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Mass- und
Integrationstheorie
WS14
http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/MITWS14
Übungsblatt 3
Tutoraufgaben:
Aufgabe 14 (Koch-Schneeflocke)
Abbildung 1: Die ersten sechs Schritte der Konstruktion der Koch-Schneeflocke.
Die Koch-Schneeflocke K ⊂ R2 erhält man als Grenzwert folgender Konstruktion (siehe
Abbildung 1):
• Beginne mit einem gleichseitigen Dreieck K0 der Seitenlänge 1.
• Füge an jeder Seite von K0 mittig ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge
und erhalte so die Menge K1 .
..
.
1
3
hinzu
• Füge an jedem Streckenabschnitt des Randes von Kn−1 mittig ein gleichseitiges
Dreieck der Seitenlänge 31n hinzu und erhalte so die Menge Kn , n ∈ N.
Die Koch-Schneeflocke K ist nun definiert als K :=
Borelmenge ist und bestimmen Sie λ2 (K).
∞
n=0
Kn . Begründen Sie, dass K eine
Aufgabe 15 (Cantorsches Diskontinuum)
Abbildung 2: Die ersten sieben Mengen I0 , I1 , ..., I6 der Konstruktion des Cantorsches
Diskoninuums.
Betrachtet werden die rekursiv definierten Mengen bestehend aus einer Vereinigung von
Intervallen:
I0 := {[0, 1]},
In+1 :=
[a,b]∈In
Übungen: 28.-29.10.2014
1
2
1
2
a, a + b , a + b, b
3
3
3
3
.
Hausaufgabenabgabe: 3.11.2014
1
Die Menge
C :=
[a, b]
n∈N0 [a,b]∈In
heißt Cantorsches Diskontinuum. Zeigen Sie:
i) C ist kompakt.
ii) λ1 (C) = 0.
iii) C ist nirgends dicht in [0, 1], das heißt (a, b) ⊂ C für alle 0
a<b
1.
Aufgabe 16 (Cantor-Vitali Funktion)
Abbildung 3: Die ersten vier Funktionen der Konstruktion der Cantor-Vitali Funktion f
und der Grenzwert der Folge.
Wir konstruieren eine stetige, monoton steigende Funktion f : [0, 1] → [0, 1] mit f (0) = 0,
f (1) = 1 und f ′ (x) = 0 λ1 -fast überall. Dazu sei
f0 (x) := x,
Zeigen Sie:

fn (3x)
0 x 13 ,
1
1
fn+1 (x) :=
1
< x < 32 ,
3
2

1 + fn (3x − 2) 32 x 1.
i) fn ist stetig, fn (0) = 0 und fn (1) = 1 für alle n ∈ N0 .
ii) fn ist monoton steigend für alle n ∈ N0 .
iii) {fn }n∈N0 ist auf C([0, 1], ·
∞)
eine Cauchy-Folge.
iv) f (x) := limn→∞ fn (x) ist stetig und monoton wachsend mit f (0) = 0 und f (1) = 1.
v) f ′ (x) = 0 falls x ∈ C, also f ′ = 0 λ1 -fast überall.
Übungen: 28.-29.10.2014
Hausaufgabenabgabe: 3.11.2014
2
Hausaufgaben:
Aufgabe 17 (Sierpinski Teppich)
Abbildung 4: Die ersten fünf Schritte der Konstruktion des Sierpinski Teppichs.
Den Sierpinski Teppich S ⊂ R2 erhält man als Grenzwert folgender Konstruktion (siehe
Abbildung 4):
• Beginne mit einem Quadrat S0 der Seitenlänge 1.
• Zerlege S0 in 9 gleiche Quadrate und entferne das mittlere Quadrat. So erhält man
S1 . Aus den 8, um das Loch verbleibende Quadrate, wird wieder je ein Neuntel der
Fläche entfernt. So erhält man S2 .
..
.
Der Sierpinski Teppich S ist nun durch S :=
Borelmenge ist und bestimmen Sie λ2 (S).
∞
n=0
Sn definiert. Zeigen Sie, dass S eine
Aufgabe 18 (λ-fast überall stetig vs. λ-fast überall gleich einer stetigen Funktion)
Wir betrachten borelmessbare Funktionen:
f (x) = χ[0,∞) =
1 x ∈ [0, ∞),
0 x ∈ (−∞, 0),
g(x) = χQ =
1 x ∈ Q,
0 sonst.
Welche der Funktionen ist i) λ1 -fast überall stetig, ii) λ1 -fast überall gleich einer stetigen
Funktion? Impliziert eine Aussage die andere?
Übungen: 28.-29.10.2014
Hausaufgabenabgabe: 3.11.2014
3
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Gesundheitswesen
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