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5. Übung zur
Elementaren Zahlentheorie
Wintersemester 2014/15
Nicola Oswald
Julia Koch
Aufgabe 1
Wir betrachten die sogenannten Mersenne-Zahlen
Mn = 2n − 1
für n ∈ N.
(a) Welche der ersten fünf Mersenne-Zahlen sind Primzahlen?
(b) Zeigen Sie, dass Mn höchstens dann eine Primzahl sein kann, wenn n prim ist.
Hinweis: Überlegen Sie sich, dass die geometrische Summenformel (Präsenzaufgabe 3) tatsächlich
sogar für alle q = 1 gilt.
(c) Finden Sie eine Primzahl p, so dass Mp keine Primzahl ist.
(d) Ist es möglich, mit Hilfe von Mersenne-Zahlen große Primzahlzwillinge zu finden, indem
man Mp und Mp + 2 betrachtet?
Bemerkung: Die Zahlen sind nach dem Mönch und Wissenschaftler Marin Mersenne (15881648) benannt, der sich in seinem Werk Cogitata Physico-Mathematica mit ihnen beschäftigte.
Mersenne-Zahlen werden heute noch gerne benutzt, um große Primzahlen zu finden, z.B. ist die
im Augenblick größte bekannte Primzahl die 17.425.170-stellige Mersenne-Zahl M57885161 .
Aufgabe 2
Eine Zahl n heißt Sophie-Germain-Primzahl, wenn sowohl n als auch 2n + 1 prim sind.
(a) Welche der ersten 10 Primzahlen sind Sophie-Germain-Primzahlen?
(b) Zeigen Sie, dass eine Sophie-Germain-Primzahl niemals mit der Ziffer 7 enden kann.
Bemerkung: Die Zahlen haben ihren Namen von der französischen Mathematikerin Sophie Germain (1776 – 1831), die eine Version von „Fermats letzter Vermutung“ für eben diese Primzahlen
bewies.
Sie spielen heutzutage eine wichtige Rolle in der modernen Kryptographie, da für eine SophieGermain-Primzahl p der Term 2p + 1 eine sogenannte „sichere“ Primzahl ist, d.h. das Produkt
solcher Primzahlen ist unanfällig gegen bestimmte schnelle Faktorisierungsalgorithmen.
Präsenzaufgabe – keine Abgabe!
Beweisen Sie den folgenden Satz von Euklid:
Für eine Mersenne-Primzahl 2n − 1 ist die Zahl (2n − 1)2n−1 eine sogenannte vollkommene
Zahl, d.h. sie ist gleich der Summe aller ihrer echten Teiler.
Abgabe bis zum 12.11., 10.15 Uhr, in die Briefkästen bei der Bibliothek.
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Seele and Geist
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