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10. Marktoberdorfer Klavierakademie 4.

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel 2: Gleichstromtechnik
2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.2.1
2.3
2.4
2.5
2.6
14.10.2014
Gleichstromtechnik
Elektrischer Grundstromkreis
Reihenschaltung von Widerständen
Spannungsteiler
Reihenschaltung von Spannungsquellen
Verzweigte Stromkreise
Parallelschaltung von Widerständen
Knotenpunktregel, 1. Kirchhoffsche Satz
Maschenregel, 2. Kirchhoffsche Satz
Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle
Aufgaben
2-1
2
2
5
5
6
6
7
8
8
9
12
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
2.
Gleichstromtechnik
2.1
Elektrischer Grundstromkreis
Unter einem elektrischen Grundstromkreis soll hier ein Stromkreis aus elektrischen Bauelementen verstanden werden, die hintereinander geschaltet sind. Der Stromkreis weist keine
Verzweigungen auf. Beim symbolischen Schaltbild werden die Bauteile als idealisierte
Komponenten unabhängig von ihrer physikalischen Form und Realisierung angenommen. Ein
Symbol definiert dabei die wesentliche elektrische Eigenschaft des entsprechenden Bauteils.
Sollen mehrere verschiedene Eigenschaften abgebildet werden, so werden die entsprechenden
Symbole verwendet und hintereinander geschaltet. So wird z.B. eine reale Spannungsquelle
oftmals als ideale Spannungsquelle mit Innenwiderstand dargestellt (Abbildung 2.1.1).
Ui
Ri
Uq
I
U
R
UR
Abbildung 2.1.1: Stromkreis mit Spannungsquelle, Innenwiderstand und Lastwiderstand
Wird nun ein Umlauf in diesem Stromkreis betrachtet, so muß wieder die Summe der
Energien Null ergeben. Es gilt somit Gleichung 2.1.1.
Gleichung 2.1.1
 U q  I  t  Ui  I  t  U R  I  t  0
Da Strom und Zeit für alle Komponenten gleich sind, gilt Gleichung 2.2.
Gleichung 2.1.2
 U q  Ui  U R  0
Das Ergebnis diese Umlaufs hat immer Gültigkeit. Die Summe der Spannungen in einem geschlossenen Kreis ergibt immer Null. Die Zählrichtung bei Spannungsquellen und
Verbraucher ist dabei entgegengesetzt. Im Verbraucherzählpfeilsystem sind Spannungspfeile
in Richtung des angenommenen Stroms und damit definitionsgemäß in positiver Richtung
anzutragen. Bei Quellen sind sie entsprechend negativ anzutragen.
Für den Spannungsumlauf kann daher weiterhin Gleichung 2.1.3 angegeben werden.
Gleichung 2.1.3
 U q  Ri  I  R  I  0
Damit läßt sich für den Strom Gleichung 2.4 angeben.
Gleichung 2.1.4
Uq
I
Ri  R
Betrachtet man diese Gleichung für den Strom durch den Lastwiderstand R genauer, so können drei Fälle unterschieden wird.
Der Leerlauffall: In diesem Fall ist der Strom I gleich Null. Dies ist genau dann der Fall, wenn
der Lastwiderstand unendlich groß ist. Schaltungstechnisch ist dies dann gegeben, wenn der
Stromkreis offen ist (Abbildung 2.1.2). Die Ausgangsspannung UR ist dann gleich der
Quellenspannung Uq und wird dann allgemein als Leerlaufspannung Ul bezeichnet.
14.10.2014
2-2
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
Ui
Ri
I
U
Uq
Abbildung 2.1.2: Offener Stromkreis bei unendlich großem Lastwiderstand
Der Kurzschlußfall: Dies tritt ein, wenn der Lastwiderstand R einen Widerstand von Null
Ohm aufweist. Die Ausgangsspannung UR beträgt dann Null Volt. Der Laststrom I ergibt sich
nach Gleichung 2.1.5. Dieser Strom wird auch als Kurzschlußstrom IK bezeichnet.
Gleichung 2.1.5
Uq
I
Ri
In beiden Fällen ist die an die Last abgegebene Leistung Null.
Die Leistungsanpassung: In diesem Fall ist die Abgegebene Leistung maximal. Für Die Ausgangsleistung gilt allgemein Gleichung 2.1.6.
2
Gleichung 2.1.6
 Uq 
2
PR  U R  I  R  I  R  

 Ri  R 
dPR
Um den für PR=PRmax notwendigen Wert zu bestimmen, muß das Differential
 0 bedR
stimmt werden.
Dies ergibt sich zu:
 R  U q2 

d
2 

(
R

R
)
U q2
 2  R  U q2
dPR
i





0
dR
dR
( Ri  R) 2
( Ri  R ) 3
Daraus folgt:
Gleichung 2.1.7
2 R
1
 0  Ri  R
Ri  R
Die maximale Ausgangsleistung ergibt sich also immer dann, wenn der Lastwiderstand gleich
dem Innenwiderstand der versorgenden Spannungsquelle ist.
Für die Ausgangsspannung Ua einer Spannungsquelle mit Innenwiderstand läßt sich allgemein
Gleichung 2.1.8 angeben. Sie formuliert das Verhalten der Spannungsquelle als aktiver Zweipol.
Gleichung 2.1.8
U  U q  Ri  I
Diese Gleichung kann umgeformt werden, um den Kennlinienverlauf des aktiven Zweipols zu
erhalten.
Gleichung 2.1.9
R I
U
U
I
  i 1

1
Uq
Uq
Uq IK
Dabei gilt:
14.10.2014
2-3
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
Ri
1

Uq IK
Weiterhin gelten folgende Überlegungen:
I  I K  U  0 und U  U q  I  0
Die sich ergebende Kennlinie zeigt Abbildung 2.1.3.
I
IK
Uq
Ri
Ua
Uq
Abbildung 2.1.3: Kennlinie des aktiven Zweipols Spannungsquelle
Für den passiven Zweipol, den Widerstand R gilt der in Bild 1.5.2 angegebene Verlauf.
Überlagert man die Kennlinien von aktivem und passivem Zweipol, kann durch den
Schnittpunkt der beiden Kennlinien der sich automatisch einstellende Arbeitspunkt der
Schaltung grafisch ermittelt werden (Abbildung 2.1.4). Diese grafische Ermittlung des
Arbeitspunktes bietet sich vor allen Dingen dann an, wenn eine oder mehrere Komponenten
des Stromkreises nichtlineares Verhalten aufweisen.
I
R (nichtlinear)
IK
R (linear)
I
I  RL  U L
I  Ri  U i
Uq
Abbildung 2.1.4: Grafische Ermittlung des Arbeitspunktes
14.10.2014
2-4
U
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
2.1.1 Reihenschaltung von Widerständen
Bei einem unverzweigten Stromkreis mit mehreren in Reihe geschalteten Widerständen
(Abbildung 2.1.1.1) ist der durch die Widerstände fließende Strom in allen Widerständen
gleich.
URi
I
Ri
R1
UR1
Uq
U
R2
R3
UR2
UR3
Abbildung 2.1.1.1: Reihenschaltung von Widerständen
Addiert man alle Spannungen der Stromkreises auf, so ergibt sich Gleichung 2.1.1.1.
Gleichung 2.1.1.1
 U q  I  Ri  I  R1  I  R2  I  R3  0
Für eine Reihenschaltung von n Widerständen gilt allgemein:
n
Gleichung 2.1.1.2
U  I   R
 1
Der Gesamtwiderstand ist dabei die Summe der Einzelwiderstände (Gleichung 2.1.1.3).
n
Gleichung 2.1.1.3
Rges   R
 1
Der Strom I ergibt sich dabei zu:
U
U
I
 n
R ges
 R
Gleichung 2.11.4
 1
2.1.2 Spannungsteiler
Eine praktische Anwendung von in Reihe geschalteten widerständen bildet der Spannungsteiler. Die Widerstände sind dabei entweder als diskrete Bauelemente ausgeführt oder als
Schleifwiderstand mit Mittelabgriff (Abbildung 2.1.2.1).
Unabhängig von der Ausführung gilt beim Spannungsteiler die Spannungsteilerregel
(Gleichung 2.14).
U  I  ( R1  R2 ) und U 1  I  R1 , U 2  I  R2 
Gleichung 2.1.2.1
R1
R2
U1 
 U und U 2 
U
R1  R2
R1  R2
Die Spannung teilt sich also immer proportional zu den Widerständen auf.
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
U
I
U
R2
R1
I
U1
IM
U2
R1
U1
IM R2
U2
Abbildung 2.1.2.1: Ausführungen des Spannungsteilers
Praktische Anwendung findet der Spannungsteiler bei Meßbereichserweiterungen von Spannungsmessern, Lautstärkeregelung und Anpassung kleiner Lasten an große Versorgungsspnnungen.
2.1.3 Reihenschaltung von Spannungsquellen
Die Reihenschaltung von Spannungsquellen (Abbildung 2.1.3.1) verhält sich analog zur
Reihenschaltung von Widerständen. Wurden bei den Widerständen die Einzelwiderstände
addiert, um den Gesamtwiderstand zu erhalten, so werden bei den Spannungsquellen die
Einzelspannungen addiert, um die Gesamtspannung zu erhalten.
Uges
I
U1
U2
U3
Abbildung 2.1.3.1: Reihenschaltung von Spannungsquellen
Die Gesamtspannung läßt sich allgemein nach Gleichung 2.1.3.1 berechnen.
Gleichung 2.1.3.1
n
U ges   U 
 1
Sind die einzelnen Spannungsquellen nicht als ideal anzusehen, sondern mit einem
Innenwiderstand behaftet, werden diese nach den Gesetzen zur Reihenschaltung von
Widerständen behandelt.
Eine praktische Anwendung bildet die Reihenschaltung von Batterien in portablen Geräten.
2.2
Verzweigte Stromkreise
Unverzweigte Stromkreise sind in der Elektrotechnik die Ausnahme. Technische Geräte
bilden in der Regel Zusammenschaltung von Bauelementen in stark verzweigten
Anordnungen. Um diese Anordnung in ihrer Gesamtwirkung berechnen zu können, existieren
verschiedene Verfahren, die an dieser Stelle anschließend vorgestellt werden sollen. Der
einfachste aller verzweigten Stromkreise ergibt sich dabei durch die Parallelschaltung von
Widerständen.
14.10.2014
2-6
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
2.2.1 Parallelschaltung von Widerständen
Es soll an dieser Stelle zunächst eine Parallelschaltung von n Widerständen betrachtet werden,
die aus einer idealen Spannungsquelle U gespeist werden (Abbildung 2.2.1.1).
Iges
I1
I2
I3
U
U1
R1
U2
R2
U3
R3
Abbildung 2.2.1.1: Parallelschaltung von Widerständen
Aus der Parallelschaltung dieser der Widerstände kann allgemein folgendes abgelesen
werden:
U   U für alle Spannungen an den Widerständen.
n
Gleichung 2.2.1.1
I   I
 1
Weiterhin gilt für die Ströme durch die Widerstände R:
Gleichung 2.2.1.2
U
I 
R
Für den Gesamtstrom I ergibt sich daher:
n
n
n
Gleichung 2.2.1.3
U
1
I ges   I   
U 
 1
 1 R
 1 R
Der Gesamtwiderstand bei Parallelschaltung von Widerständen ergibt sich somit zu:
Gleichung 2.2.1.4
U
1
Rges 
 n
1
I ges

 1 R
Drückt man den Gesamtwiderstand durch die Leitwerte G der Einzelwiderstände aus, folgt
Gleichung 2.2.1.5.
Gleichung 2.2.1.5
U
1
R ges 
 n
I ges
 G
 1
Aus diesen Zusammenhängen läßt sich die Stromteilerregel formulieren. Der Strom teilt sich
danach immer umgekehrt proportional zu den Widerständen auf. Für eine Parallelschaltung
von zwei Widerständen gilt daher für den Strom durch die Einzelwiderstände Gleichung
2.2.1.6.
R2
Gleichung 2.2.1.6
R1
I 1  I ges 
und I 2  I ges 
mit I ges  I 1  I 2
R1  R2
R1  R2
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2-7
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
2.3
Knotenpunktregel, 1. Kirchhoffsche Satz
Der erste Kichhoffsche Satz besagt, daß die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme in
einem Knoten immer gleich Null ist. Oder anders formuliert kann man sagen, daß die Summe
aller Ströme immer Null ist. Dazu sollen die Anordnungen in Abbildung 2.3.1 betrachtet werden.
b)
a)
I1
R1
R2
I1
I2
I2
I3
Abbildung 2.3.1: Verschiedene Knotenpunkte mit Knotenströmen
In Abbildung a) handelt es sich um die Reihenschaltung zweier Widerstände. Der Strom I1,
der auf den Knoten zufließt ist gleich dem abfließenden Strom I2. Gibt man allen auf einen
Knoten zufließenden Strömen ein positives und allen abfließenden Strömen ein negatives
Vorzeichen, ergibt sich für den Fall a) Gleichung 2.3.1
Gleichung 2.3.1
 I1  I 2  0
Für den allgemeinen Knotenpunkt im Fall b) kann dann geschrieben werden:
Gleichung 2.3.2
 I1  I 2  I 3  0
Im allgemeinsten Fall lautet der 1. Kirchhoffsche Satz wie in Gleichung 2.3.3 angegeben.
n
Gleichung 2.3.4
 I  0
 1
Ein Kontenpunkt ist also immer quellenfrei.
2.4
Maschenregel, 2. Kirchhoffsche Satz
Der zweite Kirchhoffsche Satz besagt, daß die Summe aller vorzeichenbehafteten
Spannungen in einem Maschenumlauf immer Null ergibt. Dabei kann der Umlauf über
beliebige Bauteile des Stromkreises erfolgen, muß dabei aber immer am Ausgangspunkt auch
wieder enden. Dazu soll die Anordnung in Bild 2.4.1 betrachtet werden.
Es können bei dem gezeichneten Ausschnitt aus einem elektrischen Netzwerk drei geschlossene Maschenumläufe gebildet werden.
Ein Umlauf über die Masche I ergibt:  U R 2  U R 4  U 4  U R 3  U 2  0
Unter der Annahme ohmscher Widerstände kann dafür im Verbraucherzählpfeilsystem geschrieben werden:
 R2  I 2  R4  I 4  U 4  R3  I 3  U 2  0
Für die Masche II ergibt sich analog:
 U R1  U 1  U 3  U R 4  0 beziehungsweise
 R1  I 1  U 1  U 3  R4  I 4  0
Und für Masche III:
 U R 2  U R1  U 1  U 3  U 4  U R 3  U 2  0 beziehungsweise
 R2  I 2  R1  I 1  U 1  U 3  U 4  R3  I 3  U 2  0
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2-8
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
UR1
UR2
III
U1
U2
II
U3
UR4
I
U4
UR3
Abbildung 2.4.1: Maschenumlauf einer beliebigen Masche eines Stromkreises.
Betrachtet man die Maschenumläufe genauer, so stellt man fest, daß Masche III aus der Addition von Masche ! und Masche II hervorgegangen ist. Eine solche Addition wird auch als
Linearkombination von Maschen bezeichnet. Die Masche III ist somit linear abhängig von
Masche I und Masche II während die Maschen I und II linear voneinander unabhängig sind.
Allgemein kann für einen geschlossenen Maschenumlauf immer Gleichung 2.4.1 angegeben
werden.
n
Gleichung 2.4.1
U  0
 1
Für das Aufstellen einer solchen Maschengleichung muß der Endpunkt immer gleich dem
Ausgangspunkt sein. Weiterhin sollte sinnvollerweise jedes Bauteil nur einmal durchlaufen
werden.
Als Zweig einer solchen Masche wird jede unverzweigte Reihenschaltung von Bauteilen bezeichnet. Der Strom in den Bauteilen eines solchen Zweigs ist dann in allen Bauteilen gleicht.
2.5
Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle
Die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle sind zwei wichtige Hilfsschaltungen
der Elektrotechnik und werden vor allen Dingen in der Zweipoltheorie verwendet. Im prinzip
beruhen sie darauf, daß die Eigenschaften einer Energieversorgungsquelle in einem Ersatzbild
bestehend aus idealer Versorgungsquelle und idealem Innenwiderstand zusammengefaßt werden. Das Schaltbild einer belasteten Ersatzspannungsquelle ist in Abbildung 2.5.1 dargestellt.
Für die Ersatzspannungsquelle gilt im Leerlauffall:
Gleichung 2.5.1
I  0 und U  U q
Im Kurzschlußfall gilt:
Gleichung 2.5.2
Uq
I  Ik 
und U  0
Ri
Führt man bei den Ersatzspannungsquelle einen Maschenumlauf durch, so ergibt sich Gleichung 2.5.3
Gleichung 2.5.3
U q  I  Ri  U  0
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2-9
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
URi
I
Ri
RL
URL
Uq
U
Ersatzspannungsquelle
Lastzweig
Abbildung 2.5.1: Belastete Ersatzspannungsquelle
Daraus läßt sich die Kennlinie der Ersatzspannungsquelle ableiten (Gleichung 2.5.4), indem
die Gleichung durch Ri dividiert wird.
Gleichung 2.5.4
Uq
U
I
Ri
Ri
Diese Kennlinie gleicht der des aktiven Zweipols in Abbildung 2.1.3. Gleichung 2.5.4 kann
auch umgeschrieben werden, um die Verhältnisse mittels des Kurzschlußstroms zu
beschreiben (Gleichung 2.5.5).
Gleichung 2.5.5
Uq
U
U
U U
 Ik  Ik  I 
mit I 
 Ik 

Ri
Ri
RL
R L Ri
Dies entspricht der Stromteilerregel, wonach sich hierbei der Kurzschlußstrom Ik auf die Parallelschaltung der widerstände RL und Ri aufteilt. An beiden Widerständen liegt die Lastspannung U an. Für diesen Sachverhalt kann ein Schaltbild angegeben werden, das als Energiequelle nicht eine Spannungs- sondern eine Stromquelle verwendet (Abbildung 2.5.2). Die
Ik
Ii
U
Ersatzstromquelle
IL
Ri
U
Lastkreis
Abbildung 2.5.2: Belastete Ersatzstromquelle
14.10.2014
2-10
RL
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
resultierende Stromquelle verfügt über einen konstanten Quellestrom von der Größe Ik, analog
zur konstanten Quellespannung Uq der Ersatzspannungsquelle.
Die Erstatzstromquelle verhält sich äquivalent zur Ersatzspannungsquelle. Im Kurzschlußfall
ist ihre Ausgangsspannung ebenfalls Null. Die gesamte Leistung wird am Innenwiderstand Ri
umgesetzt. Im Leerlauffall ist ihre Ausgangsspannung gleich der Quellspannung Uq der
Ersatzspannungsquelle. Eine Ersatzspannungsquelle kann daher jederzeit in eine äquivalente
Ersatzstromquelle umgewandelt werden.
Die Verwendung von Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle bietet sich immer dann an,
wenn komplexes elektrisches Netzwerk vorliegt, aber nur ein diskreter Strom oder eine diskrete Spannung von Interesse ist. Sie ist zum Beispiel bei der Berechnung von Lastströmen
und Spannungen der Fall.
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2-11
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 2
2.6
Aufgaben
Aufgabe 2.6.1
Gegeben ist eine Spannungsquelle mit einer Spannung von 100V und einem Innenwiderstand
von 0,5. Über einen Spannungsteiler mit den Widerständen R1 und R2 soll an R2 eine Ausgangsspannung von 24V eingestellt werden. Der Strom durch den Spannungsteiler soll 2A
betragen.
1.1 Skizzieren Sie die Schaltung.
1.2 Bestimmen Sie die Widerstände R1 und R2.
Aufgabe 2.6.2
Eine Spannungsquelle mit einer Leerlaufspannung von 12V liefert eine maximale Ausgangsleistung von 20W an den Anschlußklemmen der Last.
2.1 Skizzieren Sie das Schaltbild der Anordnung.
2.2 Bestimmen Sie den Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle und den Lastwiderstand RL,
bei Maximallast an den Ausgangsklemmen.
Aufgabe 2.6.3
Eine Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand Ri von 0,1 speist eine Parallelschaltung
von drei Widerständen R1, R2 und R3. An Widerstand R1 liegt eine Spannung von 10,5V an.
Durch Widerstand R2 fließt ein Strom von 4A Die an Widerstand R3 umgesetzte Leistung ist
das Doppelte der Leistungen der beiden anderen Lastwiderstände. Der Gesamtstrom Iges, der
der Spannungsquelle entnommen wird beträgt 15A.
3.1 Skizzieren Sie die Schaltung
3.2 Ermitteln Sie den Spannungsabfall an Ri.
3.3 Bestimmen Sie die Leerlaufspannung der Spannungsquelle.
3.4 Bestimmen Sie die Widerstände R1 bis R3.
Aufgabe 2.6.4
Gegeben ist die in Abbildung 2.6.4.1 dargestellte Schaltung.
4.1 Bestimmen Sie die Zweigströme I1 bis I5.
4.2 Bestimmen sie die Spannung UX.
U13=150V
5A
I3
U1=100V
10A
R3=50
I4
R1=10
UX
R5=5
I5
I1
I2
R4=60
R2=10
35A
Abbildung 2.6.4.1: Schaltung zu Aufgabe 2.6.4
14.10.2014
2-12
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