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Algebra – Übungsblatt 13

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Prof. Dr. Andreas Rosenschon
Thomas Götzer
Wintersemester 2014/15
21. Januar 2015
Algebra – Übungsblatt 13
Hinweis: Für die Klausur am 5. Februar 2015 ist eine obligatorische Anmeldung bis zum 27.
Januar 2015 vorgesehen. Beachten Sie dazu bitte die Hinweise auf der Vorlesungshomepage!
Aufgabe 1 (Operationen auf Untergruppen)
Sei G eine Gruppe und X die Menge der Untergruppen von G. Zeigen Sie:
a) Die Abbildung G × X → X, ( g, H ) 7→ gHg−1 definiert eine Gruppenoperation
von G auf X.
b) Ein Element H ∈ X ist genau dann Normalteiler in G, wenn die Bahn von H nur
aus H besteht.
c) Sei p eine Primzahl und | G | = pr . Die Mächtigkeit von X und die Anzahl der
Normalteiler in G unterscheiden sich um ein Vielfaches von p.
Aufgabe 2 (Dreiecksmatrizen)
Sei q = pk eine Primzahlpotenz. Mit GLn (F q ) bezeichnen wir die Gruppe der invertierbaren n × n-Matrizen mit Einträgen aus F q . Zeigen Sie, dass die oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge alle 1 sind, eine Sylow-p-Gruppe in GLn (F q ) bilden.
Aufgabe 3 (Gruppe der Ordnung 595)
Sei G eine Gruppe der Ordnung 595 und H ≤ G eine Untergruppe der Ordnung 5.
Zeigen Sie:
a) H ist ein Normalteiler.
b) H liegt im Zentrum von G.
Aufgabe 4 (Gruppe der Ordnung 60)
Ist G eine Gruppe der Ordnung 60, in der keine Sylowuntergruppe Normalteiler ist, so
sind die einzigen normalen Untergrupen von G die trivialen Normalteiler (d.h. G ist
einfach).
Vorschlag: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis und führen Sie eine Fallunterscheidung nach
der Ordnung eines nichttrivialen Normalteilers durch.
Abgabe bis einschließlich 29. Januar 2015 im Übungskasten in der Nähe der Bibliothek.
Bitte geben Sie auf der ersten Seite Ihren Namen gut lesbar an.
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