
ñ
Cooper-Paar: (k↑, −k↓) ist Singulett-Paar (S = 0) und verhält sich nach außen wie ein
Boson. Es ist ein gemeinsamer quantenmechanischer Grundzustand möglich.
ñ
Im Energiespektrum des Supraleiters tritt eine Energielücke ∆ auf. Die minimale Energie
um ein Cooper-Paar aufzubauen ist
δEmin = 2∆
Quasiteilchen
∆(0) = 1.764 kB T
ñ
Stromfluss im Supraleiter
Cooper-Paar
1 0
1 0
k + k ↑, −k + k ↓
2
2
0
0
0
ψCP (k ) = eik R ψCP (k = 0)
A.5 Josephson-Effekte
U
SL1
SL2
Isolator
R
Uext
ñ
Die Makroskopische Wellenfunktion ist gegeben durch
√
ψ = ψ0 eiϕ(r) = nS eiϕ(r)
ñ
Sind die Supraleiter gekoppelt, können wir mit Störungstheorie das folgende Ergebnis
erhalten
˙ 1 = E1 ψ1 + κψ2
iψ
˙ 2 = E2 ψ2 + κψ1
iψ
κ: Kopplungsparameter
ñ
Die Rechnung liefert die zweite Jospehson-Gleichung
˙2 − ϕ
˙ 1 ) = −(E2 − E1 ) = 2eU
(ϕ
92
folie06
Zusammenfassungen | A
A.6 Diamagnetismus
Das quantenmechanische und das klassische Ergebnis stimmen überein.
χ=−
nµ0 e2
Z hr 2 i
6m
Metalle: Landau-Diamagnetismus
χ=
1
µ0 µB2 D(EF )
3
me
me∗
!2
A.7 Paramagnetismus
ñ
Spin und Bahnbeiträge (LS-Kopplung)
ñ
Temperaturverlauf der Suszeptibilität wird durch thermische Besetzung der Energieniveaus bestimmt.
¯g = gi µB JB(x)
µ
gJ µB JB
kB T
2J + 1
2J + 1
1
1
B(x) =
coth
x −
coth
x
2J
2J
2J
2J
x=
mit der Brillouinfunktion B(x).
A.8 Ferromagnetismus
Klassische Molekularfeldtheorie
Beff = Baußen + BM = Baußen + λµ0 M
λ Molekularfeldkonstante
MS (T )
TC
folie07
T
93
A.9 | Austausch-Wechselwirkung zwischen lokalisierten Elektronen
TC = Cλ
mit der Curie-Konstante C, der Molekularfeldkonstante λ und der ferromagnetischen CurieTemperatur TC .
χp =
C
T − TC
Curie-Weiss-Gesetz
QM
Austauschwechselwirkung zwischen lokalisierten Elektronen.
Austauschkonstante
J = 4N 2
Z
˜ (r 1 , r 2 )ϕb (r 1 )ϕa (r 2 ) dV1 dV2
ϕa∗ (r 1 )ϕb∗ (r 2 )V
J > 0 =⇒ parallele Spinausrichtung
J < 0 =⇒ antiparallele Spinausrichtung
Aufgrund des Pauli-Prinzips die Ortswellenfunktionen auf eindeutige Weise mit den Spinwellenfunktionen verknüpft.
A.9 Austausch-Wechselwirkung zwischen lokalisierten Elektronen
Austauschkonstante
J = 4N 2
Z
˜ (r 1 , r 2 )ϕb (r 1 )ϕa (r 2 ) dV1 dV2
ϕa∗ (r 1 )ϕb∗ (r 2 )V
J > 0 =⇒ parallele Spinausrichtung
J < 0 =⇒ antiparallele Spinausrichtung
Heisenberg-Modell
HSpin = −
XX
ˆi S
ˆj
Jij S
i i≠j
J=
3kB TC
ZS(S + 1)
J verknüpft die Molekularfeldkonstante mit dem QM-Modell.
94
folie08
Zusammenfassungen | A
Beispiele
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
Mn2+
↓
O2–
↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑
freie e−
Austauschwechselwirkung
↑
↑↑ ↑
↑↑
RKKY
J
↑
Mn2+
O2–
Mn2+
Superaustausch
A.10 Kernspinresonanz
Starkes, sehr homogenes Magnetfeld B0 (bis 22.3 T).
Ausrichten der magnetischen Momente, Bsp. 1H-Kern
U = −mI gI µk B0
E
mI = −1/2
B0
mI = +1/2
ω0 = γB0 = gI µk B0
ω0 = γB0
(A.4)
Monochromatische Strahlung bei ω0
B1 (t) = e x 2B1 cos ω0 t
ez
B1 (t)
ex
ey
B0
folie09
95
A.10 | Kernspinresonanz
U (t) = U0 cos(ω0 t)e−t/T2
T2 ist die Phasenverlustzeit.
96
ExPhys6
Index
—B—
Blochfrequenz, 3
Boltzmanngleichung in
Relaxationszeitnäherung
linearisiert, 7
Boltzmanngleichung in
Relaxationszeitnäherung, 6
—C—
Curie-Gesetz, 53
Curie-Weiss-Gesetz, 88
—D—
Debye-Gleichungen, 87
Diffusionsstrom, 30
—E—
effektive Masse, 1
—F—
Feldstrom, 30
Fermi-Dirac-Statistik, 6
Ferroelektrizität, 88
—J—
ExPhys6
Josephson-Gleichstrom-Effekt, 48
Josephson-Wechselstrom-Effekt, 49
—K—
Kondensationsenergie, 49
—P—
Paraelektrizität, 88
Polarisationskatastrophe, 88
—Q—
Quanten-Hall-Effekt, 15
—R—
Relaxationszeitnäherung, 6
RKKY-Wechselwirkung, 57
—S—
Schottky-Barriere, 33
Schottky-Modell, 28
Superaustausch, 57
—V—
Verdrängungarbeit, 49
97
Literatur
Literatur
[1]
S. Hunklinger. Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2007. isbn: 978-3486-57562-0.
[2]
H. Ibach und H. Lüth. Festkörperphysik – Einfuhrung in die Grundlagen. SpringerLehrbuch. Springer, 2009. isbn: 978-3-540-85795-2.
[3]
R. Gross und A. Marx. Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2012. isbn:
978-3-486-71294-0.
[4]
H. Haken und H. C. Wolf. Molekülphysik und Quantenchemie. 5. Aufl. Springer Verlag,
Okt. 2005. isbn: 3-540-30314-6. doi: 10.1007/3-540-30315-4.
[5]
H. Haken und H. C. Wolf. Atom- und Quantenphysik. 8. Aufl. Springer Verlag, 2004. isbn:
978-3-642-62142-0. doi: 10.1007/978-3-642-18519-9.
[6]
C. Kittel und S. Hunklinger. Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013. isbn: 978-3-486-59755-4.
[7]
W. Demtröder. Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle Und Festkörper. Springer, 2010.
isbn: 978-3-642-03910-2. doi: 10.1007/978-3-642-03911-9.
ExPhys6
99
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