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Einfürung in die QM Kurzinhalt

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Einf¨uhrung in die QM
Kurzinhalt
Armin Scrinzi
January 26, 2015
1
Vorlesungsinhalte, chronologisch
6. Oktober Abstrakte Darstellung des Grundcharakters quantenmechanischer Phaenomene anhand ”roter/gruener” bzw. ”harter/weicher” ”Elektronen” (siehe Materialien “Phaenomene.pdf”).
Einige wichtige Beobachtungen: Stern-Gerlach, Stabilitaet der Materie, EPR Paradoxon, BalmerFormel, Strahlung heisser Koerper (siehe “Phaenomene.pdf”)
b 6= H
b Fb. Dimension
7. Oktober Farb/Haerte Beispiel: nicht-Vertauschbarkeit der Messungen FbH
von h: Energie × Zeit = “Wirkung” / Math. Einschub: warum Argumente von Funktionen dimensionslos sein m¨
ussen / Photoelektrischer Effekt / hν ist Energie des Photons (das Photon hat keine
Masse!) / Frequenzen entsprechen Energien / Doppelspaltexperiment: belegt sowohl Wellencharakter als auch Teilchencharakter! // Klassische Mechanik: die zentralen Gr¨ossen “Ort” und “Impuls”
/ Phasenraum: x,p / Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum / h ist sehr klein! / Darstellung von
b Impuls Pb, Energie Tb, Detektion eines Teilchens C
b / die Messgr¨osse bestimmt
Messgr¨ossen (Ort X,
die m¨oglichen Messwerte / Untergrenze f¨
ur das Volumen im Phasenraum ∼ h! / Erwartungswerte
realer Messungen
13. Oktober Effekt der Unsch¨arfe f¨
ur 1 kg Masse / Normierung von Wahrscheinlichkeitsdichten /
Addition von Wahrscheinlichkeitsdichten / Linearit¨at von Ewartungswerten bez¨
uglich Wahrscheinlichkeitsdichte ρ / Konstruktion beliebiger Messgr¨ossen: prinzipielle M¨oglichkeit im Labor / Messgr¨ossen
bilden einen linearen Raum (=Vektorraum) / Konstruktion beliebiger Messgr¨ossen als Summe der
b[x ,xm ]×[p ,pn ] (Beispiel an der Tafel ohne p-Abh¨angigkeit) / Rolle der Messgr¨ossen
Messgr¨ossen C
m−1
n−1
als Erzeugende von Transformationen: Energie als Erzeugende der Zeitentwicklung, Impuls als Erzeub B}
b mit QM: [A
b(qu) , B
b (q) ] / KM: Erhaltung der
gende von Verschiebungen im Ort / Analogie KM: {A,
Wahrscheinlichkeit erfordert Hamilton’sche Bewegungsgleichungen / QM: Erhaltung der Wahrscheinlichkeit erfordert die Schr¨odingergleichung /Struktur der Quantenmechanik: Punkte 1-5: Vollstaendige Kenntnis des Systems als eine Menge von Zahlen Ψ / Annahmen u
¨ber die M¨oglichkeiten
von Orstmessungen / Definition einer Wahrscheinlichkeitsdichte im Ort als (gedachter) Limes von
immer genaueren Ortsmessungen / Wahrscheinlichkeitsdichte im Ort in der KM
1
15. Oktober Struktur der Quantenmechanik: Punkte 6-8: Erwartungswerte als lineares
Funktional der Messgr¨ossen / Erwartungswert als Integral u
¨ber Messwerte mal Wahrscheinlichkeits(r)
(i)
dichte µΨ (x) / Scheidepunkt zwischen KM und QM: µΨ (x) = µΨ (x) + µΨ (x) / Wellenfunktion
(r)
(i)
(Ortsdarstellung): Ψ(x) / µΨ = |<Ψ(x)|2 , µΨ = |=Ψ(x)|2 , µΨ (x) = |Ψ|2 / Wellenfunktion (Impuls2
˜
˜
˜
darstellung) Ψ(p)
:µ
˜Ψ (p) = |Ψ(p)|
/ Ψ(x) und Ψ(p)
enthalten die gleiche Information / Vorgriff:
˜
Beziehung durch Fouriertransformation: Ψ(p) = F[Ψ](p) / Wellenfunktion (Spektraldarstellung):
b Ψ durch Ψ(a, λ) / Entartung: λ “nummeriert” die
Verallgemeinerung f¨
ur beliebige Messgr¨ossen hAi
Werte von ΨAb(a, λ) die zu gleichen Messwerten a geh¨oren
20. Oktober Kommentar zur Bedeutung von dtd ρt und Hamiltongleichungen / “Spektraldarstellung” der klassischen Mechanik: der Ort ist bez. des Impulses entartet, der Impuls ist bez. des Ortes
b (kl) , Pb(kl) ] = 0 / Klassische Messgr¨ossen k¨onnen als “Operatoren” wirken (Poissonentarte, Grund: [X
klammer) / Impulsbegriff bei Newton: Impuls als Eigenschaft des Teilchens die durch Kraft ge¨andert
¨
wird / Homogenit¨at des Raumes ⇔ Impulserhaltung (Noether-Theorem) / Verweis auf Ubung:
klassischer Impuls “erzeugt” Verschiebung im Raum / Definition des Impulses durch diese Eigenschaft
/ QM Messgr¨ossen werden direkt (ohne Umweg mit Poissionklammer) als Operatoren definiert /
QM Impuls als Ableitung im Ortsraum / Wechsel in Spektraldarstellung durch Fouriertransformation / Spektrum des Ableitungsoperators σ(−∂x ) = Imagin¨are Achse −i(−∞, ∞) / Motivation des
Vorfaktors −i~ / Vertauschungsrelationen / Zusammenfassung / Addition von Wellenfunktionen —
Superpositionsprinzip / Wellfunktionen bilden einen linearen Raum = Vektorraum / Wellenfunktion, aber NICHT Wahrscheinlichkeiten addieren sich / Elementares Beispiel f¨
ur Interferenz von
Ortswellenfunktionen.
22. Oktober Hilbertraum: im wesentlichen die Standarddefinition: Linearit¨at, (positives) Skalarprodukt, Separabilit¨at, Vollst¨andigkeit / Norm ||Ψ|| / Spezielle Variante der Definition: Annahme einer
Orthonormalbasis Φn / Diskussion des Begriffs “Orthogonal” f¨
ur Funktionen / Beispiel: CN mit
2
2
Skalarprodukt und ON Basis / L (dx, R): Bespiel f¨
ur ON
Basis: Hn (x)e−x /2 /Cn , Hn (x). . . HermiteR
polynom vom Grad n, Cn Normierungskonstante Cn2 = dxHn (x)2 exp(−x2 ) / Erw¨ahnung wichtiger
orthogonaler Polynome: Hn (x), Hermite — Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators / Pn (x),
Legendre — Drehimpuls in der QM / Ln (x), Laguerre — gebundene Wellenfunktionen des Wasserb† : Definition / Bedeutung der
stoffatoms / Linearer Operator / Hermitisch konjugiertier Operator Q
b† auf beliebiges Ψ definiert durch Wirkung auf alle Basisfunktionen Φn /
Definition: Wirkung von Q
b† Φm |QΦ
b n i (Verweis auf Ubungsbeispiel)
¨
Matrixelemente hQ
/ Unit¨arere Operator: erh¨alt Skalarprob
b
bt=0 = 1 / ∃! limτ →0 τ −1 [Uτ −1] =:
dukt / Zeitentwicklungsoperator Ut : Ψt = Ut Ψt=0 / Ut is unit¨ar / U
b und mit H
b = H
b † hermitisch (Satz von Stone) / ⇒ Schr¨odingergleichung: i d Ψt = HΨ
b t, H
b
−iH
dt
hermitisch.
27. Oktober Nochmal: Satz von Stone / Schr¨odinger Gleichung / L¨osung der Schr¨odingergleichung
b 0 / Definition der Exponentialfunktion u
als Ψt = exp(−itH)Ψ
¨ber Spektralsatz / Spektralsatz Vorb b : H b → H / Punktbereitung: Verallgemeinerte Unitari¨at zwischen verschiedenen Hilbertr¨aumen U
A
A
b und σc (A)
b / Beispiele σp : Zustaende des harmonischen Oszilund Kontinuierliches Spektrum σp (A)
2
lators, gebundenen
RP Zust¨ande des Wasserstoffatom /2 σc : Impuls, ungebundene Zust¨ande des Wasserstoffs / Symbol / Spektralsatz Vorbereitung: LAb - Raum der quadratintegrablen Funktione am
b / Normaler Operator A
b† A
b=A
bA
b† / Spektralsatz: jeder normale Operator l¨asst sich
Spektrum σ(A)
b =U
b b aU
b −1 Ψ / Diskrete Spektralwerte sind Eigenwerte mit Eigenvektoren in H /
schreiben als AΨ
A
b
A
Kontinuierliche Spektralwerte haben
p keine Eigenfunktionen in H / Beispiele: Φp (x) = exp(ipx/~)
ist nicht normierbar / Φx0 (x) = ” δ(x − x0 )” ist nicht sinnvoll definiert, beide sind ungef¨ahr gleich
sinnvoll oder sinnlos, wenn man versucht sie als Wellenfunktionen aufzufassen: kein Erwartungswert
des Ortes definierbar f¨
ur Φp , keiner des Impulses f¨
ur Φx0
29. Oktober Spektraldarstellung von Operatoren: Erl¨auterung zur Bedeutung / dbAb als “Diagonalmatrix” (eventuell unendlichdimensional) / Anwendung eines Operators auf Ψ ∈ H unter
Ben¨
utzung der Spektraldarst.: Beschreibung als Prozedur in 3 Punkten / Konkretes Beispiel anhand Fouriertransformation / Definition von Eigenwert und Eigenvektor / Spektralwerte = (verallgemeinerte) Eigenwerte / Eigenvektoren in Spektraldarstellung φai (a) (Punktspektrum) / Annahme
b b / Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spekder Existenz eines “Integrationskerns” U (x, a) f¨
ur U
A
trums, Ortsraum φa = U (x, a) / Funktionen von Operatoren, Definition u
¨ber die Spektraldarstellung
−1
b
b
b und charakteristische
b
b
f (A) := UAbf (dAb)UAb / Beispiel Zeitentwicklungsoperator Ut = exp(−itH)
b / Eigenschaften hermitischer Opeatoren: Eigenwerte reel, Eigenvektoren orFunktion χ[a0 ,a1 ] (A)
thogonal / Normierte Eigenvektoren Ψai eines hermitischen Operators (mit reinem Punktspektrum)
b
bilden ON Basis / Bra-Ket Notation: Normierte Eigenvektoren eines
P hermitischen Operators A,
Schreibweise: φai =: |φai i := |ai i / F¨
ur reines Punkspektrum:
b |ai ihai |Ψi = |Ψi bzw.
ai ∈σp (A)
P
ur Eigenfunktionen des kontinuierlichen
b |ai ihai | = 1 / “Missbrauch” der Bra-Ket Notation f¨
σp (A)
R
˜
Spektrums: Beispiel |pi und dp|pihp| = 1 / hp|Ψi = Ψ(p):
kompakte Notation der Fouriertransformation! / Ausblick: Kollaps des Wellenpakets.
3. November Kollaps des Wellenpakets: Messresultat in [a0 , a1 ] entspricht Einschr¨ankung des
Wellfunktion in der Spektraldarstellung Ψ(nach) (a) = χ[a0 ,a1 ] (a)Ψ(vor) (a)/N orm / “Kollaps des Wellb (vor) /N orm / Ort/Impuls: Ver¨anderung der
pakets” / Beliebige Darstellunge: Ψ(nach) = χ[a0 ,a1 ] (A)Ψ
Impulsverteilung durch genauere Definition der Ortsverteilung / allgemein f¨
ur nicht-kommutierende
Operatoren / Bild eines inkompressiblen Phasenraumvolumens: Einschr¨ankung in z.B. der Ortskob in Spektraldarstellung
ordinate erfordert Ausdehnung in Impulskoordinate / Diskussion von χ(A)
und in Bra-Ket Notation / Projektionen: Diskussion am Beispiel von Vektoren aus R3 / Definition:
b 2 = Π,
b Π
b† = Π
b / Typische Form eines Projektionsoperators
Projektionsoperator ≡ Projektor: Π
b ist ein Projektor /
in Matrixdarstellung: Diagonalmatrix mit 1en oder 0en auf Diagonale / χ(A)
Auffinden der “Postulate der QM” in unserer Darstellung
b
b
b
5. November Notation f¨
ur hermitische Operatoren hΦ|H|Ψi
= hΦ|HΨi
= hHΦ|Ψi
/ Undendlich
hoher Potentialtopf: Motivation durch endlich hohen Topf - GaAs-AlAs Quantum Wells / Abmessung ∼ 10nm, vgl. H-Atom ∼ 0.05nm, ca. 100 Atomlagen / Topfpotential / Hamiltonoperator
/ Qualitative Diskussion der Energieeigenzust¨ande ΨE / Endlichkeit der potentiellen Energie: ΨE
sind =0 ausserhalb des Topfs / Endlichkeit der kinetischen Energie: die ΨE fallen differenzierbar auf
3
den Randwert 0 / Anmerkung zur Nicht-Anwendbarkeit des Operators der kinetischen Energie am
Rand / Allgemeine Form der Funktionen auf [−x0 , x0 ]: Exponentialfunktionen / Korrekte L¨osungen
¨
als Linearkombination von Exponentialfunktionen / Verweis auf Ubungen
f¨
ur Folgendes: konkrete
b =∅/
Form der Eigenfunktionen, reines Punktspektrum, kontinuierliches Spekturm ist leer σc (H)
En = E0 M (n), M ∈ N / Korrespondenzprinzip: Rechtfertigung der Form des Hamiltonoperators
/ Gebundenen Zust¨ande, qualitative Diskussion: gebunden - Aufenthaltswahrscheinlichkeit bleibt
immer bis auf auf endlichen Bereich beschr¨ankt / Energieeigenzust¨ande des Punktspektrums sind
IMMER gebunden (Diskussion noch unvollst¨andig).
10. November (Zielinski) Spektraldarstellung des Hamiltonians zur L¨osung der Schr¨odingergleichung
/ Unendlich tiefen Potentialtopfs: 1. Form der Eigenzustaende, 2. physikalische Argumentation fuer
die Randbedingung (Stetigkeit = endliche kinetische Energie), 3. grafische Darstellung des Spektrums
En ∼ n2 . / Endlich tiefer Potentialtopf: Analogie zum unendlich tiefen Topf: 1. Form der Eigenzusb und die Form der Eigenfunktionen zu σc (H)
b (kontinuierliches
taende (diskretes Spektrum, σp (H))
Spektrum) motiviert / 2. die veraenderte physikalische Argumentation fuer die Randbedingungen (Punkte 1-6 in Kapitel 3.2) / 3. grafische Darstellung des Spektrums (Fuer tiefe Toepfe sind
niedrige Zustaende fast gleich, je naeher sie der Schwelle kommen desto groesser die Abweichungen)
/ Konkrete Loesung des endlichen Topfs: Eigenwertgleichung in den drei Bereichen x < −a, |x| < a
und x > a / Qualitative Beschreibung des kontinuierlichen Teils / Quantitative Beschreibung des
gebundenen Teils angefangen um auf Uebungsaufgabe ueberzuleiten / Anschlussbedingungen aus den
zwei Saetzen geschlussfolgert: 1. Eigenfunktionen/vektoren von symmetrischen Potentialen koennen
symmetrisch und anti-symmetrisch gewaehlt werden. 2. Wellenfunktionen sind stetig differenzierbar ueberall, nur nicht an Stellen an denen das Potential unstetig ist / Grafisches (qualitatives)
Loesungsverfahren fuer die resultierenden transzendenten Gleichungen angedeutet
12. November Anmerkungen zur Spektraldarstellung / Wiederholung: Eigenfunktionen zum
Punktspektrum sind normierbar, sind Eigenvektoren ∈ H (WICHTIG: siehe auch 2.9.3 , 2.10 in
StructureQM) / Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums sind NICHT normierbar, siehe auch
¨
Ubungsblatt
4.4 / Vergleich unendlicher/endlicher Potentialtopfs / “Bindungsenergie” EB : Abstand
der Energie zum oberen Rand des Potentialtopfs. Bei Topfhoehe V0 und√Energie En: EB = V0 − En
/ St¨arke des exponentiellen Abfalls in der Wand exp(−κx/~) mit κ = 2mEB /~ / Betonung, dass
dies ein sehr typisches Verhalten f¨
ure QM Systeme ist / In dem Zusammenhang: Hinweis auf den
“Tunneleffekt” durch eine endlich dicke Wand / Die Energien im endlichen Potentialtopf liegen tiefer
als im unendlichen Topf (gemessen vom Topfboden) / Qualitative Begr¨
undung u
¨ber die Unschaerferelation: die Teilchen haben durch die exponentiellen Ausl¨aufer in die Wand mehr Platz, ∆x kann
gr¨osser sein, das Impulsquadrat ∼ kinetische Energie ∆p2 = hp2 i kann daher kleiner sein / Diskussion
“gebundener Zustand” als in einem endlichen Raumgebiet lokalisert / Eigenvektoren des Punktspektrums m¨
ussen gebunden sein: Skizze eines Beweises / Superpositionszustand von Eigenzust¨anden
des gebundenen Spektrums / Kommensurabilit¨at der Eigenenergien des unendlichen Potentialtopfs
¨
/ Endliche Wiederkehrzeiten (Revivals), siehe auch Ubungen
/ Approximative Revivals im endlichen
Potentialtopf und realen Systemen / Symmetrie unter x → −x: Sb als linearer hermitischer Operator
/ Sb2 = 1, Eigenwerte von Sb sind {+1, −1} / Projektoren auf Eigenfunktionen des Parit¨atsopertors
4
¨
(Verweis auf Ubungsblatt
7)
17. November Verschiebung des Energienullpunkts am Beispiel endlicher Potentialtopf / Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums: Ansatz mit ebenen Wellen und Bestimmung der Kon(+)
stanten mittels Normierung, Stetigkeit, und Symmetrie / Beispiel fur positive “Parit¨at”: φE (x) =
(+)
φE (−x) / Entartung der Eigenzustaende bez¨
uglich der Reflexionssymmetrie Sb / Wellenpakete nomierbare Wellenfunktionen im kontinuierlichen Spektrum / Erl¨auterung: Wellenpaket aus Im¨
pulseigenfunktionen / Verhalten von Wellenpaketen: Zerfliessen (Erinnnerung an Ubungsbeispiel)
/ f¨
ur grosse Zeiten w¨achst die Breite des Wellenpakets linear mit der Zeit / jedes Wellenpaket
im kontinuierlichen Spektrum zerfliesst / Pakete mit Beitr¨agen aus einem engen Spektralbereich
b approximieren Eigenfunktionen des konntinuierlichen Spektrums / Dispersion bei
∆E ⊂ σc (H)
b = F (Pb): Wellenpaket in engem Bereich um p0 / Taylorentwicklung von F (Pb) um p0 / 3 Terme
H
(a) Nullpunktsverschiebung, (b) Verschiebung mit Geschwindigkeite F00 / im Fall freies Teilchen
F00 = p0 /m / (c) “effektive Masse” (to be continued)
19. November Dispersionrelation: (c) “effektive Masse”, Group Delay Dispersion / de BroglieWellenlaenge λ: und Zusammenhang zwischen mittlerem Impuls und λ, Absch¨atzung der “Minimalgr¨osse” der Wellenfunktion eines Gebundenen Zustands durch ihre kinetische Energie ∼ λ−2 /
b
Namensdefinition: Parit¨
at (Sb : (SΨ)(x)
= Ψ(−x) // Harmonischer Oszillator (HO): Motivation
als Approximation glatter Potentiale / Sinnhaftigkeit der Approximation h¨angt von der r¨aumlichen
Ausdehnung der Zust¨ande ab, Bezug zu de Broglie-Wellenl¨ange / Motivation u
¨ber die Qantisierung
des EM Feldes: elektrisches
und
magnetisches
Feld
sind
konjugierte
Gr¨
o
ssen
wie
Ort und Impuls /
R 2
2
Energie des Feldes E + B : Analogie zum HO / Zerlegung des Feldes nach Wellenzahl k (Fouriertransformation) / Quantisierung: jede “Mode” (z.B. Wellenvector k) entspricht einem harmonischen
Oszillator / k ∼ Welenvektor des Photons / / Diskussion der Wellenfunktionen im Ortsraum: asymptotischer Abfall wie ≈ exp[−(x/σ)2 ], qualitative Erkl¨arung daf¨
ur durch Vergleich mit “evaneszenter
Welle” exp[−κx] des endlich tiefen Poentialtopfs / Qualitative diskussion des Spektrums: Punktspecktrum, nur gebundene Zus¨ande / Konstante Abst¨ande der Energien, da das harmonische Potential mit steigender Energie immer breiter wird: vergleiche endlichen und unendlichen Potentialtopf
¨
/ Aquidistante
Energien sind das definierend Charakteristikum des HO / Explizite Form der Eigenfunktionen: Hn exp(−x2 /2) / Hermitepolynome Hn / Parit¨at: Hn (x) = (−1)n Hn (−x)
24. November Harmonischer Oszillator: Zugang u
¨ber Leiteroperator / Defintion von a, a† /
b / Vertauschungsrelationen [H,
b a] und [H,
b a† ] /
[a, a† ] / Hamiltonoperator und Anzahloperator N
Vollst¨andige Charakterisierung des HO durch die Vertauschunsrelationen, siehe EinfacheSysteme.pdf,
¨
3.4.7, Punkte (1-8) / WICHTIG: Erg¨anzunge der Inhalte in Ubungsblatt
8 / Graphische Erl¨auterung
† b
des Begriffs “Leiteroperator” / Matrixdarstellung von a, a , N / Kommentar zu Photonen (siehe
EinfacheSysteme.pdf, 3.4.8)
26. November Nachtrag: Separationsansatz und zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung / Nachtrag: klassisch erlaubter Bereich (=positive kinetische Energie): Eigenfunktionen zur Achse hin
gekr¨
ummt / klassisch verbotener bereich (= negative kinetische Energie): Eigenfunktionen von der
5
Achse weg gekr¨
ummt / daraus folgt: Eigenfunktionen haben nur einfache Nullstellen / Zweidimensionale Systeme: interpretierbar als 2 1-dimensional Systeme oder 1 2-dimensionales System / Hamiltonion des 2d-HO / Korrespondenzprinzip impliziert, dass Impulse und Orte bez¨
uglich verschiedener
2
2
2
2
Koordinaten kommutieren / Hilbertraum L (dxdy, R ) / Basis in L (dxdy, R ) als Produkt von Basen
(1)
in L2 (dx, R) und L2 (dy, R) / Interpretation der Basisfunktionen als “Teilchen 1 in Zustand φm und
(2)
Teilchen 2 in φn ” / Tensoprodukt H = H(a) ⊗ H(b) : Definition u
¨ber Tensorprodukt der Basisfunk(a)
(b)
tionen ψmn = φm ⊗ φn (siehe auch MehrDim.pdf) / Verschr¨ankung (Entanglement): Nicht jeder
Zustand des Gesamtsystems kann Φ(1) ⊗ Φ(2) geschrieben werden / Tensorprodukt von Operatoren
b⊗B
b / Harmonischer Oszillator, Spezialfall: isotrop / Rotationssymmetrie /
A
1. Dezember Eigenvektoren des 2d HO als Tensorprodukt der Eigenvektoren 2er 1d-HOs /
Isotroper HO in kartesischen Koordinaten: Entartung als Indikator f¨
ur Symmetrie / anschauliche
Darstellung der Energieentartung durch ein Gitter in der m, n-Ebene / / ebene Polarkoordinaten:
Definition / Hamiltonoperator in Polarkoorindaten / Heuristik fur den radialen Teil des Laplaceb = 0 / Skalarprodukt in ebenen Polarkoordinaten / H = Hρ ⊗ Hφ /
operators ρ−1 ∂ρ ρ∂ρ / [∂φ , H]
Definition von Hφ und Hρ / Drehimpulsoperator = Erzeugender Operator der Drehung: Lz = −i~∂φ
bα = exp(α∂φ ) = exp(iαLz ) / Eigenwerte und Eigenvektoren von
/ Drehungsoperator um Winkel α: U
b m = χ[ m, m](Lz ) / Beachte:
Lz : m ∈ Z, |mi = (2π)−1/2 exp(imφ) / Protoren auf Eigenwert m: Π
b m = |mihm| / Eigenschaften der Π
b m / / Satz [A,
b B]
b = 0 ⇒ [f (A),
b g(B)]
b = 0 f¨
Π
ur beliebige Funkb
b
b
b
b
b
b mH
b = . . . / Auf
tionen f, g / daher: [Lz , H] ⇒ [Πm , H] = 0 / Konstruktion der Hm := H Πm = Π
b m Ψ : Ψm : H
b hat die Form einer Block-diagonalmatrix aus den H
b m / Explizite Form der H
b m in
Π
Polarkoordinaten
3. Dezember Anmerkungen zur Notation des Tensorprodukts in der Physik: |ai ⊗ |mi ∼ |ai|mi,
b
bm ∼ 1 ⊗ Π
b / Zerlegung der Einheit P Π
ur
Π
m m = 1 / Re-Formulierung der Eigenwertgleichung f¨
b
b
gegebenes m als H|Ψi = |ΨiE → Hm (|mi ⊗ |Ψm i) = (|mi ⊗ |Ψm i)E // Dreidimensionaler HO:
Eigenvektoren und -werte / Istroper HO ω = ωx = ωy = ωz : Rotationssymmetrie / Vergleich zum
Wasserstoffatom: Potential r2 /2 → −1/r, ansonsten gleiche Symmetrie / Strategie zur L¨osung allgemeiner rotationssymmetrischer Systeme in 4 Punkten / Polarkoorindaten: Definition / Hilbertraum
in Polarkoordinatent: L2 (dxdydz, R3 ) = H = Hr ⊗ HΩ / Laplace-Operator in Polarkoordinaten
b2 / Block-diagonale form von ∆ nach Bestimmung der Spektral/ Form ∆ = ∆r ⊗ 1 − r−2 ⊗ L
Ω
~b
2
b
darstellung von LΩ / Drehimpulsoperatoren L
/ Explizite Form durch Orts- und Impulsoperatoren
2
b
/ Der Operator L / Drehimpulsalgebra: Vertauschungsrelationen / Algebraische Konstruktion der
b± / Erschliessen des Spektrums von L
bz auf Grund der
Eigenwerte mittels der Leiteroperatoren L
Vertauschungsrelationen / Auftauchen von halb-zahligen Eigenwergen m = ±1/3, ±3/2, . . .: Spin /
Bosonen und Fermionen
bz und L
b2 unter ausschliesslicher
8. Dezember Strategie zur Bestimmung der Eigenwerte von L
Benutzung der Kommutatorrelationen (in 6 Punkten, siehe MehrDim.pdf), Analogie zu den Eigenwerten des HO / Zerlegung des Winkel-Hilbertraums in ein Tensorprodukt aus 2 Faktoren HΩ =
b2 = L
b2 (siehe oben) / Eigenfunktionen von L
b2
Hφ ⊗ Hη / Feststellung (ohne Rechnung) dass L
Ω
6
bΩ verwendurch eine Iteration der Idee, die zur Separation des Laplaceoperators in ∆r und L
b Ω = 1φ ⊗ L
bη + (−∂φ ) ⊗ (1 − η 2 )−1/2 / Allgemeine Form der L¨osung: Produkt /
det wurde: L
Kugelflaechenfunktionen: |l, mi = Ylm (φ, η) = exp(imφ)Plm (η)Nlm / Wesentliche Eigenschaften der
b lm = |Y m ihY m | / Orthogonale Polynome: Hermite, Laguerre, Legendre, verYlm / Projektoren Π
l
l
allgem. Legendre: Definitionsbereiche
[a, b] und Gewichtsfunktionen w(q) / Assoziierte Legendrefunkp
|m|
m
tionen Pl (η) = wm (η)Ql (η) // Wasserstoffatom Coulombpotential zwischen Protonladung
qp = e und Elektronladung qe = −e / Hamiltonoperator nach dem Korrespondenzprinzip / Wahl der
b = −∆/2 − 1/r
L¨angeneinheit a0 / Hamiltonian in “atomaren Einheiten” f¨
ur Energie und L¨ange: H
10. Dezember Konkrete Werte der relevanten Gr¨ossen in SI Einheiten, teilweise in eV / Virialtheorem f¨
ur das Coulomb-Potential 2hT i = −hV i / daher: Gesamtenergie geb.Zust. bestimmt
mittlere kinetische und mittlere potentielle Energie / Feststellung ohne Beweis: Grunzustandsenergie = −1Ry = −1/2 au / “Gr¨osse” des Wasserstoffatoms: Erwarungswerte h1/ri, hri / Typische Geschwindigkeit v0 = αc / Feinstrukturkonstante α = e2 /(4π0 ~c) ≈ 1/137 / Atomare Einheiten (au) / Skalierungsargumente(1): Wasserstoffartige Atome mit Kernladungszahl Z: Gr¨osse,
Geschwindigkeit, Energie / z.B. Ne, Z=10, zeigt deutliche relativistische Effekte / Skalierung(2):
¨
myonische Atome (kommt als Ubung)
/ Skalierung(3): Existenz des Grundzustands: “Kosten” an
kinetischer Energie verhindern Absturz zu beliebig negativer Gesamtenergie (Plausibilit¨atsargument,
kein strenger Beweis!) / Unendliche Reichweite des Coulombpotentials: unendlicher Streuquerschnitt
und logarithmische Divergenz / Anmerkung: f¨
ur 1/r1+ nicht divergent / Skalierung(4): das Potential
hat ∞-viele gebundene Zust¨ande (Plausibilit¨at, kein Beweis) / Die schwach gebundenen Zuest¨ande
sind stark ausgedehnt
/ Eigenfunktionen: Verhalten f¨
ur grosse r → ∞ (Analogie Potentialtopf): ∼
√
exp(−κr) / κ = −2me En / unter Verwendung der Rydbergenergien En = −Ry/n2 = −1/(2n2 ) au:
κ = 1/n
15. Dezember Qualitative Diskussion der Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms: Verhalten bei
r → 0 / Drehimpulsbarriere: abstossendes radiales Potential l(l + 1)/(2mr2 ) / Verhalten Ψ(r) ∝ rl
/ Explizite Form der Eigenfunktionen / Quantenzahlen: n, l, m : l < n, |m| ≤ l / Eigenwerte
−1/(2n2 )(au): ∞-viele gleich unter Energie =0 / “Gr¨osse” der Wellenfunktionen w¨achst ∼ n /
Entartung der Eigenwerte: mit m / Entartung bez. l ist Besonderheit des Coulomb-Problems: Symmetrie! Zugeh¨orige Erhaltungsgr¨osse: Lenz-Runge Vektor / Grenze der Beschreibung: Relativistik, Spin-Bahn Kopplung, a¨usserer Felder // Umgang mit kleinen St¨orungen: St¨
orungstheorie/
Erinnnerung an den Residuensatz / Techniken der St¨orungstheorie: Riesz-Projektor = Darstellung
des Projektors auf eine Eigenfunktion durchPIntegral u
¨ber geschlossene Kurve in der komplexen Ebene
−1
−1
−1 n
/ Verallgemeinerung
von
(a
+
b)
=
a
[−ba
] auf Resolventenreihe: (H0 − z + H1 )−1 =
n
P
(H0 − z)−1 n [−H1 (H0 − z)−1 ]n
17. Dezember St¨orungstheorie: Riezs-Projektor, Resolventenentwicklung / Eigenzustand in 0ter
Ordnung / Korrektur zum Eigenwert in 1ter Ordnung / Korrektur zum Eigenzustand in 1ter Ord(1)
(1)
b0 −
nung Φ∗ : Herleitung und Formel / Notation mittels der “Pseudoinversen”: |φ∗ i = −(H
(0)
(0) (1)
b 1 |φ(0)
E∗ )−1P H
at der Korrektur: hφ∗ |φ∗ i = 0 / Korrektur zum Eigenwert in
∗ i / Orthogonalit¨
2ter Ordnung, nur Formel: Schreibweise als Summe u
¨ber Einergieeigenzust¨ande / Schreibweise mit-
7
(2)
(0) b
(0) −1P b
(0)
b
tels Pseudoinverser: −E∗ = hφ∗ H
H1 |φ∗ i / Quadratischer Stark-Effekt: Wech1 (H0 − E∗ )
b 1 = −Ez / Symmetrieargument: 1te Ordnung −Eh0|z|0i = 0 / 2te Ordnung:
selwirkungsterm H
(2)
Einsetzen in Formel / Absch¨atzung der Gr¨osse der Korrektur durch −E0 < E 2 h0|z 2 |0i = E 2 38 ,
(2)
(exakt: −E0 = E 2 94 )
22. Dezember Diskussion der S¨orungstheorie in den niedrigsten Ordnungen / Erste Ordnung
b ∗ H1 Π
b ∗ /Bedeutung der “Energienenner”
Korrektur als alternative Partition H0 → H00 = H0 + Π
(0)
(E − E∗ )−1 f¨
ur den Einfluss einer St¨orung auf ein System / Erl¨auterung anhand des 2-NiveauSystems: Korrekturen in 1ter und 2ter Ordnung an einer 2×2-Matrix / Bedeutung der Energienenner:
b ∗ H1 Π
b ∗ mit
|E1 − E2 | |C|, |D1 |, |D2 | / Entartete St¨orungstheorie: Re-definition H0 → H00 = H0 + Π
P
0
0
b∗ =
b
b
b
Π
orungstheorie /
λ |E∗ , λihE∗ , λ| / H1 = H − H0 bewirkt keine Korrektur in 1ter Ordnung St¨
0
0
ˆ λλ0 = hE∗ λ|H
˜ µµ0 = h
˜ µµ δµµ0
b durch Diagonalisierung von h
b 1 |E∗ , λ i → h
Eigenwerte von H
7. Januar Entartete St¨orungstheorie in 4 einfachen Schritten / Anwendung: Linearer Stark Effekt
c, Matrixelemente von h2lm|H
b 1 |2l0 m0 i / z = η⊗r und
/ 4 entartete Zust¨ande mit n = 2 / 4×4 Matrix M
Berechnung der Matrixelemente unter Benutzung der Tensorstrukture / Wiederholung
der Regeln des
√
0
0
Rechnens mit Tensorprodukten / Alle Elemente sind =0, ausser hY1 |η|Y0 i = 1/ 6 / Diagonalisierung
c / Eigenwerte in 1ter Ordnung / “Aufhebung” der Entartung der n = 2 Zust¨ande in ein
der Matrix M
“Multiplet” von Zust¨anden / Termschema der Zust¨ande des Wasserstoffatoms / Aufsplatung einer
b 0 ohne Abstossung zwisSpektrallinie in 3 verschieden Linien // Heliumatom Hamiltonoperator H
chen den Elektronen / Abstossung 1/|~r1 − ~r2 | / Hilbertraum ist Tensorprodukt der 1-Teilchenr¨aume:
b 0 / Spektralwerte von des 1-Teilchenoperators b
H(2) = H(1) ⊗ H(1) / Eigenzust¨ande von H
h / Spekb
tralwerte von H0 / Entartung / Termschema des Heliumatoms: Grundzustand, einfach angeregter
Zust¨ande, doppelt angeregte Zust¨ande
12. Januar Heliumatom - doppelt angeregte Zust¨anden und ihr Zerfall durch Elektronabstossung
/ Austauschsymmetrie beim Heliumatom / Projektion auf austausch-symmetrische und anti-symmetrischen Zust¨ande / Fehlen der Wechselwirkung zwischen Zust¨anden unterschiedlicher Austauschsymmetrie / Zerlegung des Hamiltonoperators in Bloecke / Ausdrueckliche Konstruktion der symmeb0 /
trischen und anti-symmetrischen Eigenzustaende fuer das System ohne Elektronabstossung H
Ortho- und Para-Helium // Mehrteilchensysteme: Ununterscheidbarkeit / Definition des paarb k¨onnen so gew¨ahlt werden, dass sie bei
weisen Austauschoperators Sbjk / Eigenfunktionen von H
Vertauschen von je 2 Teilchen gleich bleiben (+1) oder nur das Vorzeichen a¨ndern (-1), d.h. dass
sie Eigenfunktionen von Sbjk sind / Am Beispiel von 4 ununterscheidbaren Teilchen (inkorrektes,
aber interessantes Argument): wenn man der Wellenfunktion physikalische Realit¨at zu schreiben
k¨onnte, dann d¨
urften nur total symmetrische oder total anti-symmetrischen Funktionen vorkommen, andernfalls k¨onnte man z.B. das Paar (1,2) vom Paar (3,4) am unterschiedlichen Verhalten
der Wellenfunktion unter Vertauschung unterscheiden / das falsche Argument produziert eine empirisch bestaetigte Tatsache: Zustandsvektoren sind entweder total austausch-symmetrisch (Bosonen)
oder total austausch-anti-symmetrisch (Fermionen) // Spin eines Teilchens als “innerer Freiheitsgrad” von der Art eines Drehimpulses / Elektron hat Spin 1/2 / kann NICHT einer Rotation im
8
3-dimensionalen Raum entsprechen! / Vollstaendige Charakterisierung des Zustands einens Elektrons
durch seine Ortswellenfunktion und den Spinzustand
14. Januar Zustandsvektor eines Teilchens mit Spin s = 1/2, Beispiel |Ψ1 i = | ↑i ⊗ |Φ1 i, |Ψ2 i =
| ↓i ⊗ |Φ2 i / Ortswellenfunktionen k¨onnen auch gleich sein |Φ1 i = |Φ2 i = |Φi / Hilbertraum eines
Teilchens mit Spin H = C2 ⊗ L2 (R3 ) Spin-Operatoren Sbx , Sby , Sbz erf¨
ullen Drehimpulsalgebra / Sb2 =
Sbx2 + Sby2 + Sbz2 hat Eigenwerte s(s + 1), s = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . //Spin-Statistik Theorem: Spin
s = 1/2, 3/2, . . . - Fermionen - total anti-symmetrisch — Spin s = 0, 1, 2, . . . - Bosonen - total
symmetrisch / Pauli-Prinzip / Helium: Ψ = Ψ1 ⊗ Ψ2 − Ψ2 ⊗ Ψ1 mit identischen Raum-Anteilen
Φ1 = Φ2 ist anti-symmetrisch wegen des Spins / Trennung der Raum- und Spin-Anteile durch
Umordnen der Tensorfaktoren H ⊗ H = C2 ⊗ L2 ⊗ C2 ⊗ L2 → C2 ⊗ C2 ⊗ L2 ⊗ L2 / → Ψ =
(| ↑i ⊗ | ↓i − | ↓i ⊗ | ↑i) ⊗ Φ ⊗ Φ / der r¨aumliche Anteil der Wellenfunktion des Heliumatoms
kann symmetrisch sein, da der Spin-Anteil Anti-symmetrie erzeugen kann, konkret | ↑i ⊗ | ↓i −
| ↓i ⊗ | ↑i / Mehr-Elektron Atome: Einfuellen des Term-Schemas / der Hartree-Fock Ansatz:
anti-symmetrisiertes Produkt von Einteilchenfunktionen / Darstellung der Anti-Symmetrisierung
durch eine Slater-Determinante / Diskussion der Slater-Determinante / Verbindung zwischen
Hartree-Fockansatz und der symbolischen Darstellung eines Atoms durch ein Term-Schema / / der
Hartree-Fock Ansatz ist im allgemeinen nicht exakt: Diskussion fuer CM ⊗ CM : Argument des
Informationsgehalts / Der Hartree-Fock Ansatz “funktioniert” und rechtfertigt das “Schalenmodel
des Atoms” / wir bauen ein Atom: Konstruktion des Schalenmodels durch sukzessives Hinzuf¨
ugen
von Elektronen / Diskussion, warum das Schalenmodell (bzw. Hartree-Fock) f¨
ur Coulomb-Systeme
funktioniert
19. Januar Wiederholung: Grundprinzip des Hartree-Fock Ansatzes / Separation von Spin- und
¨
Ortsanteil in einer 2-Teilchen Wellenfunktion (siehe auch Ubungsblatt
14) / Energien von Ortho- und
Para-Helium, qualitative Diskussion: Fermionen mit symmetrischem Spin-Anteil “weichen einander
im Raum aus”, daher ist der Beitrag der Elektronabstossung f¨
ur Orthohelium (anti-symmetrisch im
Raum) geringer, Gesamtenergie tiefer / Allgemeine Bemerkung: Fermionen beanspruchen jedes f¨
ur
sich “Platz”, wie eine inkompressible Fl¨
ussigkeit, z.B. Beitrag zur Stabilit¨at von Neutronensternen
(Neutronen sind Fermionen) gegen Kollaps / Berechung von hΦ± |1/|~r1 − ~r2 ||Φ± i: direkter Term und
Austauschtern / Interpretation des direkten Terms als statische Abstossung von 2 negativ geladenen
Elektronenwolken |Ψ1 (~r1 )|2 und |Ψ1 (~r1 )|2 / Keine solche Interpretation f. Austauschterm: genuin
QM Effekt / Grundstruktur der Elektronen im Festk¨orper gem¨ass der Hartree-Fock Idee: EnergieB¨ander werden durch Elektronen aufgef¨
ullt // Addition von Drehimpulsen: Erinnnerung an den
Drehimpuls als erzeugender Operator einer Drehung / Unit¨arer Drehoperator des 2-Teilchensystems
als Tensorprodukt der 1-Teilchen Drehoperatoren / Produktregel f¨
ur die Ableitung: Erinnnerung an
(1)
bz ⊗ 1 + 1 ⊗ L
b(2)
die Herleitung / Produktregel gilt f¨
ur Tensorprodukt: ⇒ Jbz = L
z
21. Januar Produktregel f¨
ur die Ableitung von Tensorprodukten / Operatoren f¨
ur Quadrat und z2 b
b
Komponente des Gesamtdrehimpulses J , Jz / Eigenfunktionen des Gesamtdrehimpulses 2er Teilsystem als Linearkobinationen der Eigenfunktionen der Teil-Drehimpulse: |j, jz , s, li / Clebsch-Gordan
jjz
Koeffizienten / Notation Css
= hjjz |ssz llz i / Eigenschaften der Clebsh-Gordan Koeffizienten:
z llz
9
Dreiecksungleichung, jz = sz + lz / “Rotation” eines 1/2-zahligen Spins um 2π f¨
uhrt zu Vorzeichenwechsel / Bestimmung der fermionischen oder bosonischen Natur von zusammengesetzten Systemen
durch Betrachtung der Einzelspins: Boson+Boson=Boson, Fermion+Fermion=Boson,Boson+Fermion=Fermi
/ Beipiele: H-atom, α-Teilchen, 3 He, 4 He, Cooper-Paare / Superfluidit¨at, Supraleitung, BEC beruhen
auf Bosonischer Natur von 4 He, Cooperpaaren, bzw. der Atome eines BEC’s
10
2
Notation und Symbole
KM,QM
ON
HO
b Pb, X.
b ..
O,
ρ, ρ(x, p)
Ψ
∼
≈
z∗
b†
A
b
hΦ|A|Ψi
b
σ(A)
b
σp (A)
b
σc (A)
Z
X
da f (a)
Klassische Mech./ Quantenmechanik
“Orthonormal”, orthogonal und auf 1 normiert hφm |φn i = δmn
Harmonischer Oszillator
Messgr¨ossen, Anordnung um aus einem pr¨aparierten System Zahlen zu bestimmen
Wahrscheinlichkeitsverteilung im klassichen Phasenraum
Zahlen, die die Eigenschaften eines Quantensystem kodieren, “Wellenfunktion”
“analog” oder “entspricht ungef¨ahr”: “ungef¨ahr” bezieht sich auf Konzepte
“ungef¨ahr gleich gross wie”, Zahlenwerte
f¨
ur Zahlen z ∈ C: komplex konjugierte, z = x + iy ⇔ z ∗ = x − iy.
b ∈ Cn×n : hermitisch konjugierte (A
b† )ij = (A
bji )∗
f¨
ur n × n Matrizen A
b = hA
b† Φ|Ψi
allgemein f¨
ur Operatoren: hΦ|AΨi
b=A
b† : = hΦ|AΨi
b = hAΦ|Ψi
b
nur f¨
ur hermitische A
b i.e. Menge der Eigenwerte von A
b
Spektrum von A,
Punktspektrum: abzaehlbar diskrete Menge {a0 , a1 , . . . N }, kann sein bis N = ∞
Kontinuierliches Spektrum: Kontinuierliche Teilmenge von C
P
b
ai ∈σp (A)
f (ai ) +
R
b
σc (A)
daf (a)
b
σ(A)
≡
|ai
dbAb
L2Ab
b −1
b bdbbU
U
b
A A A
b
Π
b
χI (A)
a, a†
b
N
⊗
ρ, φ
r, θ, φ, η := cos θ
L2 (dx dy, R2 )
L2 (ρdρ, [0, ∞))
Ylm (φ, η)
Plm (η)
Pl (η) ≡ Pl0 (η)
ident, u
¨berall gleich, betont die Unabh¨angigkeit vom Argument, f (x) ≡ 1 heisst = 1∀x
Normierte Eigenfunktion eines hermitischen Operators
b
Multiplikationsoperator mit a am Spektrum a ∈ σ(A)
b
Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen am Spektrum von A
b Spektralsatz f¨
= A,
ur Operatoren
Projektor
b Projektor auf Spektralbereich I ⊂ σ(A)
b
Charakteristische Funktion von A,
Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren
Number- (Anzahl-)Operator
Tensorprodukt
Ebene Polarkoordinaten
Polarkoordianten in R3
2
Quadratintegrabel Funktionen
R ∞ auf R ,2kartesische Koor.
Quadratint. Funktionen 0 ρdρ|Ψ(ρ)| < ∞
Kugelfl¨achenfunkunktion
Assoziierte Legendrefunktione
Legendrepolynome
11
3
Lernstoff
Diese Tabellen werden laufend erg¨anzt, die Inhalte sind thematisch (nicht chronologisch) angeordnet.
Grunds¨atzlich ist der gesamte Inhalt der Vorlesung Pr¨
ufungstoff.
Warnung Die Tabellen heben Eckpunkte hervor, jedoch m¨
ussen nat¨
urlich auch alle Inhalte, die
zum Verst¨andnis dieser Eckpunkte n¨otig sind, beherrscht werden.
3.1
Wichtige Experimente und Formeln
Historisches
Balmer Formel
Strahlung heisser K¨orper
Photoelektrischer Effekt
Wirkungsquantum h: Dimension
Doppelspalt Experiment: Wellennatur
Doppelspalt Experiment: Teilchennatur
3.2
Datum
6. 10.
6. 10.
7. 10.
7. 10.
7.10.
7.10.
Quelle
Wikipedia
Phaenomene.pdf, Wikipedia
Phaenomene.pdf
Phaenomene.pdf
Phaenomene.pdf
Phaenomene.pdf
Klassische Mechanik
Stoff
Phasenraum
Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum
Messgr¨ossen in der klassischen Mechanik
Erwartungswert
Datum
7.10.
7.10.
7.10.
7.10.
12
Quelle(n)
KlassMech.pdf
KlassMech.pdf
KlassMech.pdf
KlassMech.pdf
3.3
Quantenmechanik
Grundlegende Struktur der QM
Datum Quelle
Ortsdarstellung:Ψ(x), µΨ (x)
15.10. StrukturQM.pdf
˜
Impulsdarstellung:Ψ(p),
µ
˜Ψ (p)
15.10. StrukturQM.pdf
Spektraldarstellung:ΨAb(a, λ)
15.10. StrukturQM.pdf
Entartung: Bedeutung von λ
15.10. StrukturQM.pdf
Impulsoperator als Erzeugende der Verschiebung
20.10. StrukturQM.pdf
Impulsoperator im Ortsraum
20.10. StrukturQM.pdf
Impulsoperator: Spektrum
20.10. StrukturQM.pdf
Vertauschungsrelationen
20.10. StrukturQM.pdf
Superpositionsprinzip = Linearit¨at der Wellenfunktionen
20.10. StrukturQM.pdf
Allgemeine Form der Schr¨odingergleichung
22.10. StrukturQM.pdf
Allgemeine Loesung der Schr¨odingergleichung
22.10. StrukturQM.pdf
Zusammensetzung des Wasserstoffspektrums aus σp und σc 27.10
Vorlesung,Griffith
Eigenfunktionen des Impulses
27.10. StrukturQM,Griffith
Bra-Ket Notation
29.10. StrukturQM,Griffith
“Kollaps des Wellenpakets”
29.10. StrukturQM
“Postulate der Quantenmenchanik”
29.10. StrukturQM,Cohen-Tannoudji
Einfache Systeme
Datum
Quelle
¨
Unendlicher Potentialtopf
5.11.
StrukturQM,Griffith,Ubungen.5
¨
Endlicher Potentialtopf
10-17. 11. EinfacheSysteme,Ubungen.6
¨
¨
Virialsatz
Ub.
Griffith,Ubungen.6
¨
Zerlegung nach Symmetrien - Pari¨at
14.11.
EinfacheSysteme,Ubungen.7
¨
Endl. Topf: gebundende Zust.
10.11.
EinfacheSysteme,Ubungen.6
¨
Endl. Topf: ungebundende Zust.
17.11.
EinfacheSysteme,Ubungen.8
¨
Wellenpakete
17.11.
Einf.Syst.,Griffith,Ubungen:4.5
Dispersion
17.11.
EinfacheSysteme
Harmonischer Osz.: Ortsraum, Impulsraum 19.11.
EinfacheSysteme, Griffith
†
Harmonischer Osz.: a, a
19.11.
EinfacheSysteme,Cohen-Tannoudji
Nullstellen von 1-dim Eigenfunktionen
26.11.
EinfacheSysteme,Zentral¨
ubung
13
Mehrdimensionale Systeme
2-dim HO/2-Teilchen HO
istroper 2-dim HO: Entartung
Verschr¨ankung
Rotationssymmetrie (2d)
2-dim Rotationssymmetrie
endliche Rotation
Lz
b =0
[Lz , H]
bz
Eigenvektoren von L
Zerlegung nach 2d Rotationssymmetrie
Rotationssymmetrie (3d)
Drehimpulsoperatoren: ALLES
bi , L
b2
Definition L
bi
Kommutatorrelationen der L
Leiterooperatoren, Spektrum
Zerlegung nach 3d Rotationssymmetrie
Fermionen und Bosonen
Spin: Darstellung in C2
Drehimpuls zusammengesetzt. Syst.
Addition von Drehimpulsen
Clebsch-Gordan Koeff: Definition
Eigenfunktionen f. zusammenges. Drehimpuls
Ganz- oder Halbzahligkeit des zusammenges. Spins
14
Datum
26.11
1.12
26.11.
Datum
26.11.
1.12.
1.12.
1.12
1.12
1-3.12.
Datum
3-8.12.
3.12.
3.12.
3-8.12.
8.12.
3.12
14.1.
19.1.
19.1.
21.1.
21.1.
21.1.
Quelle
MehrDim
MehrDim
MehrDim,CohenTanoudjii,Aufg.12.1
Quelle
MehrDim
MehrDim
MehrDim
MehrDim,Griffith
MehrDim,Griffith
MehrDim
Quelle
MehrDim,Griffith,Cohen-Tanoudji
MehrDim,Griffith,Cohen-Tanoudji
MehrDim,Griffith,Cohen-Tanoudji
MehrDim,Griffith,Cohen-Tanoudji
MehrDim
MehrDim
Atom.pdf,Griffith
Drehimpuls.pdf
Drehimpuls.pdf
Drehimpuls.pdf
Drehimpuls.pdf
Drehimpuls.pdf
Wasserstoffatom
Datum Quelle
Hamiltonoperator (atomare Einheiten) 8.12.
MehrDim
Werte in SI Einheiten und eV
10.12. MehrDim,Griffith
Virialtheorem
10.12
Uebungen
“Gr¨osse” des H-Atoms
10.12
MehrDim
Typische Geschwindigkeit
10.12. MehrDim
Feinstrukturkonstante α
10.12. MehrDim,Griffith
Skalierung mit Z
10.12
MehrDim
¨
Skalierung mit Masse
10.12. Ubung
12.5
Skalierung - Existenz des Grundzust.
10.12. MehrDim
Skalierung - ∞ viele Zustaende
10.12. MehrDim
Wasserstoff Eigenfunktionen Datum Quelle
Verhalten f¨
ur grosse r
10.12. MehrDim,Griffith
Drehimpulsbarriere
15.12
MehrDim
Entartung mit mit l
15.12. Griffith,MehrDim
Lenz-Runge Vektor
15.12. MehrDim
Relativistische Effekte, Spin-Bahn, etc. 15.12
MehrDim,Griffith
St¨
orungstheorie
Datum Quelle
Riesz-Projektor
15.12. Stoerung.pdf
Resolventenreihe
15.12. Stoerung.pdf
Formel Korrektur 1te Ordnung Energie
17.12. Stoerung.pdf
Formel Korrektur 1te Ordnung Eigenvektor 17.12. Stoerung.pdf
Formel Korrektur 2te Ordnung Energie
17.12. Stoerung.pdf
Starkeffekt des Grundzustands
17.12. Stoerung.pdf
Entartete St¨orungstheorie in 4 Schritten
7.1.
Stoerung.pdf
Linearer Stark Effekt
7.1.
Stoerung.pdf
Heliumatom
Datum
Quelle
Spektrum ohne Wechselwirkung
7.1.
Atom.pdf
Termschema des Heliumatoms
7.1.
(nur Vorlesung)
einfach u doppelt angeregte Zust. 7.1.
Atom.pdf
Austaussymmetrie
12.1.
Atom.pdf
Austauschterm
12.1.,19.1. Atom.pdf,Griffith
Direkter Term
12.1.,19.1. Atom.pdf,Griffith
Ortho- und Para-Helium
12.1.
Atom.pdf
15
Mehrteilchensysteme
Ununterscheidbarkeit
Bosonen und Fermionen
Spin-Statistik Theorem
Pauli-Prinzip
Abspaltung des Spin-Anteils
Term-schema im Atom, Schalenmodell
Hartree-Fock Ansatz, Slater-Determinante
Datum
12.1.
12.1.
14.1.
14.1.
14.1.,19.1
14.1.
14.1.
16
Quelle
Atom.pdf
Atom.pdf
Atom.pdf,Griffith
Atom.pdf,Griffith
Atom.pdf
Atom.pdf
Atom.pdf
3.4 Mathematik
Matrizen u. Operatoren
Diagonalisierung (Spektraldarstellung)
Eigenvektoren
Fouriertransformation
Hermitisch konjugierter Operator
Unit¨arerer Operator
Satz von Stone
Spektralsatz f¨
ur Operatoren
Funktionen von Operatoren
Punktspektrum und Kontinuierliches Spektrum
Eigenfunktionen eines Operators
Eigenschaften von hermitischen Operatoren
Projektionsoperator
b
Charakteristische Funktion χ[a0 ,a1 ] (A)
b B]
b = 0 ⇒ [f (A),
b g(B)]
b =0
[A,
Spezielle Funktionen
Hermitepolynome
Legendrepolynome
Assoz.Legendrefunktionen
Laguerrepolynome
Kugelfl¨achenfunktionen
Integration, Lineare Funktionale
δ-Funktion
Vektorraum (linearer Raum)
Operatoren bilden Linearen Raum
b als P f (xn )C
b[x ,xn ] .
Approximation von f (X)
n−1
Hilbertraum (ALLES!)
Skalarprodukt
Norm
Tensorprodukt von Hilbertr¨aumen
Skalarprodukt in H = H(a) ⊗ H(b)
Tensorprodukt von Vektoren Φ ⊗ Ψ
b⊗B
b
Tensorprodukt von Operatorren A
Rechnen mit Tensorprodukten
Ableitung von Tensorprodukten
17
Datum
6. 10.
6. 10.
6. 10.
22.10.
22.10.
22.10.
27.10.
29.10.
27.10.
29.10.
29.10.
3.11.
3.11.
1.12.
Datum
19.11.
8.12.
8.12.
8.12.
8.12.
Datum
6. 10.
Datum
13. 10.
13.10.
22.10
22.10
22.10
26.11.
26.11.
26.11.
26.11.
vielfach
21.1.
Quelle
¨
Ubungsblatt
0
¨
Ubungsblatt 0
¨
Ubungsblatt
1
StrukturQM.pdf,Griffith
StrukturQM.pdf,Griffith
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StruktureQM.pdf,Griffith
StruktureQM.pdf, Cohen-Tanoujii 2.2.3
StructureQM.pdf
MehrDim.pdf
Quelle
¨
Wikipedia,EinfacheSysteme,Ubungen
Wikipedia,MehrDim
Wikipedia,MehrDim
Wikipedia,MehrDim
Wikipedia,MehrDim
Quelle
¨
Ubungsblatt
1
Quelle
StrukturQM.pdf, Griffith
KlassMech.pdf
StrukturQM.pdf,Griffith
StrukturQM.pdf,Griffith
StrukturQM.pdf,Griffith
MehrDim.pdf
MehrDim.pdf
MehrDim.pdf
MehrDim.pdf
vielfach, z.B. Ueb 13.1
Drehimpuls.pdf
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