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Kirchenanzeiger vom 29.03.bis 05.04.2015

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1
Das Dirac Quantenfeld
Gebhard Grübl
Institut für Theoretische Physik, Universität Innsbruck
Notizen zu Quantentheorie II, WS 02/03
1.1
Das klassische Dirac-System
Sei V ein reeller Vektorraum, h·, ·i sei ein inneres Produkt von V und e = (e0 , ..e3 ) eine Basis von V mit
heµ , eν i = η µ,ν . Für x ∈ V wird notiert x = xµ eµ . (Gelegentlich wird (xµ ) als Karte von V aufgefasst.)
Der UVR V0 ist die lineare Hülle von (e1 , e2 , e3 ). Die Einschränkung von − h·, ·i auf V0 × V0 ist ein
Skalarprodukt. Die zugehörige Norm wird mit |·| bezeichnet. Es wird für v, w ∈ V0 notiert v · w =
− hv, wi. Der affine Unterraum Vτ := V0 + τ e0 ist ein Raum gleichzeitiger Ereignisse.
Die Abbildung γ : V → C4×4 sei linear und es gelte γ(v)2 = E4 hv, vi für alle v ∈ V . Da die
Abbildung (v, w) 7→ γ(v)γ(w) + γ(w)γ(v) auf V × V bilinear und symmetrisch ist, folgt mit der Polarisierungsformel für alle v, w ∈ V , dass γ(v)γ(w) + γ(w)γ(v) = 2E4 hv, wi. Die Matrizen γ µ := γ(eµ )
sind somit Diracmatrizen. (Siehe Kapitel über die Diracgleichung.) Die Matrix B ∈ C4×4 erfülle
+
γ+
= B, Bγ 0 > 0. Hier bedeutet + die Transposition und komplexe Konjugation einer
µ B = Bγ µ , B
Matrix. (In der Standardwahl der γ µ von Bjorken und Drell kann B = γ 0 gewählt werden.) Die Diracadjunktion ist die Abbildung von C4×1 → C1×4 , ψ 7→ ψ + B =: ψ. Die Sesquilinearform
h·, ·iD : C4×1 × C4×1 → C, (f, g) 7→ f γ 0 g
ist ein Skalarprodukt von C4×1 , das Diracskalarprodukt. In der Bjorken Darstellung der Diracmatrizen
mit der Wahl B = γ 0 stimmt es mit dem Standardskalarprodukt überein. Bezüglich des indefiniten
inneren Produktes f g = hf, γ 0 giD ist die lineare Abbildung γ(v) für v ∈ V selbstadjungiert.
f (x+εeµ )−f (x)
.
Für eine diffbare Funktion f : V → C4×1 sei ∂µ f : V → C, x 7→ dx f (eµ ) = limε→0
ε
4×1
µ,ν
Die Diracableitung von f ist die C -wertige Funktion δf := η γ µ ∂ν f auf V . Die Abbildung δ ist
unabhängig von der Wahl der Basis e.
Das ¡Dirac-Wirkungsfunktional:
Sei ψ : V → C4×1 eine diffbare Funktion, sodass ψ und ∂µ ψ Elemente
¢
2
4×1
4
sind. Sei d x = dx0 ∧ .. ∧ dx3 die metrische Volumsform von V und sei κ > 0 eine
von L V : C
Konstante. Dann ist
Z
¢
i¡
W (ψ) =
d4 xLψ mit der Lagrangedichte Lψ =
ψδψ − δψψ − κψψ
2
V
ein Wirkungsfunktional zur Diracgleichung. Denn: Ist W stationär in ψ, dann ist die Funktion ψ Lösung
von
(iδ − κ) ψ = 0.
Ist xµ eine Länge, man schreibt [xµ ] = L, und ist W (ψ) heine Wirkung,
man schreibt [W (ψ)] = [~],
¡
¢ i
3 1/2
und sind die Diracmatrizen dimensionslos, dann gilt [ψ] = ~/L
und [κ] = 1/L. Das wird im
folgenden angenommen.
q
2
Sei nun für k ∈V0 der Vektor kκ := ω(k)e0 + k mit ω(k) := κ2 + |k| . Die Matrix γ(kκ ) hat
die beiden Eigenwerte ±κ; beachte γ(kκ )2 = κ2 E4 ; wegen Sp (γ(v)) = 0 für alle v ∈ V gehört zu
jedem Eigenwert ein zweidimensionaler Eigenraum.1 Die Menge {u(k, ε) | ε = ±1} sei eine Basis von
ker (γ(kκ ) − κ) und die Menge {v(k, ε) | ε = ±1} sei eine Basis (”Diracbasis”) von ker (γ(kκ ) + κ) mit
hu(k, ε), u(k, ε0 )iD = hv(k, ε), v(k, ε0 )iD = 2ω(k)δ ε,ε0 ,
hu(k, ε), v(k, ε0 )iD = 0.
Lösung des Anfangswertproblems:
¡
¢
Proposition 1 Ist f ∈ S V0 : C4×1 , dann existiert genau eine Funktion ψ : V → C4×1 mit (iδ − κ) ψ =
0 und ψ |V0 = f . Für diese Funktion ψ gilt
Ã
!
X Z
d3 k
eihkκ ,xi
e−ihkκ ,xi
∗
ψ(x) =
+ b(k, ε) v(k, ε)
a(k, ε)u(k, ε)
3/2
3/2
2ω(k)
(2π)
(2π)
ε=±1 V0
1 Das wurde im Kapitel über die Diracgleichung gezeigt. Das Verschwinden der Spur wurde mithilfe der Matrix γ
5
bewiesen.
1
wobei d3 k die metrische Volumsform von V0 ist, und die Spektralfunktionen a und b durch
b(k, ε)∗ = F (hv(k, ε), f iD ) (−k)
a(k, ε) = F (hu(k, ε), f iD ) (k) ,
definiert sind. Dabei ist F die übliche Fouriertransformation für h ∈ S (V0 : C).2
Z
e−ik·x
(Fh) (k) =
d3 x
f (x)
V0
(2π)3/2
£
¤
Es gilt [a] = [b] = ~1/2 L.
Wie beim Klein Gordon System ist die Analogie zum dynamischen System einer Familie von entkoppelten harmonischen Oszillatoramplituden augenfällig.
Die Gruppe (V, +) operiert auf
der Diracgleichung so: (vψ) (x) = ψ(x − v). Für
¡ der Lösungsmenge
¢
Lösungen mit Cauchydaten in S V0 : C4×1 definiert die Spektralfunktion von vψ die folgende Operation
auf S (V0 : C):
∗
(va) (k, ε) = eihkκ ,vi a(k, ε), (vb) (k, ε) = e−ihkκ ,vi b(k, ε)∗ .
Der Feldenergieimpulstensor und -vektor: Das reelle, symmetrische Feldenergieimpulskotensorfeld K
einer Lösung ψ der Diracgleichung ist folgendermaßen definiert (symmetrisierte Noetherkonstruktion):
¢
¢
i¡ ¡
ψ γ µ ∂ν + γ ν ∂µ ψ − cc .
4
Es gilt ∂ρ ηρµ Kµ,ν = 0. Ist v ein konstantes Vektorfeld auf V , dann ist eρ ηρµ Kµ,ν v ν = \ (K(·, v)) ein
divergenzfreies Vektorfeld auf V . Einsetzen dieses Vektorfeldes in d4 x und Integration der enstehenden
geschlossenen 3-Form über Vτ ergibt für Lösungen des Typs vom obigen Satz die Zahl hP, vi mit dem
Energieimpulsvektor P ∈ V , der unabhängig von τ ist. Für ihn gilt
Z
³
´
XZ
2
2
d3 xK0,µ =
dµkκ |a(k, ε)| − |b(k, ε)| .
P = eν ην,µ
Kµ,ν :=
Vτ
ε
V0
Die Dimension [P ] = [~] L−1 = [~kκ ] = [Impuls]. Die Feldenergie E := P 0 c.
Bemerkenswert ist, dass die Negativfrequenzamplitude b einen negativen Beitrag zur Feldenergie
liefert. Dieses Problem versuchte Dirac in seinem ”See” von Elektronen, der alle Moden negativer Energie
flutet, zu versenken. Eine konsistente Ausformulierung dieser Vorstellung gelang erst durch die Erfindung
des Diracquantenfeldes. Da die Diracgleichung, die zunächst als Wellengleichung eines relativistischen
Quants gedacht war, den Ausgangspunkt für die Definition einer relativistischen Vielteilchendynamik
bildet, wird diese Definition oft als zweite Quantisierung bezeichnet.
1.2
Antikommutatorquantisierung
Eine naheliegende Übertragung der Quantisierungsprozedur des Klein - Gordon Systems wäre die folgende. Suche einen Hilbertraum H mit Operatoren {a(k, ε), b(k, ε) | k ∈V0 }, für die
[a(k,ε), a(k0 , ε0 )] = [a(k,ε), b(k0 , ε0 )] = [a(k,ε), b(k0 , ε0 )∗ ] = [b(k,ε), b(k0 , ε0 )] = 0,
¡
¢
[a(k,ε), a(k0 , ε0 )∗ ] = [b(k,ε), b(k0 , ε0 )∗ ] = 2ω(k)~δ 3 k − k0 δ ε,ε0
gilt. Der ∗ bedeutet die hermitesche Adjunktion bezüglich des Skalarproduktes von H. Setzt man weiter
wieder die Existenz eines Vakuumvektors Ω voraus, der im Kern aller Operatoren a und b liegt, dann
folgt für den (ad hoc definierten) Operator
XZ
dµkκ (a(k, ε)∗ a(k, ε) + b(k, ε)∗ b(k, ε)) ,
P :=
ε
V0
2 Diese
Dirac-Fouriertransformation ist aus den formalen Gleichungen für die ebenen Wellenlösungen der Diracgleichung
u(k,ε)
v(k,ε)
Uk,ε (x) =
3/2 exp (−i hkκ , xi) und Vk,ε (x) =
3/2 exp (i hkκ , xi) mit dem Skalarprodukt am Hilbertraum der Cauchy(2π)
(2π)
daten
hf, giL2 :=
leicht zu merken
Z
V0
d3 x hf (x), g(x)iD
­
®
®
­
a(k, ε) = Uk,ε (x0 , ·), ψ(x0 , ·) L2 , b(k, ε)∗ = Vk,ε (x0 , ·), ψ(x0 , ·) L2 .
Diese wiederum folgen aus
­
­
­
®
®
®
Uk,ε (x0 , ·), Uk0 ,ε0 (x0 , ·) L2 = Vk,ε (x0 , ·), Vk0 ,ε0 (x0 , ·) L2 = 2ω(k, ε)δ 3 (k − k0 )δ ε,ε0 , Uk,ε (x0 , ·), Vk0 ,ε0 (x0 , ·) L2 = 0.
2
dass 1)
[P, a(k, ε)] = −~kκ a(k, ε) und [P, b(k, ε)∗ ] = ~kκ b(k, ε)∗
und 2) für das Quantenfeld
ψ(x) =
XZ
ε
Ã
dµ a(k, ε)u(k, ε)
V0
mit P = ~K
e−ihkκ ,xi
(2π)3/2
∗
+ b(k, ε) v(k, ε)
eihkκ ,xi
(2π)3/2
!
eihK,vi ψ(x)e−ihK,vi = ψ(x + v).
Die Operatoren hK, vi sind dann die Erzeugenden von unitären Raumzeittranslationsoperatoren und es
läge nahe, den Operator H := ~cK 0 als Hamiltonoperator einer Quantendynamik i~c∂0 Ψx0 = HΨx0
aufzufassen. Das Spektrum dieses Hamiltonoperators ist von unten beschränkt. Dieses Quantenmodell
löst das Negativenergieproblem des klassischen Modells durch Verwendung von Erzeugern anstelle von
Vernichtern als Spektralamplituden des Feldes bei den Negativfrequenzmoden. Ein Problem des kommutatorquantisierten Modells mit positiver Energie ist jedoch das Fehlen der Lokalität. (Übung) Deshalb
wird das eben skizzierte Modell in der Physik nicht verwendet. (Eine Variante davon ist als ”geladenes
Klein - Gordon Quantenfeld” von Bedeutung.)
Die einzige heute3 bekannte Definition eines Quantenmodells zur Diracgleichung, die positive Energie und Lokalität garantiert, ist jene, die die Kommutatoren in den Quantisierungsrelationen durch
Antikommutatoren {A, B} := AB + BA ersetzt. Zur Parameterbereinigung wird die Konstruktion des
Quantenfeldes Ψ = ~−1/2 ψ mit der Zerlegung
Ã
!
XZ
e−ihkκ ,xi
eihkκ ,xi
∗
Ψ(x) =
dµ A(k, ε)u(k, ε)
+ B(k, ε) v(k, ε)
V0
(2π)3/2
(2π)3/2
ε
angegeben. Es sei für alle k, k0 ∈ V0 und für alle ε, ε0 ∈ {1, −1}
{A(k,ε), A(k0 , ε0 )} = {A(k,ε), B(k0 , ε0 )} = {A(k,ε), B(k0 , ε0 )∗ } = {B(k,ε), B(k0 , ε0 )} = 0,
¡
¢
{A(k,ε), A(k0 , ε0 )∗ } = {B(k,ε), B(k0 , ε0 )∗ } = 2ω(k)~δ 3 k − k0 δ ε,ε0 .
Weiter existiere im Raum der Operatoren A und B ein auf 1 normierter Vektor Ω mit A(k,ε)Ω =
B(k,ε)Ω = 0. Ein Energieimpulsoperator P = ~K mit
eihK,vi ψ(x)e−ihK,vi = ψ(x + v)
ist durch
K :=
XZ
ε
4
dµkκ (A(k, ε)∗ A(k, ε) + B(k, ε)∗ B(k, ε)) .
V0
gegeben. Es gelten nämlich auch bei Antikommutatorquantisierung die Auf- und Absteigerelationen
[K, A(k,ε)] = −kκ A(k,ε),
[K, B(k,ε)] = −kκ B(k,ε),
[K, A(k,ε)∗ ] = kκ A(k,ε)∗ ,
[K, B(k,ε)∗ ] = kκ B(k,ε)∗ .
Kommutator- und Antikommutatorquantisierung gebrauchen das folgende Schema: Seien b und f
Operatoren mit
[b, b∗ ] = id, {f, f ∗ } = id, {f, f } = 0.
Dann gelten, aufgrund von
[AB, C] = A [B, C] + [A, C] B
= A {B, C} − {A, C} B
in beiden Fällen die Auf- und Absteigerelationen
[b∗ b, b] = −b,
{f ∗ f, f } = −f,
[b∗ b, b∗ ] = b∗ ,
{f ∗ f, f ∗ } = f ∗ .
3 Unter gewissen Voraussetzungen wird dies auch immer so bleiben, wie das Spin Statistik Theorem (Pauli & Lüders,
Jost) zeigt.
4 Der Operator P ist aufgrund der Antikommutatorquantisierung recht nahe an der Noetherkonstruktion des klassischen
Modells, da B ∗ B = −BB ∗ + Zahl · idH .
3
Die (uneigentlichen) Vektoren A(k, ε)∗ Ω und B(k, ε)∗ Ω sind wegen der Aufsteigerelation [P, A(k, ε)∗ ] =
~kκ A(k, ε)∗ und [P, B(k, ε)∗ ] = ~kκ A(k, ε)∗ (uneigentliche, simultane) Eigenvektoren von P zum Eigenwertvektor ~kκ . Die Menge {~kκ | k ∈ V0 } stimmt mit der Menge aller Energieimpulsvektoren eines
relativistischen Massenpunkts der Masse m mit κ = mc/~ überein. Beachte P Ω = 0. Der Vektor Ω heißt
Vakuumvektor. Der Energieoperator H hat nichtnegatives Spektrum.
Normierbare Vektoren im Hilbertraum H sind für f ∈ L2 (V0 × {1, −1} : C; dµ) =: H1
XZ
∗
Af Ω =
dµf (k, ε)A(k, ε)∗ Ω,
Bf∗ Ω =
ε
V0
ε
V0
XZ
dµf (k, ε)B(k, ε)∗ Ω.
Aus den Antikommutatorquantisierungsregeln folgt
X
° ∗ °2 ° ∗ °2
°Af Ω° = °Bf Ω° = kf k2 :=
He
ε
Z
V0
dµ |f (k, ε)|2
o
o
D
E
n
n
und A∗f Ω, Bg∗ Ω = 0. Die Menge A∗f Ω | f ∈ H1 =: He heißt Einelektronraum, und Bf∗ Ω | f ∈ H1 =:
He heißt ein Einpositronraum.
Weitere Elemente von H sind für Funktionen fi , gj ∈ H1 die Vektoren A∗f1 ..A∗fn Bg∗1 ..Bg∗m Ω. Wegen der
Antikommutatorquantisierung tragen zu diesem Vektor nur der antisymmetrische Anteil (f1 ⊗ .. ⊗ fn )−
von f1 ⊗ .. ⊗ fn und jener von g1 ⊗ .. ⊗ gm bei. Der antisymmetrische Anteil ist dabei so definiert
(f1 ⊗ .. ⊗ fn )− :=
1 X
sgn(π) · fπ(1) ⊗ .. ⊗ fπ(n) .
n!
π∈Sn
Daher stimmt die abgeschlossene lineare Hülle der Menge aller solchen Vektoren bei festem n und m mit
Hn,m := (∧n He ) ⊗ (∧m He )
überein. Mit H0,0 = C·Ω ist der Hilbertraum der Minimalkonstruktion durch die abgeschlossene, direkte,
orthogonale Summe
H = ⊕n,m∈N0 Hn,m ,
gegeben. Der Hilbertraum Ff (He ) := ⊕n∈N0 (∧n He ) heißt fermionischer Fockraum über He . Er tritt bei
der zweiten Quantisierung der Schrödingergleichung in Erscheinung. Das Diracquantenfeld benötigt den
Raum ⊕n,m∈N0 Hn,m ≈ Ff (He ) ⊗ Ff (He ).
Der (unbeschränkte) Operator N in H, der auf den Unterräumen Hn,m mit (n + m)·id übereinstimmt,
heißt Teilchenzahloperator. Es gilt
XZ
N=
dµ (A(k, ε)∗ A(k, ε) + B(k, ε)∗ B(k, ε)) .
ε
V0
Der (unbeschränkte) Operator Q in H, der auf den Unterräumen Hn,m mit (n − m) · id übereinstimmt,
heißt Fermionenzahloperator. Es gilt
XZ
Q=
dµ (A(k, ε)∗ A(k, ε) − B(k, ε)∗ B(k, ε)) .
ε
V0
Beide Operaoren kommutieren mit P . Bei wechselwirkenden Modellen tut dies im allgemeinen nur Q.
(In manchen Modellen drückt dies die Erhaltung der elektrischen Ladung bei Teilchenerzeugung und
Vernichtung aus.)
Das Quantenfeld Ψ(x) in der angegeben Minimalkonstruktion heißt Diracquantenfeld. Es gilt mit
Paulis kausaler Ausbreitungsfunktion ∆
µ
¶
©
ª
∂
µ
Ψα (x), Ψβ (y)
=
i (γ )α,β
+ κδ α,β i∆(x − y)idH ,
∂xµ
©
ª
Ψα (x), Ψβ (y) = 0.
{Ψα (x), Ψβ (y)} =
R
Aus ”verschmierten” Feldern Ψf := V d4 x hf (x), Ψ(x)i können Größen wie Of := Ψf + Ψ∗f gebildet
werden. Sie sind formal selbstadjungiert und somit Kandidaten für Observable. Für sie gilt jedoch: Es
4
existieren f und g mit raumartig zueinander liegenden Trägern und [Of , Og ] 6= 0. Wäre Of tatsächlich
observabel, dann hätte das Modell ein Problem mit der Lokalität. Aus diesem und anderen Gründen5
wird im Fall des Diracquantenfeldes die Menge der lokalen Observablen etwas kleiner gehalten. Die
”Bausteine” für Observablen sind die Tensorfelder, die aus dem Diracfeld gebildet werden können. (Auf
ihnen operiert die Sl2 (C) nicht treu, sondern nur die eigentliche Lorentzgruppe.) Ein Musterbeispiel ist
der (fermionisch normalgeordnete) elektrische Strom mit den Komponentenfunktionen
D
³
´
³
´
E
Jµ (x) = Ψ(x)γ µ Ψ(x)
= lim Ψ(y)γ µ Ψ(x) − Ω, Ψ(y)γ µ Ψ(x)Ω idH
N
y→x
Für das Operatorfeld Jµ gilt [Jµ (x) , Jν (y)] = 0 für hx − y, x − yi < 0. (Übung) In diesem Sinn bewirkt
also die Antikommutatorquantisierung die Lokalität des Diracfeldes.
Für die (zeitgeordnete) Dysonreihe des Streuoperators wechselwirkender Quantenfeldtheorien wird der
Vakuumerwartungswert von zeitgeordneten Feldprodukten benötigt. Eigentlich treten dabei nur Tensorfelder (zB Strom J) auf, für die das Muster der bosonischen Zeitordnung, das uns von KG-feld bekannt
ist, zum Tragen kommt. Es zeigt sich jedoch, dass äußerst einprägsame Rechenregeln (fermionisches
Wicktheorem) entstehen, wenn die Zeitordnung auf die fermionischen Bausteine der normalgeordneten
Tensorfeldblöcke in ”fermionischer” Weise erweitert wird. Motto: Mit geschickt gewählten Bausteinen (2Punktfunktionen) bekommt ein komplexes Gesamtobjekt (n-Punktfunktionen) einen übersichtlichen Bauplan. Seien F und G Spinorkomponenten von Ψ oder Ψ. Dann wird definiert: T (F (x), G(y)) = F (x)G(y)
für x0 > y 0 , T (F (x), G(y)) = −G(y)F (x) für y 0 > x0 und T (F (x), G(y)) = F (x)G(y) = −G(y)F (x) für
x0 = y 0 . Es gilt mit dieser Definition
¶
µ
­
¡
¢ ®
∂
∆F (x − y) =: i (SF (x − y))α,β ,
Ω, T Ψα (x), Ψβ (y) Ω = −i i (γ µ )α,β
+
κδ
α,β
∂xµ
Z
e−ihk,xi
γ (k) + κ
SF (x) = lim
d4 k
.
2
ε↓0 V
hk, ki − κ + iε (2π)4
Die Distribution SF heißt ”Feynmanpropagator des Diracquantenfeldes” und es gilt (iδ x − κ) SF = E4 ·δ 4 .
Der Feynmanpropagator ist also eine Fundamentallösung der Diracgleichung. Das Schema ist das folgende. Sei i∂0 φ = hφ die freie Diracevolutionsgleichung auf dem Hilbertraum HD zum s.a. Diracoperator
h = −iγ 0 γ l ∂l + κγ 0 . Dann folgt
´
´
³ ¡ ¢
³
¢
¡
0
0
(i∂0 − h) Θ x0 e−ihx γ 0 = iδ(x0 )γ 0 , (i∂0 − h) −Θ −x0 e−ihx γ 0 = iδ(x0 )γ 0 .
¡ ¢
0
Die Integralkerne Sret (x0 e0 + x) der V0 -translationsinvarianten Operatoren Sret (x0 ) := −iΘ x0 e−ihx γ 0
¢
¡
0
und Sav (x0 e0 + x) von Sav (x0 ) := iΘ −x0 e−ihx γ 0 definieren somit die retardierte und avancierte
Fundamentallösung der freien Diracgleichung. Der Träger von Sret ist der Vorwärtslichtkegel, der von
Sav der Rückwärtslichtkegel. Für Feynmans Fundamentallösung SF gilt mit x = x0 e0 + x
Ã
!
Ã
!
XZ
XZ
0
0
SF (x) = −iΘ(x )
dµUk,ε (x + y)Uk,ε (y) + iΘ(−x )
dµVk,ε (x + y)Vk,ε (y) .
ε
V0
ε
V0
Somit ist SF (x0 e0 + x) der Integralkern von
SF (x0 ) := Sret (x0 )Θ(h) + Sav (x0 )Θ(−h).
Übrigens ist klar, dass
­
¡
¢ ®
hΩ, T (Ψα (x), Ψβ (y)) Ωi = Ω, T Ψα (x), Ψβ (y) Ω = 0.
Das zeitgeordnete Produkt T (F1 (x1 ), ..., Fn (xn )) eines n-tupels (lokaler) fermionischer Felder Fi , dh
entweder Fi = Ψα oder Fi = Ψβ , ist analog definiert: Sei π : {1, ..n} → {1, ..n} bijektiv und so, dass
x0π(1) ≥ ... ≥ x0π(n) , dann ist6
T (F1 (x1 ), ..., Fn (xn )) = sgn(π) · Fπ(1) (xπ(1) )...Fπ(n) (xπ(n) ).
Diracquantenfeld Ψ geht bei sukzessiver viermaliger Drehung um jeweils 90◦ (bei gleicher Drehachse) in −Ψ über,
da die Liealgebra zu einer Darstellung der SL2 (C) integriert.
6 Haben zwei der Argumente (x , .., x ) dieselbe 0-Koordinate, dann ist die Permutation π nicht eindeutig bestimmt.
n
1
Das zeitgeordnete Produkt T (F1 (x1 ), ..., Fn (xn )) hängt aber nicht von der Auswahl von π ab.
5 Ein
5
Für die Vakuumerwartungswerte des zeitgeordneten Produktes T (F1 (x1 ), ..., Fn (xn )) gilt die Wicks
Kontraktionsformel
hΩ, T (F1 (x1 ), ..., F2n (x2n )) Ωi =
X
c∈Kn
δ(c)
n
Y
­
¡
¢ ®
Ω, T Fc(0,i) (xc(0,i) ), Fc(1,i) (xc(1,i) ) Ω ,
i=1
hΩ, T (F1 (x1 ), ..., F2n (x2n+1 )) Ωi = 0.
Hier ist Kn wie im bosonischen Fall die Menge der aufsteigenden Kontraktionen von {1, 2, ..., 2n}. Die Zahl
ist δ(c) das Vorzeichen der Permutation π, die (1, 2, ...2n) in (c(0, 1), c(1, 1), c(0, 2), c(1, 2), ...c(0, n), c(1, n))
überführt.
6
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