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Aktueller Newsletter vom 26. Maerz 2015

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Dr. Ana Cannas
Mathematik I
HS 14
Zusätzliche Aufgabe 6:
Komplexe Zahlen
Es gibt zwei Darstellungsformen komplexer Zahlen:
• die Normalform oder kartesische Form, wobei die kartesischen Koordinaten als Realund Imaginärteil einer komplexen Zahl z dienen;
x = Rez
y = Imz
• und die Polarform, die sich äquivalent in der trigonometrischen Form und in der
Exponentialform darstellen lässt, wobei die Polarkoordinaten r und θ als Betrag und
Argument einer komplexen Zahl z dienen.
x = r cos θ
y = r sin θ
Die Eulersche Formel
eiθ = cos θ + i sin θ
ermöglicht die direkte Umrechnung zwischen der trigonometrischen und der Exponentialform.
√
π
π
π
Zum Beispiel, hat z = 8ei 6 Betrag r = 8, Argument θ = , Realteil x = 8 cos = 4 3
6
6 √
π
und Imaginärteil y = 8 sin = 4, kann also äquivalent geschrieben werden als z = 4 3+
6
4i.
√
√
√
2
Nun hat z = 1 − 3i Realteil x = 1, Imaginärteil y = − 3,
√ Betrag r = 1 + 3 = 2
x
1
y
− 3
und sein Argument erfüllt cos θ = = und sin θ = =
, durch Betrachtung des
r
2
r
2
5π
Einheitskreises folgt, dass θ =
:
3
Bitte wenden!
Die zu z = x + iy = reiθ konjugierte komplexe Zahl ist z¯ = x − iy = re−iθ .
Abhängig vom betrachteten Problem, ist eine oder die andere Darstellung nützlicher.
Während für die Addition die Normalform von Vorteil ist,
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 )
= (x1 + x2 ) +i (y1 + y2 ),
Re(z1 +z2 )
Im(z1 +z2 )
ist die Multiplikation mit der Polarform einfacher,
z1 · z2 = r1 eiθ1 · r2 eiθ2
= (r1 r2 )ei(θ1 +θ2 ) .
Die Polarform ist somit praktischer um Potenzen zu berechnen und n-te Wurzeln zu ziehen. Daraus folgen insbesondere trigonometrische Formeln für Summen und Potenzen
von Winkeln:
ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 · eiθ2
und somit
cos (θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2
Re(ei(θ1 +θ2 ) )
Re(eiθ1 ·eiθ2 )
sin (θ1 + θ2 ) = sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2
Im(ei(θ1 +θ2 ) )
Im(eiθ1 ·eiθ2 )
und aus
einθ = eiθ
n
Siehe nächstes Blatt!
folgen
cos(nθ) = Re (cos(nθ) + i sin(nθ))n
sin(nθ) = Im (cos(nθ) + i sin(nθ))n .
Sei
z0 = r0 eiθ0
eine komplexe Zahl. Es folgt aus der Multiplikation komplexer Zahlen, dass die n-ten
Wurzeln von z0 , d.h. die n Lösungen z der Gleichung
z n = z0 ,
die Zahlen von der Form
z=
√
n
r0 e i
θ0 +2kπ
n
,
k = 0, 1, 2, · · · , n − 1.
Betrag
sind.
Der Fundamentalsatz der Algebra (Gauss) besagt, dass jede Polynomgleichung der
Form
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0
mit komplexen Koeffizienten a0 , a1 , · · · , an , mit n ≥ 1 und an = 0 genau n komplexe
Lösungen hat. Dabei wird jede mehrfache Nullstelle mit ihrer Vielfachheit gezählt.
1. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden Zahlen:
a)
1
.
1+i
b)
3π
d) 2e 4 i .
c) e−1 + πi .
e)
1+i
1−i
3 + 4i
.
2−i
2012
.
f) die beiden Quadratwurzeln von i.
2. Bestimmen Sie Betrag und Argument der folgenden Zahlen:
√
√
√
1
3
a)
+
i.
b) − 2 + 2i.
2
2
√
3π
c) −3 3 − 3i.
d) 7e 2 i√.
3−i
e) die drei dritten Wurzeln von 8i.
f)
.
2π
cos 3 − i sin 2π
3
Bitte wenden!
3. Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in der komplexen Zahlenebene.
Eine grundlegende Strategie ist die Gleichungen, welche die Mengen definieren, bezüglich x und y umzuschreiben.
A := { z
B := { z
C := { z
D := { z
∈ C | |z − i| = 4 }.
∈ C | Rez + Imz = 0 }.
∈ C | 1 ≤ |z − i| ≤ 2 }.
∈ C | |z| ≥ 1, |Re z| ≤ 1/2, Im z > 0 }.
√
E := { z ∈ C | |i¯
z | = 2, Re(i¯
z ) = 3 }.
3
1
F := { z ∈ C | z = eiπt + e−iπt , 0 ≤ t ≤ 2 }
2
2
Benutzen Sie die Eulersche Formel, um den Realteil x und den Imaginärteil y eines Punktes
1
x
2
z von F zu bestimmen. Sie finden dann die Gleichung
4. Es sei
P (z) = az 2 + bz + c,
z∈
❈,
eine polynomiale Funktion mit reellen Koeffizienten a, b, c ∈
2
+ y 2 = 1, die ein Ellipse darstellt.
❘.
a) Zeigen Sie, dass mit jeder Wurzel z von P auch z¯ eine solche Wurzel ist.
b) Angenommen, P nimmt die folgenden Werte an:
P (0) = 3,
und
P (i) = −2 + 2i.
Bestimmen Sie die Koeffizienten a,b und c.
5. Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen:
a) z 2 = −9.
b) z 3 = 8.
c) z 4 = −1.
d) z 2 − 2z − 1 = 0.
e) z 6 + 2z 3 + 2 = 0.
Hinweis: Das ist eine quadratische Gleichung in r = z 3 .
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