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Lösung der Beispielaufgabe – ÜBERARBEITET

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Übungsbeispiel zur Kurvendiskussion mit Hilfe der Ableitungsfunktion - Lösungsvorschlag
( )
( )
a) Extrempunkt
.
Mit der Lösungsformel folgt x1=-1 und x2=0,5 als Nullstellen der Ableitungsfunktion. f‘(x)
Art der Extrempunkte und Monotonie lassen sich beide aus dem Graph der
Ableitungsfunktion folgern, der eine Parabel ist, die nach oben geöffnet ist
(Formfaktor a=2!)
++
+ +
sind die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb positiv.
-- Bei der Nullstelle x1 wechselt die Steigung von Gf von steigend nach fallend, also ist
dort ein Hochpunkt, bei x2 wechselt die Steigung von Gf von fallend nach steigend, also ist
dort ein Tiefpunkt.
Koordinaten :
f(x1)= (
)
(
)
(
)
, H(-1|
f(x1)= (
)
(
)
(
)
, T(0,5| ).
).
Ebenfalls aus dem Graphen der Ableitungsfunktion folgt
Gf ist im Intervall ]-1;0,5* streng monoton fallend , da dort f‘(x)<0 und
Gf ist im Intervall
streng monoton steigend, da dort f‘(x)>0
ist.
b) Schnittpunkt mit y-Achse
α
.
Winkel Schnittpunkt mit x-Achse : tan(α)=f‘(0)=-1
α=-45° ist Winkel
zwischen x-Achse und Tangente der Funktion. Da die x-Achse auf der yAchse senkrecht steht, ist der gesamte Winkel 45°+90°=135° (siehe Skizze rechts!)
( )
c) F(x)=
( ), also ist F
Stammfunktion von f.
Allgemein ist F(x)=
( )
Stammfunktion.
F(-1)
. Die gesuchte Stammfunktion ist
( )
d) Gesucht ist die Stelle mit dem stärksten Gefälle von Gf, d.h. die Stelle, an der die Ableitung
f‘(x) extrem ist, also eine Extremstelle der Ableitungsfunktion.
Ableitungsfunktion : f‘(x)= 2x²+x-1. Ableitung der Ableitungsfunktion : f‘‘(x)=4x+1.
Extremwert der Ableitungsfunktion : f‘‘(x)=0  x=-0,25.
An der Stelle x=-0,25 ist f‘(x)=2·(-0,25)²-0,25-1=- , der Graph von f fällt dort also am stärksten
und mit der Steigung - .
Gleichung der Tangente :
g : y=mx+t mit m=f‘(-0,5)= - . x=--0,25
t=y-mx=
( ) (
)
f(-0,25)=
.
Die gesuchte Gleichung der Tangenten ist
= y.
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Gesundheitswesen
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