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April – Juni 2015 - Universitätsklinikum Münster

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Algebra 1
VORLESUNGSMITSCHRIFT
Prof. Peter Bürgisser
WS 2013/14
Was ist nahrhaft und kommutativ?
Eine abelsche Suppe.
29. Oktober 2014
Inhaltsverzeichnis
1 Gruppen
1
1.1
Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Gruppenaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Die Sätze von Sylow
12
2.1
Exponent und Klassengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2
Sylowsche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Fortführung der Gruppentheorie
19
3.1
Direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2
Semidirekte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3
Auflösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Ringe
28
4.1
Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2
Ideale und Quotientenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3
Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4
Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5
Hauptidealbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6
Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Polynome
47
5.1
Multivariate Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2
Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3
Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4
Resultante und Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Algebraische Körpererweiterungen
63
6.1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2
Einfache Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3
Endliche Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4
Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5
Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6
Algebraischer Abschluss von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Literatur
78
Index
79
1
Gruppen
1.1
Grundlegende Begriffe
Wir beginnen mit den grundlegendsten Begriffen der Gruppentheorie.
Definition 1.1. Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung G × G, (g, h) → g · h = gh, welche wir Multiplikation nennen, einem ausgezeichneten
Element e ∈ G, welches wir das neutrale Element nennen werden, und einer einstelligen
Operation G → G, g → g −1 , welche wir Inversion nennen, so dass folgende Anforderungen
erfüllt sind:
(i) Für alle g, h, k ∈ G gilt (gh)k = g(hk). (Assoziativität)
(ii) Für alle g ∈ G gilt g · e = e · g = g.
(iii) Für alle g ∈ G gilt gg −1 = g −1 g = e.
Weiter heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ, falls zusätzlich gh = hg für alle g, h ∈ G
gilt.
Beispiel 1.2. Die Zahlenmengen Z, Q, R und C bilden mit der Addition jeweils eine abelsche Gruppe.
Beispiel 1.3 (Symmetrische Gruppen). Für n ∈ N bezeichne Sn die Menge der Permutationen einer Menge {1, . . . , n} von n Elementen, d. h. die Menge der Bijektionen auf ihr.
Mit der Komposition als Verknüpfung, der Identität als neutrales Element und der Umkehrung von Abbildungen als Inversion ist Sn eine Gruppe, welche auch als symmetrische
Gruppe bezeichnet wird und für n ≥ 3 nicht abelsch ist.
Beispiel 1.4. Es sei ❦ ein Körper und V ein ❦-Vektorraum. Mit GL(V ) bezeichnen wir
die Menge der bijektiven linearen Abbildungen von V auf sich selbst und nennen dies die
allgemeine lineare Gruppe, denn mit der Komposition als Verknüpfung ist sie ähnlich wie
Sn tatsächlich eine Gruppe. Sobald die Dimension von V größer als Eins ist, ist GL(V )
nicht abelsch.
Wir merken an, dass zwei Gruppen, die in der zugrundeliegenden Menge und der Multiplikation übereinstimmen, identisch sind. Mit anderen Worten: Neutrales Element und
inverse Elemente einer Gruppe sind eindeutig. Sind nämlich e und e neutrale Elemente
bezüglich einer festen Multiplikation auf einer festen Grundmenge, so ist
e = ee = e .
Existiert zu einem Element g einer Gruppe mit neutralem Element e ein h, so dass gh =
hg = e, so muss h bereits das (damit eindeutig bestimmte) inverse Element g −1 sein, was
durch Linksmultiplikation von gh = e mit g −1 ersichtlich ist.
Bemerkung 1.5. Das inverse Element e−1 des neutralen Elements e einer Gruppe ist stets
e selbst.
Eine zweifache Inversion führt zurück zum betrachteten Element, d. h. (g −1 )−1 = g für
alle Elemente g einer Gruppe.
Weiterhin besteht die Regel (gh)−1 = h−1 g −1 für Inverse von Produkten.
Schließlich definieren wir Produkte g1 g2 · · · gn von n Gruppenelementen g1 bis gn rekursiv
als (g1 · · · gn−1 )gn . Aufgrund der Assoziativität ist auch hier die Klammersetzung bedeutungslos.
1
Algebra 1
1
Gruppen
Definition 1.6. Es sei G eine Gruppe. Als eine Untergruppe von G bezeichnen wir eine
Teilmenge H ⊂ G, so dass e ∈ H und für alle g, h ∈ H außerdem auch gh und g −1 in H
liegen. Wir schreiben dann H ≤ G.
Eine Untergruppe ist also eine Teilmenge, die bezüglich der bereits vorhandenen Multiplikation eine Gruppe bildet.
Beispiel 1.7. Ist V ein endlichdimensionaler ❦-Vektorraum, so ist die spezielle lineare
Gruppe SL(V ) aller Automorphismen aus GL(V ), deren Determinante Eins ist, eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(V ).
Ist V ein euklidischer Vektorraum, so ist die Menge O(V ) aller orthogonalen Automorphismen von V (orthogonale Gruppe genannt) ebenfalls eine Untergruppe von GL(V ).
Wir erinnern nun an die Zykelschreibweise für Permutationen (der Menge {1, . . . , n}). Mit
(i1 i2 . . . il ) bezeichnen wir diejenige zyklische Permutation, welche ik auf ik+1 für k < l
und il auf i1 abbildet. Zykel der Form (i1 i2 ), welche lediglich zwei Zahlen miteinander
vertauschen, heißen Transpositionen. Unterscheiden sich dabei i1 und i2 nur um Eins, so
sprechen wir von einer Nachbartransposition.
Als Übungsaufgabe kann gezeigt werden, dass jede Permutation als Produkt von Transpositionen (sogar von Nachbartranspositionen) darstellbar ist. Die Anzahl der dazu verwendeten Transpositionen mag variieren, doch ihre Parität hängt nur von der betrachteten
Permutation ab, weshalb das Signum sgn einer Permutation als −1 in dieser Potenz wohldefiniert ist.
Beispiel 1.8. Die Teilmenge An von Sn , die aus den geraden Permutationen – also solchen
mit Signum Eins – besteht, bildet eine Untergruppe von Sn und wird alternierende Gruppe
genannt.
Die Gruppe S3 enthält etwa die ungeraden Permutationen (23), (12) und (13). Die Untergruppe A3 besteht aus der Identität und den geraden Permutationen (123) und (132).
Wir kommen nun zur Erzeugung von Untergruppen. Für eine Teilmenge S ⊂ G einer
Gruppe G setzen wir zunächst
S −1 := {s−1 ∈ G : s ∈ S} .
Definition 1.9. Es sei G eine Gruppe und S ⊂ G eine nichtleere Teilmenge. Dann ist
S := {s1 s2 · · · sn : si ∈ S ∪ S −1 , n ∈ N0 } .
Weiter setzen wir ∅ := {e}.
Wir nennen S die von S erzeugte Untergruppe und zeigen nun, dass dieser Name gerechtfertigt ist.
Lemma 1.10. Es sei wie oben S ⊂ G nichtleer.
(i) Die Menge S ist eine Untergruppe von G.
(ii) Jede Untergruppe von G, welche S enthält, enthält auch S .
Beweis. (i). Die Abgeschlossenheit von S ergibt sich direkt aus der Definition. Ist weiter
−1
s1 · · · sn ∈ S , so ist auch (s1 · · · sn )−1 = s−1
n · · · s1 ∈ S , und falls s ∈ S , so ist auch
e = ss−1 ∈ S .
(ii). Es sei s ∈ S ∪ S −1 . Dann ist entweder s ∈ S ⊂ H oder s−1 ∈ S ⊂ H, womit aber
ebenfalls s ∈ H folgen würde. Da sich jedes Element von S als Produkt von Elementen
aus S ∪ S −1 schreiben lässt, liegt jedes solche Produkt auch in H.
Algebra 1
2
1.1
Grundlegende Begriffe
Definition 1.11. Wir sagen, dass eine Teilmenge S ⊂ G die Gruppe G erzeugt, falls
S = G. Besitzt eine Gruppe eine endliche Teilmenge, von welcher sie erzeugt wird, so
nennen wir diese Gruppe endlich erzeugt.
Die Bemerkung vor der Einführung der alternierenden Gruppe in Beispiel 1.8 kann nun
folgendermaßen formuliert werden:
Satz 1.12. Die symmetrische Gruppe Sn wird von der Menge der Transpositionen und
von der Menge der Nachbartranspositionen erzeugt.
Korollar 1.13. Die symmetrische Gruppe Sn wird von
S = {(12), (12 . . . n)}
erzeugt.
Beweis. Wir zeigen, dass S alle Nachbartranspositionen enthält. Ist a < n, so können
wir die Nachbartransposition (a, a + 1) als (a, a + 1) = g(12)g −1 ∈ S schreiben, wobei
g := (12 · · · n)a−1 ∈ S .
Der einfachste Fall eines Erzeugnisses ist derjenige, in dem eine Gruppe G von einer
einelementigen Menge {g} erzeugt wird. Wir sagen dann, dass G von g erzeugt wird und
schreiben G = g statt G = {g} . In dieser Situation ist
g = {g n : n ∈ Z} ,
wenn wir g 0 = e und g −n = (g n )−1 = (g −1 )n für n ∈ N schreiben. Ähnlich wie bei den
Potenzgesetzen gilt g m g n = g m+n für alle m, n ∈ Z.
Definition 1.14. Eine Gruppe G, welche ein Element g ∈ G mit g = G besitzt, heißt
zyklisch.
Beispiel 1.15. Die additive Gruppe Z der ganzen Zahlen ist zyklisch, wird nämlich von 1
und ebenso von −1 erzeugt, d. h. Z = 1 = −1 .
Satz 1.16. Auch jede Untergruppe von Z ist zyklisch.
Der Beweis ist Übungsaufgabe.
Definition 1.17. Es seien G und G Gruppen.
(i) Eine Abbildung ϕ : G → G heißt Gruppenhomomorphismus, falls ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h)
für alle g, h ∈ G gilt.
(ii) Ein bijektiver (Gruppen-)Homomorphismus heißt Isomorphismus.
(iii) Ein Isomorphismus, bei dem Bild- und Urbildgruppe G und G gleich sind, heißt
Automorphismus.
Beispiel 1.18. Ist ❦ ein Körper und V ein endlichdimensionaler ❦-Vektorraum, so ist
die Determinante ein Gruppenhomomorphismus von GL(V ) in die multiplikative Gruppe
❦ \ {0}.
Beispiel 1.19. Auch das Signum sgn : Sn → {−1, 1} von der symmetrischen Gruppe Sn in
die multiplikative Gruppe {−1, 1} ist ein Homomorphismus.
3
Algebra 1
1
Gruppen
Bemerkung 1.20. Es sei ϕ : G → G ein Gruppenhomomorphismus. Dann bildet ϕ das
neutrale Element e in G auf das neutrale Element e in G ab, was aus
ϕ(e) = ϕ(ee) = ϕ(e)ϕ(e)
durch Multiplikation mit ϕ(e)−1 hervorgeht. Auch gilt ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 für alle g ∈ G,
was zu zeigen eine Übungsaufgabe ist.
Weiter sind der Kern
ker ϕ := {g ∈ G : ϕ(g) = e }
und das Bild
im ϕ = {ϕ(g) : g ∈ G}
von ϕ Untergruppen von G bzw. G . Die Injektivität von ϕ kann darüber charakterisiert
werden, dass der Kern trivial ist: ϕ ist genau dann injektiv, wenn ker ϕ = {e}.
Beispiel 1.21. Für jede Gruppe G und g ∈ G ist Z → G, n → g n ein Homomorphismus.
Letztlich führen wir noch direkte Produkte von Gruppen ein. Sind G1 , . . . , Gr Gruppen,
r
so statten wir das kartesische Produkt G := G1 × · · · × Gr = ×i=1 Gi mit der komponentenweisen Multiplikation aus und erhalten so eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen
Produkt G, welches damit als (externes) direktes Produkt bezeichnet wird.
Bemerkung 1.22. Die Projektionen G → Gi , (g1 , . . . , gr ) → gi , i ≤ r, sind surjektive
Homomorphismen.
1.2
Gruppenaktionen
Definition 1.23. Eine Operation oder Aktion einer Gruppe G auf einer Menge X ist eine
Abbildung
G × X → X , (g, x) → g.x = gx
mit der Eigenschaft, dass (gh).x = g.(h.x) und 1.x = x für alle g, h ∈ G und x ∈ X.
Wir definieren weiter SX als die Menge aller Bijektionen auf X. So ist Sn = S{1,...,n} für
n ∈ N und wieder ist SX eine Gruppe.
Lemma 1.24. Eine Operation von G auf X definiert einen Gruppenhomomorphismus
D : G → SX , wobei D(g) : X → X die Abbildung x → g.x ist.
Beweis. Tatsächlich ist D wohldefiniert, denn für g ∈ G ist D(g) bijektiv mit Umkehrabbildung D(g −1 ), was durch
D(g) ◦ D(g −1 ) (x) = D(g)(g −1 .x) = g.(g −1 .x) = (gg −1 ).x = 1.x = x
ersichtlich ist. Für g, h ∈ G ist weiterhin
D(gh)(x) = (gh).x = g.(h.x) = g. D(h)(x) = D(g) ◦ D(h) (x) ,
was D(gh) = D(g) ◦ D(h) zeigt.
Definition 1.25. Einen Gruppenhomomorphismus D : G → SX nennen wir eine Permutationsdarstellung.
Algebra 1
4
1.2
Gruppenaktionen
Wir haben soeben gesehen, dass Permutationsdarstellungen durch Gruppenaktionen induziert werden. Umgekehrt kann eine Permutationsdarstellung D über g.x := D(g)(x),
g ∈ G, x ∈ X, auch eine Gruppenaktion definieren.
Beispiel 1.26. Ist V ein
Abbildung
❦-Vektorraum
und G = GL(V ), so operiert G auf V mit der
G × V → V , (g, v) → g(v) .
Beispiel 1.27. Jede Gruppe G operiert auf sich selbst bezüglich der Linksmultiplikation
G × G → G , (g, h) → gh .
Die Rechtsmultiplikation (g, h) → hg jedoch definiert keine Gruppenaktion; dies tut allerdings die Abbildung
G × G → G , (g, h) → hg −1 .
Die beiden Operationen kommutieren und ergeben in der Verknüpfung eine Gruppenwirkung von G × G auf G selbst, welche durch
(G × G) × G → G , (g1 , g2 , h) → g1 hg2−1
gegeben ist.
Beispiel 1.28. Für eine Gruppe G sei Aut(G) die Gruppe der Automorphismen von G,
welche eine Untergruppe von SG bildet. Weiter betrachten wir die Wirkung von G auf sich
selbst durch Konjugation
G × G → G , (g, h) → ghg −1 .
Wir behaupten, dass das Bild im(Ad) der zugehörigen Permutationsdarstellung Ad : G →
SG eine Teilmenge von Aut(G) ist, d. h. dass jede Abbildung Ad(g) : h → ghg −1 ein Automorphismus ist. Dazu ist nur noch zu zeigen, dass diese Abbildung ein Homomorphismus
ist. Für g, h1 , h2 ∈ G ist jedoch
Ad(g)(h1 h2 ) = gh1 h2 g −1 = gh1 g −1 gh2 g −1 = Ad(g)(h1 ) Ad(g)(h2 ) .
Den Kern dieser Permutationsdarstellung nennen wir das Zentrum von G und bezeichnen
ihn mit
Z(G) := ker Ad = {g ∈ G : ghg −1 = h für alle h ∈ G} = {g ∈ G : gh = hg für alle h ∈ G} .
Dies ist gerade die Untergruppe von G derjenigen Elemente, welche mit allen anderen
kommutieren.
Definition 1.29. Die Gruppe G operiere auf der Menge X. Für x ∈ X nennen wir
G.x := {g.x : g ∈ G} ⊂ X
die Bahn oder den Orbit von x. Weiter nennen wir
Gx := {g ∈ G : g.x = x} ⊂ G
den Stabilisator von x.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass ein Stabilisator stets eine Untergruppe von G ist.
5
Algebra 1
1
Gruppen
Definition 1.30. Eine Teilmenge Y ⊂ X von X heißt G-invariant, falls die Bahnen all
ihrer Elemente in ihr enthalten sind, falls also G.y ⊂ Y für alle y ∈ Y .
Weiter sagen wir, dass G transitiv auf X operiert, falls für alle x, y ∈ X ein g ∈ G existiert,
so dass y = g.x.
Offenbar operiert G genau dann transitiv auf X, falls G.x = X für alle x ∈ X gilt.
Bemerkung 1.31. Jede Bahn ist G-invariant.
Lemma 1.32. Die Gruppe G operiere auf X. Dann bildet die Menge aller Bahnen in X
eine Partition von X.
Beweis. Zunächst ist klar, dass
G.x = X .
x∈X
Wir zeigen noch, dass zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt sind. Es seien also x, y ∈
X mit G.x ∩ G.y = ∅. Für z ∈ G.x ∩ G.y finden wir also g, h ∈ G mit z = g.x = h.y. Dies
zeigt y = (h−1 g).x, womit offenbar G.y = G.x folgt.
Beispiel 1.33. Es seien m, n ∈ N und ❦ ein Körper. Die Gruppe G := GL(m, ❦) × GL(n, ❦)
wirkt auf X = ❦m×n durch
G × X → X , (g, h, A) → gAh−1 .
Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen von Matrizen gleichen Ranges. Auch wirkt G :=
GL(n, C) auf X = Cn,n durch
G × X → X , (g, A) → gAg −1
und hier sind die Bahnen Äquivalenklassen von Matrizen mit gleicher Jordan-Normalform.
Definition 1.34. Die Gruppe G operiere auf sich selbst durch Konjugation, also durch
G × G → G , (g, h) → ghg −1 .
Die Bahn
{ghg −1 : g ∈ G}
eines Elements h ∈ G heißt dann Konjugationsklasse von h. Weiter heißt
Zh := {g ∈ G : gh = hg}
der Zentralisator von h.
Satz 1.35 (Bahnformel). Die endliche Gruppe G operiere auf der Menge X. Dann gilt
für alle x ∈ X
|G| = |Gx ||G.x| .
Beweis. Die „Bahnabbildung“
ϕx : G → G.x , g → g.x
ist surjektiv. Außerdem ist ϕ−1
x (x) = {g ∈ G : g.x = x} = Gx . Für h ∈ G beobachten wir
−1
h−1 ϕ−1
˜ ∈ G : g˜.x = h.x} = {g ∈ G : (h−1 hg).x} = ϕ−1
x (h.x) = {h g
x (x) .
−1
Insbesondere stellen wir fest, dass |ϕ−1
x (h.x)| = |ϕx (x)|. Damit ist also
|G| =
|ϕ−1
x (y)| =
y∈G.x
Algebra 1
|ϕ−1
x (x)| = |G.x||Gx | .
y∈G.x
6
1.2
Gruppenaktionen
Bemerkung 1.36. Ähnlich wie oben und mit derselben Notation erhalten wir auch
Gh.x = {g ∈ G : (h−1 gh).x = x} = {g ∈ G : h−1 gh ∈ Gx } = hGx h−1 .
Beispiel 1.37. Wir betrachten den endlichen Körper Fp mit p Elementen (wobei p eine
Primzahl ist), den wir als {0, . . . , p − 1} mit Rechenoperationen modulo p interpretieren
können. Wir fragen uns, was die Zahl γm := |GL(m, Fp )| ist. Dazu verwenden wir die
Operation der Gruppe G := GL(m, Fp ) auf Fm
p durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Die
Bahnen dieser Wirkung sind {0} und Fm
\
{0}
und insbesondere ist
p
G.e1 = Fm
p \ {0}
und Ge1 ist die Menge aller Matrizen der Form






1 a2 · · · am

0



.
,
.
B

.
0
wobei B ∈ GL(m − 1, Fp ) und a2 , . . . , am ∈ Fp . Daher ist |Ge1 | = γm−1 pm−1 . Die Bahnformel besagt nun
γm = |G| = |Ge1 ||G.e1 | = pm−1 γm−1 (pm − 1) .
Außerdem ist γ1 = p − 1 leicht einzusehen, womit wir
γm = pm−1 (pm − 1)pm−2 (pm−1 − 1) · · · p(p2 − 1)(p − 1) = p
=p
m(m−1)
2
p
m(m+1)
2
1−
1
1
··· 1 −
m
p
p
erhalten. Insbesondere ist
lim
p→∞
= pm
2
m(m−1)
2
m
1−
i=1
(pm − 1) · · · (p − 1)
1
pi
γm
= 1.
pm2
Es sei nun H eine Untergruppe einer Gruppe G. Dann operiert H auf G durch Linksmultiplikation
H × G → G , (h, g) → hg .
Die Bahn
H.g = Hg = {hg : h ∈ H}
von g ∈ G nennen wir eine Rechtsnebenklasse. Auch operiert H auf G durch
H × G → G , (h, g) → gh−1
und die Bahnen
H.g = gH = {gh−1 : h ∈ H} = {gh : h ∈ H}
unter dieser Operation werden als Linksnebenklassen bezeichnet. Auch definieren wir
G/H := {gH : g ∈ G}
als die Menge aller Linksnebenklassen von H. Ist G/H endlich, so nennen wir
(G : H) := |G/H|
den Index von H in G.
Aus der Bahnformel ergibt sich nun direkt das folgende Resultat.
7
Algebra 1
1
Gruppen
Satz 1.38 (Lagrange). Es sei G eine endliche Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe.
Dann gilt
|G| = (G : H)|H| .
Insbesondere ist die Ordnung einer Untergruppe stets ein Teiler der Gruppenordnung.
Korollar 1.39. Jede endliche Gruppe primer Ordnung ist zyklisch und wird von jedem
von Eins verschiedenen Element erzeugt.
Beweis. Zu 1 = g ∈ G betrachten wir H := g ≤ G. Nach dem Satz von Lagrange ist
|H| ein Teiler von |G|, ist jedoch von Eins verschieden, weshalb |H| = |G| folgt. Damit ist
schließlich G = H = g .
1.3
Normalteiler und Faktorgruppen
Wir wollen nun auf der Menge G/H der Linksnebenklassen einer Untergruppe H von G
eine Gruppenstruktur definieren. Weiter soll G → G/H, g → gH ein Gruppenhomomorphismus sein, wozu wir
g1 H · g2 H = g1 g2 H
für g1 , g2 ∈ G fordern wollen. Dies wäre unproblematisch, wenn H = g2 Hg2−1 für alle
g2 ∈ G gälte. Dann hätten wir nämlich
g1 Hg2 H = g1 g2 Hg2−1 g2 H = g1 g2 HH = g1 g2 H .
Definition 1.40. Eine Untergruppe H einer Gruppe G nennen wir einen Normalteiler
von G, falls für alle g ∈ G
H = gHg −1 , also gH = Hg
gilt. Wir schreiben dann H
G.
Bemerkung 1.41. Eine Untergruppe H kann ein Normalteiler sein, ohne im Zentrum zu
liegen. Es ist nämlich denkbar, dass hg = gh für g ∈ G und h = h ∈ H.
Gilt bereits gHg −1 ⊂ H für alle g, so folgt mit g −1 Hg ⊂ H bereits H ⊂ gHg −1 , also
gHg −1 = H.
Lemma 1.42. Es sei ϕ : G → G ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist ker ϕ ein Normalteiler in G.
Kerne von Homomorphismen sind also Normalteiler.
Beweis. Es sei H := ker ϕ. Für g ∈ G und h ∈ H wollen wir ghg −1 ∈ H zeigen und
beobachten dazu
ϕ(ghg −1 ) = ϕ(g)ϕ(h)ϕ(g −1 ) = ϕ(g)ϕ(g −1 ) = 1 ,
also tatsächlich ghg −1 ∈ ker ϕ = H. Dies zeigt gHg −1 ⊂ H, womit H ein Normalteiler
ist.
Satz 1.43. Es sei G eine Gruppe und H G ein Normalteiler. Dann ist auf G/H eine
Gruppenstruktur definiert, bezüglich welcher
π : G → G/H , g → gH
ein Homomorphismus mit ker π = H ist. Wir nennen G/H auch eine Faktorgruppe.
Algebra 1
8
1.3
Normalteiler und Faktorgruppen
Beweis. Die Multiplikation auf G/H ist mit π(g)π(h) := π(gh), g, h ∈ G, wohldefiniert,
denn
gHhH = ghHh−1 hH = ghHH = ghH .
Das neutrale Element in G/H ist π(1) = 1H = H und für π(g) = 1 ist gH = H, was nur
für g ∈ H gelten kann.
Wir können sogar mehr aussagen.
Satz 1.44 (Universelle Eigenschaft des Gruppenquotienten). Es sei G eine Gruppe und
H
G ein Normalteiler. Weiter sei ϕ : G → G ein Gruppenhomomorphismus mit H ⊂
ker ϕ. Dann existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus ϕ : G/H → G mit ϕ ◦ π =
ϕ, d. h. ϕ(gH) = ϕ(g) für alle g ∈ G.
ϕ
G
π
/G
<
∃!ϕ
G/H
Außerdem ist ϕ genau dann injektiv, wenn H = ker ϕ, und ϕ ist genau dann surjektiv,
wenn ϕ surjektiv ist.
Beweis. Wir definieren ϕ(gH) := ϕ(g), was auch die einzige Möglichkeit zur Definition
von ϕ ist. Um die Wohldefiniertheit von ϕ nachzuweisen, seien g1 , g2 ∈ G mit g1 H = g2 H.
Dann gibt es also ein h ∈ H mit g1 h = g2 , was uns
ϕ(g1 H) = ϕ(g1 ) = ϕ(g1 ) ϕ(h) = ϕ(g1 h) = ϕ(g2 ) = ϕ(g2 H)
=1
liefert.
Weiter zeigen wir, dass ϕ ein Gruppenhomomorphismus ist. Dazu beobachten wir für
g1 , g2 ∈ G
ϕ(g1 g2 H) = ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 )ϕ(g2 ) = ϕ(g1 H)ϕ(g2 H) .
Nun sei H = ker ϕ und es gelte ϕ(gH) = 1. Dann ist also ϕ(g) = ϕ(gH) = 1, was
g ∈ ker ϕ = H liefert und somit gH = H = 1H. Umgekehrt sei ϕ injektiv und es gelte
ϕ(g) = 1. Dann ist 1 = ϕ(g) = ϕ(gH), also gH = H und daher g ∈ H.
Die Aussage über die Surjektivität ist klar.
Korollar 1.45. Ist ϕ : G → G ein Gruppenhomomorphismus, so ist die induzierte Abbildung ϕ : G/ ker ϕ → im ϕ ein Isomorphismus.
Bemerkung 1.46. Offenbar ist in abelschen Gruppen jede Untergruppe ein Normalteiler.
Beispiel 1.47. Für G = Z hat bekanntlich jede Untergruppe die Form nZ, n ∈ Z. Für
m ∈ Z ist dann m + nZ − m = nZ und
Z/nZ = {k + nZ : k = 0, . . . , n − 1}
ist eine Gruppe.
9
Algebra 1
1
Gruppen
Beispiel 1.48. Die alternierende Gruppe An ist ein Normalteiler in Sn , da diese als Kern
An = ker sgn der Signum-Abbildung gegeben ist.
Sn
sgn
/ {−1, 1}
9
Sn /An
Entsprechend ist Sn /An isomorph zu {−1, 1}.
Beispiel 1.49. Es sei G eine zyklische Gruppe mit Erzeuger g. Dann ist
ϕ : Z → G , n → gn
ein surjektiver Homomorphismus. Der Kern ker ϕ wird erzeugt durch ein m ∈ Z, weshalb
G isomorph zu Z/ m ist.
Jede zyklische Gruppe ist also isomorph zu Z oder zu Z/mZ für ein m > 0.
Definition 1.50. Es sei G eine Gruppe. Wir definieren die Ordnung eines Gruppenelements g ∈ G als
∞ falls g ∼
= Z,
ord(g) :=
= | g |.
m falls g ∼
= Z/mZ
Die Ordnung eines Elements g ist (falls sie endlich ist) also die kleinste positive ganze Zahl
n, für welche g n = 1 gilt. Ist sogar G endlich, so ist ord(g) nach dem Satz von Lagrange
ein Teiler von |G|. Insbesondere ist g |G| = 1.
Beispiel 1.51. Wir betrachten G = S5 und g = (123)(45). Dann erhalten wir |G| = 5! = 120
und ord(g) = 6.
1.4
Isomorphiesätze
Satz 1.52 (Erster Isomorphiesatz). Es sei G eine Gruppe mit Normalteilern H, K
so dass K ⊂ H. Dann ist K ein Normalteiler von H und
G,
∼ G/H .
(G/K)/(H/K) =
Beweis. Dass K
G, bedeutet gK = Kg für alle g ∈ G. Somit gilt dies natürlich auch
für alle g ∈ H ⊂ G, was K
H zeigt. Auch existiert nach der universellen Eigenschaft
1.44 ein Homomorphismus ϕ : G/K → G/H, welcher das Diagramm
/ / G/H
;
G
ϕ
G/K
kommutieren lässt. Dieser ist insbesondere surjektiv und für ϕ(gK) = H muss gH = H
und damit g ∈ H gelten, was
ker ϕ = {gK : g ∈ H} = H/K
zeigt. Damit wiederum ist nach Korollar 1.45 (G/K)/(H/K) ∼
= G/H.
Algebra 1
10
1.4
Isomorphiesätze
Satz 1.53. Es sei ϕ : G → G ein surjektiver Gruppenhomomorphismus und H
Normalteiler. Dann ist H := ϕ−1 (H ) G und G/H ∼
= G /H .
G ein
Beweis. Für g ∈ G und h ∈ H ist ϕ(ghg −1 ) = ϕ(g)ϕ(h)ϕ(g −1 ) ∈ H , also gHg −1 ⊂ H,
was H G zeigt. Nun gibt es genau einen Homomorphismus ϕ : G/H → G /H , welcher
das Diagramm
G
ϕ
G/H
ϕ
//G
$ / G /H
kommutieren lässt. Offenbar ist ϕ surjektiv und der Kern der Abbildung von G nach G /H
ist H, woraus
G/H ∼
= G /H
folgt.
Satz 1.54 (Zweiter Isomorphiesatz). Es sei G eine Gruppe mit einem Normalteiler H
und einer Untergruppe K ≤ G. Dann ist H ∩ K K,
G
KH = HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}
ist eine Untergruppe von G und H
HK. Weiterhin gilt
K/(H ∩ K) ∼
= HK/H .
Beweis. (1). Für h ∈ H ∩ K und k ∈ K ist zunächst khk −1 ∈ K, aber auch khk −1 ∈ H,
da H ein Normalteiler ist. Damit ist k(H ∩ K)k −1 ⊂ H ∩ K, was H ∩ K K zeigt.
(2). Zunächst ist kH = Hk für alle k ∈ K ⊂ G, also KH = HK. Damit ist
HK · HK = H(KH)K = H(HK)K = HHKK = HK ,
was HK ≤ G zeigt.
(3). Dass H
HK gilt, ist klar. Wir betrachten nun die Abbildung ϕ : K → HK/H,
welche k auf kH abbildet. Diese ist surjektiv, denn HK/H ist die Menge aller Nebenklassen
hkH, mit h ∈ H und k ∈ K, wobei hkH = Hhk = Hk = kH = ϕ(k). Weiter ist offenbar
ker ϕ = H ∩ K, womit K/(H ∩ K) nach Korollar 1.45 isomorph zu HK/H ist.
11
Algebra 1
2
Die Sätze von Sylow
2
Die Sätze von Sylow
Ist G eine endliche Gruppe, so gilt nach dem Satz von Lagrange, dass für jede Untergruppe
H die Ordnung |H| ein Teiler von |G| ist. Die Umkehrung ist jedoch falsch: Nicht jeder
Teiler der Gruppenordnung ist Ordnung einer Untergruppe.
Beispiel 2.1. Betrachte G = A4 mit der Ordnung |A4 | = 12. Als Übungsaufgabe wird
gezeigt, dass A4 keine Untergruppe der Ordnung Sechs besitzt.
Der erste Sylowsche Satz jedoch wird zeigen, dass die Umkehrung zumindest für diejenigen
Teiler der Gruppenordnung gültig ist, welche eine Primpotenz sind. Zunächst jedoch ist
etwas Vorbereitung nötig.
2.1
Exponent und Klassengleichung
Definition 2.2. Es sei G eine endliche Gruppe. Der Exponent exp(G) von G ist die
kleinste positive ganze Zahl n, welche g n = 1 für alle g ∈ G liefert.
Beispiel 2.3. Wir betrachten die alternierende Gruppe G = A4 , welche aus Dreierzykeln,
Produkten disjunkter Zykel und der Identität besteht. Der Exponent von A4 ist damit
exp(A4 ) = 6.
Lemma 2.4. Es sei G eine endliche Gruppe.
(i) Der Exponent exp(G) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen ord(g)
aller Gruppenelemente g ∈ G.
(ii) Der Exponent exp(G) ist ein Teiler der Gruppenordnung |G|.
(iii) Ist G zyklisch, so gilt exp(G) = |G|.
(iv) Für alle Untergruppen H ≤ G gilt exp(H)| exp(G).
(v) Ist H ein Normalteiler, so gilt sogar exp(G/H)| exp(G).
Beweis. (i). Für g ∈ G gilt g exp(G) = 1, womit bereits ord(g)| exp(G) folgt. Ist umgekehrt
n ∈ N so gegeben, dass ord(g)|n für alle g ∈ G gilt, so ist g n = 1 für alle g ∈ G. Damit ist
exp(G) ≤ n.
(ii). Zunächst ist ord(g) für alle g ∈ G ein Teiler von |G| und so auch exp(G) als kleinstes
gemeinsames Vielfache.
(iii). Klar.
(iv). Auch klar.
(v). Es sei π : G → G/H der kanonische Homomorphismus. Da g exp(G) = 1 für alle g ∈ G
gilt, folgt auch ϕ(g)exp(G) = 1, also exp(G/H)| exp(G).
Lemma 2.5. Ist G eine endliche, abelsche Gruppe, so gibt es ein k ∈ N, für welches |G|
ein Teiler von exp(G)k ist.
Dies besagt, dass jeder Primfaktor von |G| auch Primfaktor von exp(G) ist.
Beweis. Wir führen den Beweis mittels Induktion nach |G|. Für |G| = 1 ist die Aussage
trivial.
Algebra 1
12
2.1
Exponent und Klassengleichung
Ist |G| > 1, nehmen wir o. B. d. A. an, dass G nicht zyklisch ist. Es sei nun g ∈ G von Eins
verschieden und H := g ist ein Normalteiler, da G abelsch ist. Dann ist H = G und es
gilt |G/H| < |G|. Nach Induktionsvoraussetzung gebe es k1 , k2 ∈ N, so dass |H| ein Teiler
von exp(H)k1 und |G/H| ein Teiler von exp(G/H)k2 ist. Das vorige Lemma liefert, dass
|H| ein Teiler von exp(G)k1 und |G/H| ein Teiler von exp(G)k2 ist. Mit |G| = |H||G/H|
erhalten wir, dass |G| ein Teiler von exp(G)k1 +k2 ist.
Korollar 2.6. Es sei G eine endliche, abelsche Gruppe und die Primzahl p Teiler der
Gruppenordnung |G|. Dann hat G eine Untergruppe der Ordnung p.
Beweis. Nach dem obigen Lemma ist p auch ein Teiler von exp(G), es existiert daher ein
g ∈ G mit p| ord(g). Für ord(g) = pk, k ∈ N, ist also ord(g k ) = p, womit die Untergruppe
g k Ordnung p hat.
Wir kommen nun zur Klassengleichung. Dazu sei G eine endliche Gruppe. Diese operiert
bekanntlich auf sich selbst durch Konjugation
G × G → G , (g, x) → gxg −1
und die Bahn eines Elements x ∈ G nennen wir die Konjugationsklasse Kx von x. Den
Stabilisator von x unter diese Operation nennen wir auch den Zentralisator und schreiben
dafür
Zx := {g ∈ G : gxg −1 = x} .
Die Bahnformel 1.35 besagt nun
|Kx | =
|G|
= (G : Zx ) .
|Zx |
Insbesondere gilt genau dann |Kx | = 1, wenn G = Zx , wenn also x im Zentrum Z(G)
liegt. Die Konjugationsklassen bilden außerdem eine Partition von G und bezeichnen wir
die nichttrivialen Konjugationsklassen mit Kxi , i = 1, . . . , n, so erhalten wir
n
G = Z(G) ∪ Kx1 ∪ · · · ∪ Kxn =
{x} ∪
x∈Z(G)
Kxi ,
i=1
was uns die Klassengleichung
n
|G| = |Z(G)| +
(G : Zxi )
i=1
liefert.
Definition 2.7. Eine Gruppe G heißt p-Gruppe, falls p eine Primzahl ist und die Ordnung
von G eine Potenz von p ist, also |G| = pk für ein k ∈ N.
Korollar 2.8. Ist G eine p-Gruppe und |G| > 1, so ist Z(G) = {e}.
Beweis. Betrachten wir die Klassengleichung
n
|G| = |Z(G)| +
(G : Zxi ) ,
i=1
so stellen wir fest, dass alle Indizes (G : Zxi ) Teiler von pk und mit (G : Zxi ) > 1 tatsächlich
ein Vielfaches von p. Daher muss auch |Z(G)| ein Vielfaches von p sein.
13
Algebra 1
2
Die Sätze von Sylow
Nachdem wir bereits wissen, dass Gruppen primer Ordnung abelsch und sogar zyklisch
sind, kommen wir zu folgendem Resultat.
Korollar 2.9. Jede p-Gruppe G der Ordnung |G| = p2 ist abelsch.
Beweis. Da G eine p-Gruppe ist, gilt zumindest |Z(G)| > 1. Ist |Z(G)| = p2 , so ist die
Behauptung mit Z(G) = G bewiesen. Wäre jedoch |Z(G)| = p, so würde mit |G/Z(G)| = p
folgen, dass G/Z(G) zyklisch ist und mit einer Übungsaufgabe würde nun folgen, dass
G = Z(G) abelsch ist.
2.2
Sylowsche Sätze
Wir untersuchen nun die p-Untergruppen endlicher Gruppen. (also Untergruppen, welche
p-Gruppen sind)
Satz 2.10 (Erster Sylowscher Satz). Es sei G eine endliche Gruppe und pk ein Teiler von
|G|, wobei p eine Primzahl sei. Dann existiert eine Untergruppe von G der Ordnung pk .
Beweis. Wir beweisen den Satz durch Induktion nach |G|. Für |G| = 1 ist die Behauptung
trivial. Ist nun pk , k > 0, ein Teiler der Gruppenordnung |G|, so unterscheiden wir zwei
Fälle:
Im ersten Fall ist p kein Teiler von |Z(G)|, weshalb es aufgrund der Klassengleichung ein
xi ∈ G geben muss, für welches p auch kein Teiler von (G : Zxi ) > 1 ist. Aus |G| = |Zxi |(G :
Zxi ) folgt dann, dass pk ein Teiler von |Zxi | < |G| ist. Gibt es nach Induktionsvoraussetzung
eine Untergruppe H von Zxi der Ordnung pk , so ist H ebenso eine Untergruppe von G
der Ordnung pk .
Im zweiten Fall ist p ein Teiler von |Z(G)|. Korollar 2.6 liefert die Existenz einer Untergruppe H ≤ Z(G) der Ordnung p. Da H im Zentrum liegt, ist H auch ein Normalteiler
von G und wir erhalten |G| = |H||G/H|. Nun ist pk−1 ein Teiler der Ordnung der Gruppe
G/H, welche nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe K ≤ G/H der Ordnung
pk−1 besitze. Ist π : G → G/H die kanonische Projektion, so setzen wir L := π −1 (K) ≤ G.
Dann ist L/H isomorph zu K, also |L/H| = |K| = pk−1 , was |L| = |H||L/H| = ppk−1 = pk
liefert.
Beispiel 2.11. Wir betrachten die alternierende Gruppe G = A4 der Ordnung |A4 | = 4·3 =
22 · 3. Nach dem ersten Sylowschen Satz 2.10 hat A4 eine Untergruppe der Ordnung Vier.
Eine solche ist die Kleinsche Vierergruppe
K := id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) ,
wie man leicht überprüft.
Wir fragen uns, ob K die einzige solche Untergruppe ist. Zu einer allgemeinen Überlegung
sei g ∈ G und wir betrachten den Gruppenautomorphismus
Kg : G → G , x → gxg −1 ,
also die Konjugation mit g. Ist H nun eine Untergruppe von G, so ist Kg (H) ebenfalls eine
Untergruppe und isomorph zu H. Bevor wir darauf zurückkommen, geben wir folgende
Definition an.
Algebra 1
14
2.2
Sylowsche Sätze
Definition 2.12. Es sei G eine endliche Gruppe der Ordnung |G| = pm a, wobei p kein
Teiler von a ist und m > 0. Diejenigen Untergruppen von G der Ordnung pm nennen wir
p-Sylow-Untergruppen von G.
Eine p-Sylow-Untergruppe ist also gewissermaßen eine maximale p-Untergruppe.
Bemerkung 2.13. Nach dem ersten Sylowschen Satz 2.10 existieren p-Sylow-Untergruppen.
Beispiel 2.14. Die Kleinsche Vierergruppe ist eine 2-Sylow-Untergruppe der alternierenden
Gruppe A4 .
Bemerkung 2.15. Ist S eine p-Sylow-Untergruppe und g ∈ G, so ist auch gSg −1 = Kg (S)
eine p-Sylow-Untergruppe.
Lemma 2.16. Es sei G eine endliche Gruppe, S ≤ G eine p-Sylow-Untergruppe und
H ≤ G eine p-Untergruppe. Dann existiert ein g ∈ G, so dass H ≤ gSg −1 .
Beweis. Die Untergruppe H operiert auf der Menge G/S = {gS : g ∈ G} der Linksnebenklassen durch Linksmultiplikation: h.gS = (hg)S. Weiter bezeichne B(gS) ⊂ G/S die
Bahn von gS unter dieser Operation. Dann ist |B(gS)| ein Teiler von |H|, was eine Potenz
von p ist. Es ist also entweder |B(gS)| = 1 oder |B(gS)| ein Vielfaches von p.
Zunächst sei |B(gS)| = 1 für ein g ∈ G, also B(gS) = {gS}. Dann gilt für alle h ∈ H
die Gleichheit hgS = gS, also hg ∈ gS, was wiederum h ∈ gSg −1 bedeutet. Dies zeigt
H ≤ gSg −1 .
Wir zeigen nun, dass tatsächlich stets ein g ∈ G mit |B(gS)| = 1 existiert. Dazu sei
|G| = pm a, wobei p kein Teiler von a sei. Dann ist
|G/S| = (G : S) =
|G|
= a.
|S|
Die Betrachung der Bahnpartition zeigt, dass es ein g ∈ G geben muss, für welches |B(gS)|
kein Vielfaches von p ist.
Korollar 2.17 (Zweiter Sylowscher Satz). Es sei G eine endliche Gruppe, deren Ordnung
ein Vielfaches von p sei. Dann ist jede p-Untergruppe von G in einer p-Sylow-Untergruppe
enthalten. Weiter sind alle p-Sylow-Untergruppen konjugiert zueinander.
Außerdem erfüllt die Anzahl sp der p-Sylow-Untergruppen die Relationen sp ||G| und sp ≡ 1
mod p.
Die beiden genannten Relationen werden nach dem folgenden Lemma bewiesen.
Lemma 2.18. Es seien S und S zwei p-Sylow-Untergruppen von G. Ist S im Normalisator
NG (S ) := {g ∈ G : gS g −1 = S }
von S in G enthalten, so ist bereits S = S .
Beweis. Nach Definition des Normalisators ist S
NG (S ) und aus S ≤ NG (S ) erhalten
wir mit dem zweiten Isomorphiesatz 1.54 SS ≤ NG (S ) und
SS /S ∼
= S/(S ∩ S) .
Insbesondere ist |SS /S | = |S/(S ∩ S)| eine p-Potenz, womit dies auch für |S S| =
|S S/S | · |S | gilt. Da außerdem S ≤ S S gilt und S eine p-Sylow-Untergruppe ist (also
maximal), folgt S = S S. Analog zeigt man S = S S, was S = S S = S zeigt.
15
Algebra 1
2
Die Sätze von Sylow
Wir beweisen nun die Relationen für sp , welche wir in Korollar 2.17 behauptet haben.
Beweis. Die Gruppe G operiert auf der Menge Sp der p-Sylow-Untergruppen transitiv
durch Konjugation. Nach der Bahnformel zeigt dies bereits, dass sp ein Teiler von |G| ist.
Weiter sei S ∈ Sp . Wir betrachten nun die Operation von S auf Sp durch Konjugation.
Dazu bezeichnen wir mit B(S ) die Bahn von S ∈ Sp bezüglich dieser Operation. Klar
ist, dass B(S) = {S}, also |B(S)| = 1. Allgemeiner ist |B(S )|, S ∈ Sp , ein Teiler von |S|,
weshalb |B(S )| eine p-Potenz ist.
Wir nehmen zuerst |B(S )| = 1 an. Dann ist B(S ) = {S }, also gS g −1 = S für alle g ∈ S.
Dies wiederum zeigt S ⊂ NG (S ), woraus wir mit Lemma 2.18 S = S erhalten.
Alle von B(S) verschiedenen Bahnen können daher nicht nur ein Element enthalten. Die
Bahnzerlegung
B(S )
Sp = {S} ∪
S =S
ergibt
sp = |Sp | = 1 + kp
für irgendein k ∈ N.
Bemerkung 2.19. Ist |G| = pm a, m > 0 und a kein Vielfaches von p, so teilt die Anzahl sp
der p-Sylow-Untergruppen von G nicht nur |G|, sondern sogar a. Mit sp ≡ 1 mod p kann
p nämlich kein Teiler von sp sein.
Beispiel 2.20. Wir betrachten die alternierende Gruppe G = A4 der Ordnung |A4 | = 22 · 3.
Mit (123) finden wir eine 3-Sylow-Untergruppe und alle anderen sind zu dieser konjugiert,
womit wir
S3 = (123) , (124) , (134) , (234) }
erhalten. Und tatsächlich ist |S3 | = 4 ein Teiler der Gruppenordnung 12 und es gilt 4 ≡ 1
mod 3.
Weiterhin ist die bereits bekannte Kleinsche Vierergruppe eine 2-Sylow-Untergruppe. Diese
ist ein Normalteiler, weshalb sie die einzige solche sein muss.
2.3
Anwendungen
Definition 2.21. Eine Gruppe G heißt einfach, wenn G nicht die triviale Gruppe {e} ist
und falls es außer {e} und G selbst keine weiteren Normalteiler in G gibt.
Lemma 2.22. Eine abelsche endliche Gruppe G ist genau dann einfach, wenn |G| prim
ist.
Beweis. Die Rückrichtung ist klar. Für „⇒“ sei G einfach und p ein Teiler von |G|. Nach
Korollar 2.6 existiert eine Untergruppe H ≤ G der Ordnung p. Diese ist ein Normalteiler,
da G abelsch ist. Als einfache Gruppe muss G damit gleich H sein, was |G| = p zeigt.
Beispiel 2.23. Die alternierende Gruppe A3 ist einfach, da |A3 | = 3. Die alternierende
Gruppe A4 jedoch ist nicht einfach, da sie mit der Kleinschen Vierergruppe einen nichttrivialen Normalteiler besitzt. Später werden wir beweisen, dass An für n ≥ 5 jedoch stets
einfach ist.
Auch die symmetrische Gruppe Sn ist nicht einfach, da sie die alternierende Gruppe An
als Normalteiler besitzt.
Algebra 1
16
2.3
Anwendungen
Bemerkung 2.24. Ist H eine p-Sylow-Untergruppe von G, so ist H genau dann ein Normalteiler H G, wenn H die einzige p-Sylow-Untergruppe von G ist, d. h. sp = 1.
Beispiel 2.25. Es seien p < q zwei Primzahlen. Dann enthält jede Gruppe G der Ordnung
pq einen Normalteiler der Ordnung q und ist insbesondere nicht einfach.
Beweis. Um sq = 1 zu zeigen, wollen wir den zweiten Sylowschen Satz 2.17 verwenden,
welcher uns sq ≡ 1 mod q und sq |p liefert. Es muss also entweder sq = 1 oder sq = p
gelten. Wegen p < q jedoch ist p ≡ 1 mod q unmöglich, weshalb tatsächlich sq = 1 gelten
muss und die einzige q-Sylow-Untergruppe ein Normalteiler ist.
Beispiel 2.26. Auch jede Gruppe der Ordnung 40 ist nicht einfach, enthält nämlich einen
Normalteiler der Ordnung 5.
Beweis. Auch hier wollen wir s5 = 1 zeigen. Aus s5 |8 erhalten wir s5 ∈ {1, 2, 4, 8} und aus
s5 ≡ 1 mod 5 wiederum s5 ∈ {1, 6, 11, . . . }, was schließlich nur s5 = 1 zulässt.
Beispiel 2.27 (Diedergruppen). Wir betrachten ein regelmäßiges n-Eck. Die Diedergruppe
Dn definieren wir als die Gruppe aller Drehungen und Spiegelungen welche dieses regelmäßige n-Eck auf sich selbst abbilden. Dabei bezeichnen wir mit d ∈ Dn die Drehung
um 2π
n (gegen den Uhrzeigersinn) und mit s ∈ Dn die Spiegelung an einer fest gewählten
Symmetrieachse. Alle weiteren Drehungen in Dn erhalten wir als Potenzen di von d, alle
weiteren Spiegelungen als Produkte di s einer Drehung und der Spiegelung s, wobei jeweils
i = 1, . . . , n − 1, wie wir es für den Fall n = 5 veranschaulichen:
s
ds
d2 s
d3 s
d4 s
Die Diedergruppe Dn können wir also als
Dn = {e, d, d2 , . . . , dn−1 , s, ds, . . . , dn−1 s}
darstellen. Insbesondere hat Dn die Ordnung |Dn | = 2n. Weiter bemerken wir dn = e,
s2 = e (also s = s−1 ) und sds = d−1 .
Die zyklische Untergruppe Cn = d = {e, d, . . . , dn−1 } ist ein Normalteiler mit (Dn :
Cn ) = 2, da sdi s−1 = sdi s = (sds)i = d−i .
Bemerkung 2.28. Die Diedergruppe D2 = {e, d, s, sd} ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Für n ≥ 3 ist Dn jedoch nicht abelsch, was wir mit sds = d−1 = ssd = d einsehen.
Aus d = d−1 würde mit d2 = e nämlich n|2 folgen.
17
Algebra 1
2
Die Sätze von Sylow
Satz 2.29. Es sei G eine Gruppe der Ordnung |G| = pq, wobei p < q zwei Primzahlen
seien. Dann gilt entweder G ∼
= Zpq oder aber es gibt s, d ∈ G mit ord(s) = p und ord(d) =
q, so dass
ds = sdr ,
wobei 2 ≤ r ≤ q − 1, p|q − 1 und q|(rp − 1).
Bevor wir diesen Satz beweisen, geben wir eine Folgerung an.
Korollar 2.30. Ist in obiger Situation p kein Teiler von q − 1, so muss G ∼
= Zpq sein.
Dies trifft z. B. auf Gruppen der Ordnung 15 zu, welche somit stets zyklisch sind.
Korollar 2.31. Es gelte |G| = 2q, wobei q > 2 eine Primzahl sei. Dann ist G entweder
isomorph zu Z2q oder zur Diedergruppe Dq .
Beweis. Wir wollen zeigen, dass im zweiten Fall des obigen Satzes G isomorph zur Diedergruppe Dq ist. In diesem zweiten Fall ist r2 − 1 = (r + 1)(r − 1) ≡ 0 mod q, also entweder
r ≡ 1 mod q oder r ≡ −1 mod q. Mit 2 ≤ r ≤ q − 1 bleibt nur r = q − 1 ≡ −1 möglich,
was die Relation ds = sd−1 der Diedergruppe liefert.
Wir kommen nun zum Beweis des verwendeten Satzes.
Beweis von Satz 2.29. Es sei H G die nach Beispiel 2.25 eindeutig bestimmte q-SylowUntergruppe von G. Als Gruppe primer Ordnung |H| = q ist H zyklisch mit einem Erzeuger d ∈ H, welcher also H = d und ord(d) = q erfüllt. Weiter ist entweder sp = 1 oder
sp = q.
Wir betrachten den ersten Fall sp = 1. Dann sei K G die ebenfalls eindeutig bestimmte
p-Sylow-Untergruppe von G. Wir haben wieder einen Erzeuger s ∈ K der Ordnung p. Da
|H ∩ K| ein gemeinsamer Teiler von p und q ist, muss H ∩ K = {e} sein. Außerdem ist
(sds−1 ) d−1 = s (ds−1 d−1 ) ∈ H ∩ K = {e} ,
∈H
∈K
also sd = ds. Wir wählen nun i so, dass (sd)i = e. Dann erhalten wir si = d−i ∈ H ∩ K,
also si = d−i = e. Insbesondere sind p = ord(s) und q = ord(d) Teiler von i. Mit pq|i zeigt
dies ord(sd) = pq, also G = sd ∼
= Zpq .
Wir betrachten nun den zweiten Fall sp = q. Es sei K eine p-Sylow-Untergruppe von G, zu
welcher wir wieder einen Erzeuger s ∈ K der Ordnung p finden und für welche wir wieder
H ∩ K = {e} erhalten. Weiterhin ergibt sich
HK/H ∼
= K/(H ∩ K) ∼
=K
und daher |HK| = |HK/H||H| = |K||H| = pq = |G|, was HK = G zeigt. Da außerdem
H ein Normalteiler ist, gibt es ein r ∈ {1, . . . , q − 1}, für welches s−1 ds = dr gilt. Den
Fall r = 1 haben wir oben bereits behandelt und nehmen nun r ≥ 2 an. Wir erhalten
2
insbesondere s−1 di s = (s−1 ds)i = dri , also auch s−2 ds2 = s−1 (s−1 ds)s = s−1 dr s = dr .
p
Wegen sp = e ergibt sich nun d = s−p dsp = dr , was rp ≡ 1 mod q zeigt, denn q ist die
Ordnung von d.
Algebra 1
18
3
Fortführung der Gruppentheorie
3.1
Direkte Produkte
Wir erinnern an die Konstruktion des externen direkten Produkts vor Bemerkung 1.22.
Sind G1 , . . . , Gr Gruppen, so betrachten wir die Gruppe
G := G1 × · · · × Gr .
Außerdem setzen wir
Gi := {e} × · · · × {e} × Gi × {e} × · · · × {e} .
Dann ist Gi isomorph zu Gi und ein Normalteiler von G. Außerdem gilt gi gj = gj gi für
alle gi ∈ Gi und gj ∈ Gj mit i = j.
Wir wollen uns nun umgekehrt damit befassen, wann eine Gruppe G isomorph zu einem
direkten Produkt G1 × · · · × Gr von Normalteilern Gi G ist.
Lemma 3.1. Es sei G eine Gruppe, H
G und K ≤ G.
(i) Dann ist HK = KH ≤ G.
(ii) Ist auch K
G und H ∩ K = {e}, so ist hk = kh für alle h ∈ H und k ∈ K.
Beweis. (i). Für k ∈ K gilt Hk = kH, also HK = KH. Damit ist
(HK)(HK) = (HK)(KH) = HKH = H(KH) = H(HK) = HK .
Da für h ∈ H und k ∈ K auch (hk)−1 = k −1 h−1 ∈ KH = HK ist, folgt HK ≤ G.
(ii). Für h ∈ H und k ∈ K ist hkh−1 ∈ K und kh−1 k −1 ∈ H, also
(hkh−1 )k −1 ∈ K
und h(kh−1 k −1 ) ∈ H .
Dies zeigt hkh−1 k −1 ∈ K ∩ H, womit hkh−1 k −1 = e gelten muss, d. h. hk = kh.
Definition 3.2. Es seien G1 , . . . , Gr Normalteiler einer Gruppe G. Dann heißt G internes
direktes Produkt von G1 , . . . , Gr , falls die Abbildung
ϕ : G1 × · · · × Gr → G , (g1 , . . . , gr ) → g1 · · · gr
(3.1)
ein Gruppenisomorphismus ist.
Lemma 3.3. Für Normalteiler G1 , . . . , Gr einer Gruppe G sind die folgenden Aussagen
äquivalent:
(i) Die Gruppe G ist internes direktes Produkt von G1 , . . . , Gr .
(ii) Es gilt
G = G1 · · · Gr := g1 · · · gr : gi ∈ Gi
und für alle i = 1, . . . , r ist G1 · · · Gi−1 ∩ Gi = {e}.
19
Algebra 1
3
Fortführung der Gruppentheorie
Beweis. (i)⇒(ii). Die Gleichheit G = G1 · · · Gr erhalten wir direkt aus der Surjektivität
von ϕ aus (3.1). Für ein i ∈ {1, . . . , r} gelte nun g1 · · · gi−1 = gi , wobei gj ∈ Gj . Um zu
zeigen, dass dann gi = e, beobachten wir g1 · · · gi−1 gi−1 = e, woraus wir aus der Injektivität
von ϕ tatsächlich g1 = . . . = gi−1 = gi = e erhalten. Dies zeigt G1 · · · Gi−1 ∩ Gi = {e}.
(ii)⇒(i). Zunächst ist ϕ nach Lemma 3.1 ein Gruppenhomomorphismus. Die Surjektivität
erhalten wir aus G = G1 · · · Gr . Um Injektivität nachzuweisen, nehmen wir ϕ(g1 , . . . , gr ) =
g1 · · · gr = e an. Insbesondere ist nun
g1 · · · gr−1 = gr−1 ∈ G1 · · · Gr−1 ∩ Gr = {e} ,
also gr = e und g1 · · · gr−1 = e. Induktiv erhalten wir g1 = . . . = gr−1 = gr = e.
Bemerkung 3.4. Ein externes Produkt G := G1 × · · · × Gr ist internes Produkt der Normalteiler
Gi := {e} × · · · × {e} × Gi × {e} × · · · × {e} G .
Bemerkung 3.5. Für abelsche bzw. additiv geschriebene Gruppen bezeichnen wir die direkte Summe von Gi , i = 1, . . . , r, mit
r
G = ⊕ Gi .
i=1
Anstelle von G1 · · · Gr schreiben wir G1 + · · · + Gr .
3.2
Semidirekte Produkte
Definition 3.6. Es sei G eine Gruppe, N
G ein Normalteiler und H ≤ G eine Untergruppe. Dann heißt G (internes) semidirektes Produkt von N und H, falls G = N H und
N ∩ H = {e}.
Ist dies der Fall, so operiert H auf N durch Konjugation:
H × N → N , (h, n) → hnh−1 .
Der zugehörige Gruppenhomomorphismus ist
ρ : H → Aut(N ) , ρ(h)(n) := hnh−1 .
Abbildung 1: Eine Merkhilfe?
Beispiel 3.7. Wir wählen G = Sn , N = An und H = (1, 2) = {e, (1, 2)}. Dann ist
Sn = An H = An ∪ {π(1, 2) : π ∈ An }
und An ∩ H = {e}.
Algebra 1
20
3.2
Semidirekte Produkte
∼ Zn und H = s ∼
Beispiel 3.8. Wir betrachten G = Dn , N = d =
= Z2 . Dann ist
Dn = N H = di : i ≤ n ∪ di s : i ≤ n
und N ∩ H = {e}. Hierbei ist ρ : H → Aut(N ) dadurch gegeben, dass
ρ(e) = idN
und
ρ(s) : N → N , d → sds = d−1 .
Wir erinnern auch an die Situation, in der wir eine Gruppe G der Ordnung |G| = pq
betrachteten, wobei p < q Primzahlen sind. In diesem Fall ist entweder G ∼
= Zpq oder
es ist G = s, d mit ord(s) = p und ord(d) = q mit ds = sdr , r ∈ Z. Wir behaupten,
dass in letzterem Fall ein semidirektes Produkt vorliegt. Dabei wählen wir N := d als
Normalteiler. Dass tatsächlich N
G folgt dabei aus sq = 1, also daraus, dass N die
einzige p-Sylow-Untergruppe von G ist. Mit H := s überprüfen wir leicht G = N H und
N ∩ H = {e}, dass also G tatsächlich das semidirekte Produkt von N und G ist.
Wir wollen nun zeigen, wie sich ein semidirektes Produkt G = N H eindeutig bis auf
Isomorphie aus den beteiligten Untergruppen N und H und dem zugehörigen Gruppenhomomorphismus ρ : H → Aut(N ) konstruieren lässt. Dazu zeigen wir, dass die Gruppenstruktur auf G = N H eindeutig durch N , H und ρ bestimmt ist. Sind nämlich n1 h1 ∈ N H
und n2 h2 ∈ N H, so können wir das Produkt (n1 h1 )(n2 h2 ) darstellen, ohne auf die Multiplikation in G zurückgreifen zu müssen, indem wir
−1
(n1 h1 )(n2 h2 ) = n1 h1 n2 h−1
1 h1 h2 = n1 (h1 n2 h1 )h1 h2 = n1 ρ(h1 )(n2 ) h1 h2
∈N
(3.2)
∈H
beobachten. Da wir also das semidirekte Produkt N H von N und H mit zugehörigem
Gruppenhomomorphismus ρ : H → Aut(N ) ohne Verwendung von G darstellen können,
kann uns dies Motivation sein, semidirekte Produkte von beliebigen Gruppen zu bilden,
die nicht in einer gemeinsamen Obergruppe G enthalten sind (welche wir für die Gruppenstruktur auf N H nicht benötigen).
Definition 3.9. Es seien N und H zwei Gruppen und ρ : H → Aut(N ) ein Gruppenhomomorphismus. Dann definieren wir auf dem kartesischen Produkt N × H die durch (3.2)
inspirierte Multiplikation
(n1 , h1 )(n2 , h2 ) := n1 ρ(h1 )(n2 ), h1 h2 .
So entsteht auf N × H eine Gruppenstruktur (Übung) und wir bezeichnen die entstandene
Gruppe mit N ρ H und nennen sie das (externe) semidirekte Produkt von N und H.
Dass diese Bezeichnung tatsächlich sinnvoll ist, zeigt das folgende Lemma.
Lemma 3.10. Es seien N und H zwei Gruppen und ρ : H → Aut(N ) ein Gruppenhomomorphismus. Wir setzen G := N ρ H, N := N × {e} und H := {e} × H. Dann gelten
die folgenden Aussagen.
(i) Es ist N
G ein Normalteiler von G.
(ii) Es ist H ≤ G eine Untergruppe von G.
(iii) Es gilt G = N H .
21
Algebra 1
3
Fortführung der Gruppentheorie
(iv) Der Schnitt N ∩ H = {(e, e)} von N und H ist trivial.
Mit anderen Worten ist also das externe semidirekte Produkt von N und H das interne
semidirekte Produkt von N und H .
Beweis. Die Aussagen (ii) und (iv) sind nach Definition von N und H klar, ebenso die
Untergruppeneigenschaft von N , denn für n1 , n2 ∈ N ist
(n1 , e)(n2 , e) = (n1 ρ(e)(n2 ), ee) = (n1 id(n2 ), e) = (n1 n2 , e) .
Für (iii) beobachten wir, dass wir (n, h) ∈ G stets als Produkt
(n, e)(e, h) = (nρ(e)(e), eh) = (n, h)
darstellen können.
Um nun zu zeigen, dass N nicht nur Untergruppe, sondern sogar Normalteiler von G ist,
bemerken wir zunächst, dass wir nach (iii) jedes g ∈ G als g = n h mit n = (n, e) ∈ N und
h = (e, h) ∈ H schreiben können. Dann ist wegen (n h )−1 = (h )−1 (n )−1 die Konjugation
mit n h dasselbe wie die Konjugation mit h gefolgt von einer Konjugation mit n . Da
letztere offenbar die Untergruppe N invariant lässt, bleibt es zu zeigen, dass auch die
Konjugation mit h die Untergruppe N invariant lässt. Um wiederum dies nachzuweisen,
beobachten wir zunächst (e, h)−1 = (e, h−1 ) und damit
(e, h)(n, e)(e, h)−1 = (e, h)(n, e)(e, h−1 ) = eρ(h)(n), he (e, h−1 ) = ρ(h)(n), h (e, h−1 )
= ρ(h)(n)ρ(h)(e), hh−1 = ρ(h)(n), e ∈ N .
Auch interne semidirekte Produkte können wir als externe semidirekte Produkte auffassen.
Satz 3.11. Es sei G internes semidirektes Produkt von N
G und H ≤ G. Definieren
−1
wir ρ : H → Aut(N ) durch die Konjugation ρ(h)(n) := hnh , so sind N ρ H und G auf
kanonische Weise isomorph, es ist nämlich
N
ρ
H → G , (n, h) → nh
ein Gruppenisomorphismus. Weiterhin ist G/N isomorph zu H.
Beweis. Dass die genannte Abbildung ein Homomorphismus ist, ergibt sich aus der Gleichung (3.2) für die Multiplikation in G, nach welcher wir nämlich die Multiplikation in
N ρ H definiert haben.
Die Injektivität ergibt sich durch N ∩ H = {e} und die Surjektivität durch G = N H, was
gerade die Definition eines internen semidirekten Produktes ist.
Weiterhin bemerken wir, dass die Abbildung G → H, welche nh auf h abbildet ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist, dessen Kern gerade N ist, womit schließlich auch
G/N = H folgt.
Beispiel 3.12. Wir greifen Beispiel 3.8 auf und setzen N := d
Dn und H := s ≤ Dn ,
so dass Dn das semidirekte Produkt von N und H ist. Mit dem zugehörigen Gruppenhomomorphismus (ρ(s)(di ) = d−i ), N ∼
= Zn und H ∼
= Z2 ist also die Diedergruppe Dn
isomorph zum semidirekten Produkt Zn ρ Z2 der zyklischen Gruppen Zn und Z2 .
Algebra 1
22
3.3
3.3
Auflösbare Gruppen
Auflösbare Gruppen
Definition 3.13. Es sei G eine Gruppe. Eine Kette
G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gr = {e}
heißt Normalreihe von G, falls Gi+1 stets ein Normalteiler von Gi ist, wobei i = 0, . . . , r −
1. Eine Gruppe Gi /Gi+1 heißt Faktor der Normalreihe und die Zahl r heißt Länge der
Normalreihe.
Definition 3.14. Eine Gruppe G heißt auflösbar, falls sie eine Normalreihe mit abelschen
Faktoren besitzt.
Ein Beispiel für auflösbare Gruppen liefert der folgende Satz.
Lemma 3.15. Jede p-Gruppe ist auflösbar. Genauer: Es sei G eine Gruppe der Ordnung
|G| = pr , wobei p eine Primzahl sei. Dann existiert eine Normalreihe
G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gr = {e} ,
so dass |Gi /Gi+1 | = p für alle i = 0, . . . , r − 1. Die Faktoren sind also zyklisch (und damit
abelsch) von der Ordnung p.
Beweis. Wir führen eine Induktion über r durch. Der Induktionsanfang für r = 0 ist leicht,
denn dann ist G die triviale Gruppe.
Ansonsten wissen wir, dass |Z(G)| > 1 ist und wir eine Untergruppe H ≤ Z(G) der
Ordnung |H| = p wählen können. Dann ist H sogar ein Normalteiler und G/H eine
Gruppe der Ordnung pr−1 . Finden wir eine Normalreihe
G/H = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gr−1 = {e}
mit Faktoren der Ordnung p, so bezeichnen wir mit π : G → G/H den kanonischen Homomorphismus und setzen Gi := π −1 (Gi ), um eine Normalreihe
G = G0 ≥ G1 ≥ . . . Gr−1 = H ≥ Gr = {e}
zu erhalten, deren Faktoren Gi /Gi+1 ≈ Gi /Gi+1 (Isomorphiesatz) die Ordnung p haben.
Offenbar sind auch alle abelschen Gruppen auflösbar. Für einfache Gruppen gilt sogar die
Umkehrung:
Bemerkung 3.16. Einfache Gruppen sind genau dann auflösbar, wenn sie abelsch sind.
Satz 3.17. Für n ≥ 5 ist die alternierende Gruppe An einfach (und damit nicht auflösbar).
Für den Beweis dieses Satzes benötigen wir zwei Lemmata, zu deren ersterem der Beweis
eine Übungsaufgabe ist.
Lemma 3.18. Für n ≥ 3 wird An von den Zykeln der Länge Drei erzeugt.
Lemma 3.19. Ist N An ein Normalteiler der alternierenden Gruppe für n ≥ 3 und ist
(123) ∈ N , so ist N = An .
23
Algebra 1
3
Fortführung der Gruppentheorie
Beweis. Nach dem soeben unbewiesenen Lemma brauchen wir nur zu zeigen, dass N alle
Zykel der Länge Drei enthält. Sind also i, j, k ∈ {1, . . . , n} paarweise verschieden, so wollen
wir zeigen, dass N den Zykel (ijk) enthält. Dazu sei σ ∈ Sn derart, dass σ(1) = i, σ(2) = j
und σ(3) = k. Ist sogar σ ∈ An , so ist bereits
σ(123)σ −1 = σ(1)σ(2)σ(3) = (ijk) ∈ N .
Ist dies hingegen nicht der Fall, so ist jedoch σ(12) ∈ An und mit (12)−1 = (12) beobachten
wir
σ(12)(123)(12)σ −1 = σ(132)σ −1 = σ(1)σ(3)σ(2) = (ikj) ∈ N .
Jedoch ist mit (ikj) auch der Zykel (ijk) in N enthalten, da nämlich (ijk) = (ikj)2 .
Nun können wir den bereits formulierten Satz beweisen.
Beweis von Satz 3.17. Es sei N
An ein nichttrivialer Normalteiler, d. h. N = {e}. Wir
wollen Lemma 3.19 verwenden, um N = An zu folgern, wofür wir also nachzuweisen haben,
dass N zumindest einen Zykel der Länge Drei enthält.
Wir bezeichnen hierzu die Anzahl der Nichtfixpunkte einer Permutation τ ∈ An mit m(τ ).
Für τ = id ist dann m(τ ) ≥ 3. Wir wollen zeigen, dass N eine Permutation τ enthält, für
welche gerade m(τ ) = 3 ist, denn dann ist τ ein Zykel der Länge Drei. Es sei also τ ∈ N
mit τ = id so gewählt, dass m(τ ) minimal ist.
Um m(τ ) = 3 zu zeigen, führen wir zuerst m(τ ) = 4 zu einem Widerspruch. Wäre dies nämlich der Fall, so wäre τ ein Produkt von zwei Transpositionen und wir können τ = (12)(34)
annehmen. Nun jedoch können wir mit (345) konjugieren und erhalten eine Permutation
τ1 := (345)τ (345)−1 = (12)(45). Dann wäre
τ τ1 = (12)(34)(12)(45) = (34)(12)(12)(45) = (34)(45) = (345)
ein Zykel der Länge Drei.
Nun nehmen wir m(τ ) ≥ 5 an. Wir machen abermals eine Fallunterscheidung hinsichtlich
der Länge L eines längsten Zykels in der Zykelzerlegung von τ . Diese mag Zwei, Drei oder
größer sein. Für alle Fälle wird uns die Permutation τ1 hilfreich sein, welche wir durch
Konjugation mit (234) erhalten: τ1 := (234)τ (234)−1 .
Im Falle, dass L ≥ 4 ist, können wir τ = (123 . . . L) . . . annehmen und sehen m(τ1−1 τ ) ≤ 4,
da τ1 (k) = τ (k) für alle k ≥ 5. Da außerdem τ1 = τ , ist τ1−1 τ nicht die Identität, weshalb
mit m(τ1−1 τ ) ≥ 3 die Minimalität von m(τ ) ≥ 5 verletzt ist. Der Fall L = 2 wird analog
behandelt, in welchem wir nämlich τ = (12)(34)(56) . . . annehmen können.
Im Falle L = 3 schließlich können wir annehmen, dass τ von der Form τ = (123)(456) . . .
ist. Dann ist sogar m(τ ) ≥ 6, doch mit τ1 (k) = τ (k) für k ≥ 6 erhalten wir ähnlich wie
oben m(τ1−1 τ ) ≤ 5.
Wir beschäftigen uns nun mit Kompositionsreihen.
Definition 3.20. Eine Verfeinerung einer Normalreihe entsteht durch Einfügen weiterer
Untergruppen, so dass wieder eine Normalreihe entsteht. Ist
G = G0 ≥ · · · ≥ Gr = {e}
eine Normalreihe, so heißt
G = H0 ≥ · · · ≥ Hs = {e}
eine Verfeinerung, falls zu jedem i ≤ r ein j ≤ s existiert, so dass Gi = Hj .
Algebra 1
24
3.3
Auflösbare Gruppen
Beispiel 3.21. Die Normalreihe S4 ≥ A4 ≥ {e} besitzt S4 ≥ A4 ≥ K ≥ {e} als Verfeinerung, wobei K die Kleinsche Vierergruppe bezeichne.
Definition 3.22. Eine Kompositionsreihe einer Gruppe G ist eine Normalreihe, welche
keine (echte) Verfeinerung besitzt: Eine Normalreihe aus paarweise verschiedenen Untergruppen, welche keine Verfeinerung besitzt, die abermals aus paarweise verschiedenen
Untergruppen besteht.
Beispiel 3.23. Die Normalreihe
S4 ≥ A4 ≥ V =: {e, a, b, c} ≥ {e, a} ≥ {e}
ist eine Kompositionsreihe. Ihre Faktorgruppen sind zyklisch der Ordnung 2, 3, 2 bzw. 2.
Bemerkung 3.24. Endliche Gruppen besitzen stets Kompositionsreihen. Die Gruppe Z
jedoch besitzt keine.
Bemerkung 3.25. Es sei G = G0 ≥ . . . ≥ Gr = {e} eine Normalreihe mit Gi = Gi+1 . Dann
ist dies genau dann eine Kompositionsreihe, wenn die Faktoren Gi /Gi+1 einfach sind.
Beweis. Wir finden für jedes i eine Bijektion zwischen {H : Gi+1 ≤ H ≤ Gi } nach
{K : K ≤ Gi /Gi+1 }, welche H auf H/Gi+1 abbildet. So können wir Normalteiler Gi+1
H Gi mit Normalteilern H/Gi+1 Gi /Gi+1 identifizieren.
Definition 3.26. Zwei Normalreihen einer Gruppe G heißen isomorph, falls ihre Faktoren
bis auf Permutationen und Isomorphie übereinstimmen.
Beispiel 3.27. Es sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung Sechs mit Erzeuger g. Dann
sind G ≥ g 2 ≥ {e} und G ≥ g 3 ≥ {e} zwei isomorphe Normalreihen mit Faktoren der
Ordnungen Zwei und Drei.
Lemma 3.28. Sind (Gi )i≤r und (Hj )j≤s zwei isomorphe Normalreihen, so existiert zu
jeder Verfeinerung von (Gi ) eine dazu isomorphe Verfeinerung von (Hj ).
Beweisskizze. Es sei Gi /Gi+1 ∼
= Hj /Hj+1 . Wie zu Bemerkung 3.25 können wir die Normalteiler dieser Gruppen identifizieren.
Satz 3.29 (Schreier). Zwei beliebige Normalreihen (Gi )i≤r und (Hj )j≤s einer Gruppe G
besitzen Verfeinerungen, welche zueinander isomorph sind.
Beweis. Für r = 1 oder s = 1 ist die Aussage klar. Wir betrachten nun s = 2 und führen
eine Induktion nach r durch. Es sei dazu r ≥ 2. Wir betrachten also die Normalreihen
G = G0 ≥ . . . ≥ Gr = {e}
und
G ≥ H ≥ {e} .
Auch betrachten wir die Normalteiler D := G1 ∩H G und P := G1 H G. Nach unserer
Induktionsvoraussetzung sollen die Normalreihen G1 ≥ G2 ≥ . . . ≥ {e} und G1 ≥ D ≥ {e}
von G1 isomorphe Verfeinerungen
G1 ≥ . . . ≥ G2 ≥ . . . ≥ Gr−1 ≥ . . . ≥ Gr = {e}
(3.3)
G1 ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e}
(3.4)
und
25
Algebra 1
3
Fortführung der Gruppentheorie
besitzen.
G
P
G1
H
D
{e}
Der zweite Isomorphiesatz 1.54 liefert uns P/H ∼
= H/D. Damit sind
= G1 /D und P/G1 ∼
die Normalreihen
P ≥ G1 ≥ D ≥ {e}
(3.5)
und
P ≥ H ≥ D ≥ {e}
(3.6)
isomorph. Fügen wir P zu (3.4) hinzu, erhalten wir eine Verfeinerung
P ≥ G1 ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e}
von (3.5). Nach dem vorigen Lemma finden wir also eine dazu isomorphe Verfeinerung
P ≥ . . . ≥ H ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e}
von (3.6). Insgesamt erhalten wir also
G ≥ P ≥ G1 ≥ . . . ≥ G2 ≥ . . . ≥ Gr−1 ≥ . . . ≥ Gr = {e}
(3.3)
und
G ≥ P ≥ G1 ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e}
(3.4)
und außerdem
G ≥ P ≥ . . . ≥ H ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e}
als drei isomorphe Normalreihen. Die erste ist eine Verfeinerung von (Gi ) und die zweite
eine von G ≥ H ≥ {e}. Damit ist der Fall s = 2 abgehandelt.
Für s > 2 führen wir eine Induktion nach s durch. Bei gegebenen Normalreihen (Gi )i≤r
und (Hj )j≤s wenden wir die Aussage für s = 2 auf G ≥ H1 ≥ {e} an und erhalten eine
Verfeinerung
G ≥ . . . ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gr−1 ≥ . . . ≥ {e}
(3.7)
von (Gi ), welche isomorph zu einer Verfeinerung
G ≥ . . . ≥ H1 ≥ . . . ≥ {e}
(3.8)
von G ≥ H1 ≥ {e} ist. Nach Induktionsvoraussetzung sollen das rechte Stück H1 ≥ . . . ≥
{e} und H1 ≥ H2 ≥ . . . ≥ Hs−1 ≥ {e} isomorphe Verfeinerungen besitzen. Fügen wir der
Verfeinerung von (Hj )1≤j≤s zu Beginn das „linke Stück“ aus (3.8), so erhalten wir eine
Verfeinerung von (Hj )j≤s , welche isomorph zu einer Verfeinerung von (3.7) ist.
Algebra 1
26
3.3
Auflösbare Gruppen
Satz 3.30 (Jordan-Hölder). Es sei G eine Gruppe.
(i) Je zwei Kompositionsreihen von G sind isomorph.
(ii) Besitzt G eine Kompositionsreihe, so kann jede Normalreihe von G zu einer solchen
verfeinert werden.
27
Algebra 1
4
Ringe
4
4.1
Ringe
Grundlegende Begriffe
Wir wollen die Definition eines Ringes und anderer grundlegender Objekte in der Ringtheorie angeben. Zunächst definieren wir dazu Monoide.
Definition 4.1. Ein Monoid (auch Halbgruppe) ist eine Menge S mit einer zweistelligen
Verknüpfung S × S, (s, t) → st = s · t (Multiplikation) und einem ausgezeichneten Element
e ∈ S (neutrales Element), für welche die Beziehungen (rs)t = r(st) und es = se = s für
alle r, s, t ∈ S gelten. Ein Monoid S heißt kommutativ, falls außerdem st = ts für alle
s, t ∈ S gilt.
Bemerkung 4.2. Eine Gruppe ist also ein Monoid, in welchem inverse Elemente existieren.
Umgekehrt betrachtet ist ein Monoid eine Gruppe, in welcher wir auf die Existenz von
Inversen verzichten (womit jede Gruppe auch ein Monoid ist).
Bemerkung 4.3. Ähnlich wie in der Gruppentheorie ist das Einselement eines Monoids
durch die Multiplikation eindeutig bestimmt. Siehe dazu die Ausführungen vor Bemerkung
1.5.
Beispiel 4.4. Die Monoide (N, +, 0) und (N, ·, 1) sind keine Gruppen.
Nun können wir zur Definition von Ringen gelangen.
Definition 4.5. Ein Ring ist eine Menge A mit zwei zweistelligen Verknüpfungen +
und ·, zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 und einer einstelligen Operation −, so
dass (A, +, −, 0) eine abelsche Gruppe und (A, ·, 1) ein Monoid ist und weiterhin für alle
a, b, c ∈ A die Distributivgesetze
a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc
gelten. Einen Ring A nennen wir kommutativ, falls das Monoid (A, ·, 1) kommutativ ist,
falls also ab = ba für alle a, b ∈ A gilt.
Bemerkung 4.6. Für alle Elemente a ∈ A eines Rings A stellen wir zunächst a·0 = 0·a = 0
fest, denn a · 0 = a(0 + 0) = a · 0 + a · 0. Außerdem ist a(−b) = (−a)b = −(ab) für alle
a, b ∈ A und es gelten die verallgemeinerten Distributivgsetze
(a1 + · · · + an )b = a1 b + · · · + an b und b(a1 + · · · + an ) = ba1 + · · · + ban ,
wie man leicht durch Induktion nachweist.
In der Literatur wird oft auf die Forderung der Existenz des Einselements 1 verzichtet.
Die Subtraktion in einem Ring A definieren wir durch a − b := a + (−b) für a, b ∈ A.
Beispiel 4.7. Die Zahlenbereiche Z, Q, R und C sind kommutative Ringe. Weitere (im
allgemeinen nicht kommutative) Beispiele sind End(V ) und ❦n×n , wobei ❦ ein Körper
und V ein ❦-Vektorraum ist. Ein trivialer Ring ist A = {0}, in welchem 0 = 1 gilt.
Definition 4.8. Ein Element a ∈ A eines Rings A heißt Einheit, falls es ein b ∈ A gibt,
für welches ab = ba = 1 erfüllt ist.
Bemerkung 4.9. Eine Einheit ist also ein Element, welches multiplikativ invertierbar ist.
Die Menge der Einheiten eines Rings A bildet eine (multiplikative) Gruppe, welche mit
A× bezeichnet wird (die Einheitengruppe von A).
Algebra 1
28
4.2
Ideale und Quotientenringe
Beispiel 4.10. Im Ring Z der ganzen Zahlen sind nur 1 und −1 Einheiten, also Z× =
{−1, 1}. In Q jedoch sind alle von Null verschiedenen Elemente Einheiten, d. h. Q× =
Q \ {0}. Weiter ist End(V )× = GL(V ) und (❦n×n )× = GLn (❦).
Die eben genannte Eigenschaft von Q soll nun die folgende Definition motivieren.
Definition 4.11. Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit 0 = 1, in welchem jedes von
Null verschiedene Element eine Einheit ist (also A× = A \ {0}).
Die Mengen Q, R und C sind also Körper.
Definition 4.12. Ist A ein Ring, so nennen wir eine Teilmenge B ⊂ A einen Unterring
von A, falls B die Elemente 0 und 1 enthält und abgeschlossen unter den Operationen +,
− und · ist, falls also für alle a, b ∈ B auch a + b ∈ B, −a ∈ B und ab ∈ B.
Ein Unterring ist also eine Teilmenge, welche mit der vererbten Struktur ein Ring ist.
Definition 4.13. Es seien A und B zwei Ringe. Eine Abbildung ϕ : A → B heißt Ringhomomorphismus, falls für alle a, a ∈ A die Beziehungen ϕ(a + a ) = ϕ(a) + ϕ(a ) und
ϕ(aa ) = ϕ(a)ϕ(a ) gelten und außerdem ϕ(1) = 1 ist.
Es ist leicht zu zeigen, dass Ringhomomorphismen auch Null auf Null abbilden.
Bemerkung 4.14. Ist ϕ : A → B ein Ringhomomorphismus und sind A ⊂ A, B ⊂ B zwei
Unterringe, so ist ϕ(A ) ein Unterring von B und ϕ−1 (B ) ein Unterring von A.
4.2
Ideale und Quotientenringe
Es sei nun A ein Ring und I ⊂ A eine additive Untergruppe von A. Dann erhalten wir
Restklassengruppen der Form
A/I = {a + I : a ∈ A}
und einen kanonischen Gruppenhomomorphismus π : A → A/I, welcher a ∈ A auf die
Restklasse a := a+I abbildet. Wir wollen nun auf A/I auch eine Multiplikation einführen,
so dass π zum Ringhomomorphismus wird. Dazu soll ab = ab gelten, was für a ∈ A und
b ∈ I nun ab = ab = a · 0 = 0 bedeutet. Dies wiederum versteht sich als ab ∈ I und analog
ergäbe sich ba ∈ I. Diese Eigenschaft wollen wir also von I erwarten, um A/I als Ring
auffassen zu können.
Definition 4.15. Ein Ideal I ⊂ A eines Rings A ist eine additive Untergruppe von A mit
der Eigenschaft, dass Produkte von Elementen aus A in I liegen, wann immer dies für
zumindest einen der Faktoren gilt. Für a ∈ A und b ∈ I gelte also ab ∈ I sowie ba ∈ I.
Ein Ideal soll also abgeschlossen sowohl unter Rechts- als auch unter Linksmultiplikation
mit beliebigen Elementen aus A sein. Nach obiger Überlegung können wir für Ideale I ⊂ A
also A/I als Ring auffassen.
Bemerkung 4.16. Ein Ideal I ⊂ A eines Rings A, welches eine Einheit enthält, ist bereits
der ganze Ring. Ist nämlich a ∈ I eine Einheit, so ist für jedes b ∈ A auch b = a(a−1 b) ∈ I.
Insbesondere existieren keine von A verschiedenen Ideale, welche auch Unterringe sind.
Bemerkung 4.17. Ist ϕ : A → A ein Ringhomomorphismus, so ist ker ϕ ein Ideal in A.
29
Algebra 1
4
Ringe
Beweis. Sind a ∈ A und b ∈ ker ϕ, so ist
ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(a) · 0 = 0 ,
also ab ∈ ker ϕ. Analog lässt sich ba ∈ ker ϕ zeigen.
Satz 4.18. Es sei I ein Ideal eines Rings A. Dann ist auf
A/I := a + I : a ∈ A
eine Ringstruktur definiert, so dass die kanonische Abbildung
π : A → A/I , a → a + I =: a
ein surjektiver Ringhomomorphismus mit ker π = I ist. Der so entstandene Ring A/I
heißt Quotientenring bzw. Faktorring.
Beweis. Zunächst ist A/I eine abelsche Gruppe. Wir definieren eine Multiplikation auf
A/I durch
a · b := ab .
Zunächst weisen wir die Wohldefiniertheit dieser Multiplikation nach. Dazu seien x, y ∈ I.
Wir beobachten
(a + x)(b + y) = ab + ay + xb + xy = ab + ay + x(b + y) ∈ ab + I .
∈I
∈I
Seien nun a, b, c ∈ A. Dann erhalten wir
(ab)c = abc = (ab)c = a(bc) = abc = a(bc)
und analog
a1 = a = 1a .
Die Distributivgesetze lassen sich ähnlich leicht nachweisen.
Beispiel 4.19. Wir betrachten den Ring A = Z der ganzen Zahlen. Für m ∈ Z setzen wir
(m) := {am : a ∈ Z} = x ∈ Z : m|x
und stellen fest, dass dies ein Ideal ist. Da jede Untergruppe von Z diese Form hat, lassen sich auch alle Ideale auf diese Weise darstellen. Den Quotientenring Z/(m) nennen
wir Restklassenring modulo m. Dieser kann mit der Menge {0, 1, . . . , m − 1} identifiziert
werden.
Satz 4.20 (Universelle Eigenschaft). Seien A und A zwei Ringe und I ⊂ A ein Ideal.
Weiter sei ϕ : A → A ein Ringhomomorphismus mit I ⊂ ker ϕ. Dann gibt es genau einen
Ringhomomorphismus ϕ∗ : A/I → A , so dass das folgende Diagramm kommutiert:
A
π
ϕ
ϕ∗
A/I
Beweis. Analog zur Gruppentheorie.
Algebra 1
30
/A
=
4.3
Polynomringe
Im Folgenden sei A stets ein kommutativer Ring.
Definition 4.21. Ein Ideal P von A heißt Primideal, falls P = A und für alle a, b ∈ A
stets a ∈ P oder b ∈ P folgt, wann immer ab ∈ P gilt.
Beispiel 4.22. Wir betrachten wieder A = Z und eine nichtnegative ganze Zahl m ∈ Z. Wir
wollen die Frage klären, wann (m) ein Primideal ist. Ist (m) eines, so zieht für alle a, b ∈ A
die Beziehung m|ab entweder m|a oder m|b nach sich. Zunächst stellen wir fest, das alle
Primzahlen m dies erfüllen, ebenso m = 0 und m = 1. Ist m jedoch zusammengesetzt mit
m = ab, wobei 1 < a, b < m, so ist die genannte Bedingung verletzt.
Als Ergebnis erhalten wir, dass (m) genau dann ein Primideal von Z ist, wenn m Null
oder eine Primzahl ist.
Definition 4.23. Es sei A ein kommutativer Ring.
(i) Ein Element a ∈ A heißt Nullteiler, falls a = 0 ist und es ein von Null verschiedenes
b ∈ A gibt, so dass ab = 0.
(ii) Der Ring A heißt Integritätsbereich, falls er nicht der triviale Ring {0} ist und keine
Nullteiler besitzt.
Beispiel 4.24. Der Restklassenring Z/(6) ist kein Integritätsbereich, denn 2 · 3 = 6 = 0,
obwohl 2 = 0 und 3 = 0.
Bemerkung 4.25. Ein kommutativer Ring A = {0} ist genau dann Integritätsbereich, wenn
für zwei von Null verschiedene Elemente a, b ∈ A auch ihr Produkt ab von Null verschieden
ist.
Satz 4.26. Es sei A ein kommutativer Ring und I ⊂ A ein Ideal. Dann ist I genau dann
ein Primideal, wenn A/I ein Integritätsbereich ist.
Beweis. Zunächst ist I = A äquivalent dazu, dass A/I = {0} ist. Weiter ist A/I genau
dann ein Integritätsbereich, wenn für alle von Null verschiedenen a, b ∈ A/I auch ab von
Null verschieden ist, was wiederum bedeutet, dass für alle a, b ∈ A, welche nicht in I liegen,
auch ab nicht in I liegt. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass a ∈ I oder b ∈ I gilt,
wann immer ab ∈ I gilt. Dies jedoch ist genau die Forderung an I, welche die Definition
eines Primideals vervollständigt.
Korollar 4.27. Der Restklassenring Z/(m) ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn
m Null oder eine Primzahl ist.
4.3
Polynomringe
In diesem Abschnitt wollen wir einen Polynombegriff über beliebigen kommutativen Ringen definieren. Die Idee dabei ist, ein „Polynom“ a0 + a1 x + · · · + ad xd , ai ∈ A, durch seine
Koeffizientenfolge (a0 , . . . , ad ) zu definieren.
Definition 4.28. Es sei A ein kommutativer Ring. Die Menge A[X] ist die Menge aller
abbrechenden Folgen mit Gliedern in A, d. h.
A[X] := (ai )i∈N ∈ AN : ai = 0 für alle bis auf endlich viele i ,
und heißt Polynomring in der Unbestimmten X über A. Die Elemente von A[X] heißen
Polynome.
31
Algebra 1
4
Ringe
Bemerkung 4.29. Wir können A[X] als Untergruppe von AN bezüglich der komponentenweisen Addition auffassen. Weiter definieren wir eine Multiplikation auf A[X], indem wir
das Produkt zweier Polynome (ai ), (bj ) ∈ A[X] als (ai )(bj ) = (ck ) festlegen, wobei
k
ck :=
ai bk−i .
i=0
Dadurch entsteht eine kommutative und assoziative Multiplikation auf A[X].
Es lässt sich nun nachweisen, dass A[X] mit den so definierten Operationen ein kommutativer Ring ist, dessen neutrales Element der Multiplikation durch (1, 0, 0, . . . ) gegeben
ist.
Bemerkung 4.30. Die Abbildung A → A[X], welche a ∈ A auf (a, 0, 0, . . . ) abbildet, ist ein
injektiver Ringhomomorphismus. Somit können wir A als Unterring von A[X] auffassen.
Statt (1, 0, 0, . . . ) schreiben wir 1 und anstelle von (0, 1, 0, 0, . . . , ) schreiben wir X:
1 := (1, 0, 0, . . . , )
und X := (0, 1, 0, . . . ) .
So erhalten wir
X · (b0 , b1 , . . . ) = (0, b0 , b1 , . . . ) .
Weiterhin ist
X 2 = X · X = (0, 0, 1, 0, 0 . . . )
und
X i = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . ) .
(i+1)-te Stelle
Für f = (a0 , a1 , . . . ) ∈ A[X] gilt deshalb
f = a0 (1, 0, 0, . . . )+a1 (0, 1, 0, . . . )+· · ·+ad (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) = a0 +a1 X+a2 X 2 +· · ·+ad X d
für ein d ≥ 0 und diese Darstellung ist eindeutig. Genauer: Ist
m
n
ai X i =
i=0
bj X j
j=0
mit n ≥ m, so folgt für alle 0 ≤ i ≤ m, dass ai = bi gilt, und es ist bj = 0 für j > m.
Beispiel 4.31. Ist A = ❦ ein Körper, so ist ❦[X] ein ❦-Vektorraum, welcher nicht endlichdimensional ist, da die Elemente 1, . . . , X n stets ❦-linear unabhängig sind, wenn n ∈ N.
Definition 4.32. Der Grad eines von Null verschiedenen Polynoms f =
A[X] ist definiert als
d := deg f := max i ∈ N : ai = 0 .
n
i
i=0 ai X
in
Der Koeffizient ad heißt Leitkoeffizient von f .
Wir können also f = ad X d + · · · + a0 schreiben.
Lemma 4.33. Ist A ein Integritätsbereich, so ist das Produkt f g aller von Null verschiedenen Polynome f, g ∈ A[X] wieder von Null verschieden und der Grad von f g ist die
Summe der Grade von f und g, d. h.
deg(f g) = deg f + deg g .
Algebra 1
32
4.3
Polynomringe
Weiterhin ist
deg(f + g) ≤ max deg f, deg g ,
falls f + g nicht das Nullpolynom ist. Sind die Grade von f und g verschieden, so gilt
sogar Gleichheit.
Beweis. Wir schreiben f = an X n + · · · + a0 und g = bm X m + · · · + b0 mit an = 0 und
bm = 0, so dass deg f = n und deg g = m. Ist A ein Integritätsbereich, so ist an bm = 0
und daher
f g = an bm X m+n + · · · + (a1 b0 + a0 b1 )X + a0 b0 ,
=0
was deg(f g) = n + m zeigt.
Für den zweiten Teil der Behauptung sei o. B. d. A. n = m. Ist n > m, so ist
f + g = an X n + · · · + (am + bm )X m + · · · + (a0 + b0 ) ,
womit deg(f + g) = max deg f, deg g = n wäre. Ist jedoch n = m, so ist
f + g = (an + bn )X n + · · · + (a0 + b0 ) ,
womit zumindest deg(f + g) ≤ n gilt. Die Gleichheit gilt dabei, falls an + bn = 0.
Bemerkung 4.34. Ist der Ring A ein Integritätsbereich, so ist auch der Polynomring A[X]
ein Integritätsbereich.
Ein von Null verschiedenes Polynom in A[X] ist genau dann eine Einheit in A[X], wenn
sein Grad Null ist und sein Leitkoeffizient bzw. das Polynom als Element von A aufgefasst
eine Einheit in A ist.
Beweis. Ist f ∈ A[X] eine Einheit, so gibt es ein g ∈ A[X], für welches f g = 1 in A[X]
gilt. Dann ist
0 = deg(f g) = deg f + deg g .
Da der Grad jedoch eine nichtnegative ganze Zahl ist, muss deg f = 0 und deg g = 0
sein, d. h. wir können f und g als Elemente von A auffassen und erhalten f ∈ A× . Die
Umkehrung ist klar.
Definition 4.35. Es sei A ein Integritätsbereich. Wir sagen, dass ein Polynom g ∈ A[X]
ein Polynom f ∈ A[X] teilt, falls es ein Polynom h ∈ A[X] gibt, welches gh = f erfüllt.
In diesem Falle schreiben wir g|f .
Bemerkung 4.36. Aus g|f und f = 0 (woraus g = 0 folgt) ergibt sich stets deg g ≤ deg f .
Beweis. Aus gh = f erhalten wir
deg f = deg(gh) = deg g + deg h ≥ deg g .
Wir wollen nun den Polynomen Funktionen zuordnen. Ist also ein Polynom f =
in A[X] gegeben, so definieren wir die zugehörige Polynomfunktion
n
i
i=0 ai X
n
ai ξ i = f (ξ) .
A → A, ξ →
i=0
Zu beachten ist, dass diese Zuordnung jedoch nicht injektiv sein muss, d. h. zu zwei Polynomen kann auf diese Weise dieselbe Polynomfunktion zugeordnet werden.
33
Algebra 1
4
Ringe
Beispiel 4.37. Wir wählen als Ring den Körper A = Zp und betrachten f = X p − X ∈
Zp [X]. Für ξ ∈ Zp ist nun nach dem kleinen Fermatschen Satz ξ p − ξ = 0, obwohl f = 0.
×
Beweis. Zunächst ist Z×
p = Zp \ {0}, was |Zp | = p − 1 liefert, und der Satz von Lagrange
×
p−1
besagt, dass für alle ξ ∈ Zp die Relation ξ
= 1 gilt. Daraus ergibt sich sofort ξ p−1 − 1 =
0, also ξ p − ξ = 0, was für ξ = 0 offensichtlich ist.
Bemerkung 4.38. Für ξ ∈ A ist die Abbildung
A[X] → A , f → f (ξ)
ein Ringhomomorphismus, welcher Auswertungsmorphismus an der Stelle ξ genannt wird.
Die Behauptung ist durch (f + g)(ξ) = f (ξ) + g(ξ) und (f g)(ξ) = f (ξ)g(ξ) leicht nachzuweisen.
Im Folgenden sei A stets ein Integritätsbereich.
Definition 4.39. Ein Element ξ ∈ A heißt Nullstelle eines Polynoms f ∈ A[X], falls
f (ξ) = 0.
Satz 4.40 (Division mit Rest). Es seien f, g ∈ A[X] und der Leitkoeffizient von g = 0 sei
eine Einheit in A. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome h und r in A[X] mit
f = gh + r ,
wobei entweder deg r < deg g oder r = 0 gilt.
Lemma 4.41. Ist ξ ∈ A eine Nullstelle von f ∈ A[X], so existiert ein Polynom g ∈ A[X]
mit f = (X − ξ)g.
Beweis. Division mit Rest liefert
f = q · (X − ξ) + r
mit r ∈ A. Jedoch ist
0 = f (ξ) = q(ξ)(ξ − ξ) + r = r ,
also r = 0.
Satz 4.42. Es sei A ein Integritätsbereich. Dann ist die Anzahl der Nullstellen eines von
Null verschiedenen Polynoms f ∈ A[X] höchstens deg f .
Beweis. Es seien ξ1 , . . . , ξn paarweise verschiedene Nullstellen von f . Mithilfe von Induktion nach n wollen wir zeigen, dass es ein g ∈ A[X] gibt, so dass
f = (X − ξ1 ) · · · (X − ξn )g .
Für n = 1 ist dies das vorige Lemma. Um von n − 1 auf n zu schließen, liefert uns die
Induktionsvoraussetzung ein g˜ ∈ A[X] mit
f = (X − ξ1 ) · · · (X − ξn−1 )˜
g.
Auswerten bei ξn ergibt
0 = f (ξn ) = (ξn − ξ1 ) · · · (ξn − ξn−1 )˜
g (ξn ) .
Algebra 1
34
4.4
Chinesischer Restsatz
Da alle ξi paarweise verschieden sind und A ein Integritätsbereich ist, folgt g˜(ξn ) = 0. Das
vorige Lemma liefert die Existenz eines Polynoms g ∈ A[X] mit g˜ = (X − ξn )g, also
f = (X − ξ1 ) · · · (X − ξn )g .
So erhalten wir deg f = n + deg g ≥ n.
Korollar 4.43. Der Ringhomomorphismus ϕ : A[X] → AA , welcher f = ni=0 ai X i auf
die Funktion ξ → f (ξ) abbildet, ist injektiv, falls der Integritätsbereich A unendlich ist.
Beweis. Es sei f ∈ A[X] ein von Null verschiedenes Polynom, welches jedoch ϕ(f ) = 0
erfüllt. Um dies zu einem Widerspruch zu führen, beobachten, wir, dass dann jedes ξ ∈ A
eine Nullstelle von f ist. Diese Anzahl darf jedoch nicht größer als der endliche Grad von
f sein.
Über unendlichen Integritätsbereichen kann man also Polynome und Polynomfunktionen
miteinander identifizieren.
Es sei nun A = ❦ ein Körper.
Lemma 4.44. Sei f ∈ ❦[X] ein von Null verschiedenes Polynom und ξ ∈ ❦ sei eine
Nullstelle von f . Dann existieren ein eindeutig bestimmtes m ∈ N>0 und ein eindeutig
bestimmtes g ∈ ❦[X] mit
f = (X − ξ)m g
und g(ξ) = 0. Die Zahl m heißt Vielfachheit der Nullstelle ξ von f .
Beweis. Übung.
Satz 4.45. Es seien ξ1 , . . . , ξn paarweise verschiedene Nullstellen eines von Null verschiedenen Polynoms f ∈ ❦[X]. Weiter bezeichne mi die Vielfachheit der Nullstelle ξi . Dann
existiert ein nullstellenfreies Polynom g ∈ ❦[X] mit
f = (X − ξ1 )m1 · · · (X − ξn )mn g .
Beweis. Übung.
Definition 4.46. Ein Körper ❦ heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes nichtkonstante
Polynom f ∈ ❦[X] (d. h. jedes Polynom, dessen Grad größer als Null ist) mindestens eine
Nullstelle in ❦.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist der Körper C algebraisch abgeschlossen.
4.4
Chinesischer Restsatz
Es seien A1 , . . . , An nichttriviale Ringe. Das kartesische Produkt
A := A1 × · · · × An
wird bezüglich der komponentenweisen Operationen
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) := (a1 + b1 , . . . , an + bn )
und
(a1 , . . . , an )(b1 , . . . , bn ) := (a1 b1 , . . . , an bn )
35
Algebra 1
4
Ringe
zu einem Ring, dessen neutrale Elemente durch
0 := (0, . . . , 0)
bzw.
1 := (1, . . . , 1)
gegeben sind, und welchen wir das direkte Produkt der Ringe Ai nennen.
Man beachte jedoch, dass
A1 × {0} × · · · × {0}
kein Unterring von A ist, da die Eins nicht darin enthalten ist; dies ist jedoch ein Ideal.
Wir setzen
ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
und erhalten aei = ei a für alle a ∈ A. Außerdem ist e1 + · · · + en = 1, e2i = ei und für
i = j ist ei ej = 0.
Satz 4.47 (Chinesischer Restsatz). Es sei A ein kommutativer Ring mit Idealen I1 , . . . , In ,
welche Ii + Ij = A für i = j erfüllen. Dann ist
χ : A → A/I1 × · · · × A/In
a → (a mod I1 , . . . , a
mod In )
ein surjektiver Ringhomomorphismus1 , dessen Kern gerade der Schnitt I1 ∩ · · · ∩ In der
betrachteten Ideale ist. Insbesondere ist A/(I1 ∩ · · · ∩ In ) isomorph zu A/I1 × · · · × A/In .
Beweis. Es ist klar, dass χ ein Ringhomomorphismus ist. Weiter gilt
χ(a) = (a mod I1 , . . . , a
mod In ) = (0, . . . , 0) ,
genau dann, wenn für alle i also a mod Ii = 0 gilt, was wiederum a ∈ I1 ∩· · ·∩In bedeutet.
Um die Surjektivität von χ zu zeigen, genügt es zu zeigen, dass jedes ei im Bild von χ
liegt, denn gibt es zi ∈ A mit χ(zi ) = ei , so erhalten wir für a1 , . . . , an ∈ A
n
χ
ai zi
i=1
n
n
χ(ai )χ(zi ) =
=
i=1
(ai
mod Ii )ei = (a1
mod I1 , . . . , an
mod In ) .
i=1
Nun wollen wir also die Existenz solcher zi beweisen. Für festes i und j = i wissen wir
aufgrund von Ii + Ij = A, dass es aj ∈ Ii , bj ∈ Ij gibt, für welche aj + bj = 1 ist. Wir
erhalten also
1=
(aj + bj ) = y +
bj
j=i
j=i
=:z
für ein y ∈ Ii . Auch ist z ∈
j=i Ij
z≡1
und wir erhalten mit y + z = 1
mod Ii
und z ≡ 0
für j = i. Somit ist χ(z) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = ei .
1
„χ wie chinesisch“
Algebra 1
36
mod Ij
4.4
Chinesischer Restsatz
Ein besonders wichtiger Spezialfall ist der Fall A = Z. Darin sind die Ideale Ii also stets
Hauptideale Ii = (mi ). Die Bedingung (mi ) + (mj ) = Z bedeutet also, dass u, v ∈ Z
existieren, so dass umi + vmj = 1. Daraus ist ersichtlich, dass mi und mj teilerfremd
sein müssen, denn jeder Teiler beider Zahlen ist auch Teiler von umi + vmj . Auch die
Umkehrung gilt, wie wir später allgemeiner sehen werden (siehe auch Übung).
Es seien nun also m1 , . . . , mn ∈ Z paarweise teilerfremd. Wir erhalten nun
n
(mi ) = x ∈ Z : mi |x für alle i = (m1 · · · mn ) .
i=1
Satz 4.48 (Chinesischer Restsatz für Z). Für paarweise teilerfremde m1 , . . . , mn ∈ Z ist
Z/(m1 · · · mn ) → Z/(m1 ) × · · · × Z/(mn )
a mod m1 · · · mn → (a mod m1 , . . . , a
mod mn )
ein Ringisomorphismus.
Beispiel 4.49. Zu m1 = 1234 und m2 = 567 suchen wir a ∈ Z mit a ≡ 3 mod m1 und
a ≡ 7 mod m2 . Der Chinesische Restsatz liefert nun die Existenz eines solchen a. Mit
der Kurzschreibweise Zm = Z/(m) suchen wir für χ : Z → Z1234 × Z567 also ein Element
von χ−1 (3, 7). Dieses ist bis auf Vielfache von m1 m2 eindeutig bestimmt. In der Übung
wird der Erweiterte Euklidische Algorithmus näher behandelt, welcher uns s, t ∈ Z mit
sm1 + tm2 = 1 liefert. In diesem Fall werden wir s = −17 und t = 37 erhalten. Wir setzen
z1 = tm2 und z2 = sm1 , so dass wir χ(z1 ) = (1, 0) und χ(z2 ) = (0, 1) erhalten. Außerdem
ist
χ(3z1 + 7z2 ) = 3(1, 0) + 7(0, 1) = (3, 7) .
wir erhalten dazu z1 = 37 · 567 = 20979 und z2 = (−17) · 1234 = −20978, was uns
a = 3z1 + 7z2 = −83909 ≡ 615769
mod m1 m2
liefert.
Bemerkung 4.50. Ein Ringisomorphismus ϕ : A → B induziert einen Gruppenisomorphismus A× → B × , a → ϕ(a) zwischen den Einheitengruppen. Außerdem stellen wir fest, dass
×
die Einheitengruppe (A1 × · · · An )× = A×
1 · · · × An eines Produkts durch das Produkt der
Einheitengruppen gegeben ist.
In der Situation des Chinesischen Restsatzes
A/(I1 ∩ · · · ∩ In ) ∼
= A/I1 × · · · × A/In
erhalten wir nun
A/(I1 ∩ · · · ∩ In )
×
∼
= (A/I1 )× × · · · × (A/In )× .
Konkret für A = Z ist also
×
∼ ×
Z×
m1 ···mn = Zm1 × · · · × Zmn .
Z.B. ist
×
∼ ×
Z×
24 = Z8 × Z3 .
37
Algebra 1
4
Ringe
Wir führen nun die folgende Schreibweise ein: Für n ≥ 1 definieren wir mit
ϕ(n) := |Z×
n|
die Eulersche Phi-Funktion. Der Chinesische Restsatz liefert
ϕ(m1 · · · mn ) = ϕ(m1 ) · · · ϕ(mn )
für teilerfremde m1 , . . . , mn ≥ 1.
Lemma 4.51. Es ist
Z×
n = a mod n : ggT(a, n) = 1 .
Beweis. Es sei ggT(a, n) = 1. Wir erhalten also u, v ∈ Z mit ua + vn = 1 und daher
ua ≡ 1 mod n, womit a mod n die Inverse u mod n besitzt und damit eine Einheit ist.
Die andere Inklusion folgt sofort aus der Umkehrung der verwendeten Implikationen.
Ist p also eine Primzahl, so ist also
ϕ(p) = p − 1 .
Allgemeiner ist
ϕ(pl ) = pl − pl−1 = (p − 1)pl−1 .
Für beliebiges n = pl11 · · · plrr ist also
r ϕ pli
ϕ(n)
i
=
l
i
n
pi
i=1
r
1−
=
i=1
1
pi
.
Beispiel 4.52. Es ist
ϕ(72) = ϕ(8 · 9) = ϕ(8)ϕ(9) = 23−1 · (2 − 1) · 32−1 · (3 − 1) = 4 · 1 · 3 · 2 = 24 .
4.5
Hauptidealbereiche
Im Folgenden sei A stets ein Integritätsbereich.
Definition 4.53. Ein Hauptideal von A ist ein Ideal der Form
(a) := {ax : x ∈ A} ,
also ein Ideal, welches von einem einzelnen Element erzeugt ist. Ist sogar jedes Ideal von
dieser Form, d. h. ein Hauptideal, so nennen wir A einen Hauptidealbereich.
Beispiel 4.54. Die ganzen Zahlen Z sind ein Hauptidealbereich.
Wir merken auch an, dass wir im Integritätsbereich A einen Teilbarkeitsbegriff einführen
können. Für a, b ∈ A schreiben wir nämlich a|b, falls es ein c ∈ A gibt, für welches ac = b
gilt.
Bemerkung 4.55. Die Teilbarkeitsrelation a|b ist äquivalent zu (b) ⊂ (a). Weiter ist a|b
zusammen mit b|a äquivalent dazu, dass eine Einheit u ∈ A× mit au = b existiert.
Beweis. Die erste Aussage ist leicht zu überprüfen. Für die zweite gebe es zunächst c1 , c2 ∈
A mit ac1 = b und bc2 = a. O.B.d.A. sei a = 0, was mit ac1 c2 = a (also a(c1 c2 − 1) = 0)
nun c1 c2 = 1 liefert. Daher müssen c1 und c2 Einheiten sein.
Algebra 1
38
4.5
Hauptidealbereiche
Für a1 , . . . , an betrachten wir das von diesen Elementen erzeugte Ideal, nämlich
(a1 , . . . , an ) := {x1 a1 + · · · + xn an : xi ∈ A} .
Dies ist das kleinste Ideal, welches a1 , . . . , an enthält. Ist A nun ein Hauptidealbereich, gibt
es also ein d ∈ A mit (a1 , . . . , an ) = (d). Dafür erhalten wir (ai ) ⊂ (d), also d|ai für alle i. Ist
nun x ∈ A, welches alle ai teilt, also (ai ) ⊂ (x) für alle i, was (d) = (a1 , . . . , an ) ⊂ (x) und
damit x|d impliziert. Wir wollen also d einen größten gemeinsamen Teiler von a1 , . . . , an
nennen und ihn mit d = ggT(a1 , . . . , an ) bezeichnen, obwohl dieser Ausdruck nur bis auf
Multiplikationen mit Einheiten eindeutig ist. Insbesondere gibt es u1 , . . . , un ∈ A, so dass
d = u1 a1 + · · · + un an .
Definition 4.56. Der Ring A heißt euklidischer Bereich, falls es eine Abbildung d : A \
{0} → N gibt, so dass für alle a, b ∈ A mit b = 0 Elemente q, r ∈ A mit
a = qb + r
und außerdem d(r) < d(b) oder r = 0 existieren.
Beispiel 4.57. Die ganzen Zahlen Z sind ein euklidischer Bereich (mit dem Betrag als d),
ebenso jeder Polynomring ❦[X] (mit dem Grad als d), wenn ❦ ein Körper ist.
Satz 4.58. Euklidische Bereiche sind Hauptidealbereiche.
Beweis. Es sei I ⊂ A ein Ideal ungleich {0}. Es sei b ∈ I \ {0} so, dass
d(b) = min d(a) : a ∈ I \ {0} .
Wir behaupten nun I = (b). Es sei dazu a ∈ I. Die Division mit Rest aus der Definition
eines euklidischen Bereiches liefert uns q, r ∈ A mit a = qb + r. Mit r = a − qb ∈ I erhalten
wir r = 0, denn sonst wäre d(r) < d(b), was der Wahl von b widerspräche. Dies zeigt
schließlich b|a, also a ∈ (b).
Korollar 4.59. Polynomringe ❦[X] über einem Körper
❦ sind Hauptidealbereiche.
Definition 4.60. Ein Element a ∈ A des Integritätsbereichs A heißt irreduzibel, falls
a = 0, a keine Einheit ist und für alle b, c ∈ A mit a = bc entweder b oder c eine Einheit
ist.
Beispiel 4.61. Für A = Z ist a genau dann irreduzibel, wenn |a| eine Primzahl ist.
Bemerkung 4.62. Produkte von irreduziblen Elementen und Einheiten sind wieder irreduzibel. Weiter ist a = 0 irreduzibel, falls (a) ein Primideal ist.
Beweis. Wir zeigen die zweite Aussage. Wäre a eine Einheit, so wäre (a) = A. Ist nun
a = bc, so ist also bc ∈ (a), womit b ∈ (a) oder c ∈ (a) folgt. O. B. d. A. nehmen wir also
b ∈ (a) an. Dies bedeutet nun a|b, jedoch gilt auch b|a. Dies zeigt, dass sich a und b nur
durch Multiplikation mit einer Einheit unterscheiden, weshalb c ∈ A× folgt.
Die wünschenswerte Situation ist diejenige, dass jedes Element a ∈ A \ {0} eine Faktorisierung in irreduzible Elemente
a = up1 p2 · · · pn
(4.1)
39
Algebra 1
4
Ringe
mit u ∈ A× und irreduziblen pi . Noch wünschenswerter wäre die Eindeutigkeit dieser
Zerlegung bis auf Permutationen der pi und Multiplikationen mit Einheiten. Gilt also
neben (4.1) auch
a = vq1 · · · qm ,
so würden wir gern n = m und die Existenz von Einheiten u1 , . . . , un ∈ A× und einer
−1
Permutation π ∈ Sn folgern, so dass qi = ui pπ(i) und v = uu−1
1 · · · un .
Definition 4.63. Einen kommutativer Integritätsbereich nennen wir faktoriell, falls eine
solche Zerlegung (4.1) für all seine Elemente existiert und (in obigem Sinne) eindeutig bis
auf Einheiten und Permutation ist.
Beispiel 4.64. Die ganzen Zahlen Z bilden einen faktoriellen Ring, was auch als „Fundamentalsatz der Arithmetik“ bekannt ist.
Satz 4.65. Jeder Hauptidealbereich ist faktoriell.
Korollar 4.66. Neben Beispiel 4.64 folgern wir, dass Polynomringe über Körpern faktoriell sind. Auch ist z. B. Z[i] als sogar euklidischer Bereich ebenfalls faktoriell.
Vor dem Beweis des Satzes 4.65 führen wir ein „seltsames Beispiel“ an.
Beispiel 4.67. Wir setzen
√
√
A := Z[i 5] := {m + ni 5 : m, n ∈ Z}
und beobachten
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + i 5)(1 − i 5) .
(4.2)
√
√
Nun wollen wir zeigen, dass 2, 3, 1 + i 5 und 1 − i 5 irreduzibel sind und sich jeweils
nicht nur um
√ Einheiten unterscheiden. Wir betrachten dazu die Funktion A → N, welche
a = m + ni 5 auf |a|2 = m2 + 5n2 abbildet. Diese ist multiplikativ, d. h. |ab|2 = |a|2 |b|2 .
Ein Element a ∈ A mit |a|2 = 1 muss 1 oder −1 sein, was
A× = {−1, 1}
impliziert, denn aus ab = 1 folgt |a|2 |b|2 = 1, also a, b = ±1.
Es bleibt also nur die Irreduzibilität der Faktoren aus (4.2) zu zeigen. Es sei a eines dieser
Elemente und wir nehmen a = bc, b, c ∈ A, an. Dann erhalten wir |a|2 = |b|2 |c|2 und
können o. B. d. A. von |b| ≤ |c| ausgehen.
Für a = 2 kann nun |b|2 = 2 unmöglich erfüllt sein, weshalb |b|2 = 1 und |c|2 = 4 gelten
müssen. Daraus erhalten wir b = ±1. Analog behandeln wir a = 3.
√
Für a = 1 ± i 5. Nun ist 6 = |a|2 = |b|2 |c|2 und aus |b|2 = 2 folgt wieder b = ±1 nach
|b|2 = 1 und |c|2 = 6.
Beweis von Satz 4.65. Es sei A ein Hauptidealbereich.
(1). Wir behaupten folgendes: Ist (a0 ) ⊂ (a1 ) ⊂ (a2 ) ⊂ . . . eine aufsteigende Kette von
Idealen, so gibt es ein n ∈ N mit (an ) = (an+i ) für alle i ∈ N. (d. h. A ist noethersch)
Dazu betrachten wir I := n∈N (an ) und stellen fest, dass I ein Ideal ist, denn für x ∈ (ai ),
y ∈ (aj ) haben wir x, y ∈ (amax(i,j) ), also x + y ∈ I für x, y ∈ I. Außerdem sehen wir
für x ∈ (ai ) und a ∈ A, dass ax ∈ (ai ) ⊂ I. Da A ein Hauptidealbereich ist, existiert ein
d ∈ A, welches I erzeugt, also I = (d). Da d ∈ I, gibt es ein n ∈ N mit d ∈ (an ), was
(an ) = I zeigt. Auch für alle i ∈ N haben wir dann I = (an ) ⊂ (an+i ) ⊂ I.
Algebra 1
40
4.6
Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen
(2). Wir zeigen nun die Existenz von Faktorisierungen. Wir bezeichnen dazu mit S die
Menge aller a ∈ A \ {0}, welche keine Faktorisierung in irreduzible Faktoren besitzt und
nehmen an, dass S nichtleer wäre. Weiter betrachten wir die Familie von Idealen (a) mit
a ∈ S, welche nach Übungsaufgabe ein maximales Element (b) bezüglich der Inklusion
besitzt (auch gäbe es sonst eine aufsteigende Folge von unendlich vielen Hauptidealen).
Für alle a ∈ S mit (b) ⊂ (a) muss also (b) = (a) folgen. Da außerdem b ∈ S, kann b nicht
irreduzibel sein; es gibt also x, y ∈ A, welche keine Einheiten sind und xy = b erfüllen. Für
diese Elemente ist also (b) (x) und ebenso (b) (y). Daher können x und y nicht in S
liegen, besitzen also Faktorisierungen in irreduzible Elemente. Aus diesen Faktorisierungen
ergäbe sich jedoch eine Faktorisierung von xy = b. Schließlich muss S also leer sein.
(3). Um auch die Eindeutigkeit nachzuweisen, behaupten wir nun, dass (p) ein Primideal
ist, falls p irreduzibel ist. Es sei dazu p irreduzibel, aus x|p (d. h. (p) ⊂ (x)) folge also
(x) = A oder (x) = (p). Damit ist (p) ein maximales Ideal. Für ab ∈ (p) wollen wir nun
a ∈ (p) oder b ∈ (p) folgern. Äquivalent dazu ist die Implikation, dass aus ab ∈ (p) und
a∈
/ (p) bereits b ∈ (p) folgt. Ist also a ∈
/ (p), so erhalten wir aus (p) (p, a), dass (p, a) = A
sein muss. Somit gibt es u, v ∈ A mit up + va = 1, woraus wir wegen upb + vab = b und der
Voraussetzung p|ab die Teilbarkeitsrelation p|b erhalten. Dies wiederum bedeutet b ∈ (p).
(4). Schließlich können wir die Eindeutigkeit der Faktorisierungen mithilfe von (3) zeigen.
Es sei also
up1 · · · pr = vq1 · · · qs
mit u, v ∈ A× und irreduziblen pi , pj ∈ A. Nach (3) ist (p1 ) ein Primideal; aus p1 |vq1 · · · qs
folge also, dass es ein j mit p1 |qj gibt. O. B. d. A. sei j = 1 und wir schreiben q1 = p1 u1
für eine Einheit u1 ∈ A× . Für
u✚
p✚
p✚
1 p2 · · · pr = vu1✚
1 q2 · · · qs
fahren wir induktiv fort.
Korollar 4.68. Es sei a ∈ A ein von Null verschiedenes Element eines Hauptidealbereichs
A. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) Der Faktorring A/(a) ist ein Integritätsbereich.
(ii) Der Faktorring A/(a) ist ein Körper.
(iii) Das Element a ist irreduzibel.
Beweis. Wie oben bewiesen wurde, ist (a) genau dann ein Primideal, wenn a irreduzibel
ist. Weiter wissen wir, dass A/(a) genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn (a) ein
Primideal ist. Ist all dies der Fall, so wollen wir noch zeigen, dass A/(a) ein Körper ist.
Dazu sei also b ∈ A mit b mod (a) = 0, also ist a kein Teiler von b. Dann ist ggT(a, b) = 1,
weshalb (a, b) = A und damit die Existenz von u, v ∈ A mit ua+vb = 1 folgt. Dies bedeutet
vb ≡ 1 mod (a).
4.6
Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen
Ist A ein Ring, so gibt es einen eindeutigen Ringhomomorphismus ρ : Z → A, welcher
durch



1 + 1 + · · · + 1 n > 0 ,
ρ(n) =


n-mal
0




−ρ(−n)
41
n = 0,
n<0
Algebra 1
4
Ringe
gegeben ist. Der Kern von ρ, ein Ideal in Z, werde vom eindeutig bestimmten m ≥ 0
erzeugt. Ist m = 0, so ist ρ injektiv, andernfalls betrachten wir folgendes Diagramm:
ρ
Z
/ im ρ
<
∼
=
Zm
Insbesondere ist im ρ isomorph zu Zm und auch ist im ρ in jedem Unterring von A enthalten. Wir nennen die Zahl m die Charakteristik char(A) von A; dies ist also die kleinste
natürliche Zahl m, für welche die m-fache Summation von Eins das Nullelement ergibt.
Bemerkung 4.69. Ist A sogar ein Integritätsbereich, so ist dessen Charakteristik m entweder Null oder eine Primzahl. Ist nämlich im ρ nicht isomorph zu Z (d. h. ist die Charakteristik nicht Null), so ist auch Z/(m) ein Integritätsbereich, was nach Korollar 4.68
bedeutet, dass m eine Primzahl ist.
Im Folgenden werden wir ρ(n) und n identifizieren und schreiben für n ∈ N und a ∈ A
z. B.
n · a := ρ(n)a = a + · · · + a .
Von besonderem Interesse ist der Fall, dass die Charakteristik von A eine Primzahl p ist.
Dann können wir nämlich den Körper Zp als Unterring von A auffassen und A daher als
Zp -Vektorraum mit Skalarmultiplikation λa := λ · a.
Lemma 4.70. Es sei A ein kommutativer Ring von Primzahlcharakteristik. Dann ist die
Frobenius-Abbildung
Φ : A → A , a → ap
ein Zp -linearer Ringhomomorphismus.
Beweis. Leicht einzusehen sind Φ(1) = 1 und Φ(λa) = λp ap = λap = λΦ(a) für a ∈ A,
λ ∈ Zp nach dem kleinen Fermatschen Satz. Es bleibt Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b) zu zeigen.
Der binomische Lehrsatz liefert zunächst
p
(a + b)p =
i=0
p−1
p i p−1
p i p−i
ab
= ap + bp +
ab .
i
i
i=1
Es genügt nun, pi ≡ 0 mod p, also pi = 0 in A für 1 < i < p nachzuweisen. Dies
wiederum folgt daraus, dass p ein Teiler von pi = p (p−1)···(p−i+1)
∈ Z ist (der Nenner i!
i!
enthält p nicht als Primfaktor, da i < p) und mit p = 0 in A.
Es sei A wieder ein kommutativer Ring und f =
Wir nennen dann das Polynom
d
i
i=0 ai X ,
ai ∈ A, ein Polynom in A[X].
d
iai X i−1 ∈ A[X]
f :=
i=1
die formale Ableitung von f . Insbesondere ist deg f = deg f − 1 für f = 0.
Lemma 4.71. Die Abbildung f → f auf A[X] besitzt folgende Eigenschaften:
(i) Für alle f, g ∈ A[X] gilt (f + g) = f + g .
Algebra 1
42
4.6
Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen
(ii) Für alle f, g ∈ A[X] gilt (f g) = f g + f g .
(iii) Für alle f ∈ A[X] und a ∈ A gilt (af ) = af .
Beweis. Leicht.
Man beachte jedoch, dass Polynome, deren Ableitung Null ist, nicht konstant sein müssen,
d. h. aus f = 0 für f ∈ A[X] folgt nicht f ∈ A. Hat A nämlich die Charakteristik m > 0,
so betrachte man f = X m . Hierfür gilt f = mX m−1 = 0.
Wir betrachten nun die Situation A = Zp , wobei p eine Primzahl ist.
Lemma 4.72. Es sei f ∈ Zp [X] ein Polynom mit f = 0. Dann existiert ein Polynom
g ∈ Zp [X] mit f = g p .
Beweis. Es sei f = di=0 ai X i mit ai ∈ Zp und wir nehmen f = di=1 iai X i−1 = 0 an,
also iai = 0 für alle i = 1, . . . , d. Dies wiederum ist genau dann der Fall, wenn ai = 0 oder
i = 0 (also p|i) für jedes i. Mit anderen Worten verschwinden alle Koeffizienten, deren
Indizes keine Vielfachen von p sind. Wir können daher
ajp X jp
f=
j
schreiben. Wir erinnern nun abermals an den kleinen Fermatschen Satz, der apjp = ajp
liefert. Damit ergibt sich
p
apjp X jp
f=
j
j p
ajp X
(ajp X ) =
=
j
= gp
j
j
=:g
nach Lemma 4.70.
Bemerkung 4.73. Dieses Lemma gilt über beliebigen perfekten Körpern. Dabei heißt ein
Körper ❦ Körper perfekt, falls er Charakteristik Null hat oder im Falle von char(❦) = p
für alle a ∈ ❦ ein b ∈ ❦ mit bp = a existiert („es existieren p-te Wurzeln“). Z. B. ist Zp für
alle Primzahlen p perfekt.
Definition 4.74. Es sei ❦ ein Körper und f ∈ ❦[X] ein nichtkonstantes Polynom (also
f ∈
/ ❦). Wir nennen f quadratfrei, falls f keinen irreduziblen Faktor einer Vielfachheit
größer Eins besitzt.
Beispiel 4.75. Das Polynom f = X 2 + 2X + 1 = (X + 1)2 ist nicht quadratfrei.
Satz 4.76. Ein Polynom f ∈ Zp [X] \ Zp ist genau dann quadratfrei, wenn f und f
teilerfremd sind, d. h. ggT(f, f ) = 1.
Beweis. Zunächst sei f nicht quadratfrei; es gebe also Polynome g, h ∈ Zp [X] mit f = g 2 h
und deg g > 0. Dann ist (g 2 ) = gg +g g = 2gg und somit f = 2gg h+g 2 h = g(2g h+gh ),
weshalb g ein gemeinsamer Teiler von f und f ist.
Umgekehrt sei f quadratfrei, wir schreiben also
f = λq1 q2 · · · qr
43
Algebra 1
4
Ringe
mit irreduziblen, normierten2 und paarweise verschiedenen qi und λ ∈ Zp . Wir erhalten
r
q1 · · · qi−1 qi qi+1 · · · qr .
f =λ
i=1
Angenommen, ggT(f, f ) = 1, es gebe also ein j, für welches qj die formale Ableitung f
teilt. Insbesondere ist
qj |q1 · · · qj−1 qj qj+1 · · · qr .
Damit muss qj einen der Faktoren teilen; dieser kann nur qj sein. Aus qj |qj muss jedoch
qj = 0 folgen, denn sonst wäre deg qj < deg qj . Nach Lemma 4.72 gibt es jedoch ein
g ∈ Zp [X] mit qj = g p . Dies widerspricht der Irreduzibilität von qj .
Bemerkung 4.77. Auch dieser Satz gilt für beliebige perfekte Körper.
Wir reduzieren nun das Faktorisierungsproblem auf quadratfreie Polynome. Dazu verwenden wir folgenden Algorithmus, der zu einer Eingabe f ∈ Zp [X], deg f ≥ 1, ausgibt, ob f
quadratfrei ist und ansonsten eine echte Zerlegung von f liefert:
1. Berechne f .
2. Falls f = 0, so ist f = g p . Gib dies aus.
3. Falls f = 0, berechne ggT(f, f ) mit dem Euklidischen Algorithmus.
4. Ist ggT(f, f ) = 1, so gib aus, dass f quadratfrei ist.
f
5. Ist ggT(f, f ) = 1, so gib die Zerlegung f = ggT(f, f ) ggT(f,f
)
aus.
Dieser Algorithmus arbeitet nach der bisher entwickelten Theorie korrekt und wiederholtes
Anwenden liefert eine vollständige Zerlegung von f in ein Produkt quadratfreier Polynome.
Nun fragen wir uns also noch, wie ein quadratfreies Polynom f ∈ Zp [X] in irreduzible
Faktoren zerlegt werden kann. Es sei dazu
f = q1 · · · qr
ein normiertes Polynom mit irreduziblen, normierten und paarweise verschiedenen qi . Wir
setzen n := deg f ≥ 1 und betrachten den Restklassenring A := Zp [X]/(f ). Die Restklasse
a mod (f ) für a ∈ Zp [X] ist genau dann eine Einheit, wenn ggT(a, f ) = 1, und genau dann
ein Nullteiler, wenn ggT(a, f ) = 1. Zur Faktorisierung von f suchen wir also Nullteiler in
Zp [X]/(f ). Wir betrachten nun die Zp -lineare Frobenius-Abbildung Φ : A → A, a → ap
und die Menge
B := {a ∈ A : Φ(a) = ap = a} .
Lemma 4.78. In obiger Situation gelten folgende Aussagen:
(i) Die Menge B ist ein Unterring von A.
(ii) Es ist B = ker(Φ − id).
(iii) Es ist Zp ⊂ B und ist A ein Körper, so gilt sogar Zp = B.
2
Leitkoeffizienten seien Eins
Algebra 1
44
4.6
Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen
Beweis. (i) und (ii) sind klar. Ebenso klar ist Zp ⊂ B. Wir betrachten weiter das Polynom
f := X p − X =∈ A[X], welches höchstens p = deg f Nullstellen hat, wenn A ein Körper
ist. Diese sind bereits alle p Elemente von Zp .
Außerdem besagt der Chinesische Restsatz, dass
χ : Zp [X]/(f ) → Zp [X]/(q1 ) × · · · × Zp [X]/(qr )
=A
=:A1
=:Ar
ein Isomorphismus ist, da die qi paarweise teilerfremd sind. Dabei ist jeder Ring Ai ein
Körper, da qi irreduzibel ist.
Lemma 4.79. Es ist χ(B) = Zp × · · · × Zp .
Beweis. Es sei χ(a) = (a1 , . . . , ar ). Für a ∈ B gilt also χ(a)p = χ(ap ) = χ(a). Dies
wiederum ist äquivalent zu
(ap1 , . . . , apr ) = (a1 , . . . , ar ) ,
also api = ai für alle i. Da Ai = Zp [X]/(qi ) ein Körper ist, ist daher ai ∈ Zp nach Lemma
4.78. Zusammenfassend ist genau dann a ∈ B, wenn ai ∈ Zp für alle i.
Korollar 4.80. Es ist B ∼
= Zp × · · · × Zp , wobei das Produkt über r Faktoren gebildet wird.
Insbesondere ist dimZp B = r.
Mit B = ker(Φ − id) können wir deshalb die Anzahl r der irreduziblen Faktoren von f
mittels linearer Algebra über Zp (effizient) berechnen. Wir haben also einen effizienten
Irreduzibilitätstest.
Es sei nun wieder A := Zp [X]/(f ) und es sei g ∈ Zp [X]. Wir bemerken, dass g mod (f )
genau dann eine Einheit in A ist, wenn ggT(f, g) = 1. Andernfalls ist g mod (f ) ein
Nullteiler.
Für t > 1 ist Zp B ∼
= Zt .
p
Lemma 4.81. Es sei a ∈ B \ Zp . Dann existiert ein s ∈ Zp , so dass a − s ein Nullteiler
in B ist, also ggT(a − s, f ) = 1.
Beweis. Es sei χ(a) = (a1 , . . . , at ) ∈ Ztp . Es gibt nun ein i mit a1 = ai , denn sonst wäre
a ∈ Zp . Setzen wir s = ai , so ist
χ(a − s) = a1 − s, a2 − s, . . . , ai − s, . . . , at − s
=0
ein Nullteiler und so auch a − s.
Dies führt zu folgendem Algorithmus:
1. Berechne eine Zp -Basis von B = ker(Φ − id).
2. Falls t > 1, so finde ein Basiselement a ∈ B \ Zp .
3. Teste für alle s ∈ Zp , ob ggT(a − s, f ) = 1 (kann bis zu p Schritte Kosten; nur für
kleines p effizient).
45
Algebra 1
4
Ringe
Bemerkung 4.82. Berlekamp entwickelte einen weiteren Algorithmus, der randomisiert ist
und nur (n log p)c Schritte braucht.
Wir beschreiben den Algorithmus nun mit mehr Details.
Für j = 0, . . . , n − 1 sei
n−1
j
Φ(X ) = X
jp
βij X i
=
i=0
∈Zp
in A = Zp [X]/(f ). Dann hat Φ − id : A → A bezüglich der Basis {1, . . . , X n−1 } die
Darstellungsmatrix [βij − δij ] ∈ Zn×n
.
p
Berlekamps Algorithmus
Eingabe: Ein normiertes quadratfreies Polynom f ∈ Zp [X] vom Grad n ≥ 1.
Ausgabe: Die Anzahl t der irreduziblen Faktoren von f und für t > 1 eine nichttriviale
Zerlegung von f .
n× (n−1)p+1
1. Berechne eine Matrix [αij ] ∈ Zp
mit
n−1
Xk =
αik X i .
i=0
durch Auswählen der jp-ten Spalten von [αik ].
2. Berechne [βij ] ∈ Zn×n
p
3. Transformieren [βij − δij ] auf Treppen- bzw. Stufenform.
4. Berechne eine Zp -Basis von B = ker[βij − δij ] und gib t = dim B aus.
5. Ist t > 1, so finde ein Basiselement a ∈
/ Zp und berechne für s = 0, 1, . . . , p − 1 den
größten gemeinsamen Teiler d := ggT(a − s, f ) bis d = 1. Gib nun f = d fd aus.
Algebra 1
46
5
Polynome
5.1
Multivariate Polynome
Wir kennen bereits den Polynomring A[X] über einem Ring A in einer Variablen X. Diese
Konstruktion verallgemeinern wir auf mehrere Variablen.
Es sei A ein beliebiger kommutativer Ring. Für eine Abbildung f : Nn → A definieren wir
den Träger
supp(f ) := ε ∈ Nn : f (ε) = 0 .
Wir betrachten die Menge
Γ(Nn , A) := f : Nn → A : supp(f ) ist endlich .
Dies ist eine Gruppe bezüglich der punktweisen Addition. Außerdem haben wir eine Skalarmultiplikation
A × Γ(Nn , A) → Γ(Nn , A) , (a, f ) → a · f ,
wobei
a · f : ε → af (ε) .
Es gelten für Γ(Nn , A) die gleichen Axiome wie die für Vektorräume.
Für ε ∈ Nn sei δε ∈ Γ(Nn , A) die Indikatorfunktion von ε,
δ ε : Nn → A , ε →
1
0
ε =ε
.
sonst
Für f ∈ Γ(Nn , A) haben wir eine eindeutige Zerlegung
f (ε)δε ,
f=
ε∈supp(f )
womit die δε gewissermaßen eine Basis bilden. Den Wert f (ε) nennen wir den Koeffizienten
von f bei ε. Da Nn bezüglich der Addition ein Monoid ist, können wir durch
(f ∗ g)(ε) :=
f (ε )g(ε )
ε +ε =ε
ein Produkt von f, g ∈ Γ(Nn , A) definieren, welches auch Konvolution bzw. Faltung genannt wird. Nun ist f ∗ g = g ∗ f , f ∗ δ0 = f , f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h und außerdem
f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.
Proposition 5.1. Die Menge Γ(Nn , A) ist bezüglich der Addition und der Konvlution ein
kommutativer Ring und heißt Polynomring über A in n Variablen.
Es gilt weiterhin δε ∗ δε = δε +ε . Es sei nun
ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) ∈ Nn .
i
Dann können wir
n
εi ei
ε=
i=1
47
Algebra 1
5
Polynome
schreiben und es ist
δε = δε1 e1 ∗ · · · ∗ δεn en = δeε11 ∗ · · · ∗ δeεnn
mit der Potenzschreibweise f k := f k−1 ∗f , f 0 := δ0 . Man beachte dazu δkε = δε+···+ε = δεk .
Wir schreiben δi := δei und für f ∈ Γ(Nn , A) erhalten wir
f=
f (ε)δ1ε1 ∗ · · · ∗ δnεn .
f (ε)δε =
ε
ε
Auch schreiben wir Xi := δi und nennen dies Variablen oder Unbestimmte. Dann führen
wir die Bezeichnung
A[X1 , . . . , Xn ] := Γ(Nn , A)
für den Polynomring ein.
Wir haben einen injektiven Ringhomomorphismus A → A[X1 , . . . , Xn ], a → aδ0 , womit
wir A als Teilmenge von A[X1 , . . . , Xn ] auffassen können, indem wir aδ0 mit a identifizieren.
Nun haben wir also einen Polynomring P = A[X1 , . . . , Xn ] mit einem Ringhomomorphismus A → P und ausgezeichneten Elementen X1 , . . . , Xn .
Satz 5.2 (Universelle Eigenschaft). Es seien A und B kommutative Ringe mit einem
Ringhomomorphismus ϕ : A → B. Weiter seien b1 , . . . , bn ∈ B. Dann gibt es genau einen
Ringhomomorphismus ϕ : A[X1 , . . . , Xn ] → B, so dass ϕ (Xi ) = bi für alle i gilt und das
folgende Diagramm kommutiert:
ϕ
A
8/ B
ϕ
A[X1 , . . . , Xn ]
Beweis. Für die Eindeutigkeit schreiben wir
f (ε)X1ε1 · · · Xnεn
f=
ε
und erhalten
ϕ f (ε) bε11 · · · bεnn =
ϕ (f ) =
ϕ f (ε) bε11 · · · bεnn .
(5.1)
ε
ε
Die Existenz zeigen wir, indem wir ϕ durch (5.1) definieren und zeigen, dass dies ein
Ringhomomorphismus ist.
Haben wir einen kommutativen Ring R mit ausgezeichneten Elementen r1 , . . . , rn ∈ R, so
gibt es also genau einen Homomorphismus Xi → ri , so dass
8/ R
Z
Z[X1 , . . . , Xn ]
kommutiert.
Algebra 1
48
5.1
Multivariate Polynome
Bemerkung 5.3. Es sei A ⊂ B ein Unterring eines Rings B, wobei ϕ : A → B die Inklusion
sei. Es seien weiter bi ∈ B, i = 1, . . . , n. Dann heißt
ϕ : A[X1 , . . . , Xn ] → B , Xi → bi
Auswertungshomomorphismus und man schreibt suggestiv
f (b1 , . . . , bn ) := ϕ (f )
für f ∈ A[X1 , . . . , Xn ].
Definition 5.4. Es sei wieder A ⊂ B ein Unterring. Elemente b1 , . . . , bn ∈ B heißen algebraisch unabhängig über A, falls der Kern des zugehörigen Auswertungshomomorphismus
trivial ist, d. h. falls f (b1 , . . . , bn ) = 0 für ein f ∈ A[X1 , . . . , Xn ] gilt, so muss f = 0 sein.
Beispiel 5.5. Es ist A ⊂ A[X1 , . . . , Xn ] und die Variablen X1 , . . . , Xn sind algebraisch
unabhängig über A.
Beispiel 5.6 (n = 1). Statt b ∈ B algebraisch unabhängig über A zu nennen, sagen wir
auch, dass b transzendent über A ist.
Für A = Q ⊂ R = B ist bekannt, dass π und e transzendent sind. Es ist ein offenes
Problem, ob {e, π} algebraisch unabhängig über Q sind.
Lemma 5.7. Der Polynomring A[X1 , . . . , Xn ][X] in einer Variablen X über einem Polynomring A[X1 , . . . , Xn ] ist isomorph zum Polynomring A[X1 , . . . , Xn , Xn+1 ].
Beweisskizze. Wir betten A[X1 , . . . , Xn ] durch die Inklusion ϕ in A[X1 , . . . , Xn+1 ] ein und
die universelle Eigenschaft liefert einen Ringhomomorphismus
ϕ : A[X1 , . . . , Xn ][X] → A[X1 , . . . , Xn+1 ] ,
welcher ϕ fortsetzt und ϕ (X) = Xn+1 erfüllt. Man verifiziert nun, dass ϕ ein Isomomorphismus ist.
Wir führen die folgende Bezeichnung ein: Für ε ∈ Nn nennen wir X ε := X1ε1 · · · Xnεn ein
Monom. Die Größe deg X ε := ε1 + · · · + εn nennen wir den Grad von X ε . Ein Polynom
f heißt homogen, falls alle in f vorkommenden Monome (Monome X ε mit ε ∈ supp(f ))
den gleichen Grad d haben, also deg X ε = d für alle ε ∈ supp(f ). Der Grad deg f eines
Polynoms f = 0 ist der maximale Grad der vorkommenden Monome.
Beispiel 5.8. Das Polynom
f = X13 X2 X3 + X12 X22 X3 + X35
ist homogen vom Grade Fünf.
Das Polynom
g = X12 X24 X33 + X1 X25 X3 + X2 + X3 + 1
ist nicht homogen und hat Grad deg g = 9.
Wir wissen: Ist A ein Integritätsbereich, so ist auch A[X] ein Integritätsbereich und es ist
A[X]× = A× .
Korollar 5.9. Ist A ein Integritätsbereich, so ist A[X1 , . . . , Xn ] ein Integritätsbereich und
A[X1 , . . . , Xn ]× = A× .
Beweis. Folgt induktiv mit Lemma 5.7 und dem oben in Erinnerung gerufenen Resultat.
49
Algebra 1
5
Polynome
5.2
Faktorisierung
Wir wissen, dass ❦[X] faktoriell ist, falls ❦ ein Körper ist. Wir zeigen nun folgendes: Ist
A faktoriell, so ist A[X] faktoriell. Mit Lemma 5.7 folgt dann wieder, dass ❦[X1 , . . . , Xn ]
faktoriell ist, falls ❦ ein Körper ist.
Zuerst zeigen wir, dass jeder Integritätsbereich als Unterring eines Körpers vorkommt.
Satz 5.10. Für jeden Integritätsbereich A gibt es einen Körper ❦ und einen injektiven
Ringhomomorphismus ϕ : A → ❦ mit folgender universeller Eigenschaft: Zu jedem Körper
❦ mit injektivem Ringhomomorphismus ϕ : A → ❦ gibt es genau einen Ringhomomorphismus ψ : ❦ → ❦ , so dass folgendes Diagramm kommutiert:
ϕ
A
/❦
ψ
ϕ
❦
Bemerkung 5.11. Man fasst ϕ : A → ❦ als Inklusion auf und schreibt daher die Elemente
von ❦ in der Form ab . Auch nennt man ❦ den Quotientenkörper von A. Dieser ist bis auf
Isomorphie eindeutig bestimmt.
Beispiel 5.12. Die rationalen Zahlen Q sind der Quotientenkörper von Z.
Beweis zu Satz 5.10. Wir konstruieren ❦ analog zur Konstruktion von Q aus Z: Auf der
Menge A × (A \ {0}) eine Äquivalenzrelation durch
(a, b) ∼ (a , b ) :⇔ ab = a b .
Zum Nachweis der Transitivität müssen wir die Voraussetzung benutzen, dass A ein Integritätsbereich sei. Nun definieren wir auf der Menge ❦ der Äquivalenzklassen Addition
und Multiplikation durch
(a, b) + (a , b ) := (ab + a b, bb )
und
(a, b) · (a , b ) := (aa , bb ) .
Man verifiziert nun, dass diese Operationen wohldefiniert sind und dass
mit Null [(0, 1)] und Eins [(1, 1)] ist. Insbesndere gilt für a, b ∈ A \ {0}
❦
einen Körper
(a, b) · (b, a) = (ab, ba) = (1, 1) .
Weiter ist die Abbildung ϕ : A → ❦, a → [(a, 1)] ein injektiver Ringhomomorphismus. Zur
universellen Eigenschaft sei ϕ : A → ❦ gegeben, wobei auch ❦ ein Körper sei. Wir setzen
nun ψ [(a, b)] := ϕ (a)ϕ (b)−1 und verifizieren, dass dies ein wohldefinierter Ringhomomorphismus ist.
Beispiel 5.13. Es sei ❦ ein Körper und A = ❦[X]. Dann nennen wir den Quotientenkörper
von ❦[X] auch den rationalen Funktionskörper ❦(X) in der Variablen X über ❦. Elemente
von ❦(X) schreiben wir als fg , wobei f, g ∈ ❦[X], g = 0, Polynome sind.
Wir wenden uns nun wieder dem Faktorisierungsproblem zu und nehmen an, dass A ein
faktorieller Ring ist, dessen Quotientenkörper wir ❦ nennen. Wir wissen bereits, dass ❦[X]
faktoriell ist und auch können wir A[X] ⊂ ❦[X] schreiben. Nun wollen wir zeigen, dass
A[X] faktoriell ist.
Algebra 1
50
5.2
Faktorisierung
Definition 5.14. Zwei Elemente a, b ∈ A eines Integritätsbereiches A heißen assoziiert,
falls es eine Einheit u ∈ A× mit a = ub gibt. Dann schreiben wir a ∼ b und ∼ ist eine
Äquivalenzrelation.
Beispiel 5.15. In A = Z sind a und −a assoziiert.
In A = ❦[X] sind zwei Polynome f, g ∈ ❦[X] genau dann assoziiert, wenn es ein λ ∈
mit f = λg ist.
❦×
In faktoriellen Ringen existiert der größte gemeinsame Teiler und ist eindeutig bis auf
Assoziiertheit.
Definition 5.16. Der Inhalt I(f ) ∈ A eines von Null verschiedenen Polynoms f ∈ A[X]
über einem faktoriellen Ring A ist der größte gemeinsame Teiler seiner Koeffizienten. Ein
Polynom f heißt primitiv, falls sein Inhalt Eins (sprich: eine Einheit) ist.
Beispiel 5.17. Wir betrachten A = Z und f = 4X 2 + 6X + 10. Dann ist I(f ) = 2 und
f = 2(2X 2 + 3X + 5). Allgemein können wir jedes Polynom f als f = I(f )f˜ für ein
Polynom f˜ ∈ A[X] schreiben, welches wir den primitiven Teil von f nennen.
Lemma 5.18 (Gauß-Lemma). Das Produkt primitiver Polynome über einem faktoriellen
Ring ist primitiv.
Beweis. Es seien f, g ∈ A[X] primitiv (wobei A faktoriell sei), nicht aber h = f g, also
I(h) = 1. Dann existiert ein irreduzibles p ∈ A, welches I(h) teilt. Das von p erzeugte
Ideal (p) ist ein Primideal, womit R := A/(p) ein Integritätsbereich ist. Der kanonische
Homomorphismus A → R induziert einen Ringhomomorphismus
ai X i →
A[X] → R[X] ,
ai X i .
i
i
Es gilt nun jedoch h = 0 und somit f · g = h = 0, womit f = 0 oder g = 0 folgt, da R[X]
ein Integritätsbereich ist. O. B. d. A. sei f = 0, weshalb p Teiler aller Koeffizienten von f
ist, was ein Widerspruch zur Primitivität von f ist.
Lemma 5.19. Es seien f, g ∈ A[X] primitiv und A ein faktorieller Ring. Weiter sei
der Quotientenkörper von A. Dann gelten folgende Aussagen:
❦
(i) Die Polynome f und g sind genau dann assoziiert in A[X], wenn sie assoziiert in
❦[X] sind.
(ii) Das Polynom f ist genau dann irreduzibel in A[X], wenn f irreduzibel in ❦[X] ist.
Beweis. (i), „⇒“ ist klar.
„⇐“. Es sei f = ab g mit a, b ∈ A \ {0}. Dann ist bf = ag und daher b ∼ I(bf ) ∼ I(ag) ∼ a,
womit a = ub für ein u ∈ A× folgt. Dies bedeutet f = ug.
(ii), „⇐“. Es sei f irreduzibel in ❦[X] und f = gh in A[X]. Dann ist deg g = 0 oder
deg h = 0, o. B. d. A. deg g = 0. Damit folgt g ∈ A und über g|I(f ) erhalten wir g ∈ A× .
„⇒“. Es sei f reduzibel in ❦[X], d. h. es sei f = gh für Polynome f , g vom Grade Eins oder
größer. Wir schreiben g = ab g˜, wobei g˜ ∈ A[X] primitiv sei und a, b ∈ A, b = 0. Analog
˜ für primitives h
˜ ∈ A[X] und a , b ∈ A, b = 0. Wir erhalten nun
schreiben wir h = ab h
f = gh =
51
aa ˜
g˜h ,
bb
Algebra 1
5
Polynome
˜ Da f primitiv ist, ist bb ∼ I(bb f ), und nach dem Gauß-Lemma ist g˜h
˜
also bb f = aa g˜h.
aa
˜
primitiv, womit wir bb ∼ I(bb f ) ∼ I(aa g˜h) ∼ aa ist. Damit ist u := bb wie oben sogar
˜ ist eine echte Zerlegung von f .
eine Einheit in A, d. h. f = u˜
gh
Satz 5.20. Ist A faktoriell, so ist auch A[X] faktoriell.
Korollar 5.21. Ist A faktoriell und n ≥ 1, so ist auch A[X1 , . . . , Xn ] faktoriell.
Beweis. Durch Induktion nach n. Der Induktionsstart ist obiger Satz, der Induktionsschritt ergibt sich aus A[X1 , . . . , Xn+1 ] ∼
= A[X1 , . . . , Xn ][Xn+1 ] und der Induktionsvoraussetzung, dass A[X1 , . . . , Xn ] faktoriell ist.
Beweis zu Satz 5.20. Wir zeigen zunächst die Existenz einer Zerlegung in irreduzible Elemente. Sei dazu f ∈ A[X] von Null verschieden. Wir schreiben f = I(f )f˜ für ein primitives
f˜. Nun zerlegen wir
I(f ) = a1 · · · am ,
wobei die ai ∈ A irreduzibel sind – dies ist möglich, da A faktoriell ist. Außerdem fassen
wir f˜ ∈ A[X] als Polynom über dem Quotientenkörper ❦ von A auf. Da Polynomringe
über Körpern faktoriell sind, können wir in ❦[X]
f˜ = p1 · · · pr
schreiben, wobei die pi ∈ ❦[X] irreduzibel sind. Diese stellen wir in der Form
pi =
αi
p˜i
βi
mit αi , βi ∈ A, βi = 0 und primitivem p˜i ∈ A[X]. Nun ist
β1 · · · βr f˜ = α1 · · · αr p˜1 · · · p˜r
und p˜1 · · · p˜r ist primitiv. Es gibt also eine Einheit u ∈ A× mit f˜ = u˜
p1 · · · p˜r . Wir wissen, dass p˜i primitiv und irreduzibel in ❦[X] ist. Nach Lemma 5.19 ist p˜i ∈ A[X] auch
irreduzibel in A[X]. Wir erhalten also eine Zerlegung
f = I(f )f˜ = ua1 · · · am p˜1 · · · p˜r
in irreduzible Elemente a1 , . . . , am und p˜1 , . . . , p˜r .
Wir zeigen nun auch die Eindeutigkeit dieser Zerlegung. Schreiben wir
f = b1 · · · bn q1 · · · qs
für irreduzible bi ∈ A und nichtkonstante qi ∈ A[X], so sind die qi offenbar auch primitiv.
Damit ist auch q1 · · · qs primitiv, es gibt also eine Einheit v ∈ A× mit f˜ = vq1 · · · qs und
I(f ) = v −1 b1 · · · bn . Insbesondere sind durch
u˜
p1 · · · p˜r = f = vq1 · · · qs
zwei Zerlegungen in Irreduzible in ❦[X] gegeben. Da ❦[X] jedoch faktoriell ist, haben wir
r = s und (o. B. d. A. – bis auf Permutation) p˜i ist assoziiert zu qi in ❦[X]. Nach Lemma
5.19 sind p˜i und qi auch assoziiert in A[X]. Analog erhalten wir aus
a1 · · · am ∼ I(f ) ∼ b1 · · · bn ,
dass n = m und o. B. d. A. ist ai assoziiert zu bi , denn A ist faktoriell.
Algebra 1
52
5.2
Faktorisierung
Wir geben nun eine hinreichende Bedingung für Irreduzibilität.
Satz 5.22 (Eisensteinscher Satz). Es sei A faktoriell, ❦ der Quotientenkörper und n ≥ 1.
Weiter sei
f = f0 + f1 X + · · · + fn−1 X n−1 + fn X n ∈ A[X]
und p ∈ A sei irreduzibel. Gelten nun die Beziehungen
fi ≡ 0
mod p
für 0 ≤ i < n und
fn ≡ 0
mod p , und f0 ≡ 0
mod p2 ,
so ist f irreduzibel in ❦[X].
Beispiel 5.23. Wir betrachten
f = X 5 − 9X 2 + 15X − 3 ∈ Z[X]
und p = 3. Nach dem Satz von Eisenstein ist f irreduzibel in Q[X]. Da f primitiv ist, ist
f auch irreduzibel in Z[X].
√
Außerdem ist X n − p irreduzibel in Z[X], falls p eine Primzahl ist. Damit ist n p ∈
/ Q für
n > 1.
Beweis. Wir schreiben f = I(f )f˜ für primitives f˜ und da p kein Teiler von fn ist, ist
p auch kein Teiler von I(f ). Somit erfüllt f˜ die Voraussetzungen des Satzes. O. B. d. A.
können wir also annehmen, dass f primitiv ist, denn I(f ) ∈ ❦× .
Angenommen, f wäre nicht irreduzibel. Dann gibt es eine Zerlegung f = gh in A[X] mit
g = g0 + · · · + gd X d
und
h = h0 + · · · + hm X m ,
so dass deg f = n = m + d und fn = gd hm . Wir erhalten f0 = g0 h0 , p|f0 und p2 teilt
nicht f0 . O. B. d. A. sei p|g0 und p teile nicht h0 . Wir betrachten den Ringhomomorphismus
A[X] → A/(p)[X], f → f . Dann ist f = fn X n = gh. Wir bemerken
h = h0 +h1 X + · · · + hm X m
=0
und
g = gk X k + · · · + gd X d
=0
=0
für ein k ≤ d. Dann wäre jedoch
hg = gk h0 X k + · · · + gd hm X n
=0
=0
in A/(p)[X]. Dies widerspricht f = fn X n , da k ≤ d < d + m = n.
53
Algebra 1
5
Polynome
5.3
Symmetrische Polynome
Es sei A ein kommutativer Ring und R := A[X1 , . . . , Xn ]. Für π ∈ Sn definieren wir den
Ringhomomorphismus Dπ : R → R durch Dπ (a) = a für alle a ∈ A und Dπ (Xi ) = Xπ(i) .
Es gilt Did = idR und Dπ2 ◦ Dπ1 = Dπ2 ◦π1 . Damit ist Dπ ein Ringautomorphismus und
wir sagen, dass Sn auf R durch Ringautomorphismen operiert. Wir schreiben
π.f := Dπ (f )
für π ∈ Sn und f ∈ R.
Definition 5.24. Ein Polynom f ∈ R heißt symmetrisch, falls π.f = f für alle π ∈ Sn .
Beispiel 5.25. Wir betrachten R = A[X1 , X2 , X3 ] und f1 = X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 . Dieses
Polynom f1 ist symmetrisch. Das Polynom f2 = X1 X2 + X1 X3 jedoch ist nicht symmetrisch.
Wir behaupten nun, dass die Menge RSn der symmetrischen Polynome f ∈ R ein Unterring
von R ist. Sind nämlich f und g symmetrisch und π ∈ Sn , so ist Dπ (f + g) = Dπ (f ) +
Dπ (g) = f + g. Analog ist Dπ (f g) = f g.
Definition 5.26. Es sei 0 ≤ k ≤ n. Das k-te elementarsymmetische Polynom in n Variablen ist
σk =
Xi .
S⊂[n] i∈S
|S|=k
Beispiel 5.27. Es ist σ0 = 1, σ1 = X1 + · · · + Xn und σ2 =
σn = X1 X2 · · · Xn .
i<j
Xi Xj . Außerdem ist
Man sieht leicht, dass die σk symmetrisch sind.
Es ist eine fundamentale Beziehung (als Satz von Vieta bekannt), dass für eine Unbestimme
T über R das Polynom
p := (T − X1 ) · · · (T − Xn ) ∈ R[T ]
bis auf Vorzeichen die Koeffizienten σk hat:
n
p=
(−1)k σk T n−k .
k=0
Für n = 3 ist z. B.
(T −X1 )(T −X2 )(T −X3 ) = T 3 −(X1 +X2 +X3 )T 2 +(X1 X2 +X1 X3 +X2 X3 )T −X1 X2 X3 .
Satz 5.28 (Hauptsatz über symmetrische Polynome). Für alle symmetrischen Polynome
f ∈ RSn gibt es genau ein Polynom p ∈ A[Y1 , . . . , Yn ], so dass
f = p(σ1 , . . . , σn ) .
Bemerkung 5.29. Es ist also
A[Y1 , . . . , Yn ] → A[X1 , . . . , Xn ]Sn , Yi → σi , a → a ,
a ∈ A, ein Ringisomorphismus.
Die elementarsymmetrischen Polynome σ1 , . . . , σn ∈ A[X1 , . . . , Xn ]Sn sind algebraisch unabhängig über A.
Algebra 1
54
5.3
Symmetrische Polynome
Wir bereiten nun den Beweis des Satzes vor.
Wir ordnen die Terme lexikographisch und schreiben
X1α1 · · · Xnαn ≺ X1β1 · · · Xnβn ,
falls αi = βi für alle i bis zu einem k (also i < k), für welches αk < βk gelte. Durch
Xα
X β :⇔ X α = X β oder X α ≺ X β
wird eine totale Ordnung auf der Menge der Terme definiert. Außerdem setzen wir natürlich X α X β :⇔ X β X α . Z. B. ist
X3 ≺ X2 ≺ X1 , X2 X3 ≺ X1 X3 ≺ X1 X2 .
Lemma 5.30. Für alle α, β, γ ∈ Nn gelten folgende Aussagen:
(i) Aus X α
X β folgt X α X γ ≺ X β X γ .
(ii) Es ist 1 = X 0
Xβ.
(iii) Jede nichtleere Menge von Termen hat ein minimales Element.
Beweis. Übung.
Bemerkung 5.31. Eine Termordnung ist eine totale Ordnung auf der Menge der Terme,
welche die drei Eigenschaften aus dem obigen Lemma besitzt.
Der Leitterm lt(f ) eines von Null verschiedenen Polynoms f ∈ A[X1 , . . . , Xn ] ist der nach
lexikographischer Ordnung größte in f vorkommende Term. Sein Koeeffizient lc(f ) heißt
Leitkoeffizient.
Beispiel 5.32. Es sei f = aX1 X2 + bX1 X3 + cX2 X3 mit a, b, c = 0. Dann ist lt(f ) = X1 X2
mit lc(f ) = a. Weiter ist lt(σk ) = X1 . . . Xk .
Bemerkung 5.33. Für zwei Polynome f, g = 0 ist lt(f g) = lt(f ) lt(g), falls lc(f ) lc(g) = 0.
Beweis. Es ist
λi si
f = λ lt(f ) +
i
mit λ = lc(f ) = 0 ∈ A, λi ∈ A und si ≺ lt(f ). Analog schreiben wir
g = µ lt(g) +
µj tj
j
mit µ = lc(g) = 0 ∈ A, µj ∈ A und tj ≺ lt(g). Damit ist
f g = λµ lt(f ) lt(g) +
λi µj si tj +
i,j
und nach obigem Lemma ist lt(f ) lt(g)
j.
λi µ lt(g)si +
i
si lt(g)
λµj lt(f )tj
j
si tj und lt(f ) lt(g)
lt(f )tj für alle i,
Bemerkung 5.34. Ist f ∈ A[X1 , . . . , Xn ]Sn von Null verschieden, so kommen mit dem Term
π(α )
π(α )
X α = X1α1 · · · Xnαn auch alle permutierten Terme X1 1 · · · Xn n , π ∈ Sn , vor. Deshalb
erfüllt lt(f ) = X α die Bedingung α1 ≥ α2 ≥ . . . ≥ αn .
55
Algebra 1
5
Polynome
Beweis des Hauptsatzes. Wir schreiben wieder R := A[X1 , . . . , Xn ] und
A[σ1 , . . . , σn ] := p(σ1 , . . . , σn ) : p ∈ A[Y1 , . . . , Yn ] ⊂ RSn .
Es sei nun f ∈ RSn \ {0} und lt(f ) = X1α1 · · · Xnαn . Dann ist α1 ≥ . . . ≥ αn und wir bilden
α
n−1
g := σ1α1 −α2 σ2α2 −α3 · · · σn−1
−αn αn
σn
,
so dass
lt(g) = lt(σ1 )α1 −α2 · · · lt(σn−1 )αn−1 −αn lt(σn )αn
= X1α1 −α2 (X1 X2 )α2 −α3 · · · (X1 · · · Xn−1 )αn−1 −αn (X1 · · · Xn )αn = X1α1 · · · Xnαn = X α .
Der Koeffizient von X α in
f1 := f − lc(f )g ∈ RSn
ist nach Konstruktion Null. Damit ist f1 = 0 oder lt(f1 ) ≺ lt(f ). Wir iterieren dieses Verfahren, welche jedoch nach endlich vielen Schritten abbrechen muss, da es nach Lemma 5.30
keine unendliche absteigende Folge von Termen gibt. So erhalten wir f ∈ A[σ1 , . . . , σn ].
Zur Eindeutigkeit der Darstellung schreiben wir
cα Y α
p=
α∈S
für eine endliche und nichtleere Menge S ⊂ Nn und cα = 0 für α ∈ S. Dann ist
cα σ α .
p(σ) =
α∈S
Nun erhalten wir
lt(σ α ) = lt(σ1 )α1 · · · lt(σn )αn
= X1α1 (X1 X2 )α2 · · · (X1 · · · Xn )αn = X1α1 +···+αn · · · Xnαn =: X γ .
Die Abbildung
S → Nn , α → (α1 + · · · + αn , . . . , αn ) = γ
ist injektiv. Es sei γ das (lexikographisch) größte Element im Bild von γ. Dann kann der
Term X γ nur auf eine Weise gebildet werden und hat somit einen nichtverschwindenden
Koeffizienten.
Bemerkung 5.35. Der Beweis ist algorithmisch.
Beispiel 5.36. Es sei f = X13 + X23 ∈ Z[X1 , X2 ]S2 . Wir wollen dies als Polynom in σ1 =
X1 + X2 und σ2 = X1 X2 ausdrücken. Wir bemerken zunächst lt(f ) = X13 und wir bilden
g1 := σ13−0 σ20 = (X1 + X2 )3 = X13 + 3X12 X2 + 3X1 X22 + X23 ,
womit wir
f1 := f − g1 = −3X12 X2 − 3X1 X22
erhalten. Nun ist lt(f1 ) = X12 X2 und wir setzen
g2 := σ12−1 σ21 = (X1 + X2 )X1 X2 = X12 X2 + X1 X22
und erhalten
f2 := f1 − (−3)g2 = 0 .
Schließlich ist
f = f1 + g1 = f2 − 3g2 + g1 = −3σ1 σ2 + σ13 .
Algebra 1
56
5.3
Symmetrische Polynome
Eine wichtige Anwendung ist die Diskriminante. Wir setzen dazu
(Xi − Xj )2 ∈ Z[X1 , . . . , Xn ]Sn
Dn :=
1≤i<j≤n
und wissen, dass es ein Polynom discn ∈ Z[Y1 , . . . , Yn ] gibt, für welches wir
Dn = discn −σ1 , σ2 , . . . , (−1)n σn
haben. Man nennt discn das n-te Diskriminantenpolynom. Ist
f = T n + y1 T n−1 + · · · + yn ∈ A[T ]
mit yi ∈ A, so nennt man disc(f ) := discn (y1 , . . . , yn ) ∈ A die Diskriminante von f .
Zerfällt f in Linearfaktoren
f = (T − x1 ) · · · (T − xn )
mit xi ∈ A, so folgt nach dem Satz von Vieta durch Anwenden des Ringhomomorphismus
Z[Y1 , . . . , Yn ] → A , Yi → xi ,
dass
n
n
(T − xi ) =
i=1
(−1)k σk (x)T n−k .
k=0
Damit gilt yk = (−1)k σk (x). Nach Definition der Diskriminante gilt
(xi − xj )2 = Dn (x) = discn −σ1 (x), . . . , (−1)n σn (x) = discn (y1 , . . . , yn ) = disc(f ) .
i<j
Weiter gilt, dass disc(f ) genau dann von Null verschieden ist, wenn die Nullstellen von f
paarweise verschieden sind.
Beispiel 5.37. Für n = 2 ist
D2 = (X1 − X2 )2 = X12 + 2X1 X2 + X22 − 4X1 X2 = (X1 + X2 )2 − 4X1 X2 = σ12 − 4σ2 ,
also
disc2 (Y1 , Y2 ) = Y12 − 4Y2 .
Die Nullstellen von f = T 2 +y1 T +y2 sind also genau dann verschieden, wenn y12 −4y2 = 0.
Für n = 3 zeigt man
D3 = (X1 − X2 )2 (X1 − X3 )2 (X2 − X3 )2 = σ12 σ22 − 4σ23 − 4σ13 σ − 27σ32 + 18σ1 σ2 σ3 .
Damit ist
disc3 (Y1 , Y2 , Y3 ) = Y12 Y22 − 4Y23 − 4Y13 Y3 − 27Y32 + 18Y1 Y2 Y3 .
Im Spezialfall f = T 3 + pT + q ist disc(f ) = −4p3 − 27q 2 .
Für f = T 3 − 3T + 2 ist also disc(f ) = −4 · (−3)3 − 27 · 22 = 0, d. h. f hat eine mehrfache
Nullstelle. Tatsächlich ist f = (T − 1)2 (T + 2).
57
Algebra 1
5
Polynome
5.4
Resultante und Diskriminante
Die Resultante liefert ein Kriterium dafür, ob zwei gegebene Polynome über einem Körper
❦ teilerfremd sind. Es sei also ❦ ein Körper und f, g ∈ ❦[X] seien Polynome mit n :=
deg f ≥ 1 und m := deg g ≥ 1.
Lemma 5.38. Es ist genau dann ggT(f, g) = 1, wenn es von Null verschiedene Polynome
s, t ∈ ❦[X] mit sf + tg = 0 gibt, für welche deg s < deg g = m und deg t < deg f = n
gelten.
Beweis. Es sei h := ggT(f, g) mit deg h ≥ 1 (also ggT(f, g) = 1). Aus −f g + f g = 0
erhalten wir
g
f
f· −
+ g = 0.
h
h
Nun setzen wir s := − hg und t := fh .
Umgekehrt nehmen wir die Existenz solcher s, t ∈ ❦[X] an. Wir haben also sf = −tg mit
st = 0. Wäre ggT(f, g) = 1, so würde f |t folgen, also degf ≤ deg t, was ein Widerspruch
zu deg t < deg f ist.
Wir formulieren die Aussage dieses Lemmas nun als Bedingung der linearen Algebra:
Für d ∈ N sei ❦[X]<d der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner d (inklusive des
Nullpolynoms). Eine Konvention dabei ist ❦[X]<0 = {0}. Dann ist
ϕ : ❦[X]<m × ❦[X]<n → ❦[X]<m+n , (s, t) → sf + tg
eine ❦-lineare Abbildung zwischen ❦-Vektorräumen der gleichen Dimension n+m. Das obige Lemma besagt nun, dass diese Abbildung ϕ genau dann injektiv ist, wenn ggT(f, g) = 1.
Dies wiederum ist genau dann der Fall, wenn ϕ ein linearer Isomorphismus ist, wenn also
det ϕ = 0. Wir wollen ϕ nun durch eine Matrix darstellen. Dazu wählen wir eine monomiale Basis {X n−1 , X n−2 , . . . , X, 1} von ❦[X]<n und jeweils eine analoge Basis für ❦[X]<m
und ❦[X]<m × ❦[X]<n . Wir betrachten zuerst die lineare Abbildug ❦[X]<m → ❦[X]<n+m ,
s → sf und schreiben
n
m−1
fj X j ,
f=
yj X j .
s=
j=0
j=0
Damit erhalten wir
m−1
yj X j f = ym−1 X m−1 f + · · · + y1 Xf + y0 f ,
sf =
j=0
Es entspricht nun f dem Koordinatenvektor [0, . . . , 0, fn , . . . , f0 ] bezüglich der gewählten
Basis aus Monomen. Dann können wir Xf mit [0, . . . , 0fn , . . . , f0 , 0] identifizieren. Schließlich ist X m−1 f durch [fn , . . . , f0 , 0, . . . , 0] dargestellt. Die (n + m) × m-Darstellungsmatrix
Algebra 1
58
5.4
Resultante und Diskriminante
von s → sf ist nun durch

fn
f
 n−1

fn−2

 ..
 .

 f1


 f
 0


 0
 .
 .
 .

0 ··· 0
0 ··· 0 


fn · · · 0 

.
.. 
..
. ..
.

f3 · · · fn 

.. 
f2 · · · . 

.. 

f1 · · · . 
.
.. 
..

. ..
.
0 · · · f0
0
fn
fn−1
..
.
f2
f1
f0
..
.
0
0
gegeben. Die Darstellungsmatrix von t → tg sieht analog aus. Durch Aneinanderreihen
dieser Matrizen erhalten wir die Darstellungsmatrix von ϕ.
Definition 5.39. Die Sylvestermatrix S(f, g) zweier Polynome über einem kommutativen
Ring A, wobei
n
m
fj X j
f=
gj X j ,
und g =
j=0
j=0
ist die folgende (m + n) × (m + n)-Matrix:

fn
f
 n−1

fn−2

 ..
 .

 f1


 f
 0


 0
 .
 .
 .
0
0
fn
fn−1
..
.
f2
f1
f0
..
.
0

0 ··· 0
gm
0
0 ··· 0
0 · · · 0 gm−1 gm
0 ··· 0 


fn · · · 0 gm−2 gm−1 gm · · · 0 

.
.. 
.
..
..
..
..
..
. ..
. ..
.
. 
.
.

f3 · · · fn
g1
g2
g3 · · · gm 
.
..
.. 
f2 · · · .
g0
g1
g2 · · · . 

..
.. 

f1 · · · .
0
g0
g1 · · · . 
.
.. 
.
..
..
..
..
..

. ..
. ..
.
. 
.
.
0 · · · f0
0
0
0 · · · g0
Die Determinante res(f, g) := det S(f, g) ∈ A von S(f, g) heißt Resultante von f und g.
Falls m = 0 oder n = 0, setze res(f, g) = 1.
Satz 5.40. Es seien f, g ∈ ❦[X] von Null verschieden. Dann ist genau dann ggT(f, g) = 1,
wenn res(f, g) = 0.
Bemerkung 5.41. Die Resultante res(f, g) ist ein homogenes Polynom vom Grad m in den
Koeffizienten von f und ein homogenes Polynom vom Grad n in den Koeffizienten von g.
Ein Ringhomomorphismus ψ : A → B induziert einen Ringhomomorphismus ψ : A[X] →
B[X] mit X → X. Ist deg f = deg ψ(f ) und deg g = deg ψ(g) für f, g ∈ A[X], so ist
res ψ(f ), ψ(g) = ψ res(f, g) .
Weiter ist res(g, f ) = (−1)mn res(f, g).
Beispiel 5.42. Für n = 2 und m = 1 wählen wir f = f2 X 2 + f1 X + f0 und g = g1 X + g0
mit f2 , g1 = 0. Dann ist die Sylvestermatrix


f2 g1 0


S(f, g) = f1 g0 g1  .
f0 0 g0
59
Algebra 1
5
Polynome
Deren Determinante ist
res(f, g) = f2 g02 − g1 (f1 g0 − f0 g1 ) = f2 g02 − f1 g0 g1 + f0 g12 .
Die Bedingung ggT(f, g) = 1 bedeutet nun f − gg10 = 0, also
f2
g02
g0
− f1 + f0 = 0 .
2
g1
g1
Für normiertes f wollen wir nun (bis auf Vorzeichen) disc(f ) = res(f, f ) zeigen.
Lemma 5.43. Es sei B ein unendlicher kommutativer Ring, F ∈ B[X, Y ] und für alle
b ∈ B sei F (b, b) = 0. Dann gibt es ein G ∈ B[X, Y ] mit F = (X − Y )G.
Beweis. Wir fassen F als Polynom in Y über dem Ring B[X] auf (denn B[X, Y ] ∼
=
B[X][Y ]). Die Division mit Rest durch das normierte Polynom Y − X liefert.
F = (Y − X)G + R
für G ∈ B[X, Y ] und R ∈ B[X]. Nach Voraussetzung gilt für alle b ∈ B, dass 0 = F (b, b) =
(b − b)G(b, b) + R(b), also R(b) = 0. Da B unendlich ist, folgt hieraus jedoch R = 0.
Im Folgenden wollen wir die Resultante als Funktion der Nullstellen von f und g darstellen.
Es seien dazu a, b, X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym , T Unbestimmte über Z und
m
n
f =a
(T − Xi ) ,
(T − Yj ) ∈ A[T ] .
g=b
j=1
i=1
Dabei ist A = Z[a, b, X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ]. Die Resultante von f und g bezeichnen wir
mit R := res(f, g) ∈ A. Wir behaupten, dass jeder Ausdruck Xi − Yj ∈ A, i = 1, . . . , n,
j = 1, . . . , m, ein Teiler von R ist. Dazu sei o. B. d. A. i = n, j = m. Wir fassen R als
Polynom in Xn und Ym auf, also als Polynom über
B := Z a, b, X1 , . . . , Xn−1 , Y1 , . . . , Ym−1 .
Substituieren wir Xn und Ym durch b ∈ B, so haben die aus f und g resultierenden
Polynome die gemeinasme Nullstelle b. Daher verschwindet deren Resultante, weshalb R
bei der Substitution Xn → b, Ym → b verschwindet. Mit dem obigen Lemma ist unsere
Aussage also bewiesen.
Da die Xi − Yj paarweise teilerfremd sind, ist
n
m
(Xi − Yj )
i=1 j=1
ein Teiler von R. Da die Resultante homogen in den Koeffizienten von f und g ist, sind
auch am und bn Teiler von R. Damit ist also
n
m
m n
(Xi − Yj )
S := a b
i=1 j=1
ein Teiler von R. Wir schreiben daher R = SH mit H ∈ A (und wollen H = 1 zeigen).
Wegen
m
(Xi − Yj )
g(Xi ) = b
j=1
Algebra 1
60
5.4
erhalten wir
Resultante und Diskriminante
n
S = am
g(Xi ) .
i=1
Schreiben wir nun
m
(T − Yj ) = gm T m + · · · + g0 ,
g=b
j=1
so erhalten wir gk = ±bσm−k (Y ); insbesondere gm = b. Mit g(Xi ) = gm Xim + . . . + g0
ist also S ∈ Z[a, X1 , . . . , Xn , gm , . . . , g0 ]. Wir wissen, dass R homogen vom Grad n in
gm , . . . , g0 ist; ebenso S. Insbesondere ist H ∈ Z[a, X1 , . . . , Xn ]. Analog schließt man H ∈
Z[b, Y1 , . . . , Ym ], also
H ∈ Z[a, X1 , . . . , Xn ] ∩ Z[b, Y1 , . . . , Yn ] = Z .
Wir wissen also schon, dass H ∈ Z ist. Weiter bemerken wir, dass der Koeffizient von am g0n
in S Eins ist, ebenso der in R. Damit ist H = 1, also R = S. Dies zeigt also folgenden
Satz:
Satz 5.44. Es seien f, g ∈ A[T ] Polynome vom Grad n bzw. m, welche in Linearfaktoren
zerfallen, also
m
n
(T − xi ) ,
f =a
(T − yj ) ∈ A[T ]
g=b
j=1
i=1
mit (nunmehr festen) a, b, x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ∈ A. Dann gilt
n
m
res(f, g) = am bn
n
(xi − yj ) = am
i=1 j=1
m
g(xi ) = bn
i=1
n
i=1 (T
Wir erinnern an die Diskriminante: Ist f =
f (yj ) .
j=1
− xi ), so ist disc(f ) =
i<j (xi
− xj ).
Korollar 5.45. Es sei f ∈ A[T ] normiert vom Grad n ≥ 1. Dann ist
disc(f ) = (−1)
n(n−1)
2
res(f, f ) .
Beweis. Wir nehmen zunächst an, dass f und f über A in Linearfaktoren zerfallen, also
insbesondere
n
(T − xi ) , xi ∈ A .
f=
i=1
Der obige Satz liefert
n
res(f, f ) =
f (xi )
i=1
und die Produktregel ergibt
n
(T − xj ) ,
f =
k=1 j=k
also
(xi − xj ) .
f (xi ) =
j=i
Damit ist
n
res(f, f ) =
n
(xj − xi ) = (−1)( 2 )
f (xi ) =
i=1
(xi − xj )2 = (−1)
n(n−1)
2
disc(f ) .
i<j
j=i
61
Algebra 1
5
Polynome
Falls f und f jedoch nicht in Linearfaktoren zerfallen, verwenden wir Ringerweiterungen,
welche wir im folgenden Kapitel behandeln werden: Für ein gegebenes Polynom f ∈ A[T ]
existiert stets eine Ringerweiterung von B, über der f und f in Linearfaktoren zerfallen.
Beispiel 5.46. Für n = 2, also f = T 2 + pT + q ist f = 2T + p. Dann ist


1 2 0


res(f, f ) = det p p 2 = p2 − 2(p2 − 2q) = −p2 + 4q ,
q 0 p
also
disc(f ) = (−1)
2·1
2
(−p2 + 4q) = p2 − 4q .
Beispiel 5.47. Für n = 3 betrachten wir f = T 3 + pT + q, also f = 3T 2 + p. Dann ist

1
0


res(f, f ) = det p

q
0
also
disc(f ) = (−1)
Algebra 1
0
1
0
p
q
3·2
2
3
0
p
0
0
0
3
0
p
0

0
0


3 = . . . = 27q 2 + 4p3 ,

0
p
(27q 2 + 4p3 ) = −27q 2 − 4p3 .
62
6
6.1
Algebraische Körpererweiterungen
Grundbegriffe
Definition 6.1. Ein Unterkörper K eines Körpers L ist ein Unterring, welcher sogar ein
Körper ist. Wir nennen dann auch L einen Oberkörper oder Erweiterungskörper von K.
Beispiele sind Q ⊂ R und R ⊂ C.
Bemerkung 6.2. Sind K und K Körper und ϕ : K → K ein Ringhomomorphismus, so ist
ϕ bereits injektiv, denn ker ϕ muss ein Ideal sein, kann aber wegen ϕ(1) = 1 = 0 nicht
ganz K sein. Damit muss ker ϕ = {0} sein, da es keine weiteren Ideale in K gibt.
Wir nennen ϕ auch einen Homomorphismus von Körpern.
Es sei K ein Körper und wir betrachten den eindeutigen Ringhomomorphismus ϕ : Z → K.
Nun kann ϕ injektiv sein, also ker ϕ = {0} sein. In diesem Fall liefert die universelle
Eigenschaft des Quotientenkörpers, dass ein Ringhomomorphismus ψ : Q → K existiert,
welcher das Diagramm
ϕ
/K
?
Z
ψ
Q
kommutieren lässt. Damit ist Q ∼
= ψ(Q) ein Unterkörper von K.
Ist ϕ hingegen nicht injektiv, so ist ker ϕ = (p) für ein p ∈ N. Da Zp = Z/ ker ϕ → K,
ist Z/ ker ϕ ein Integritätsbereich, weshalb p eine Primzahl sein muss. Insbesondere ist Zp
sogar ein Körper, womit wir Zp (bzw. das Bild von Zp unter ϕ) als Unterkörper von K
auffassen können.
Wir erhalten nun die folgende Aussage: Jeder Körper K enthält einen kleinsten Unterkörper P , welchen wir Primkörper von K nennen. Dieser ist entweder isomorph zu Q oder zu
Zp für eine Primzahl p. Dabei ist p die Charakteristik char(K) von K, welche im ersten
Fall Null ist:
0 P ∼
=Q
char(K) =
p P ∼
= Zp .
Satz 6.3. Es sei char K = p > 0. Dann ist die Frobenius-Abbildung Φ : K → K, x → xp
ein Ringhomomorphismus.
Es sei nun L ⊃ K eine Körpererweiterung von K. Dann können wir L als K-Vektorraum
auffassen.
Definition 6.4. Der Grad der Körpererweiterung L ⊃ K ist die Dimension von L über
K und wird mit [L : K] bezeichnet. Wir nennen L eine endliche Körpererweiterung von
K, falls [L : K] < ∞.
63
Algebra 1
6
Algebraische Körpererweiterungen
Abbildung 2: Illustration von Lena Müller: Prothetische Körpererweiterung
Satz 6.5 (Gradsatz). Es seien E ⊃ K und L ⊃ E endliche Körpererweiterungen. Dann
ist L ⊃ K eine Körpererweiterung und es gilt
[L : K] = [L : E][E : K] .
Beweis. Es seien (e1 , . . . , er ) und (f1 , . . . , fs ) jeweils eine Basis von E über K bzw. von L
über E. Wir zeigen, dass dann (ei fj )i≤r,j≤s eine Basis von L über K ist. Für ein x ∈ L
gibt es zunächst λj ∈ E, so dass x = j λj fj . Für die λj wiederum existieren µij ∈ K mit
λj = i µij ei , also
x=
µij ei fj .
i,j
Für die lineare Unabhängigkeit seien nun µij ∈ K so, dass
jedoch
j
i µij ei
Algebra 1
µij ei fj = 0 ist. Dann ist
µij ei fj ,
0=
also
i,j
i
= 0 für alle j. Daraus folgt nun µij = 0 für alle i und alle j.
64
6.2
Einfache Körpererweiterungen
Für eine kleine Anwendung sei K ein endlicher Körper, der somit insbesondere eine positive
Charakteristik p := char K hat. Wir fassen also K als Körpererweiterung von Zp auf. Mit
d := [K : Zp ] ist K (als Zp -Vektorraum) isomorph zu Zdp . Damit folgt |K| = pd , d. h.
endliche Körper haben eine Primpotenz als Kardinalität.
6.2
Einfache Körpererweiterungen
Es sei L ⊃ K eine Körpererweiterung und a1 , . . . , an ∈ L. Dann bezeichnen wir mit
K(a1 , . . . , an ) den kleinsten Unterkörper von L, welcher K und {a1 , . . . , an } enthält: der
von a1 , . . . , an über K erzeugte Unterkörper.
Ist n = 1, so nennen wir L eine einfache Körpererweiterung.
Für a ∈ L betrachten wir den Einsetzungshomomorphismus
ϕa : K[X] → L , f → f (a) .
Definition 6.6. Das Element a ∈ L heißt algebraisch über K, falls ker ϕa = {0}. Andernfalls heißt a transzendent.
√
7
Beispiel 6.7. Wir betrachten die Körpererweiterung
R
von
Q.
Darin
ist
3 algebraisch
√
über Q, denn für f = X 7 − 3 ∈ Q[X] ist f ( 7 3) = 0.
Es sei nun a transzendent. Da ϕa injektiv ist, können wir einen Ringhomomorphismus
ϕa : K(x) → L vom Quotientenkörper K(X) von K[X] nach L finden, der
ϕa
K[X]
/L
=
ϕa
K(X)
kommutieren lässt. Damit ist K(X) isomorph zu
im ϕa =
f (a)
: f, g ∈ K[X], g = 0 = K(a) ⊂ L .
g(a)
∼ K(X) und wir nennen K(a) einfache transzendente Körpererweiterung.
Es ist also K(a) =
Nun sei a algebraisch über K, d. h. ker ϕa = {0}. Da K[X] ein Hauptidealbereich ist, gibt
es genau ein normiertes ma ∈ K[X], so dass ker ϕa = (ma ). Wir nennen ma das Minimalpolynom von a über K. Dieses ist dasjenige der normierten Polynome f ∈ K[X] mit
f (a) = 0, welches minimalen Grad hat. Nun ist K[X]/ ker ϕa → L ein injektiver Ringhomomorphismus, d. h. K[X]/ ker ϕa = K[X]/(ma ) ein Integritätsbereich, weshalb ma
irreduzibel ist. Damit ist (ma ) sogar maximal und K[X]/(ma ) ein Körper. Wir betrachten
wieder das Diagramm
/ / im ϕa
K[X]
8
∼
=
K[X]/(ma )
Somit ist im ϕa ein Unterkörper von L und wir sehen im ϕa = K(a). Weiter ist [K(a) :
K] = deg ma .
Wir erhalten also den folgenden Satz:
65
Algebra 1
6
Algebraische Körpererweiterungen
Satz 6.8. Es sei a algebraisch über K und habe das Minimalpolynom ma ∈ K[X]. Dann
ist ma irreduzibel und K(a) ist isomorph zu K[X]/(ma ), wobei der Isomorphismus durch
K[X]/(ma ) → K(a) , X → a
gegeben ist. Außerdem gilt
n−1
λi ai : λi ∈ K
K(a) =
i=0
mit n := deg ma ≥ 1.
Bemerkung 6.9. Somit ist K(a) auch der kleinste Unterring, der K ∪ {a} enthält (den wir
mit K[a] bezeichnen), weshalb wir auch K(a) = K[a] schreiben.
Beispiel 6.10. Wir wählen K = R und L = C ⊃ R. Dann setzen wir a = i und erhalten
ma = X 2 + 1 ∈ R[X] als Minimalpolynom. Dann ist
R(i) = {λ0 + λ1 i : λ0 , λ1 ∈ R} ∼
= R[X]/(X 2 + 1) .
6.3
Endliche Körpererweiterungen
Definition 6.11. Eine Körpererweiterung L ⊃ K heißt algebraisch, falls jedes Element
von L algebraisch über K ist.
Satz 6.12. Jede endliche Körpererweiterung L ⊃ K ist algebraisch.
Beweis. Es sei n := [L : K] < ∞ und a ∈ L. Dann sind die Potenzen 1, a, a2 , . . . , an linear
abhängig über K, d. h. es gibt Elemente λ0 , . . . , λn ∈ K, von welchen mindestens eines
von Null verschieden ist, so dass ni=0 λi ai = 0. Wählen wir
n
λi X i ∈ K[X] \ {0} ,
f :=
i=0
so erhalten wir also f (a) = 0.
Es sei nun abermals L ⊃ K eine Körpererweiterung und es seien a1 , . . . , an ∈ L. Dann
setzen wir
K[a1 , . . . , an ] := p(a1 , . . . , an ) : p ∈ K[X1 , . . . , Xn ] .
Dies ist der kleinste Unterring von L, welcher K und a1 . . . , an enthält. Der Quotientenkörper von K[a1 , . . . , an ] ist durch
K(a1 , . . . , an ) :=
p(a1 , . . . , an )
: p, q ∈ K[X1 , . . . , Xn ], q(a1 , . . . , an ) = 0
q(a1 , . . . , an )
.
Dies ist der kleinste Unterkörper von L, welcher K und a1 , . . . , an enthält, und heißt von
a1 , . . . , an über K erzeugte Unterkörper.
Satz 6.13. Es sei L = K(a1 , . . . , an ) und a1 , . . . , an seien algebraisch über K. Dann ist
K(a1 , . . . , an ) = K[a1 , . . . , an ]
und L ist eine endliche und damit algebraische Körpererweiterung.
Algebra 1
66
6.4
Zerfällungskörper
Beweis. Für den Fall n = 1 haben wir dies bereits gezeigt. Wir führen nun eine Induktion
nach n durch. Ist
˜ := K(a1 , . . . , an−1 ) = K[a1 , . . . , an−1 ]
K
eine endliche Körpererweiterung, so ist an nicht nur algebraisch über K, sondern auch
˜ also ist K(a
˜ n ) = K[a
˜ n ] eine endliche Körpererweiterung von n. Mit
über K,
˜ n ) = K[a
˜ n ] = K[a1 , . . . , an ]
K(a1 , . . . , an ) = K(a
folgt die Behauptung.
Korollar 6.14. Es sei L ⊃ K eine Körpererweiterung. Dann ist die Menge Lalg aller
Elemente in L, welche algebraisch über K sind, ein Unterkörper von L. Mit anderen
Worten: Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von algebraischen Elementen
sind algebraisch.
Beweis. Es seien a, b ∈ L algebraisch über K, womit K(a, b) eine algebraische Körpererweiterung von K ist.
Beispiel 6.15. Für R ⊃ Q heißt Ralg der Körper der reellen algebraischen Zahlen. Für
C ⊃ Q heißt Calg der Körper der algebraischen Zahlen.
Jedoch ist R ⊃ Q keine endliche Körpererweiterung.
Korollar 6.16. Ist L ⊃ K eine Körpererweiterung, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) Die Körpererweiterung L ist endlich.
(ii) Die Körpererweiterung L wird von endlich vielen algebraischen Elementen erzeugt.
(iii) Es ist L eine endlich erzeugte algebraische Körpererweiterung.
Beweis. (i)⇒(ii). Sei {a1 , . . . , an } ⊂ L eine K-Vektorraumbasis von L. Dann ist L =
K(a1 , . . . , an ).
(ii)⇒(iii) ist der obige Satz.
(iii)⇒(i) ebenfalls.
6.4
Zerfällungskörper
Bisher haben wir stets die Existenz von Erweiterungskörpern vorausgesetzt. Nun sei K
ein Körper und f ∈ K[X] irreduzibel. Wir fragen uns, ob wir einen Erweiterungskörper
finden können, in welchem f eine Nullstelle hat. Dies bestätigen wir durch folgende „genial einfache“ Konstruktion: Wir betrachten den Körper L := K[X]/(f ) ⊃ K. Mit dem
kanonischen Homomorphismus K[X] → K[X]/(f ), g → g erhalten wir
0 = f (X) = f (X) ,
also ist X ∈ L eine Nullstelle von f .
Beispiel 6.17. Wir wählen das irreduzible Polynom f = X 2 + 1 ∈ R[X], welches keine
Nullstellen in R hat. Dieses hat jedoch die Nullstelle X in
R[X]/(X 2 + 1) ∼
= C, X → i.
67
Algebra 1
6
Algebraische Körpererweiterungen
Wählen wir f = X 2 + X + 1 ∈ Z2 [X], so ist auch dies ein nullstellenfreies, irreduzibles
Polynom über Z2 . Dann ist L := Z2 [X]/(f ) ein Körper mit vier Elementen. Konkret ist
L = {0, 1, X, X + 1} .
Darin ist
(X + 1)(X + 1) = X 2 + X + X + 1 = X 2 + 1 = X
und
(X + 1)X = 1 .
Definition 6.18. Es sei f ∈ K[X] von Null verschieden. Ein Zerfällungskörper von f
über K ist ein Erweiterungskörper L ⊃ K, so dass es a1 , . . . , an ∈ L und λ ∈ K \ {0} mit
f = λ(X − a1 ) · · · (X − an )
und L = K(a1 , . . . , an ).
Bemerkung 6.19. Ein Zerfällungskörper ist also ein „kleinster“ Körper, in welchem f vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
Satz 6.20. Jedes von Null verschiedene Polynom f ∈ K[X] hat einen Zerfällungskörper
L. Dieser ist sogar eindeutig bestimmt bis auf Isomorphie. Ist also L ein weiterer Zerfällungskörper, so gibt es einen Isomorphismus von L nach L , welcher die Elemente von K
festhält.
Beweis. Zur Existenz führen wir eine Induktion nach dem Grad n = deg f . Der Fall n = 0
ist klar (wähle L = K). Es sei nun n > 0 und o. B. d. A. sei f normiert. Weiter sei f = gh
in K[X], wobei g irreduzibel ist. Nach der entscheidenden Vorüberlegung existiert eine
Körpererweiterung K(a) ⊃ K mit g(a) = 0. Wir können nun g = (X − a)g1 in K(a)[X]
und f = (X − a)g1 h schreiben. Letztlich wenden wir die Induktionsvoraussetzung auf
g1 h ∈ K(a)[X] an, welche eine Körpererweiterung L von K(a) und a2 , . . . , an ∈ L mit
g1 h = (X − a2 ) · · · (X − an )
und L = K(a)(a2 , . . . , an ) liefert. Damit ist
f = (X − a)(X − a2 ) · · · (X − an )
in L[X] und L = K(a, a2 , . . . , an ). Somit ist L ein Zerfällungskörper von f .
Wir bereiten nun den Beweis der Eindeutigkeit vor.
Lemma 6.21 (Erweiterungslemma). Es seien L ⊃ K und L ⊃ K Körpererweiterungen
und ϕ : K → K ein Isomorphismus. Sei nun f ∈ K[X] irreduzibel und f ∈ K [X] das
Bild von f unter dem induzierten Isomorphismus K[X] → K [X]. Weiter seien a ∈ L und
a ∈ L mit f (a) = 0 und f (a ) = 0. Dann gibt es einen Isomorphismus K(a) → K (a),
welcher ϕ fortsetzt und a auf a abbildet.
Beweis. O. B. d. A. sei f normiert. Das Minimalpolynom ma von a teilt f , also f = ma ,
da f irreduzibel ist. Wir wissen nun, dass K(a) ∼
= K[X]/(ma ) ist. Analog ist f = ma das
Minimalpolynom von a und K (a ) ∼
= K [X]/(ma ). Der von ϕ induzierte Isomorphismus
K[X] → K [X] bildet f = ma auf f = ma ab. Daraus erhalten wir den Isomorphismus
von K[X]/(ma ) nach K [X]/(ma ), welcher ϕ fortsetzt. Dies liefert jedoch auch einen
Isomorphismus K(a) nach K (a ), welcher ebenfalls ϕ fortsetzt. Da a = X in K[X] und
a = X in K [X], bildet dieser Isomorphismus auch a auf a ab.
Algebra 1
68
6.4
Zerfällungskörper
Wir kommen nun zum Beweis der Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers.
Beweis. Es seien L = K(a1 , . . . , an ) und L = K(a1 , . . . , an ) Zerfällungskörper von f . Es
sei 0 ≤ m ≤ n und wir nehmen an, dass wir einen Isomorphismus
ϕ : K(a1 , . . . , am ) → K(a1 , . . . , am )
mit ϕ(ai ) = ai für i ≤ m und ϕ|K = id gefunden haben (was für m = 0 offenbar möglich
ist). Es sei
f = (X − a1 ) · · · (X − am )g1 · · · gt
(6.1)
die Faktorisierung von f in Irreduzible in K(a1 , . . . , am )[X]. In L[X] gilt
f = (X − a1 ) · · · (X − am )(X − am+1 ) · · · (X − an ) ,
also
g1 · · · gt = (X − am+1 ) · · · (X − an ) .
O. B. d. A. sei g1 (am+1 ) = 0. Wir wenden den induzierten Isomorphismus
ϕ : K(a1 , . . . , am )[X] → K(a1 , . . . , am )[X]
auf (6.1) an und erhalten
ϕ(f ) = (X − a1 ) · · · (X − am )ϕ(g1 ) · · · ϕ(gt ) .
In L [X] jedoch gilt
f = (X − a1 ) · · · (X − am )(X − am+1 ) · · · (X − an ) .
O. B. d. A. sei ϕ(g1 )(am+1 ) = 0. Wir wenden das Erweiterungslemma auf das Polynom
g1 ∈ K(a1 , . . . , am )[X] und sein Bild ϕ(g1 ) ∈ K(a1 , . . . , am )[X] an und erhalten einen
Isomorphismus
K(a1 , . . . , am )(am+1 ) → K(a1 , . . . , am )(am+1 ) ,
welcher ϕ erweitert. Die Behauptung folgt nun durch Induktion nach m.
Beispiel 6.22. Wir betrachten das
irreduzible Polynom f = X 4 −2 ∈ Q[X]. Die Nullstellen
√
4
von f in C sind α · ik mit α = 2 ∈ R und k = 0, 1, 2, 3. Damit ist
f = (X − αi0 )(X − αi1 )(X − αi2 )(X − αi3 )
und es ist L = Q(α, i) der Zerfällungskörper von f . Es ist weiter Q(α) : Q = 4, da f
das Minimalpolynom von α ist und deg f = 4. Auch ist Q(α)(i) : Q(α) = 2, da X 2 + 1
irreduzibel über Q(α) ist. Wir erhalten also
Q(α, i) : Q = Q(α, i) : Q(α) Q(α), Q = 4 · 2 = 8 .
Genauer bilden 1, α, α2 und α3 eine Q-Basis von Q(α) und 1 und i bilden eine Q(α)-Basis
von Q(α)(i) = Q(α, i). Insgesamt ist
{1, α, α2 , α3 , i, iα, iα2 , iα3
eine Q-Basis von Q(α, i).
69
Algebra 1
6
Algebraische Körpererweiterungen
6.5
Endliche Körper
Das Klassifizieren und Untersuchen der endlichen Körpern hat wichtige Anwendungen in
der Codierungstheorie, Kryptographie und Komplexitätstheorie. Es sei L ein endlicher
Körper. Dann ist der Primkörper von L von der Form Zp für eine Primzahl p = char(L),
d. h. L ist eine Körpererweiterung von Zp . Es sei nun n := [L : Zp ], womit wir q := |L| = pn
haben. Um die Struktur von L zu verstehen, beobachten wir, dass aq−1 = 1 für alle
a ∈ L \ {0} gilt, denn L× = L \ {0} ist eine Gruppe der Ordnung q − 1. Insbesondere
sind alle a ∈ L Nullstellen von X q − X ∈ Zp [X]. Dieses hat jedoch maximal q Nullstellen,
welche also genau die Elemente von L sind. Wir erhalten
Xq − X =
(X − a)
a∈L
und L ist ein Zerfällungskörper von X q − X über Zp . Umgekehrt können wir einen Körper
mit q = pn Elementen so als Zerfällungskörper konstruieren.
Satz 6.23. Es sei p eine Primzahl und n ∈ N>0 . Dann existiert bis auf Isomorphie
genau ein Körper mit q = pn Elementen. Dieser ist dadurch charakterisiert, dass er der
Zerfällungskörper des Polynoms X q −X über Zp ist, und besteht aus den Nullstellen dieses
Polynoms. Wir bezeichnen diesen Körper mit Fq , insbesondere ist Fp ∼
= Zp .
Beweis. Es sei L ein Zerfällungskörper von f = X q − X über Zp . Wir schreiben
q
Xq − X =
(X − aj )
j=1
und L = Zp (a1 , . . . , aq ). Die formale Ableitung von f ist dann
f = qX q−1 − 1 = −1 ,
also ggT(f, f ) = 1, weshalb f nach 4.76 quadratfrei ist. Damit sind die ai paarweise
verschieden. Wir behaupten nun, dass die somit q-elementige Menge {a1 , . . . , aq } bereits
einen Körper (Unterkörper von L) bildet. Dazu beobachten wir für i, j ≤ q, dass (ai ±aj )q =
aqi ± aqj = ai ± aj ist. Außerdem ist (ai aj )q = aqi aqj = ai aj und
ai
aj
q
=
aqi
aqj
=
ai
aj ,
falls
aj = 0. Somit ist {a1 , . . . , aq } abgeschlossen unter Addition, Subtraktion, Multiplikation
und Division, ist damit ein Körper und somit gleich L. Dies zeigt |L| = q, also die Existenz.
Die Eindeutigkeit folgt aus der Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers.
Wir studieren nun die Unterkörper von Fq .
Lemma 6.24. Für u, v ∈ N>0 und ist u Teiler von v, so ist X u − 1 ein Teiler von X v − 1
in Z[X].
Beweis. Es sei v = uk. Dann ist
(X u − 1) (X u )k−1 + (X u )k−2 + · · · + X u + 1 = (X u )k − 1 = X v − 1
in Z[X].
Satz 6.25. Es sei q = pn , wobei p prim und n > 0 sei. Dann hat jeder Unterkörper von Fq
eine Potenz pm mit m|n als Anzahl von Elementen. Umgekehrt gibt es zu jedem Teiler m
von n genau einen Unterkörper von Fq mit pm Elementen (nicht nur bis auf Isomorphie).
Algebra 1
70
6.5
Endliche Körper
Beweis. Es sei zunächst K ⊂ Fq ein Unterkörper und wir schreiben |K| = pm . Um zu
∼ K d und
zeigen, dass m Teiler von n ist, setzen wir d := dimK Fq und beobachten Fq =
n
d
md
erhalten p = q = |K| = p , also n = md.
Umgekehrt sei n = md. Nach dem obigen Lemma ist pm − 1 ein Teiler von pn − 1 in Z.
Eine weitere Anwendung mit u = pm − 1 und v = pn − 1 liefert
m −1
Xp
− 1|X p
n −1
−1
in Z[X]. Damit haben wir auch
m
n
X p − X|X p − X ,
m
weshalb X p −X über Fq in Linearfaktoren zerfällt. Die Nullstellen dieses Polynoms bilden
einen Körper K ⊂ Fq mit pm Elementen.
Ist E ⊂ Fq ein weiterer Unterkörper mit pm Elementen, so ist für alle α ∈ E die Gleichung
m
m
αp = α, die Elemente von E sind also Nullstellen von X p − X. Da diese genau K
sind, folgt E ⊂ K. Außerdem haben beide Körper die gleiche Kardinalität, womit E = K
folgt.
Beispiel 6.26. Wir suchen Unterkörper von F230 . Dazu beobachten wir 30 = 2 · 3 · 5. Teiler
von 30 sind also 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 und 30:
30
6
10
15
2
3
5
1
Dies überträgt sich auf die Unterkörper von F230 :
F230
F26
F210
F215
F22
F23
F25
F21
Wir wollen folgende Aussage zeigen: Die Einheitengruppe F×
q ist für jeden endlichen Körper
Fq der Ordnung q zyklisch.
Dazu benötigen wir zunächst ein Lemma:
Lemma 6.27. Es sei G eine abelsche Gruppe.
71
Algebra 1
6
Algebraische Körpererweiterungen
(i) Hat a ∈ G die Ordnung ord(a) = m und ist d ein Teiler von m, so ist
m
ord(a d ) = d .
(ii) Haben a, b ∈ G die Ordnung ord(a) = m bzw. ord(b) = l und gilt weiter ggT(m, l) =
1, so folgt ord(ab) = ml.
Beweis. (i) ist klar.
(ii). Es ist (ab)ml = (am )l (bl )m = 1. Nun sei (ab)j = 1 für j > 0. Dann ist aj = b−j und
wir beobachten, dass ord(aj ) ein Teiler von ord(a) = m ist und ord(b−j ) ein Teiler von
ord(b) = l. Ist also ggT(m, l) = 1, so muss ord(aj ) = 1 sein, also aj = b−j = 1. Damit ist
m ein Teiler von j und ebenso l ein Teiler von j, weshalb auch ml ein Teiler von j ist.
Satz 6.28. Es sei K ein Körper und G ≤ K × eine endliche Untergruppe. Dann ist G
zyklisch.
Beweis. Es sei m := max{ord(b) : b ∈ G} und dieses Maximum werde für a ∈ G angenommen, d. h. m = ord(a). Offenbar teilt m die Gruppenordnung |G|. Wir wollen sogar
m = |G| zeigen. Dazu behaupten wir, dass m ein Vielfaches der Ordnung ord(b) eines
jeden Gruppenelements b ∈ G ist. Andernfalls sei nämlich l := ord(b) so, dass dies kein
Teiler von m ist. Für die Primfaktorzerlegungen
m = pe11 · · · perr
und l = pf11 · · · pfrr
bedeutet dies, dass fi > ei für ein i ist. Das obige Lemma liefert dann a, b ∈ G mit
ord(a) = pmei und ord(b) = pfi i Außerdem ist
i
ord(ab) =
m fi
p = mpifi −ei > m .
pei i
Dies wäre ein Widerspruch zur Maximalität von m, womit die Behauptung bewiesen ist:
Die Ordnung eines Gruppenelements teilt tatsächlich stets m. Für alle b ∈ G gilt also
bm − 1 = 0, alle Elemente von G sind also Nullstellen von X m − 1 ∈ K[X]. Dieses hat
jedoch höchstens m Nullstellen, womit |G| ≤ m gilt. Dies zeigt |G| = m, womit der Satz
bewiesen ist (G wird von a erzeugt).
Korollar 6.29. Die Einheitengruppe F×
q eines endlichen Körpers Fq ist zyklisch.
Die Erzeuger von F×
q heißen primitive Elemente von Fq .
Beispiel 6.30. Drei ist primitiv in F7 , d. h. ord(3) = 6 = |F×
q |:
32 ≡ 2 , 33 ≡ −1 , 34 ≡ 4 , 35 ≡ 5 , 36 ≡ 1
mod 7 .
Hingegen ist 2 kein primitives Element in F7 , da bereits 23 ≡ 1 mod 7. Tatsächlich sind
3 und 5 die einzigen primitiven Elementen von F7 .
Allgemein hat eine zyklische Gruppe mit n Elementen ϕ(n) erzeugende (wobei ϕ die
Eulersche Phi-Funktion ist). Insbesondere hat Fq genau ϕ(q − 1) primitive Elemente.
Korollar 6.31. Jede Körpererweiterung Fq ⊃ Fq ist einfach, d. h. es gibt ein a ∈ Fq , so
dass Fq = Fq (a).
Beweis. Wähle a als Erzeuger von F×
q . Insbesondere ist dann Fq = Fq (a).
Algebra 1
72
6.5
Endliche Körper
Wir fixieren nun eine Primpotenz q = pm und setzen q := q d = pmd , wobei m, d natürlich
sind und p natürlich eine Primzahl ist. Wir untersuchen die Gruppe (mit der Verknüpfung
als Operation), die aus allen Ringautomorphismen von Fq bestehe, welche die Elemente
Fq fest halten, also
G := Gal(Fq /Fq ) := σ ∈ Aut(Fq ) : ∀a ∈ Fq : σ(a) = a .
Z. B. besteht Gal(C/R) aus der Identität und der komplexen Konjugation. Wir nennen G
die Galois-Gruppe der Körpererweiterung Fq ⊃ Fq .
Um ein Element der Galois-Gruppe zu finden (welches nicht bloß die Identität ist), erinnern
wir uns an den Frobenius-Automorphismus
Φ : Fq → Fq , a → ap .
Für alle a ∈ Fp gilt dabei Φ(a) = a. Wir betrachten nun die m-fache Iterierte von Φ,
˜ nennen (Erinnerung: q = pm ). Für a ∈ Fq ist diese durch
welche wir Φ
m
˜
Φ(a)
= ap = aq
˜
˜ ∈ Gal(Fq /Fq ) und Φ
˜ heißt relativer
gegeben, für a ∈ Fq gilt also Φ(a)
= a. Damit ist Φ
Frobenius-Automorphismus über Fq .
Wir schreiben nun Fq = Fq (a) und bezeichnen mit f ∈ Fq [X] das Minimalpolynom von a.
Dann ist bekanntlich Fq [X]/(f ) ∼
= Fq (a), wobei X → a. Insbesondere ist der Grad deg f
von f auch der Grad [Fq (a) : Fq ] = d (Erinnerung: q = q d ) der Körpererweiterung. Es
seien a1 , . . . , ar ∈ Fq die Nullstellen von f in Fq . Dann ist r ≤ d = deg f und wir machen
folgende entscheidende Überlegung: Es sei σ ∈ G. Gilt dann 0 = f (a), so ist
0 = σ(0) = σ(f (a)) = f σ(a) .
Für letztere Gleichung folgt nämlich aus f (a) =
σ f (a) =
λi ai
λi σ(a)i = f σ(a) .
Insbesondere muss σ(a) eine Nullstelle ai für ein i sein. Da σ durch σ(a) festgelegt ist,
können wir also
|G| ≤ r ≤ d
(6.2)
folgern.
Tatsächlich können wir mehr aussagen.
Satz 6.32. Die Galois-Gruppe G = Gal(Fq /Fq ) ist zyklisch von der Ordnung d = [Fq : Fq ]
˜ erzeugt.
und wird vom relativen Frobenius-Automorphismus Φ
˜ ∈ G ist, und setzen e := ord(Φ).
˜ Dann ist Φ
˜ e = id; für
Beweis. Wir wissen, dass Φ
e
q
a ∈ Fq gilt also a = a. Damit sind alle Elemente a ∈ Fq Nullstellen des Polynoms
e
X q − X ∈ Fq [X], von welchen es höchstens q e gibt. Damit muss q d = q ≤ q e sein,
d
˜ d = id
insbesondere also d ≤ e. Offenbar gilt auch aq = aq = a für alle a ∈ Fq , womit Φ
˜ = d folgern. Für Φ
˜ ≤ G erhalten wir
gezeigt ist. Daraus können wir nun ord(Φ)
˜ | ≤ |G| .
d=| Φ
˜ | = |G|, womit Φ
˜ = G ist.
Nach (6.2) gilt jedoch auch |G| ≤ d, also | Φ
73
Algebra 1
6
Algebraische Körpererweiterungen
Übungsaufgabe. Es sei f ∈ Fq [X] irreduzibel, normiert und vom Grade d. Dann zerfällt
f über Fqd folgendermaßen in Linearfaktoren:
d−1
X − αq
f=
j
,
j=0
wobei α ∈ Fqd eine Nullstelle ist.
6.6
Algebraischer Abschluss von Körpern
Wir erinnern an die folgende Definition:
Definition 6.33. Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes nichtkonstante
Polynom über K mindestens eine Nullstelle hat.
Bemerkung 6.34. Ein Körper K ist genau dann abgeschlossen, wenn jedes Polynom über
K vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
Beispiel 6.35. Der Körper C der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.
Definition 6.36. Es sei K ein Körper. Ein algebraischer Abschluss von K ist ein algebraisch abgeschlossener Oberkörper K ⊃ K, so dass diese Körpererweiterung K ⊃ K
algebraisch ist.
Satz 6.37. Jeder Körper K hat einen algebraischen Abschluss.
Der Beweis ist nicht gänzlich konstruktiv und beruht auf dem Lemma von Zorn, welches
wir für die folgende Aussage benötigen:
Satz 6.38. Es sei R ein kommutativer Ring und I ein echtes Ideal von R. Dann ist I
in einem maximalen Ideal von R enthalten. Insbesondere existiert in jedem kommutativen
Ring, der nicht {0} ist, ein maximales Ideal (beachte, dass {0} dann ein echtes Ideal ist).
Als Vorüberlegung wollen wir Polynomringe in unendlich vielen Variablen einführen. Es
sei dazu K ein Körper und X eine nichtleere Menge. Ein Term über X ist eine Abbildung
α : X → N, so dass
supp α = {X ∈ X : α(X) = 0}
endlich ist. Als intuitive Schreibweise führen wir
X α(X)
X∈X
für einen Term ein. Ist speziell X = {X1 , . . . , Xn } und α : X → N, so haben wir den beα(X )
kannten Ausdruck ni=1 Xi i . Ein Polynom in der Variablenmenge X ist eine formale
K-Linearkombination von (endlich vielen) Termen über X. Wie bei multivariaten Polynomen bildet die Menge dieser Polynome einen kommutativen Ring K[X], welcher K als
Unterring enthält.
Wir beweisen nun die Existenz des algebraischen Abschlusses.
Beweis von Satz 6.37. Für einen Körper K betrachten wir die Indexmenge
F := f ∈ K[X] : deg f ≥ 1
Algebra 1
74
6.6
Algebraischer Abschluss von Körpern
und ordnen jedem f ∈ F eine Variable Xf zu. Es sei
X := {Xf : f ∈ F } .
Wir betrachten die Teilmenge
f (Xf ) : f ∈ F ⊂ K[X]
und das davon erzeugte Ideal I. Wir behaupten, dass I = K[X]. Wäre das Ideal nämlich
nicht echt, müsste 1 ∈ I sein, womit es f1 , . . . , fn ∈ F und Koeffizienten g1 , . . . , gn ∈ K[X]
mit
n
gi fi = 1
(6.3)
i=1
gäbe. Es sei nun K ⊃ K ein Zerfällungskörper von f1 · · · fn ∈ K[X]. Es gibt also insbesondere α1 , . . . , αn ∈ K mit fi (αi ) = 0 für alle i = 1, . . . , n. Wir betrachten den
Einsetzungshomomorphismus
ϕ : K[X] → K
mit
ϕ(Xfi ) = αi
für i = 1, . . . , n und
ϕ(Xf ) = 0
für alle f ∈ F , die keines der fi sind. Aus unserer Annahme (6.3) folgt
n
ϕ(gi )fi (αi ) = ϕ(1) = 1 .
0=
i=1
Dies zeigt also, dass tatsächlich I = K[X] ein echtes Ideal ist. Wir können daher ein
maximales Ideal m ⊂ K[X] finden, welches I enthält. Da dieses maximal ist, ist
L1 := K[X]/m
ein Körper, welchen wir als Erweiterungskörper von K auffassen. Für alle f ∈ F ist
f (Xf ) ∈ I ⊂ m, also
f (X f ) = 0 ,
wobei wir natürlich X f = Xf mod m schreiben. Insbesondere ist jedes X f ∈ L1 algebraisch über K und L1 ⊃ K ist eine algebraische Körpererweiterung, da sie von (unendlich
vielen) algebraischen Elementen X f erzeugt wird. Nach unserer Konstruktion hat jedes
nichtkonstante Polynom f über K eine Nullstelle in L; über Nullstellen von Polynomen
mit Koeffizienten aus L1 können wir jedoch noch nichts aussagen. Dazu iterieren wir diese
Konstruktion und erhalten Körpererweiterungen
K = L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ · · · ,
wobeiu jedes f ∈ Ln [X] eine Nullstelle in Ln+1 hat. Da all diese Körper ineinander enthalten sind, lässt sich nachweisen, dass
∞
L :=
Ln
n=1
75
Algebra 1
6
Algebraische Körpererweiterungen
ein Körper ist. Wir behaupten, dass dieser sogar algebraisch abgeschlossen ist. Ist nämlich
f ∈ L[X], so hat dieses nur endich viele Koeffizienten, welche somit alle in einem Ln für
genügend großes n enthalten sind. Damit hat f eine Nullstelle in Ln+1 ⊂ L.
Es bleibt zu zeigen, dass die Körpererweiterung L ⊃ K algebraisch ist. Da Ln ⊃ Ln−1
algebraisch ist, ist Ln ⊃ K ebenfalls algebraisch. Somit gilt dies auch für L ⊃ K, denn jedes
Element von L liegt in einem Ln , ist also algebraisch. Schließlich ist L ⊃ K tatsächlich
ein algebraischer Abschluss von K.
Nun stellt sich noch die Frage nach der Eindeutigkeit des algebraischen Abschlusses. Natürlich können wir diese nicht im mengentheoretischen Sinne erwarten, sondern höchstens
bis auf Isomorphie. Diese Eindeutigkeit bis auf Isomorphie werden wir tatsächlich nachweisen können. Dazu benötigen wir die folgende Hilfsaussage.
Lemma 6.39. Ein Körper K ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn er keine
echten algebraischen Körpererweiterungen L K besitzt.
Beweis. Ist K nicht algebraisch abgeschlossen, könnten wir mit Zerfällungskörpern echte
algebraische Erweiterungen finden. Die Umkehrung ist Übungsaufgabe.
Es sei nun σ : K → L ein Körperhomomorphismus. Dieser induziert bekanntlich einen
Ringhomomorphismus K[X] → L[X], X → X. Dabei wird f =
ai X i ∈ K[X] also
auf f σ := σ(ai )X i ∈ L[X] abgebildet. Ist a ∈ K eine Nullstelle von f ∈ K[X], so ist
σ(a) ∈ L eine Nullstelle von f σ ∈ L[X]. Ist nämlich f (a) = 0, so erhalten wir
0 = σ(0) = σ f (a) = f σ σ(a) .
Lemma 6.40. Es sei K(a) ⊃ K eine einfache algebraische Körpererweiterung und f ∈
K[X] sei das Minimalpolynom von a (insbesondere sei f (a) = 0). Außerdem sei σ : K → L
ein Körperhomomorphismus und b ∈ L eine Nullstelle von f σ ∈ L[X], also f σ (b) = 0.
Dann existiert ein Homomorphismus
σ : K(a) → L
mit σ (a) = b, welcher σ fortsetzt.
K(a)
O
σ
K
σ
!
/L
Beweis. Dies ist eine unmittelbare Folgerung des Erweiterungslemmas 6.21. Setze K :=
σ(K) und betrachte
LO
K(a)
σ
/ K (b)
O
∼
σ
/K
O
K
Algebra 1
76
6.6
Algebraischer Abschluss von Körpern
Satz 6.41. Es sei K ⊃ K eine algebraische Körpererweiterung und L ein algebraisch
abgeschlossener Körper. Dann kann jeder Körperhomomorphismus σ : K → L zu einem
Homomorphismus σ : K → L fortgesetzt werden.
KO
/L
K
Ist außerdem K algebraisch abgeschlossen (also ein algebraischer Abschluss von K) und
ist die Körpererweiterung L ⊃ σ(K) algebraisch, so ist jede solche Fortsetzung σ ein
Isomorphismus.
Beweis. Es sei M die Menge aller Paare (F, τ ), wobei F ein Zwischenkörper K ⊂ F ⊂ K
ist und τ ein Homomorphismus τ : F → L, welcher σ fortsetzt. Auf diesem M definieren
wir eine Halbordnung, indem wir (F, τ ) ≤ (F , τ ) schreiben, falls F ⊂ F und τ eine
Fortsetzung von τ ist. Mit (K, σ) ∈ M ist M nicht leer. Das übliche Vereinigungsargument
zeigt, dass jede totalgeordnete Teilmenge von M („Kette“) eine obere Schranke hat. Nach
dem Lemma von Zorn hat M also ein maximales Element, welches wir (F, τ ) nennen.
Nun wollen wir F = K zeigen. Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es ein a ∈ K \ F , dessen
Minimalpolynom wir f ∈ K[X] nennen. Das Polynom f τ ∈ L[X] habe b ∈ L als Nullstelle
(L ist algebraisch abgeschlossen). Nach dem obigen Lemma gibt es einen Homomorphismus
τ : F (a) → L, welcher τ fortsetzt (mit τ (a) = b). Dies jedoch wäre ein Widerspruch zur
Maximalität von (F, τ ). Damit folgt tatsächlich F = K und wir können σ := τ setzen.
Nun seien die zusätzlichen Annahmen erfüllt, d. h. K sei algebraisch abgeschlossen. Dann
ist σ (K ) auch algebraisch abgeschlossen.
KO
#
σ (K )
O
/ σ(K)
K
Ist auch L ⊃ σ(K) algebraisch, so auch L ⊃ σ (K ). Damit muss σ (K ) = L gelten.
Insbesondere ist σ surjektiv und ohnehin injektiv, also ein Isomorphismus.
Als direkte Folgerung erhalten wir die angekündigte Eindeutigkeit algebraischer Abschlüsse bis auf Isomorphie.
Korollar 6.42. Sind K 1 und K 2 algebraische Abschlüsse des Körpers K, so existiert ein
Isomorphismus K 1 → K 2 , welcher auf K die Identität ist.
KO 1
σ
K
#
/ K2 = L
σ
77
Algebra 1
Literatur
[Bosc06] S. Bosch, Algebra, Springer (2006)
[Fisc07] G. Fischer, Lehrbuch der Algebra, Vieweg & Teubner (2007)
[Kost82] A. I. Kostrikin, Introduction to Algebra, Springer (1982)
[Lang02] S. Lang, Algebra, Springer (2002)
[vdWa93] B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer (1993)
78
Index
abelsche Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ableitung
abelsche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
formale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
allgemeine lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Aktion einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
alternierende. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
algebraisch abgeschlossener Körper . . . . . . 35
auflösbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
algebraisch unabhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
einfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
algebraische Körpererweiterung . . . . . . . . . 66
endlich erzeugte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
algebraischer Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
kommutative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
allgemeine lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 1
orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
alternierende Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
spezielle lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
auflösbare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
symmetrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Auswertungsmorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . 34
zyklisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Automorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Gruppenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . 3
Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bahnformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Halbgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Hauptideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Hauptidealbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Hauptsatz über symmetrische Polynome 54
Diedergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Homomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
direktes Produkt
externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
internes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
von Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
einfache Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
einfache Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . 65
Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Einheitengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
elementarsymmetrisches Polynom . . . . . . . 54
endlich erzeugte Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Erweiterter Euklidischer Algorithmus . . . 37
Erweiterungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
euklidischer Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Eulersche Phi-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exponent einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
externes direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Indikatorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Inhalt eines Polynoms. . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Integritätsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
internes direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 19
irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Isomorphie von Normalreihen . . . . . . . . . . . 25
Isomorphiesatz
erster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
zweiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Klassengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kleinsche Vierergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
kommutative Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Konjugationsklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Faktor einer Normalreihe . . . . . . . . . . . . . . . 23 Körper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Faktorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Länge einer Normalreihe . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Faktorring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Leitkoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
formale Ableitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Leitkoefizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Frobenius-Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Leitterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . 35
Linksnebenklasse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Fundamentalsatz der Arithmetik . . . . . . . . 39
Galois-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
79
Index
Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Nebenklasse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Normalisator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Normalreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Nullstelle eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . 34
Nullteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
universelle Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Unterkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Unterring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Oberkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Operation einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
orthogonale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Zentralisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 13
Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
zyklische Gruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
p-Sylow-Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
perfekter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Permutationsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Polynomring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 47
Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
primitiver Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
primitives Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
primitives Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Primkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
quadratfreies Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Quotientenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Quotientenring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
Rechtsnebenklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Restklassenring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Satz von
Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Viete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
semidirektes Produkt
externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
internes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
spezielle lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Stabilisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Sylowscher Satz
erster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
zweiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Sylvestermatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
symmetrisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Algebra 1
80
Vielfachheit einer Nullstelle . . . . . . . . . . . . . 35
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