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Prof. Dr. Rudolf Scharlau
Dr. Annette Maier
WS 2014/15
Lineare Algebra I (Lehramt)
¨
Ubungsblatt
2
Abgabe bis Di den 21.10.14, 12:00 Uhr, in die K¨asten im Mathefoyer.
Aufgabe 5 (Urbilder und Bilder von Teilmengen)
Wir betrachten eine Abbildung f : X → Y .
a) Bestimmen Sie im Beispiel X = P({a, b, c, d}), Y = N, f (A) = |A| + 1 das
Bild f (X) sowie die Urbilder f −1 ({3}), f −1 ({1}), f −1 (∅) und f −1 ({1, 3}).
b) Zeigen Sie allgemein f (A∪B) = f (A)∪f (B) f¨
ur alle Teilmengen A, B ⊆ X.
c) Gilt das Entsprechende auch f¨
ur f (A ∩ B)?
d) Gleiche Frage f¨
ur f −1 (C ∩ D) f¨
ur zwei beliebige Teilmengen C, D ⊆ Y .
Aufgabe 6
Es seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Beweisen Sie folgendes:
a) Wenn f und g beide injektiv sind, dann ist auch g ◦ f injektiv.
b) Wenn f und g beide surjektiv sind, dann ist auch g ◦ f surjektiv.
c) Wenn f injektiv und g surjektiv ist, muss dann auch g ◦ f wenigstens eine
dieser Eigenschaften haben?
(Teil a) und b) entsprechen Satz 1.1.24 aus dem Skript.)
Aufgabe 7
Zu endlichen Mengen M und N betrachten wir
Abb(M, N ) = {f : M −→ N } ,
die Menge aller Abbildungen von M nach N .
Schreiben Sie in den folgenden beiden F¨allen alle Elemente von Abb(M, N ) auf
(jede Abbildung als kleine Tabelle):
(1) M = {1, 2}, N = {a, b}
(2) M = {1, 2}, N = {a, b, c}
(3) M = {1, 2, 3}, N = {a, b}.
Geben Sie jeweils an, ob die Abbildung injektiv, bzw. surjektiv, bzw. bijektiv ist.
Aufgabe 8
a) Zeigen Sie, dass N, N0 und Z gleichm¨achtig sind, indem Sie bijektive Abbildungen N → N0 und Z → N0 konstruieren. Warum reicht das aus?
b) Es sei M eine Menge und f : M → P(M ) eine Abbildung. Zeigen Sie, dass f
nicht surjektiv ist. (Insbesondere sind also M und P(M ) nie gleichm¨achtig).
Hinweis: Betrachten Sie das Element {x ∈ M | x ∈
/ f (x)} ∈ P(M ).
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Seele and Geist
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