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WiSe 2014/15
Blatt 1
ab 3.11.2014
Prof. Dr. D. Egorova
Prof. Dr. B. Hartke
¨
Ubungen
zur Vorlesung
Mathematik f¨
ur Chemiker 1
Ank¨
undigungen
¨
Ubungsbeginn:
Aktuelles:
45. KW
http://theochem.pctc.uni-kiel.de/mathe.html
¨
Ubungen
S : Aufgaben zum Vorrechnen durch Studierende
X : zus¨atzliche Aufgaben
Komplexe Zahlen
1. Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + iy,
mit x, y ∈ R :
(a)
2+i
1 − 2i
S (b)
(1 + i)(2 − i)
1−i
X (c)
(1 + 2i)2
.
2 + 3i
2. Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 + i und z2 =
√
3 − i.
(a) Veranschaulichen Sie die Lage von z1 und z2 in der komplexen Zahlenebene und
zeichnen Sie die Polarkoordinaten ein.
(b) Sch¨atzen Sie mit Hilfe der Polardarstellung die Lage des Produktes z1 · z2 .
(c) Berechnen Sie folgende Zahlen:
z1 · z2 , z1 · z2∗ , |z1 · z2 | , |z1 · z2∗ | , z1 /z2 .
3. Skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die Menge
M := {z ∈ C | |z − 2| < 2}.
4. S Gegeben seien die komplexen Zahlen z2 =
√
√
3 − i und z3 = 1 + i 3.
(a) Bestimmen Sie die Polardarstellung von z2 , z3 , z2∗ und z3∗ .
(b) Berechnen Sie z2 · z2∗ und z3 · z3∗ in der Polardarstellung.
(c) Benutzen Sie die Polardarstellung um z24 und z34 zu berechnen und vergleichen Sie
die Ergebnisse.
5. Bestimmen Sie die Polardarstellung z = reiφ von
(a) z = (1 − i)7
S (b) z =
2
1−i
S (c) z = −1 − i .
6. Berechnen Sie alle komplexen L¨osungen z der folgenden Gleichungen und skizzieren Sie
die L¨osungen in der komplexen Zahlenebene.
√
(a) z 2 = 3 + i
S (b) z 3 = −1
Kombinatorik
7. (a) Wieviele M¨oglichkeiten gibt es, n verschiedene Gegenst¨ande auf n Boxen aufzuteilen, wobei in jeder Box nur Platz f¨
ur einen Gegenstand ist?
(b) Wieviele Ergebnisse gibt es f¨
ur eine Ziehung von m aus n Gegenst¨anden, wobei die
Reihenfolge keine Rolle spielt?
8. S Drei Substituenten sollen an vier verschiedenartige Molek¨
ulger¨
ustpl¨atze angelagert
werden. Wie viele verschiedene Molek¨
ule lassen sich so bilden, wenn es sich um (a)
verschiedene bzw. (b) gleiche Substituenten handelt?
Vollst¨
andige Induktion
9. (a) Zeigen Sie durch vollst¨andige Induktion, dass f¨
ur n ∈ N gilt:
n
n(n + 1)(2n + 1)
k2 =
.
6
k=1
n
(b) S
k=1
n
(c) X
k=1
n
1
=
−1
2n + 1
4k 2
k+1
k
=n+1
10. Berechnen Sie die folgenden Summen:
5
5
(a)
k=1
(3k − 9)
S (b)
j=1
j(j − 1) .
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Kategorie
Gesundheitswesen
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