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Algebra - Mathematisches Institut - Ludwig-Maximilians

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Ralf Gerkmann
Mathematisches Institut der
Ludwig-Maximilians-Universität München
Algebra
(Version vom 25. Januar 2015)
Inhaltsverzeichnis
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
..................................
§ 2.
Untergruppen und Erzeugendensysteme
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
§ 4.
Der Satz von Lagrange
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
§ 7.
Gruppenoperationen
3
........................
11
......................
15
.....................................
23
...........................
30
............................
39
......................................
48
§ 8.
Die Sylowsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
§ 9.
Die Kategorie der Körper
66
...................................
..........................
70
.................................
73
§ 10. Körpererweiterungen und Körpergrad
§ 11. Algebraische Erweiterungen
....................
82
§ 13. Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
§ 14. Normale Erweiterungen
....................................
90
...................................
92
§ 12. Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss
§ 15. Separable Erweiterungen
§ 16. Der Hauptsatz der Galoistheorie
..............................
96
§ 1. Die Kategorie der Gruppen
Bekanntlich ist eine Verknüpfung auf einer Menge X eine Abbildung X × X → X . Im Prinzip kann eine Verknüpfung
mit einem beliebigen Symbol bezeichnet werden, häufig verwendet man aber eines der Symbole ·, ◦, ∗, ¯, + oder ⊕.
Definition 1.1 Eine Halbgruppe ist ein Paar (G, ·) bestehend aus einer nichtleeren Menge G und
einer Verknüpfung · auf G, die das Assoziativgesetz
(a · b) · c
a · (b · c) für alle a, b, c ∈ G
=
erfüllt.
Zu jeder Struktur gibt es in der Algebra strukturerhaltende Abbildungen, die man als Homomorphismen bezeichnet.
Seien (G, ·) und (H , ∗) Halbgruppen. Ein Halbgruppen-Homomorphismus von
Definition 1.2
(G, ·) nach (H , ∗) ist eine Abbildung φ : G → H mit
φ(g · h)
=
φ(g ) ∗ φ(h)
für alle g , h ∈ G.
Wird als Verknüpfungssymbol für eine Halbgruppe eines der Zeichen ·, ∗, ◦ oder ¯ verwendet, dann spricht man von
einer Halbgruppe in multiplikativer Schreibweise. Häufig wird das Symbol · zwischen einzelnen Bezeichnern auch
weggelassen, d.h. man schreibt ab statt a · b. Ist das Verknüpfungssymbol + oder ⊕, dann liegt die Halbgruppe in
additiver Schreibweise vor.
Definition 1.3
Sei (G, ·) eine Halbgruppe. Ein Element e ∈ G wird als Neutralelement von (G, ·)
bezeichnet, wenn a ·e = e ·a = a für alle a ∈ G erfüllt ist. Eine Halbgruppe mit (mindestens) einem
Neutralelement nennt man Monoid.
Proposition 1.4
Beweis:
Jede Halbgruppe besitzt höchstens ein Neutralelement.
Sei (G, ·) eine Halbgruppe, und seien e, e 0 Neutralelemente von (G, ·). Weil e Neutralelement ist, gilt a · e = a
für alle a ∈ G, insbesondere also e 0 · e = e 0 . Weil e 0 Neutralelement ist, gilt e 0 · a = a für alle a ∈ G, also insbesondere
e 0 · e = e. Insgesamt erhalten wir e 0 = e 0 · e = e.
ä
Aus der Proposition folgt, dass jedes Monoid (G, ·) ein eindeutig bestimmtes Neutralelement besitzt. Bei einem Monoid
in multiplikativer Schreibweise verwendet man für dieses Element üblicherweise die Bezeichnung eG oder 1G , bei
additiver Schreibweise die Bezeichnung 0G .
Definition 1.5
Seien (G, ·) und (H , ∗) Monoide, mit den Neutralelementen eG und e H . Eine
Abbildung φ : G → H wird Monoid-Homomorphismus von (G, ·) nach (H , ∗) genannt, wenn φ
ein Halbgruppen-Homomorphismus von (G, ·) nach (H , ∗) ist und außerdem φ(eG ) = e H gilt.
—– 3 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Sehen wir uns einige Beispiele für Halbgruppen und Monoide an.
(i) Aus der Analysis-Vorlesung ist bekannt, dass die Addition auf dem Körper R der reellen Zahlen das Assoziativgesetz erfüllt. Also gilt erst recht (a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c ∈ N. Folglich ist (N, +) eine Halbgruppe.
(ii) Das Paar (N, +) ist aber kein Monoid: Nehmen wir an, dass e ∈ N ein Neutralelement ist. Dann müsste insbesondere e +1 = 1 gelten. Ziehen wir auf beiden Seiten 1 ab, dann folgt e = 0, im Widerspruch zur Voraussetzung
e ∈ N.
(iii) Genauso zeigt man, dass (N, ·) eine Halbgruppe ist. Darüber hinaus gilt 1 · a = a · 1 = a für alle a ∈ N. Also ist
(N, ·) sogar ein Monoid, mit 1 als Neutralelement.
(iv) Ebenso leicht überprüft man, dass auch (N0 , +) ein Monoid ist. In diesem Fall ist die Null das Neutralelement.
(v) Das Paar (R, −) (mit der Subtraktion − als Verknüpfung) ist noch nicht einmal eine Halbgruppe, weil das Assoziativgesetz nicht gilt. Beispielsweise ist 1 − (1 − 1) = 1 − 0 = 1, andererseits (1 − 1) − 1 = 0 − 1 = −1.
(vi) Die Menge N0 × N0 ist mit der Verknüpfung ∗ gegeben durch (a, b) ∗ (c, d ) = (ac, bd ) ein Monoid. Das Neutralelement ist (1, 1).
Die folgende Liste enthält Beispiele für Halbgruppen- und Monoidhomomorphismen.
(i) Die Abbildung φ : Z → Z, z 7→ 2z ist ein Halbgruppen-Homomorphismus von (Z, +) nach (Z, +), sogar ein
Monoid-Homomorphismus, denn es gilt
φ(a + b)
=
2(a + b)
2a + 2b
=
=
φ(a) + φ(b) für alle a, b ∈ Z
außerdem φ(0) = 0. Es ist aber kein Halbgruppen-Homomorphismus von (Z, ·) nach (Z, ·), denn es ist φ(1 · 1) =
2(1 · 1) = 2, andererseits φ(1)φ(1) = 2 · 2 = 4, also φ(1 · 1) 6= φ(1) · φ(1).
(ii) Die Abbildung (Z, ·) → (N0 , ·), a 7→ |a| ist ein Monoid-Homomorphismus. Dies folgt aus der Tatsache, dass der
Absolutbetrag für alle a, b ∈ Z die Gleichung |a · b| = |a| · |b| erfüllt.
(iii) Die Abbildung ψ : N0 → N0 × N0 , a 7→ (a, 0) zwischen den Monoiden (N0 , ·) und (N0 × N0 , ∗) mit der Verknüpfung ∗ aus Beispiel (v) ist ein Halbgruppen-Homomorphismus, aber kein Monoid-Homomorphismus. Es gilt
zwar
ψ(a · b)
=
(ab, 0)
=
(a, 0) ∗ (b, 0)
=
ψ(a) ∗ ψ(b)
für alle a, b ∈ N0 , aber ψ(1) = (1, 0) 6= (1, 1). Das Neutralelement von (N0 , ·) wird also nicht auf das Neutralelement von (N0 × N0 , ∗) abgebildet.
—– 4 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Definition 1.6
Seien (G, ·) und (H , ∗) Halbgruppen und φ : G → H ein Halbgruppen-
Homomorphismus. Man bezeichnet φ als
(i) Halbgruppen-Monomorphismus, wenn φ injektiv
(ii) Halbgruppen-Epimorphismus, wenn φ surjektiv
(iii) Halbgruppen-Isomorphismus, wenn φ bijektiv ist.
Einen Halbgruppen-Homomorphismus φ : G → G von (G, ·) nach (G, ·) bezeichnet man als Halbgruppen-Endomorphismus. Ist die Abbildung φ außerdem bijektiv, dann spricht man von einem
Halbgruppen-Automorphismus.
Entsprechende Bezeichnungen verwendet man auch bei Monoid-Homomorphismen und genauso bei jeder weiteren
algebraischen Struktur, die wir im weiteren Verlauf noch behandeln werden (Vektorräum, Ringe, Körper etc.).
Definition 1.7 Sei (G, ·) ein Monoid. Ein Element a ∈ G wird invertierbar in (G, ·) genannt, wenn
ein b ∈ G mit a · b = b · a = eG existiert. Man nennt b in diesem Fall ein Inverses von a. Ist jedes
Element aus G in (G, ·) invertierbar, dann nennt man (G, ·) eine Gruppe.
Proposition 1.8
Beweis:
Jedes Element a in einem Monoid besitzt höchstens ein Inverses.
Seien b und b 0 beides Inverse von a. Dann gilt a · b = eG und b 0 · a = eG , und es folgt b = eG · b = (b 0 · a) · b =
b 0 · (a · b) = b 0 · eG = b 0 .
ä
Ist (G, ·) ein Monoid in multiplikativer Schreibweise und a ∈ G ein invertierbares Element, dann verwendet man a −1
als Notation für das Inverse. Bei additiver Schreibweise ist die Bezeichnung −a üblich.
Betrachten wir einige einfache Beispiele für Gruppen.
(i) Das Paar (Z, +) ist eine Gruppe. Das Assoziativgesetz ist offenbar erfüllt, weil es sogar in R gilt. Wegen a + 0 =
0 + a = a für alle a ∈ Z ist die Null das Neutralelement in (Z, +), und wegen a + (−a) = (−a) + a = 0 ist −a für
jedes a ∈ Z jeweils das Inverse von a.
(ii) Das Paar (Z, ·) ist zwar ein Monoid (mit 1 als Neutralelement), aber keine Gruppe. Wäre (Z, ·) eine Gruppe,
dann gäbe es unter anderem auch für das Element 2 ∈ Z ein Inverses, also ein a ∈ Z mit 2a = 1. Aber aus der
Gleichung 2a = 1 folgt a = 12 , was der Annahme a ∈ Z widerspricht.
(iii) Aus den Körperaxiomen folgt, dass für jeden Körper (K , +, ·) die Paare (K , +) und (K × , ·) mit K × = K \{0K } Gruppen sind.
—– 5 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Seien (G, ·) und (H , ◦) Gruppen. Eine Abbildung φ : G → H wird Gruppen-
Definition 1.9
Homomorphismus von (G, ·) nach (H , ◦) genannt, wenn φ ein Monoid-Homomorphismus ist und
außerdem φ(g −1 ) = φ(g )−1 für alle g ∈ G erfüllt ist.
Satz 1.10 Sind (G, ·) und (H , ◦) Gruppen, und ist φ : G → H ein Halbgruppen-Homomorphismus
von (G, ·) nach (H , ◦), dann ist φ bereits ein Gruppen-Homomorphismus.
Beweis:
Nach Voraussetzung gilt φ(g · h) = φ(g ) ∗ φ(h) für alle g , h ∈ G. Insbesondere gilt φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ∗
φ(eG ). durch Multiplikation dieser Gleichung mit φ(eG )−1 erhalten wird
eH
=
φ(eG ) ∗ φ(eG )−1
φ(eG ) ∗ φ(eG ) ∗ φ(eG )−1
=
=
φ(eG ) ∗ e H
=
φ(eG ).
Dies zeigt, dass φ ein Monoid-Homomorphismus ist. Für jedes g ∈ G gilt außerdem φ(g )φ(g −1 ) = φ(eG ) = e H , also
φ(g −1 ) = φ(g )−1 .
Definition 1.11
ä
Gilt in einer Halbgruppe (bzw. einem Monoid, einer Gruppe) (G, ·) die Glei-
chung
a ·b
=
b·a
für alle a, b ∈ G
,
dann bezeichnet man die Halbgruppe (bzw. das Monoid, die Gruppe) als kommutativ oder
abelsch.
Bisher haben wir nur Beispiele für kommutative Halbgruppen, Monoide und Gruppen kennengelernt. Wir werden
nun eine wichtige Klasse von nicht-kommutativen Gruppen definieren, auf die wir im weiteren Verlauf der Vorlesung
immer wieder als Beispiel zurückkommen werden.
Proposition 1.12
Sei X eine Menge und Abb(X ) die Menge der Abbildungen X → X . Für f , g ∈
Abb(X ) bezeichnet f ◦ g wie immer die Komposition von f und g gegeben durch
( f ◦ g )(x)
=
f (g (x))
für alle x ∈ X .
Dann ist das Paar (Abb, ◦) ein Monoid. Das Neutralelement ist die Identitätsabbildung id X gegeben durch id X (x) = x für alle x ∈ X .
Beweis:
Um zu zeigen, dass ◦ eine assoziative Verknüpfung ist, müssen wir die Gleichung ( f ◦ g ) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) für
alle f , g , h ∈ Abb(X ) überprüfen. Dazu rechnen wir nach, dass die Abbildung auf der linken Seite dieser Gleichung auf
jedem Element x ∈ X des Definitionsbereichs mit der Abbildung auf der rechten Seite übereinstimmt. Tatsächlich gilt
(( f ◦ g ) ◦ h)(x)
=
( f ◦ g )(h(x))
=
f (g (h(x)))
=
f ((g ◦ h)(x))
=
( f ◦ (g ◦ h))(x).
Nun zeigen wir, dass id X das Neutralelement von (Abb(X ), ◦) ist, indem wir die Gleichungen f ◦id X = f und id X ◦ f = f
überprüfen. Für beliebiges x ∈ X gilt ( f ◦id X )(x) = f (id X (x)) = f (x) und (id X ◦ f )(x) = id X ( f (x)) = f (x), also sind beide
Gleichungen erfüllt.
ä
—– 6 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Proposition 1.13 Eine Abbildung f ∈ Abb(X ) ist genau dann im Monoid (Abb(X ), ◦) invertierbar,
wenn sie bijektiv ist. Das Inverse ist in diesem Fall die Umkehrabbildung f −1 von f .
Beweis:
Aus der Erstsemester-Vorlesung ist bekannt, dass eine Abbildung f : X → X genau dann bijektiv ist, wenn
eine Abbildung g : X → X mit g ◦ f = id X und f ◦ g = id X existiert. Weil id X in unserem Monoid das Neutralelement
ist, sind diese beiden Gleichungen äquivalent zur Invertierbarkeit von f .
ä
Aus einem Monoid lässt sich eine Gruppe gewinnen, indem man die Verknüpfung auf die Teilmenge der invertierbaren Elemente einschränkt. Dieses wichtige Grundprinzip werden wir nun ausformulieren. Als wichtigsten Punkt
müssen wir dabei überprüfen, dass die Einschränkung der Abbildung auch tatsächlich eine Verknüpfung auf der kleineren Menge liefert. Hierfür benötigen wir ein Kriterium.
Definition 1.14
Sei (X , ◦) eine Menge mit einer Verknüpfung. Eine Teilmenge U ⊆ X wird ab-
geschlossen unter ◦ genannt, wenn für alle x, y ∈ U auch das Element x ◦ y in U liegt.
Ist U ⊆ X abgeschlossen unter ◦, dann ist die Abbildung ◦U : U ×U → X , die man durch Einschränkung von ◦ auf die
Teilmenge U ×U ⊆ X × X erhält, zugleich eine Abbildung U ×U → U , also eine Verknüpfung auf U . Da nach Definition
x ◦U y
=
x◦y
für alle x, y ∈ U
gilt, verwendet man für die Verknüpfung ◦U der Einfachheit halber weiterhin das Symbol ◦.
Satz 1.15
Sei (G, ·) ein Monoid und G × ⊆ G die Teilmenge der invertierbaren Elemente. Dann ist
×
G abgeschlossen unter der Verknüpfung ·, und (G × , ·) ist eine Gruppe. Das Neutralelement eG
von G ist zugleich das Neutralelement von (G × , ·).
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Abgeschlossenheit von G × unter der Verknüpfung ·. Seien a, b ∈ G × und a −1 , b −1
ihre Inversen. Dann gilt
(b −1 a −1 )(ab)
=
b −1 (a −1 a)b
=
b −1 eG b
=
b −1 b
=
eG .
Durch eine analoge Rechnung erhält man (ab)(b −1 a −1 ) = eG . Dies zeigt, dass mit a und b auch ab invertierbar ist,
also in G × liegt.
Nun überprüfen wir für (G × , ·) die Gruppenaxiome. Das Assoziativgesetz ist in G × erfüllt, weil es sogar in G gültig ist.
Wegen eG · eG = eG ist das Neutralelement eG invertierbar und sein eigenes Inverses, also ebenfalls in G × enthalten.
Für alle g ∈ G, und damit erst recht für alle g ∈ G × , gilt g e G = eG g = g . Dies zeigt, dass eG das Neutralelement von
(G × , ·) ist. Für jedes invertierbare Element g ∈ G × mit dem Inversen g −1 gilt
g g −1
=
g −1 g
=
eG
=
eG × .
Die Gleichungen zeigen, dass mit g auch das Element g −1 invertierbar ist, und dass das zu g −1 inverse Element durch
(g −1 )−1 = g gegeben ist. Für jedes g ∈ G × existiert damit in G × (!) ein Inverses, nämlich g −1 . Damit ist der Nachweis
der Gruppenaxiome für (G × , ◦) abgeschlossen.
ä
Als Nebenergebnis des Beweises halten wir fest
—– 7 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Sei (G, ·) ein Monoid, und seien g , h ∈ G invertierbare Elemente. Dann sind
Proposition 1.16
auch die Elemente g h und g −1 invertierbar, und es gilt (g h)−1 = h −1 g −1 und (g −1 )−1 = g . Auch
das Neutralelement eG von (G, ·) ist invertierbar, und es gilt eG−1 = eG .
Weil die bijektiven Abbildungen genau die invertierbaren Elemente im Monoid (Abb(X ), ◦) sind, erhalten wir durch
das soeben beschriebene Verfahren eine in Abb(X ) enthaltene Gruppe.
Definition 1.17
Sei X eine Menge. Dann bildet die Teilmenge Per(X ) ⊆ Abb(X ) bestehend aus
den bijektiven Abbildungen X → X mit der Komposition ◦ von Abbildungen eine Gruppe. Man
bezeichnet (Per(X ), ◦) als die Permutationsgruppe und die Elemente von Per(X ) als die Permutationen von X .
Ist n ∈ N und M n = {1, ..., n}, dann bezeichnet man S n = Per(M n ) auch als symmetrische Gruppe in n Elementen. In der
Linearen Algebra wurde durch vollständige Induktion bewiesen, dass die Gruppe S n aus genau n! = 1·2·...·n Elementen
besteht. Für Elemente aus S n oder Abb(M n ) bietet sich die folgenden Tabellenschreibeweise an: Sind a 1 , ..., a n ∈ M n
vorgegeben, dann verwenden wir den Ausdruck
Ã
σ
=
1
2
·
n
a1
a2
...
an
!
als Symbol für die Abbildung σ : M n → M n mit σ(k) = a k für 1 ≤ k ≤ n. Offenbar ist σ genau dann in S n enthalten,
wenn jede Zahl aus M n unter den Werten a 1 , ..., a n genau einmal vorkommt. Beispielsweise sind die Elemente der
Gruppe S 3 durch die folgenden Tabellen gegeben.
Ã
id =
1
2
1
2
! Ã
1
,
3
2
3
2
3
1
3
! Ã
,
1
2
3
2
! Ã
1
,
1
1
3
2
3
3
2
! Ã
,
1
2
2
3
! Ã
1
,
1
3
3
2
3
1
2
!
Wir beschäftigen uns mit der Frage, unter welcher Bedingung die Permutationsgruppen abelsch sind. Hierzu definieren wir
Definition 1.18
Sei X eine Menge und σ ∈ Per(X ). Dann bezeichnet man die Teilmenge
supp(σ) = {x ∈ X | σ(x) 6= x} ⊆ X als den Träger der Permutation σ. Zwei Elemente σ, τ ∈ Per(X )
nennt man disjunkt, wenn ihre Träger als Teilmengen von X disjunkt sind.
Offenbar ist die identische Abbildung id X das einzige Element mit supp(σ) = ;, und es gibt keine Permutationen
mit einelementigem Träger. Zu jeder zweielementigen Teilmenge A = {y, z} ⊆ X gibt es genau eine Permutation σ mit
supp(σ) = A, und diese ist gegeben durch σ(y) = z, σ(z) = y und σ(x) = x für alle x ∈ X \ A. Permutationen, die zwei
Elemente von X miteinander vertauschen und die übrigen Elemente von X festhalten (also auf sich selbst abbilden),
nennt man Transpositionen.
Der neue Begriff hängt nun mit der Frage der Kommutativität folgendermaßen zusammen.
Satz 1.19 Sei X eine Menge. Dann sind je zwei disjunkte Permutationen σ, τ ∈ Per(X ) vertauschbar, das heißt es gilt σ ◦ τ = τ ◦ σ.
—– 8 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Beweis:
Sei x ∈ X vorgegeben, dann ist (σ◦τ)(x) = (τ◦σ)(x) zu zeigen. Wir unterscheiden drei Fälle. Ist x ∉ supp(σ)∪
supp(τ), dann gilt (σ◦τ)(x) = σ(τ(x)) = σ(x) = x und ebenso (τ◦σ)(x) = τ(σ(x)) = τ(x) = x. Setzen wir nun x ∈ supp(σ)
und x ∉ supp(τ) voraus. Mit x ist auch σ(x) in supp(σ) enthalten, denn andernfalls würden mit x und σ(x) zwei verschiedene Elemente auf σ(x) abgebildet, was der Bijektivität von σ widerspricht. Weil nun supp(σ) und supp(τ) disjunkt sind, gilt damit σ(x) ∉ supp(τ). Wir erhalten (σ ◦ τ)(x) = σ(τ(x)) = σ(x) und (τ ◦ σ)(x) = τ(σ(x)) = σ(x), also
erneut eine Übereinstimmung der Bilder. Genauso behandelt man den Fall x ∉ supp(σ) und x ∈ supp(τ). Der Fall
x ∈ supp(σ) ∩ supp(τ) ist nach Voraussetzung ausgeschlossen.
ä
Betrachten wir nun die Kommutativität der gesamten Gruppe (an Stelle der Vertauschbarkeit von nur zwei Elementen)
so erhalten wir
Satz 1.20
Beweis:
Eine Permutationsgruppe Per(X ) ist genau dann abelsch, wenn |X | ≤ 2 gilt.
Im Fall |X | ≤ 1 ist die Gruppe Per(X ) einelementig und damit auf jeden Fall kommutativ. Im Fall |X | = 2
besteht Per(X ) aus 2! = 2 Elementen, also aus id X und einer weiteren Permutation σ. (Man kann sich leicht überlegen,
dass es sich bei σ um die Transposition handelt, welche die beiden Elemente der Menge X miteinander vertauscht.)
Weil id X das Neutralelement der Gruppe ist, gilt id X ◦id X = id X , id X ◦σ = σ und σ◦id X = σ. Außerdem muss σ◦σ = id X
gelten, denn wäre σ ◦ σ = σ, dann könnten wir die Gleichung von rechts mit dem Inversen σ−1 multiplizieren und
würden σ ◦ σ ◦ σ−1 = σ ◦ σ−1 ⇔ σ = id X erhalten, im Widerspruch zu σ 6= id X . Insgesamt sehen wir, dass die Gleichung
τ1 ◦ τ2 = τ2 ◦ τ1 für alle τ1 , τ2 ∈ Per(X ) erfüllt ist.
Setzen wir nun |X | ≥ 3 voraus (wobei wir den Fall einschließen, dass X unendlich ist), und seien x, y, z drei verschiedene Elemente von X . Seien σ, τ ∈ Per(X ) die eindeutig bestimmten Elemente mit supp(σ) = {x, y} und supp(τ) = {x, z}.
Dann gilt
(σ ◦ τ)(x)
=
σ(τ(x))
=
σ(z)
=
z
(τ ◦ σ)(x)
und
=
τ(σ(x))
τ(y)
=
=
y
also σ ◦ τ 6= τ ◦ σ. Dies zeigt, dass Per(X ) in diesem Fall nicht kommutativ ist.
ä
Insbesondere ist die symmetrische Gruppe S n also genau dann kommutativ, wenn n ≤ 2 ist. Im Hinblick auf spätere
Anwendungen beweisen wir noch
Satz 1.21
Seien X , Y Mengen und φ : X → Y eine Bijektion. Dann ist durch
φˆ : Per(X ) −→ Per(Y )
,
σ 7→ φ ◦ σ ◦ φ−1
ein Isomorphismus von Gruppen definiert.
Beweis:
Sei σ ∈ Per(X ) vorgegeben. Durch Komposition der Abbildungen φ−1 : Y → X , σ : X → X und φ : X → Y
erhält man eine Abbildung Y → Y , und als Komposition bijektiver Abbildungen ist φ ◦ σ ◦ φ−1 ebenfalls bijektiv. Also
ist durch die angegebene Zuordnung φˆ tatsächlich eine Abbildung Per(X ) → Per(Y ) definiert. Um zu zeigen, dass φˆ
ein Homomorphismus von Gruppen ist, seien σ, τ ∈ Per(X ) vorgegeben. Dann gilt
ˆ ◦ τ)
φ(σ
=
φ ◦ σ ◦ τ ◦ φ−1
=
φ ◦ σ ◦ (φ−1 ◦ φ) ◦ τ ◦ φ−1
—– 9 —–
=
(φ ◦ τ ◦ φ−1 ) ◦ (φ ◦ σ ◦ φ−1 )
=
ˆ
ˆ
φ(σ)
◦ φ(τ).
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Um zu zeigen, dass φˆ bijektiv ist, genügt es zu bemerken, dass durch die Zuordnung σ 7→ φ−1 ◦ σ ◦ φ eine Umkehrabˆ : Per(Y ) → Per(X ) von φˆ gegeben ist. Für jedes σ ∈ Per(Y ) ist nämlich φ−1 ◦ σ ◦ φ eine Abbildung X → X ,
bildung ψ
ˆ tatsächlich eine Abbildung von Per(Y ) nach
und wiederum bijektiv als Komposition bijektiver Abbildungen. Also ist ψ
Per(X ). Außerdem gilt für alle σ ∈ Per(X ) jeweils
ˆ
ˆ ◦ φ)(σ)
(ψ
=
ˆ
ˆ φ(σ))
ψ(
(φ−1 ◦ φ) ◦ σ ◦ (φ−1 ◦ φ)
ˆ ◦ σ ◦ φ−1 )
ψ(φ
=
=
=
id X ◦ σ ◦ id X
=
φ−1 ◦ (φ ◦ σ ◦ φ−1 ) ◦ φ
σ
=
=
idPer(X ) (σ) ,
ˆ ◦ φˆ = idPer(X ) . Durch eine analoge Rechnung zeigt man φˆ ◦ ψ
ˆ = idPer(Y ) . Dies zeigt, dass ψ
ˆ tatsächlich die Umalso ψ
kehrabbildung von φˆ ist.
ä
Für jedes n und jede n-elementige Menge X gilt beispielsweise gilt Per(X ) ∼
= S n , denn nach Definition bedeutet |X | = n
gerade, dass eine bijektive Abbildung zwischen M n und X existiert.
—– 10 —–
§ 2. Untergruppen und Erzeugendensysteme
Ein wichtiges, für das Verständnis wesentliches Merkmal algebraischer Strukturen ist das Auftreten gleichartiger Unterstrukturen. So spielen etwa in der Theorie der Vektorräume die Untervektorräume eine wesentliche Rolle; ohne
sie wäre beispielsweise der Dimensionsbegriff nur schwer zugänglich. Wir werden solche Unterstrukturen nun in der
Kategorie der Gruppen genauer betrachten.
Definition 2.1
Sei (G, ·) eine Gruppe. Eine Teilmenge U ⊆ G wird Untergruppe von G genannt,
wenn eG in U liegt und für alle a, b ∈ U auch die Elemente a · b und a −1 in U liegen.
Ist (G, ·) eine Gruppe und U eine Untergruppe. Durch Einschränkung der Verknüpfung · : G ×G → G auf die Teilmenge
U ×U ⊆ G × G erhalten wir eine Abbildung ·U : U ×U → G. Auf Grund der Implikation a, b ∈ U ⇒ a · b ∈ U gilt jeweils
a ·U b = a · b ∈ U für alle a, b ∈ U . Also ist ·U auch eine Abbildung U ×U → U , somit eine Verknüpfung auf U .
Proposition 2.2
Beweis:
Das Paar (U , ·U ) ist eine Gruppe.
Die Verknüpfung ·U stimmt auf ihrem gesamten Definitionsbereich mit · überein. Weil das Assoziativgesetz
in G gültig ist, gilt
(a ·U b) ·U c
=
(a · b) · c
=
a · (b · c)
=
a ·U (b ·U c)
für alle a, b, c ∈ U . Auf Grund der Voraussetzung eG ∈ U und wegen eG ·U a = eG · a = a, a ·U eG = a · eG = a ist eG ein
Neutralelement in (U , ·U ). Für jedes a ∈ U ist auch a −1 in U enthalten. Wegen a ·U a −1 = a · a = eG und a −1 ·U a =
a −1 · a = eG ist a −1 das Inverse von a in (U , ·U ).
Im weiteren Verlauf Vorlesung wird uns eine Vielzahl von Untergruppen begegnen. Zunächst beschränken wir uns auf
die folgenden zwei Beispiele.
(i) Ist G eine Gruppe, dann sind {eG } und G Untergruppen von G. Man bezeichnet sie als die trivialen Untergruppen. Für beide Mengen kontrolliert man unmittelbar, dass das die Untergruppen-Bedingungen erfüllt sind.
(ii) Sei K ein Körper, V ein K -Vektorraum und GL(V ) die Menge der Vektorraum-Isomorphismen V → V . Dann ist
GL(V ) eine Untergruppe vom Per(V ). Denn aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass idV eine lineare Abbildung ist. Also ist das Neutralelement von Per(V ) in GL(V ) entahlten. Seien nun ϕ, ψ ∈ GL(V ) vorgegeben. Nach
Ergebnissen aus der Linearen Algebra sind auch die Kompositionen ϕ ◦ ψ und ϕ−1 , außerdem sind sie bijektiv,
insgesamt also in GL(V ) enthalten. Damit haben wir die Untergruppen-Bedingungen verifiziert.
Unser erstes theoretisches Resultat wird die Klassifikation der Untergruppen von (Z, +) sein. Dabei wird die Teilbarkeitsrelation zwischen den ganzen Zahlen eine wichtige Rolle spielen. Für a, b ∈ Z schreiben wir jeweils a|b, wenn b
von a geteilt wird, wenn also ein k ∈ Z mit b = ka existiert.
Proposition 2.3 Für jedes n ∈ N ist n Z = {nk | k ∈ Z} eine Untergruppe von (Z, +). Für beliebige
m, n ∈ N gilt m Z ⊇ n Z genau dann, wenn m ein Teiler von n ist.
—– 11 —–
§ 2.
Untergruppen und Erzeugendensysteme
Beweis:
Wegen 0 = n · 0 ist 0 in n Z enthalten. Seien nun a, b ∈ n Z vorgegeben. Dann gilt es k, ` ∈ Z mit a = nk und
b = n`. Es folgt a + b = nk + n` = n(k + `) und somit a + b ∈ n Z. Ebenso gilt −a = n(−k) und damit −a ∈ n Z. Also ist
n Z tatsächlich eine Untergruppe von (Z, +).
Nun beweisen wir die angegeben Äquivalenz für m, n ∈ N. Gilt m Z ⊇ n Z, dann ist insbesondere n = n · 1 in m Z
enthalten, es gilt also ein k ∈ Z mit n = mk. Dies zeigt, dass m ein Teiler von n ist. Setzen wir umgekehrt m|n voraus,
dann gibt es ein k ∈ N mit n = mk. Ist nun a ∈ n Z, also a = n` für ein ` ∈ Z, dann folgt a = n` = (mk)` = m(k`) ∈ m Z.
Somit haben wir n Z ⊆ m Z nachgewiesen.
ä
Häufig kann man aus einer gegebenen Familie von Unterstrukturen durch bestimmte Operationen neue Unterstrukturen definieren. In der Linearen Algebra haben wir dieses Phänomen am Beispiel der Summe und Durchschnitte von
Untervektorräumen gesehen. Entsprechend gilt in der Kategorie der Gruppen
Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei (Ui )i ∈I eine Familie von Untergruppen von G.
T
Dann ist auch U = i ∈I Ui eine Untergruppe von G.
Proposition 2.4
Beweis:
Weil jedes Ui eine Untergruppe von (G, ·) ist, gilt eG ∈ Ui für alle i ∈ I und damit auch eG ∈ U . Seien nun
a, b ∈ U vorgegeben. Dann gilt a, b ∈ Ui für alle i ∈ I , und aus der Untergruppe-Eigenschaft von Ui folgt jeweils ab ∈ Ui
und a −1 ∈ Ui , für jedes i ∈ I . Daraus wiederum folgt ab ∈ U und a −1 ∈ U .
ä
In vielen Situationen ist es wünschenswert, Untergruppen auf möglichst kurze und einfache Art und Weise zu spezifizieren. Eine einfache Möglichkeit ist die Beschreibung von Untergruppen durch Erzeugendensysteme.
Satz 2.5 Sei (G, ·) eine Gruppe und S ⊆ G eine Teilmenge. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
Untergruppe U von (G, ·) mit den folgenden Eigenschaften.
(i) U ⊇ S
(ii) Ist V eine weitere Untergruppe von (G, ·) mit V ⊇ S, dann folgt V ⊇ U .
Beide Bedingungen lassen sich zusammenfassen in der Aussage, dass U die kleinste Untergruppe von (G, ·) ist, die S als Teilmenge enthält. Man nennt U die von S erzeugte Untergruppe und
bezeichnet sie mit 〈S〉.
Beweis:
Existenz: Sei (Ui ) die Familie aller Untergruppen von (G, ·) mit Ui ⊇ S. Dann ist nach Proposition 2.4 auch
T
U = i ∈I eine Untergruppe von (G, ·), und aus Ui ⊇ S für alle i ∈ I folgt U ⊇ S. Sei nun V eine weitere Untergruppe von
(G, ·) mit V ⊇ S. Dann gilt V = U j für ein j ∈ I , und weil nach Definition U ⊆ Ui für alle i ∈ I gilt, folgt V ⊇ U .
Eindeutigkeit: Seien U ,U 0 zwei Untergruppen von (G, ·), die beide (i) und (ii) erfüllen. Dann gilt U ⊇ S und U 0 ⊇ S. Aus
der Eigenschaft (ii) für U folgt U 0 ⊇ U , und aus Eigenschaft (ii) für U 0 folgt U ⊇ U 0 , insgesamt also U = U 0 .
ä
In jeder Gruppe (G, ·) gilt 〈;〉 = {eG }. Denn wie wir bereits festgestellt haben, ist {eG } eine Untergruppe, und diese
enthält trivialerweise ; als Teilmenge. Andererseits ist eG in jeder Untergruppe U von (G, ·) enthalten, also ist {eG }
eine Teilmenge jeder Untergruppe V von (G, ·) mit V ⊇ ;.
Ist S eine elementige Teilmenge einer Gruppe G, S = {g } für ein g ∈ G, dann schreibt man 〈g 〉 an Stelle von 〈{g }〉. Auch
bei endlichen Mengen mit mehr Elementen wird häufig an Stelle von 〈{g 1 , ..., g n }〉 die einfachere Notation 〈g 1 , ..., g n 〉
—– 12 —–
§ 2.
Untergruppen und Erzeugendensysteme
verwendet.
Definition 2.6
Eine Gruppe (G, ·) wird zyklisch genannt, wenn ein g ∈ G mit G = 〈g 〉 existiert.
Definition 2.7 Sei (G, ·) eine Gruppe und g ∈ G. Dann ist durch g 0 = eG und g n+1 = g n ·g rekursiv
die n-te Potenz von g für jedes n ∈ N0 definiert. Außerdem definiert man g −n = (g n )−1 für alle
n ∈ N.
Wie in der Erstsemester-Vorlesung für Körper beweist man auch in Gruppen die Potenzgesetze g m+n = g m · g n und
(g m )n = g mn für alle g ∈ G und m, n ∈ Z. Die Gleichung (g · h)m = g m · h m für m ∈ Z und g , h ∈ G ist zwar in abelschen
Gruppen richtig, in nicht-abelschen aber im allgemeinen nicht.
Lemma 2.8
Sei (G, ·) eine Gruppe und U eine Untergruppe.
(i) Ist g ∈ U , dann gilt g m ∈ U für alle m ∈ Z.
(ii) Ist m ∈ N und sind g 1 , ..., g m ∈ U , dann ist auch g 1 · ... · g m in U enthalten.
Beweis:
zu (i) Wir zeigen zunächst durch vollständige Induktion über m, dass g m ∈ U für alle m ∈ N0 gilt. Für n = 0 ist dies
wegen g 0 = eG und der Untergruppen-Eigenschaft von U erfüllt. Setzen wir nun g m ∈ V voraus. Dann gilt g m+1 = g m ·
g , und als Produkt zweier Elemente aus U ist auch g m+1 in U enthalten. Für jedes m ∈ N ist mit g m auch g −m = (g m )−1
in V enthalten. Damit haben wir g m ∈ U für alle n ∈ Z bewiesen.
zu (ii) Auch hier führen wir den Beweis durch vollständige Induktion über m. Für m = 1 gilt die Aussage nach Voraussetzung. Setzen wir die Aussage nun für m voraus, und seien g 1 , ..., g m+1 ∈ U vorgegeben. Nach Induktionsvoraussetzung liegt das Element h = g 1 · ... · g m in U . Damit ist auch h · g m+1 = g 1 · ... · g m in U enthalten.
Proposition 2.9
Beweis:
ä
Sei (G, ·) eine Gruppe und g ∈ G. Dann gilt 〈g 〉 = {g n | n ∈ Z}.
Sei U die Menge auf der rechten Seite. Wir überprüfen zunächst, dass U eine Untergruppe von (G, ·) ist.
Wegen eG = g 0 ist eG in U enthalten. Seien nun u, v ∈ U vorgegeben. Dann gibt es m, n ∈ Z mit u = g m und v = g n .
Es folgt u · v = g m · g n = g m+n ∈ U und u −1 = (g m )−1 = g −m ∈ U . Damit ist die Untergruppen-Eigenschaft von U
nachgewiesen. Wegen g = g 1 ∈ U gilt außerdem U ⊇ {g }.
Sei nun V eine Untergruppe von (G, ·) mit V ⊇ {g }. Aus g ∈ V folgt nach Lemma 2.8 (i), dass auch g m für alle m ∈ Z in
V enthalten ist. Es gilt also V ⊇ U . Damit sind die Bedingungen (i) und (ii) aus Satz 2.5 für U und die Menge S = {g }
nachgewiesen, und wir erhalten U = 〈g 〉.
Folgerung 2.10
ä
Jede zyklische Gruppe ist abelsch.
—– 13 —–
§ 2.
Untergruppen und Erzeugendensysteme
Beweis:
Sei (G, ·) eine zyklische Gruppe und g ∈ G mit G = 〈g 〉. Sind u, v ∈ G zwei beliebige Elemente, dann gibt es
m, n ∈ Z mit u = g m und v = g n . Es gilt dann u · v = g m · g n = g m+n = g n · g m = v · u. Damit ist die Kommutativität von
(G, ·) nachgewiesen.
ä
Weil es sich bei den symmetrischen Gruppen S n für n ≥ 3 um nicht-abelsche Gruppen handelt, sind diese insbesondere nicht zyklisch.
Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe, m ∈ N und seien g 1 , ..., g m , h 1 , ..., h m beliebige
Lemma 2.11
Elemente aus G. Dann gilt
(i) (g 1 · ... · g m ) · (h 1 · ... · h m ) = (g 1 · h 1 ) · ... · (g m · h m )
−1
(ii) (g 1 · ... · g m )−1 = g 1−1 · ... · g m
Beweis:
zu (i) Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion über m. Für m = 1 ist nichts zu zeigen. Setzen
wir nun die Gleichung für m voraus, und seien g 1 , ..., g m+1 , h 1 , ..., h m+1 ∈ G vorgegeben. Setzen wir u = g 1 · ... · g m ,
v = h 1 · ... · h m und w = (g 1 · h 1 ) · ... · (g m h m ), dann gilt u · v = w nach Induktionsvoraussetzung. Es folgt
(g 1 · ... · g m+1 ) · (h 1 · ... · h m+1 )
(u · g m+1 ) · (v · h m+1 )
=
w · g m+1 · h m+1
u · v · g m+1 · h m+1
=
=
(g 1 · h 1 ) · ... · (g m h m ) · g m+1 · h m+1 .
=
zu (ii) Wieder führen wir den Beweis durch vollständige Induktion über m. Im Fall m = 1 braucht auch hier nichts
gezeigt werden. Setzen wir nun die Aussage für m voraus. Seien g 1 , ..., g m+1 vorgegeben und u = g 1 · ... · g m . Dann gilt
(g 1 · ... · g m+1 )−1
(u · g m+1 )−1
=
=
−1
g m+1
· u −1
=
−1
u −1 · g m+1
−1
−1
g 1−1 · ... · g m
· g m+1
=
,
wobei wir im letzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet haben.
Proposition 2.12
ä
Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe, m ∈ N, und sei S = {g 1 , ..., g m } eine m-
elementige Teilmenge von G. Dann gilt
〈S〉
Beweis:
=
©
¯
ª
e
e
g 1 1 · ... · g mm ¯ e 1 , ..., e m ∈ Z .
Sei U die Menge auf der rechten Seite der Gleichung. Auch hier überprüfen wir zunächst, dass U eine
0
Untergruppe von (G, ·) ist. Wegen eG = g 10 · ... · g m
ist das Neutralelement eG von G in U enthalten. Seien nun u, v ∈ U
f
e
e
f
vorgegeben. Dann gibt es e 1 , ..., e m , f 1 , ..., f m ∈ Z mit u = g 1 1 · ... · g mm und v = g 11 · ... · g mm . Nach Lemma 2.11 folgt
u·v
=
e
f
e
e + f1
g 11
=
e
e
f
(g 1 1 · ... · g mm ) · (g 11 · ... · g mm )
e
e
e + fm
· ... · g mm
−e 1
außerdem u −1 = (g 1 1 · ... · g mm )−1 = (g 1 1 )−1 · ... · (g mm )−1 = g 1
f
e
e
f
(g 1 1 · g 11 ) · ... · (g mm · g mm )
=
∈U
−e m
· ... · g m
in U . Also ist U tatsächlich eine Untergruppe
von (G, ·).
Sei nun V eine Untergruppe von (G, ·) mit V ⊇ S. Für jedes Tupel (e 1 , ..., e m ) ganzer Zahlen sind nach Lemma 2.8 (i) die
e
e
e
e
Elemente g 1 1 , ..., g mm , und nach Lemma 2.11 auch das Element g 1 1 · ... · g mm in V enthalten. Es gilt also V ⊇ U . Damit
sind die Bedingungen (i),(ii) aus Satz 2.5 sind damit für U und die Menge S nachgewiesen, und wir erhalten U = 〈S〉.ä
—– 14 —–
§ 3. Elementordnungen und zyklische Gruppen
Sei G eine Gruppe. Die Anzahl |G| der Elemente von G wird die Ordnung von
Definition 3.1
G genannt. Ist g ∈ G ein beliebiges Element, dann bezeichnen wir ord(g ) = |〈g 〉| als die Ordnung
von g .
Lemma 3.2
Sei G eine Gruppe, g ∈ G und m ∈ N mit g m = eG . Dann gilt
〈g 〉
Beweis:
{g r | 0 ≤ r < m}.
=
Die Inklusion „⊇“ folgt direkt aus Proposition 2.9. Zum Nachweis von „⊆“ sei h ∈ 〈g 〉 vorgegeben. Wiederum
auf Grund der Proposition gibt es ein n ∈ Z mit h = g n . Dividieren wir n durch m mit Rest, so erhalten wir ein q, r ∈ Z
mit n = qm + r und 0 ≤ r < m. Es gilt
h
=
gn
=
g qm+r
=
(g m )q · g r
=
q
eG · g r
=
gr.
Also ist h in der Menge auf der rechten Seite enthalten.
Satz 3.3
ä
Sei G eine Gruppe und g ∈ G ein beliebiges Element. Dann sind für jedes n ∈ N die
folgenden Aussagen äquivalent.
(i) n = ord(g )
(ii) Es gibt ein m ∈ N mit g m = eG , und darüber hinaus ist n die minimale natürliche Zahl mit
dieser Eigenschaft.
(iii) Für alle m ∈ Z gilt g m = eG genau dann, wenn m ein Vielfaches von n ist.
Beweis:
„(i) ⇒ (ii)“
Da ord(g ) und damit die Menge 〈g 〉 nach Voraussetzung endlich ist, können die Elemente
g , g , g , ... nicht alle voneinander verschieden sein. Es gibt also i , j ∈ N mit i < j und g i = g j . Setzen wir m = j − i ,
2
3
dann gilt g m = g j −i = g j · (g i )−1 = eG , also existiert ein m ∈ N mit g m = eG .
Weil die zyklische Gruppe 〈g 〉 insgesamt nur n verschiedene Elemente besitzt, müssen bereits unter g , g 2 , ..., g n+1
Elemente mehrfach auftreten. Wir können also für das j von oben j ≤ n + 1 und damit m ≤ n voraussetzen. Wäre
m < n, dann würde 〈g 〉 auf Grund des Lemmas aus der höchstens m-elementigen Menge {eG , g , ..., g m−1 } bestehen,
im Widerspruch zu |〈g 〉| = n. Es gilt also m = n, und n ist die minimale natürliche Zahl mit der Eigenschaft g n = eG .
„(ii) ⇒ (iii)“ Sei m ∈ Z mit g m = eG vorgegeben. Dann gibt es q, r ∈ Z mit m = qn + r und 0 ≤ r < n. Es gilt
gr
=
g m−qn
=
g m · (g n )−q
=
eG ◦ eG
=
eG .
Da n nach Voraussetzung die minimale natürliche Zahl mit g n = eG ist, muss r = 0 gelten, und m ist somit ein
Vielfaches von n. Setzen wir umgekehrt voraus, dass m ein Vielfaches von n ist, m = kn für ein k ∈ Z, dann gilt
g m = g kn = (g n )k = eGk = eG .
—– 15 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
„(iii) ⇒ (i)“
Nach Voraussetzung gilt g n = eG , und auf Grund des Lemmas ist 〈g 〉 = {eG , g , ..., g n−1 }. Würden zwei
Elemente in dieser Menge übereinstimmen, dann gäbe es i , j ∈ Z mit 0 ≤ i < j ≤ n − 1 und g i = g j , es wäre also
g j −i = eG . Dies aber wäre ein Widerspruch zur Voraussetzung, da n wegen 0 < j − i < n kein Teiler von j − i ist. Dies
zeigt, dass 〈n〉 tatsächlich aus genau n verschiedenen Elementen besteht, also ord(g ) = |〈g 〉| = n gilt.
ä
Folgerung 3.4 Sei G eine Gruppe, n ∈ N und g ∈ G ein Element der Ordnung n. Dann sind durch
eG , g , g 2 , ..., g n−1 die n verschiedenen Elemente der zyklischen Gruppe 〈g 〉 gegeben.
Beweis:
Nach Satz 3.3 gilt g n = eG , und auf Grund von Lemma 3.2 gilt 〈g 〉 = {eG , g , g 2 , ..., g n−1 }. Wegen |〈g 〉| = n sind
alle Elemente in dieser Aufzählung verschieden.
ä
Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Genau dann ist ord(g ) = ∞, wenn es kein n ∈ N
Folgerung 3.5
n
mit g = eG gibt.
Beweis: Wenn es ein n ∈ N mit g n = eG gibt, dann existiert auch eine minimale natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft.
Dies ist nach Satz 3.3 die Ordnung von g , insbesondere ist ord(g ) endlich. Ist umgekehrt n = ord(g ) endlich, dann gilt
g n = eG nach Satz 3.3.
ä
Zur Illustration der bisher behandelten Sätze bestimmen wir die Ordnung des Elements σ ∈ S 4 gegeben durch
Ã
σ
=
!
1
2
3
4
2
3
4
1
1
2
3
4
2
3
4
1
1
2
3
4
2
3
4
1
1
2
3
4
2
3
4
1
.
Offenbar ist σ 6= id, da beispielsweise σ(1) = 3 6= 1 ist. Weiter gilt
σ2
3
σ
4
σ
=
σ◦σ
=
2
=
σ ◦σ
3
σ ◦σ
=
=
=
Ã
1
2
3
4
2
3
4
1
Ã
1
2
3
4
3
4
1
2
Ã
1
2
3
4
4
1
2
3
!Ã
!Ã
!Ã
!
=
!
=
!
=
Ã
1
2
3
4
3
4
1
2
Ã
1
2
3
4
4
1
2
3
Ã
1
2
3
4
1
2
3
4
!
!
!
Also ist n = 4 die minimale Zahl mit σ4 = id. Nach Satz 3.3 gilt damit ord(σ) = 4. Die von σ erzeugte Untergruppe
〈σ〉 besteht also aus den vier (verschiedenen) Elementen id, σ, σ2 , σ3 . Für höhere Exponenten wiederholen sich die
Elemente zyklisch: Es gilt σ5 = σ4 ◦ σ = id ◦ σ, σ6 = σ5 ◦ σ = σ ◦ σ = σ2 , σ7 = σ6 ◦ σ = σ2 ◦ σ = σ3 usw. Ebenso findet man
σ−1 = σ3 ◦ σ−4 = σ3 ◦ (σ4 )−1 = σ3 ◦ id = σ3 und ebenso σ−2 = σ−1 ◦ σ3 = σ2 , σ−3 = σ−1 ◦ σ2 = σ usw.
Als weiteres Anwendungsbeispiel für Satz 3.3 berechnen wir noch die Potenzen σ789 und σ−666 des Elements σ. Wegen
ord(σ) = 4 gilt nach die Gleichung σn = id für jede durch 4 teilbare ganze Zahl n. Division mit Rest liefert
789
=
4 · 197 + 1.
Es gilt also σ789 = σ4·197 ◦σ1 = id◦σ = σ. Ebenso erhalten wir über −666 = 4·(−167)+2 die Gleichung σ−666 = σ4·(−167) ◦
σ2 = id ◦ σ2 = σ2 .
—– 16 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Definition 3.6
Sei n ∈ N und k ∈ {2, ..., n}. Ein k-Zykel in S n ist ein Element σ ∈ S n mit der
folgenden Eigenschaft: Es gibt eine k-elementige Teilmenge {m 1 , ..., m k } ⊆ M n , so dass
σ(x)


m


 i +1
m1




x
=
falls x = m i , 1 ≤ i < k
falls x = m k
sonst
für alle x ∈ M n erfüllt ist. An Stelle der Tabellenschreibweise verwendet man für solche Elemente
auch die Notation σ = (m 1 ... m k ). Die Menge tr(σ) = {m 1 , ..., m k } nennt man den Träger des
Elements σ. Einen 2-Zykel bezeichnet man auch als Transposition.
Das Element σ = (1 2 3 4) aus dem Beispiel oben ist ein 4-Zykel in S 4 . Weitere Beispiele für k-Zykel in S 4 sind
Ã
1
2
3
4
4
3
1
2
!
Ã
= (1 4 2 3) ,
1
2
3
4
3
2
4
1
!
Ã
= (1 3 4) ,
1
2
3
4
1
3
2
4
!
= (2 3)
wobei im ersten Fall k = 4, im zweiten k = 3 und im dritten k = 2 ist. Dagegen ist
Ã
1
2
3
4
2
1
4
3
!
kein Zykel, sondern ein Produkt zweier 2-Zykel: Es gilt τ = (1 2) ◦ (3 4). Wir werden später in der Vorlesung sehen, dass
jedes Element in S n als Produkt von Zyklen dargestellt werden kann, wobei zusätzlich die Träger von je zwei Zyklen in
dem Produkt zueinander disjunkt sind.
Die Zyklenschreibweise erlaubt es, die Elemente der S n auf kompaktere Weise darzustellen als in der Tabellenform. In
der Gruppe S 3 ist jedes Element ein Zykel, es gilt
S3
=
{id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}.
In der Gruppe S 4 ist dies nicht mehr der Fall, da hier auch sogenannte Doppeltranspositionen auftreten, also Produkte
von zwei 2-Zykeln der Form (i j ) ◦ (k `). Insgesamt sind die Elemente der S 4 gegeben durch
S4
=
{id, (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4),
(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3),
(1 2 3 4), (1 3 2 4), (1 4 3 2), (1 2 4 3), (1 3 4 2), (1 4 2 3),
(1 2) ◦ (3 4), (1 3) ◦ (2 4), (1 4) ◦ (2 3)}.
Im Augenblick ist es noch etwas mühsam, von Hand zu überprüfen, dass diese 24 = 4! Elemente alle verschieden sind,
und dass somit eine vollständige Liste der Elemente von S 4 vorliegt. Der Aufwand wird sich reduzieren, sobald wir
etwas mehr Theorie zur Verfügung haben.
Satz 3.7
Ist σ ∈ S n ein k-Zykel, dann gilt ord(σ) = k.
—– 17 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Beweis:
Wir zeigen, dass k die minimale natürliche Zahl mit σk = id ist. Nach Satz 3.3 folgt daraus dann ord(σ) = k.
Sei σ = (m 1 m 2 ... m k ) mit m 1 , ..., m k ∈ M n . Für alle x ∈ M n \ tr(σ) gilt nach Definition σ(x) = x, und man zeigt leicht
durch vollständige Induktion, dass σr (x) = x für alle r ∈ N erfüllt ist.
Als nächstes zeigen wir durch vollständige Induktion über r , dass σr (m 1 ) = m r +1 für 1 ≤ r < k gilt. Für r = 1 ist σ(m 1 ) =
m 2 = m r +1 nach Definition erfüllt. Sei nun r < k − 1, und setzen wir die Aussage für r voraus. Nach Definition gilt
σ(m r +1 ) = m r +2 , und mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung erhalten wir
σr +1 (m 1 ) = σ(σr (m 1 )) = σ(m r +1 ) = m r +2 .
Damit ist die Aussage für alle r ∈ {1, ..., k − 1} bewiesen. Aus der Aussage folgt insbesondere, dass σr (m 1 ) 6= m 1 und
somit σr 6= id für alle r ∈ {1, ..., k − 1} gilt.
Nach Definition von σ gilt auch σk (m 1 ) = σ(σk−1 (m 1 )) = σ(m k ) = m 1 . Wir zeigen nun, dass σk (m r ) = m r auch für alle
r ∈ {2, ..., k} gilt. Wie bereits gezeigt, gilt σr −1 (m 1 ) = m r und somit σ1−r (m r ) = m 1 . Daraus folgt
σk (m r )
=
σ(r −1)+k+(1−r ) (m r )
=
r −1
r −1
σ
k
(σ (m 1 ))
=
σ
σr −1 (σk (σ1−r (m r )))
(m 1 )
=
=
mr .
Insgesamt haben wir somit gezeigt, dass σk (x) = x für alle alle x ∈ tr(σ) gilt, und weiter oben haben wir bereits σk (x) =
x für alle x ∈ M n \ tr(σ) festgestellt. Also gilt σk = id, und k ist die minimale natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft. ä
Gelegentlich ist auch das folgende Kriterium für die Bestimmung der Ordnung hilfreich.
Satz 3.8
Sei G eine Gruppe und n ∈ N. Ein Element g ∈ G hat genau dann die Ordnung n, wenn
n
g = eG und für jeden Primteiler p von n jeweils g n/p 6= eG gilt.
Beweis:
„⇒“
Ist n = ord(g ), dann ist n ∈ N minimal mit g n = eG . Insbesondere gilt dann g n/p 6= eG für jeden
Primteiler p von n.
„⇐“ Sei m = ord(g ) und das angegebene Kriterium für ein n ∈ N erfüllt. Aus der Gleichung g n = eG folgt zunächst
m|n. Nehmen wir nun an, dass m ein echter Teiler von n ist. Dann besitzt die Zahl
k ∈ N mit
n
m
= kp, dann folgt n = kpm und
n
p
n
m
∈ N einen Primteiler p. Ist
= km. Wegen g m = eG würden wir g n/p = (g m )k = eGk = eG erhalten, im
Widerspruch zur Annahme g n/p 6= eG .
ä
Ist beispielsweise G eine Gruppe und g ∈ G mit
g 16 = eG
und g 8 6= eG
,
dann gilt ord(g ) = 16. Ist g dagegen ein Element mit
g 24 = eG
,
g 8 6= eG
und g 12 6= eG
,
dann folgt ord(g ) = 24. Zu beachten ist, dass aus der Gleichung g n = eG allein nicht n = ord(g ) folgt. Man erhält
durch die Gleichung lediglich die Information, dass ord(g ) ein Teiler von n ist. Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts
beschäftigen wir uns nun mit der Struktur zyklischer Gruppen.
—– 18 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Satz 3.9
(i) Für jedes n ∈ N ist die Untergruppe C n = 〈(1 2 ... n)〉 von S n eine zyklische Gruppe der
Ordnung n.
(ii) Die Gruppe C ∞ = (Z, +) ist eine unendliche zyklische Gruppe.
zu (i) Nach Satz 3.7 ist σ = (1 2 ... n) ein Element der Ordnung n in S n . Die Gruppe C n = 〈σ〉 ist nach
Beweis:
Definition zyklisch, und die Ordnung von σ ist nach Definition gerade die Ordnung der von σ erzeugten Gruppe C n .
zu (ii)
Sei U = 〈1〉 die von 1 erzeugte Untergruppe in (Z, +). Nach Lemma 3.2 gilt U = {n · 1 | n ∈ Z}, wobei n · 1
jeweils die n-te Potenz von 1 in der (additiv geschriebenen) Gruppe (Z, +) bezeichnet. Wir überprüfen nun, dass U
mit Z übereinstimmt. Weil Z unendlich ist, folgt daraus, dass es sich bei (Z, +) um eine unendliche zyklische Gruppe
handelt.
Zunächst beweisen wir die Gleichung n · 1 = n für alle n ∈ N0 . Für n = 0 ist das klar nach Definition, und setzen wir
die Aussage für n als gültig voraus, dann folgt aus den Potenzgesetzen und der Induktionsvoraussetzung (n + 1) · 1 =
n · 1 + 1 · 1 = n + 1. Dass die Gleichung auch für negatives n gültig ist, folgt ebenfalls aus einem Potenzgesetz: Ist n ∈ Z,
n < 0 und m = −n, dann ist m ∈ N0 und folglich n · 1 = (−m) · 1 = −(m · 1) = −m = n.
Satz 3.10
ä
Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. Genauer gilt: Sei G eine zykli-
sche Gruppe, g ein Element mit G = 〈g 〉 und U eine Untergruppe 6= {eG }. Dann gibt es ein m ∈ N
mit U = 〈g m 〉. Ist ord(g ) = n endlich, dann kann die Zahl m so gewählt werden, dass sie ein Teiler
von n ist.
Beweis:
Weil U nichttrivial ist, gibt es ein r ∈ Z, r 6= 0 mit g r ∈ U . Weil mit g r auch (g r )−1 = g −r in U enthalten ist,
gibt es auch natürliche Zahlen r mit g r ∈ U . Sei nun m ∈ N die minimale natürliche Zahl mit der Eigenschaft g m ∈ U .
Wir zeigen, dass dann U = 〈g m 〉 gilt.
Die Inklusion „⊇“ gilt nach Definition der erzeugten Untergruppe. Nehmen wir nun an, dass „⊆“ nicht erfüllt ist. Dann
gibt es ein Element h ∈ U \ 〈g m 〉 und ein b ∈ Z mit h = g b . Durch Division mit Rest erhalten wir q, r ∈ Z mit b = qm + r
und 0 ≤ r < m. Dabei ist der Fall r = 0 ausgeschlossen, denn ansonsten wäre b ein Vielfaches von m und h damit doch
in 〈g m 〉 enthalten. So aber gilt h · (g m )−q = g r ∈ U , im Widerspruch zur Minimalität von m. Damit ist die Gleichung
U = 〈g m 〉 bewiesen.
Sei nun n = ord(g ) endlich, und nehmen wir an, dass m kein Teiler von n ist. Dann gibt es q, r ∈ Z mit n = qm + r
und 0 < r < m. Es gilt dann g r = g n−mq = g n · (g m )−q = (g m )−q ∈ U , im Widerspruch dazu, dass m mit der Eigenschaft
g m ∈ U minimal gewählt wurde.
Lemma 3.11
ä
Ist G eine Gruppe, g ∈ G ein Element der Ordnung n ∈ N und d ∈ N ein Teiler von
n, dann gilt ord(g d ) = dn .
Beweis:
Wegen n = ord(g ) gilt für jedes k ∈ Z die Äquivalenz
(g d )k = eG
⇔
g d k = eG
⇔
—– 19 —–
n|(d k)
⇔
n
d
| k.
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Nach Satz 3.3 (iii) folgt daraus ord(g d ) = dn .
ä
Folgerung 3.12 Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n ∈ N und U eine Untergruppe. Dann
ist |U | ein Teiler von n.
Beweis:
Sei g ∈ G mit G = 〈g 〉. Nach Satz 3.10 gibt es einen Teiler d von n mit U = 〈g d 〉. Nach Lemma 3.11 gilt
|U | = ord(g d ) = dn , und die Zahl
Folgerung 3.13
n
d
ist ein Teiler von n.
ä
Ist G eine zyklische Gruppe der endlichen Ordnung n, dann gibt es für jeden
Teiler d von n genau eine Untergruppe U mit |U | = d , und keine weiteren Untergruppen. Ist g
ein erzeugendes Element von G, dann ist diese Untergruppe durch U = 〈g n/d 〉 gegeben.
Beweis:
Sei g ∈ G mit G = 〈g 〉. Nach Lemma 3.11 ist g n/d ein Element der Ordnung d und U = 〈g n/d 〉 damit jedenfalls
eine Untergruppe der Ordnung d . Sei nun V eine weitere Untergruppe derselben Ordnung. Dann gibt es nach Satz
3.10 einen Teiler m von n mit U = 〈g m 〉. Es gilt d = ord(g m ) =
n
m,
also
n
d
= m und somit V = 〈g n/d 〉 = U . Damit ist die
Eindeutigkeit bewiesen. Dass es keine weiteren Untergruppen gibt, haben wir bereits in Folgerung 3.12 festgestellt. ä
Sei beispielsweise G = C 12 und g ∈ G ein beliebiger Erzeuger. Dann sind die Untergruppen von G durch folgende
Tabelle gegeben.
Untergruppe
G
〈g 2 〉
〈g 3 〉
〈g 4 〉
〈g 6 〉
{eG }
Ordnung
12
6
4
3
2
1
Wir erinnern an die Definition des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier
ganzer Zahlen. Seien a, b ∈ Z vorgegeben. Eine Zahl d ∈ N heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn d ein Teiler
von a und zugleich ein Teiler von b ist. Man nennt d den größten gemeinsamen Teiler von a und b und schreibt
d = ggT(a, b), wenn d 0 |d für jeden gemeinsamen Teiler von a und b gilt. Die Zahlen a und b werden als teilerfremd
bezeichnet, wenn ggT(a, b) = 1 ist.
Die Zahl d heißt gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn sowohl a|d als auch b|d erfüllt ist. Vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen kgV(a, b) spricht man, wenn jedes weitere gemeinsame Vielfache d 0 von a und b auch eine
Vielfaches von d ist. Aus der Klassifikation der Untergruppen einer zyklischen Gruppe können wir das folgende zahlentheoretische Resultat herleiten.
Satz 3.14
(Lemma von Bézout)
Seien m, n ∈ Z, (m, n) 6= (0, 0). Dann gibt es a, b ∈ Z mit am + bn = ggT(m, n).
Beweis:
Sei G = (Z, +) und U = 〈m, n〉, die von m und n erzeugte Untergruppe. Nach Proposition 2.12 gilt U =
Zm + Zn = {am + bn | a, b ∈ Z}. Weil (Z, +) zyklisch ist, gibt es nach Satz 3.10 ein d ∈ N mit U = 〈d 〉. Wir zeigen, dass
d = ggT(m, n) erfüllt ist.
Wegen m, n ∈ 〈d 〉 gibt es k, ` ∈ Z mit m = kd und n = l d . Dies zeigt, dass d jedenfalls ein gemeinsamer Teiler von m
und n ist. Sei nun d 0 ein weiterer gemeinsamer Teiler. Dann gibt es k 0 , `0 ∈ Z mit m = k 0 d 0 und n = `0 d 0 . Die Elemente
—– 20 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
m, n liegen also in der Untergruppe 〈d 0 〉, und nach Definition der erzeugten Untergruppe folgt 〈d 〉 = U = 〈m, n〉 ⊆ 〈d 0 〉.
Insbesondere ist d in 〈d 0 〉 enthalten, es gibt also ein r ∈ Z mit d = r d 0 . Folglich ist d 0 ein Teiler von d . Damit ist der
Beweis der Gleichung d = ggT(m, n) abgeschlossen. Wegen d ∈ U gibt es nun a, b ∈ Z mit am + bn = d = ggT(m, n). ä
Wir haben bereits gesehen, wie sich die Ordnung eines Elements ändert, wenn man es mit einem Teiler der Elementordnung potenziert. Wir gehen nun der Frage nach, wie sich die Potenzierung mit beliebigen ganzen Zahlen auf die
Ordnung auswirkt.
Sei G eine Gruppe, n ∈ N und g ∈ G ein Element der Ordnung n. Dann gilt für alle
Satz 3.15
m ∈ Z die Äquivalenz
ord(g m ) = n
Beweis:
⇔
ggT(m, n) = 1.
„⇒“ Wegen g m ∈ 〈g 〉 ist 〈g m 〉 eine Untergruppe von 〈g 〉. Ist ord(g m ) = n = ord(g ), dann muss 〈g m 〉 = 〈g 〉
gelten. Es existiert also ein k ∈ Z mit g = (g m )k = g km . Wir erhalten g 1−km = eG und damit n|(1 − km), weil n die
Ordnung von g ist. Sei nun d ∈ N ein Teiler von n und m. Aus d |n folgt dann insbesondere d |(1 − km). Damit ist d
auch ein Teiler von km + (1 − km) = 1, also muss d = 1 sein. Wir haben damit gezeigt, dass 1 der einzige (natürliche)
gemeinsame Teiler von m und n ist, und es folgt ggT(m, n) = 1 wie gewünscht.
„⇐“ Wegen g m ∈ 〈g 〉 ist 〈g m 〉 eine Untergruppe von 〈g 〉. Auf Grund des Lemmas von Bézout gibt es a, b ∈ Z mit
am + bn = ggT(m, n) = 1. Es folgt
g
=
g1
=
g am+bn
=
(g m )a · (g n )b
=
(g m )a · eGb
=
g am
∈
〈g m 〉.
Also ist auch umgekehrt 〈g 〉 eine Untergruppe von 〈g m 〉. Insgesamt erhalten wir 〈g 〉 = 〈g m 〉 und ord(g m ) = |〈g m 〉| =
|〈g 〉| = ord(g ) = n.
Definition 3.16
ä
Die Eulersche ϕ-Funktion ϕ : N → N ist definiert durch
ϕ(n)
=
|{k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n , ggT(k, n) = 1}|
Beispielsweise ist ϕ(18) = 6, denn es gibt genau sechs natürliche Zahlen k mit 1 ≤ k ≤ 18, die teilerfremd zu 18 sind:
1, 5, 7, 11, 13 und 17. Ist p eine Primzahl, dann gilt ϕ(p) = p − 1, denn jedes k ∈ N mit 1 ≤ k < p ist teilerfremd zu p,
während ggT(p, p) = p > 1 ist.
Folgerung 3.17
Sei n ∈ N. Dann besitzt jede zyklische Gruppe G der Ordnung n genau ϕ(n)
Elemente h mit der Eigenschaft G = 〈h〉.
Beweis:
Sei G zyklisch von Ordnung n und g ein beliebiges erzeugendes Element. Dann sind g k mit 1 ≤ k ≤ n die
verschiedenen Elemente von G. Nach Satz 3.15 ist g k genau dann von Ordnung n und somit ein Erzeuger von G, wenn
ggT(k, n) = 1 ist. Die Anzahl der Zahlen k zwischen 1 und n mit dieser Eigenschaft ist genau ϕ(n).
Lemma 3.18
(i) Seien m, n ∈ Z und d = ggT(m, n). Dann sind die Zahlen m 0 =
m
d
(ii) Sind m, n ∈ Z teilerfremd und r ∈ Z mit m|(r n), dann folgt m|r .
—– 21 —–
und n 0 =
n
d
teilerfremd.
ä
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Beweis:
zu (i) Sei e ∈ N ein gemeinsamer Teiler von m 0 und n 0 . Dann gibt es k, ` ∈ Z mit m 0 = ke und n 0 = `e. Es
folgt m = kd e und n = `d e. Wäre nun e > 1, dann wäre d e ein größerer gemeinsamer Teiler von m und n als d , im
Widerspruch zu d = ggT(m, n). Also muss e = 1 gelten, und m 0 , n 0 sind teilerfremd.
zu (ii) Nach dem Lemma von Bezout gibt es a, b ∈ Z mit am + bn = 1, und wegen m|(r n) existiert ein k ∈ Z mit
r n = km. Es folgt
r
=
r (am + bn)
=
r am + r bn
r am + kbm
=
=
(r a + kb)m.
Also ist m ein Teiler von r .
ä
Sei G eine Gruppe, n ∈ N und g ∈ G ein Element der Ordnung n.
Satz 3.19
Dann gilt
ord(g m ) =
Beweis:
m0 =
m
d
n
ggT(m, n)
für alle m ∈ Z.
Wir verwenden das Kriterium aus Satz 3.3 (iii) zur Bestimmung der Ordnung von g m . Sei d = ggT(m, n),
und n 0 =
n
d.
Sei k ∈ Z mit (g m )k = g km = eG . Wegen ord(g ) = n folgt n|(km), und somit ist n 0 ein Teiler von
0
km . Nach Lemma 3.18 (i) sind m 0 und n 0 teilerfremd, und aus Teil (ii) folgt n 0 |k. Ist umgekehrt k ein Vielfaches von
n 0 , k = r n 0 für ein r ∈ Z, dann gilt
(g m )k
=
g mk
=
g r mn
0
=
0 0
g dr m n
=
0
0
g (d n )(r m )
Insgesamt ist damit ord(g m ) = n 0 bewiesen.
=
(g n )r m
0
=
eGr m
0
=
eG .
ä
—– 22 —–
§ 4. Der Satz von Lagrange
Definition 4.1
Sei (G, ·) eine Gruppe und U eine Untergruppe. Eine Teilmenge von G, die mit
einem geeigneten g ∈ G in der Form
gU
=
{g u | u ∈ U }
geschrieben werden kann, wird Linksnebenklasse von U genannt. Ebenso bezeichnet man die
Teilmengen der Form U g = {ug | u ∈ U } mit g ∈ G als Rechtsnebenklassen von U .
Desweiteren führen wir die Bezeichnung G/U für die Menge der Linksnebenklassen und U \G für die Menge der
Rechtsnebenklassen von U ein. Es gilt also
G/U
=
{ gU | g ∈ G }
und
U \G
=
{ U g | g ∈ G }.
Sei beispielsweise G = S 3 und U = 〈(1, 2)〉 = {id, (1 2)}. Dann sind die Linksnebenklassen von U gegeben durch
id ◦U
=
{id ◦ id, id ◦ (1 2)}
=
{id, (1 2)}
(1 2) ◦U
=
{(1 2) ◦ id, (1 2) ◦ (1 2)}
=
{(1 2), id}
(1 3) ◦U
=
{(1 3) ◦ id, (1 3) ◦ (1 2)}
=
{(1 3), (1 2 3)}
(2 3) ◦U
=
{(2 3) ◦ id, (2 3) ◦ (1 2)}
=
{(2 3), (1 3 2)}
(1 2 3) ◦U
=
{(1 2 3) ◦ id, (1 2 3) ◦ (1 2)}
=
{(1 2 3), (1 3)}
(1 3 2) ◦U
=
{(1 3 2) ◦ id, (1 3 2) ◦ (1 2)}
=
{(1 3 2), (2 3)}
Es gilt also S 3 /U = { {id, (1 2)} , {(1 3), (1 2 3)} , {(2 3), (1 3 2)} }.
Die Menge S 3 /U der Linksnebenklassen kann graphisch folgendermaßen dargestellt werden.
S3 / U
U
id
(1 3) U
(1 3)
(1 2)
(2 3) U
(2 3)
(1 2 3)
(1 3 2)
Offenbar ist es möglich, dass zwei Nebenklassen gU und hU übereinstimmen, ohne dass g = h ist.
In unserem Beispiel gilt etwa (1 3) ◦U = (1 2 3) ◦U .
—– 23 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Nach dem gleichen Schema können wir auch die Rechtsnebenklassen von U bestimmen.
U ◦ id
=
{id ◦ id, (1 2) ◦ id}
=
{id, (1 2)}
U ◦ (1 2)
=
{id ◦ (1 2), (1 2) ◦ (1 2)}
=
{(1 2), id}
U ◦ (1 3)
=
{id ◦ (1 3), (1 2) ◦ (1 3)}
=
{(1 3), (1 3 2)}
U ◦ (2 3)
=
{id ◦ (2 3), (1 2) ◦ (2 3)}
=
{(2 3), (1 2 3)}
U ◦ (1 2 3)
=
{id ◦ (1 2 3), (1 2) ◦ (1 2 3)}
=
{id, (2 3)}
U ◦ (1 3 2)
=
{id ◦ (1 3 2), (1 2) ◦ (1 3 2)}
=
{(1 3 2), (1 3)}
Die Menge der Rechtsnebenklassen U \G ist also gegeben durch { U , {(1 3), (1 3 2)} , {(2 3), (1 2 3)} }.
Es fällt auf, dass jede Links- oder Rechtsnebenklasse genauso viele Elemente enthält wie die Untergruppe U selbst.
Diese Beobachtung ist auch im allgemeinen Fall zutreffend.
Lemma 4.2
Sei G eine Gruppe, U eine Untergruppe von G und g ∈ G ein beliebiges Element.
Dann sind die Abbildungen
τ`g : U → gU , h 7→ g h
Beweis:
und
τrg : U → U g , h 7→ hg
jeweils bijektiv.
Wir beschränken und auf den Beweis der Surjektivität und der Injektivität der Abbildung τ`g . Sei h ∈ gU
vorgegeben. Dann existiert nach Definition von gU ein u ∈ U mit h = g u. Es gilt also τ`g (u) = g u = h. Damit ist die
Surjektivität bewiesen. Seien nun u 1 , u 2 ∈ U mit τ`g (u 1 ) = τ`g (u 2 ). Dann folgt u 1 = g −1 g u 1 = g −1 τ`g (u 1 ) = g −1 τ`g (u 2 ) =
g −1 g u 2 = u 2 . Dies zeigt, dass τ` auch injektiv ist.
Folgerung 4.3
ä
Ist G eine Gruppe und U eine endliche Untergruppe von G, dann gilt
|U | = |gU | = |U g | für alle g ∈ G.
Beweis:
Dies folgt direkt aus dem Lemma sowie der Tatsache, dass zwei Mengen, zwischen denen eine Bijektion
existiert, gleichmächtig sind.
ä
Am Beispiel von oben ist deutlich geworden, dass die Links- und Rechtsnebenklassen einer Untergruppe im allgemeinen nicht übereinstimmen. Es gilt aber
Proposition 4.4
Ist G eine abelsche Gruppe, dann gilt gU = U g für jedes Element g ∈ G und
jede Untergruppe U .
Beweis:
Wir überprüfen die Inklusion gU ⊆ U g . Sei h ∈ gU vorgegeben. Dann gibt es nach Definition ein u ∈ U mit
h = g u. Weil G abelsch ist, folgt h = ug ∈ U g . Der Beweis der Inklusion U g ⊆ gU läuft analog.
ä
Für das Hauptziel dieses Abschnitts, den Beweis des Satzes von Lagrange, ist die Beobachtung entscheidend, dass die
Linksnebenklassen in G/U eine Zerlegung der Menge G bilden. Dieses Konzept wiederum hängt mit dem Begriff der
Äquivalenzrelation eng zusammen.
—– 24 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Definition 4.5 Sei X eine Menge. Eine Relation ≡ auf X bezeichnet man als Äquivalenzrelation,
wenn sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt.
(i) Reflexivität: Es gilt x ≡ x für alle x ∈ X .
(ii) Symmetrie: Aus x ≡ y folgt y ≡ x, für alle x, y ∈ X .
(iii) Transitivität: Aus x ≡ y und y ≡ z folgt x ≡ z, für alle x, y, z ∈ X .
Für jedes x ∈ X bezeichnet man die Teilmenge [x]≡ = {y ∈ X | x ≡ y} als Äquivalenzklasse von x.
Beispielsweise ist auf der Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} durch x ≡ y ⇔ „x − y ist gerade“ eine Äquivalenzrelation definiert.
Es gilt [3]≡ = {1, 3, 5}.
Definition 4.6
Unter einer Zerlegung einer Menge X verstehen wir eine Teilmenge Z der Po-
tenzmenge P(X ) von X , also ein System von Teilmengen von X , mit der Eigenschaft, dass alle
A ∈ Z nichtleer sind und jedes x ∈ X in genau einem A ∈ Z enthalten ist. Diese zweite Bedingung ist gleichbedeutend mit
X=
[
A
und
A ∩ B = ∅ für alle
A, B ∈ Z .
A∈Z
Zum Beispiel ist {{1, 3, 5}, {2, 4, 6}} eine Zerlegung der Menge M von oben. Andererseits sind {∅, {2, 3}, {1, 4, 5}} und
{{1, 2, 3}, {3, 4, 5}} keine Zerlegungen. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Begriffen ist nun durch folgenden
Satz gegeben.
Satz 4.7
Sei X eine Menge.
(i) Ist ≡ eine Äquivalenzrelation auf X , dann ist durch die Menge
Z ≡ = { [x]≡ | x ∈ X } der Äquivalenzklassen eine Zerlegung von X definiert.
(ii) Ist umgekehrt Z eine Zerlegung von X , dann ist durch x ≡Z y ⇔ ∃A ∈ Z : x, y ∈ A
eine Äquivalenzrelation definiert.
Beweis:
zu (i) Für jedes x ∈ X ist die Äquivalenzklasse [x]≡ nicht leer, denn aus x ≡ x folgt x ∈ [x]≡ . Also sind die
Mengen in Z alle nichtleer, und jedes x ∈ X ist in mindestens einer Menge aus Z enthalten. Um zu zeigen, dass jedes
Element von X in nicht mehr als einer Äquivalenzklasse liegt, weisen wir nach, dass für alle x, y ∈ X aus x ∈ [y]≡ bereits
[x]≡ = [y]≡ folgt.
Aus x ∈ [y]≡ folgt x ≡ y nach Definition der Äquivalenzklassen, also auch y ≡ x auf Grund der Symmetrie. Ist nun
z ∈ [x]≡ , dann gilt x ≡ z. Die Transivitiät liefert y ≡ z und damit z ∈ [y]≡ . Setzen wir umgekehrt z ∈ [y]≡ voraus. Dann
gilt y ≡ z, also auch x ≡ z wegen x ≡ y und der Transitivität. Es folgt z ∈ [x]≡ .
—– 25 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
zu (ii) Die Relation Z ist transitiv, denn jedes x ∈ Z ist nach Voraussetzung in einem A ∈ Z enthalten. Aus x ∈ Z
wiederum folgt x ≡Z x, die Relation ≡Z ist also reflexiv. Sind x, y ∈ X mit x ≡Z y, dann gibt es ein A ∈ Z mit x, y ∈ A.
Dies ist natürlich gleichbedeutend mit y, x ∈ A, also gilt auch y ≡Z x. Damit ist die Symmetrie nachgewiesen. Zum
Beweis der Transitivität seien x, y, z ∈ X mit x ≡Z y und y ≡Z z vorgegeben. Dann gibt es A, B ∈ Z mit x, y ∈ A und
y, z ∈ B . Weil aber y nur in einer Menge aus Z enthalten ist, muss A = B gelten. Es folgt x, z ∈ A und damit x ≡Z z. ä
Ohne Beweis bemerken wir noch, dass die Zuordnungen ≡7→ Z ≡ und Z 7→≡Z zwischen Äquivalenzrelationen auf
X einerseits und Zerlegungen von X andererseits zueinander invers sind. Ist also ≡ eine Äquivalenzrelation auf X ,
Z die Zerlegung von X in die Äquivalenzklassen bezüglich dieser Relation und ≡Z wiederum die zu Z gehörende
Äquivalenzrelation, dann stimmen ≡ und ≡Z überein. Entsprechendes gilt, wenn man mit einer Zerlegung auf X
startet.
Für eine Menge X und eine Zerlegung Z von X gilt offenbar allgemein: Genau dann ist X endlich, wenn sowohl |Z |
als auch |A| für jedes A ∈ Z endlich ist, und in diesem Fall ist dann die Gleichung
|X |
X
=
|A|
A∈Z
erfüllt. Diese einfache Beobachtung wird später beim Beweis des Satzes von Lagrange (s.u.) eine wichtige Rolle spielen.
Proposition 4.8
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann ist sowohl durch G/U als
auch durch U \G eine Zerlegung von G gegeben.
Beweis:
Wir beschränken uns auf den Nachweis, dass G/U eine Zerlegung von G bildet, und überlassen den Beweis
für die Rechtsnebenklassen dem Leser als Übung. Für jedes g ∈ G gilt g = g eG ∈ gU , also ist jede Linksnebenklasse
nichtleer. Außerdem ist jedes g ∈ G offenbar in mindestens einer Linksnebenklasse enthalten, nämlich in gU . Es bleibt
zu zeigen, dass kein Gruppenelement in zwei unterschiedlichen Linksnebenklassen liegen kann. Nehmen wir an, gU
und g 0U sind zwei verschiedene Linksnebenklassen, und h ist ein Gruppenelement mit h ∈ gU ∩ g 0U . Wir zeigen,
dass dann gU = g 0U gilt und erhalten damit einen Widerspruch zu den Voraussetzungen. Wegen h ∈ gU ∩ g 0U gibt es
Elemente u, u 0 ∈ U mit h = g u = g 0 u 0 . Durch Umstellen erhält man die Gleichungen
g 0 = g uu 0−1
und
g = g 0 u 0 u −1 .
Zum Nachweis von gU ⊆ g 0U sei nun k ∈ gU vorgegeben. Dann existiert ein v ∈ U mit k = g v. Es folgt k = g v =
(g 0 u 0 u −1 )v = g 0 (u 0 u −1 v) ∈ g 0U . Um g 0U ⊆ gU zu beweisen, sei k nun ein Element aus g 0U . Dann gibt es ein v ∈ U
mit k = g 0 v. Wir erhalten k = g 0 v = (g uu 0−1 )v = g (uu 0−1 v) ∈ gU . Damit ist die Gleichung gU = g 0U bewiesen, was der
Voraussetzung gU 6= g 0U widerspricht. Dies bedeutet, dass zwei verschiedene Linksnebenklassen tatsächlich disjunkt
sind.
ä
Man vergewissere sich anhand des Beispiels vom Anfang dieses Kapitels, dass sowohl die Links- als auch die Rechtsnebenklassen der Untergruppe U = {id, (1 2)} in der Tat jeweils eine Zerlegung der Menge S 3 bilden.
Definition 4.9
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Eine Teilmenge R ⊆ G wird Reprä-
sentantensystem von G/U genannt, wenn die Abbildung R → G/U , g 7→ gU bijektiv ist. Dies ist
gleichbedeutend damit, dass jede Linksnebenklasse genau ein Element aus R enthält.
—– 26 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Entsprechend ist R ⊆ G ein Repräsentantensystem der Rechtsnebenklassen, wenn die Abbildung R → U \G, g 7→ U g
bijektiv ist. Im Beispiel oben ist jede der Mengen
{id, (1 3), (2 3)} ,
{id, (1 2 3), (2 3)} ,
{(1 2), (1 3), (1 3 2)}
ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen.
Als nächstes zeigen wir, wie sich aus einem Repräsentantensystem der Linksnebenklassen ein Repräsentantensystem
der Rechtsnebenklassen gewinnen lässt.
Proposition 4.10
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Ist R ein Repräsentantesystem
der Linksnebenklassen, dann ist R 0 = {g −1 | g ∈ R} ein Repräsentantensystem der Rechtsnebenklassen.
Beweis:
Zu zeigen ist, dass für jedes h ∈ G die Rechtsnebenklasse U h genau ein Element aus R 0 enthält. Sei also
h ∈ G vorgegeben. Zunächst beweisen wir, dass in U h ein Element aus R 0 liegt. Nach Voraussetzung enthält die Linksnebenklasse h −1U ein Element g ∈ R. Es gibt also ein u ∈ U mit g = h −1 u. Daraus folgt g −1 = u −1 h. Diese Gleichung
wiederum zeigt, dass die Rechtsnebenklasse U h das Element g −1 ∈ R 0 enthält.
Nehmen wir nun an, die Rechtsnebenklasse U h enthält die beiden Elemente h 1 , h 2 ∈ R 0 . Dann gibt es u, v ∈ U mit
h 1 = uh und h 2 = vh. Nach Definition von R 0 gibt es außerdem g 1 , g 2 ∈ R mit g 1−1 = h 1 , g 2−1 = h 2 . Es folgt g 1 = h 1−1 =
h −1 u −1 und g 2 = h 2−1 = h −1 v −1 . Die Gleichungen zeigen, dass die Elemente g 1 , g 2 ∈ R beide in der Linksnebenklasse
h −1U liegen. Weil R ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen ist, muss g 1 = g 2 gelten. Daraus wiederum folgt
h1 = h2 .
ä
Man überprüft leicht, dass durch R → R 0 , g 7→ g −1 eine Bijektion definiert ist. Aus der Proposition folgt somit, dass es
eine Bijektion zwischen G/U und U \G gibt, die sich aus den Bijektionen G/U → R → R 0 → U \G zusammensetzt. Dies
bedeutet, dass die Mengen G/U und U \G gleichmächtig sind.
Definition 4.11
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Die Mächtigkeit |G/U | der Menge
G/U wird der Index von U in G genannt und mit (G : U ) bezeichnet.
Aus unserer Vorüberlegung folgt, dass man zur Definition des Index genauso gut die Mächtigkeit der Menge U \G der
Rechtsnebenklassen verwenden könnte. Im Beispiel oben haben wir gesehen, dass es im Fall G = S 3 und U = 〈(1 2)〉
jeweils drei Links- und drei Rechtsnebenklassen gibt. Hier gilt also (G : U ) = 3.
Satz 4.12
(Satz von Lagrange)
Sei G eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe. Dann gilt |G| = (G : U )|U |. Insbesondere ist
die Ordnung |U | der Untergruppe immer ein Teiler der Gruppenordnung |G|.
Beweis:
Sei R ⊆ G ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen. Wie bereits bemerkt, gilt nach Definition eines
Repräsentantensystems die Gleichung |R| = (G : U ). Nach Proposition 4.8 ist G/U eine Zerlegung von G, und nach
—– 27 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Folgerung 4.3 gilt |gU | = |U | für alle Linksnebenklassen. Wir erhalten
|G|
=
X
|A|
A∈G/U
=
X
|gU |
X
=
g ∈R
|U |
=
|R| · |U |
=
(G : U ) · |U |.
ä
g ∈R
Im Beispiel oben ist die Gleichung aus dem Satz von Lagrange offenbar erfüllt, denn im Fall G = S 3 , U = 〈(1 2)〉 gilt
|G| = 6 und (G : U )|U | = 3 · 2 = 6. Die Untergruppe V = 〈(1 2 3)〉 in S 3 ist von Ordnung 3, da (1 2 3) ein Element der
Ordnung 3 ist. Der Satz von Langrange liefert hier für den Index den Wert
(G : V )
=
|G|
|V |
=
6
3
=
2.
Die Zerlegung einer Gruppe in ihre Linksnebenklassen liefert auch eine Aussage für beliebige, nicht notwendigerweise
endliche, Gruppen.
Folgerung 4.13
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Genau dann ist G endlich, wenn
sowohl U als auch G/U endliche Mengen sind (und in diesem Fall gilt dann natürlich der Satz
von Lagrange).
Beweis:
„⇒“ Ist G endlich, dann ist U als Teilmenge von G offenbar ebenfalls endlich. Sei R ⊆ G ein Repräsentan-
tensystem der Menge G/U der Linksnebenklassen. Dann gibt es eine Bijektion von R nach G/U . Weil R als Teilmenge
von G endlich ist, handelt es sich auch bei G/U um eine endliche Menge.
„⇐“ Setzen wir nun voraus, dass U und G/U endlich sind. Weil für jedes g ∈ G zwischen U und gU jeweils eine
Bijektion existiert, ist damit auch jede Linksnebenklasse endlich. Weil es nach Voraussetzung nur endlich viele Linksnebenklassen gibt, ist G als Vereinigung der endlich vielen Linksnebenklassen selbst eine endliche Menge.
ä
Wir haben beim Beweis der bisherigen Sätze bereits mehrmals verwendet, dass für die Linksnebenklassen einer Untergruppe U in einer Gruppe G stets ein Repräsentantensystem existiert. Dass dies tatsächlich der Fall ist, wird durch
das sogenannte Auswahlaxiom der Mengenlehre gewährleistet. Dieses stellt sicher, dass aus jeder Linksnebenklasse ein Repräsentant ausgewählt und die ausgewählten Elemente zu einer neuen Menge R zusammengeführt werden
können. Da in den Vorlesungen die Axiome der Mengenlehre normalerweise nicht behandelt werden, fällt die Verwendung des Auswahlaxioms nicht auf, zumal seine Gültigkeit trivial und selbstverständlich erscheint.
Als wichtige Folgerung aus dem Satz von Lagrange bemerken wir noch
Satz 4.14
(kleiner Satz von Fermat)
Ist G eine endliche Gruppe der Ordnung n, dann ist ord(g ) endlich für alle g ∈ G und ein Teiler
von n. Es gilt also g n = eG für alle g ∈ G.
Beweis:
Sei g ∈ G beliebig. Aus der Endlichkeit von G folgt die Endlichkeit der zyklischen Untergruppe 〈g 〉. Nach
Definition gilt ord(g ) = |〈g 〉|, und auf Grund des Satzes von Lagrange ist |〈g 〉| ein Teiler von n. Die Gleichung g n = eG
folgt dann aus Satz 3.3 (iii).
ä
—– 28 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Folgerung 4.15
Sei G eine endliche Gruppe und p = |G| eine Primzahl. Dann gilt G = 〈g 〉 für alle
g ∈ G \ {eG }, insbesondere ist G zyklisch.
Beweis:
Wegen |G| > 1 gibt es mindestens ein Element g ∈ G \ {eG }. Nach dem Satz von Lagrange ist ord(g ) = |〈g 〉|
ein Teiler der Gruppenordnung p. Weil p eine Primzahl ist, gibt es nur die beiden Möglichkeiten ord(g ) = 1 oder
ord(g ) = p. Wegen g 6= eG scheidet die erste Möglichkeit aus. Es gilt damit |〈g 〉| = p = |G|, also G = 〈g 〉.
Folgerung 4.16
ä
Sei G eine Gruppe, und seien U ,V ⊆ G endliche Untergruppen mit teilerfrem-
den Ordnungen |U | und |V |. Dann gilt U ∩ V = {eG }.
Beweis:
Sei U1 = U ∩V . Dann ist U1 eine Untergruppe von U , und nach dem Satz von Lagrange ist |U1 | ein Teiler von
|U |. Ebenso ist U1 eine Untergruppe von V , also teilt |U1 | auch |V |. Die Zahl |U1 | ist also ein gemeinsamer Teiler von
|U | und |V |. Weil |U | und |V | teilerfremd sind, folgt daraus |U1 | = 1 und U1 = {eG }.
—– 29 —–
ä
§ 5. Homomorphismen und Normalteiler
Im ersten Teil dieses Abschnitts behandeln wir einige grundlegende Sätze über Gruppenhomomorphismen.
Proposition 5.1
Seien φ : G → H und ψ : H → H 0 Gruppenhomomorphismen. Dann gilt:
(i) Die Abbildung ψ ◦ φ : G → H 0 ist ein Homomorphismus.
(ii) Sind φ, ψ Isomorphismen, dann gilt dasselbe für ψ ◦ φ und φ−1 .
Beweis:
zu (i) Mit φ und ψ ist auch ψ ◦ φ ein Homomorphismus, denn für alle g , h ∈ G gilt
(ψ ◦ φ)(g h)
zu (ii)
=
ψ(φ(g h))
=
ψ(φ(g )φ(h))
=
ψ(φ(g ))ψ(φ(h))
=
(ψ ◦ φ)(g )(ψ ◦ φ)(h)
Die Abbildung ψ ◦ φ ist nach (i) ein Homomorphismus, und als Komposition bijektiver Abbildungen auch
bijektiv. Also ist ψ ◦ φ ein Isomorphismus. Als Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung ist φ−1 ebenfalls bijektiv.
Zum Nachweis der Homomorphismus-Eigenschaft seien g , h ∈ H vorgegeben. Dann gilt
φ(φ−1 (g )φ−1 (h))
=
φ(φ−1 (g ))φ(φ−1 (h))
=
gh
=
φ(φ−1 (g h)).
Weil φ injektiv ist, folgt φ−1 (g )φ−1 (h) = φ−1 (g h).
Definition 5.2
ä
Zwei Gruppen G und H werden als isomorph bezeichnet, wenn ein Isomorphis-
mus φ : G → H von Gruppen existiert.
Die folgenden Begriffe sind bereits aus der Linearen Algebra bekannt.
Definition 5.3
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man
ker(φ) = {g ∈ G | φ(g ) = e H } den Kern und im(φ) = {φ(g ) | g ∈ G} das Bild von φ.
Wir untersuchen nun, wie sich Untergruppen unter Homomorphismen verhalten.
Proposition 5.4
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus, außerdem U eine Untergruppe
von G und V eine Untergruppe von H . Dann gilt
(i) Die Bildmenge φ(U ) ist eine Untergruppe von H .
(ii) Die Urbildmenge φ−1 (V ) ist eine Untergruppe von G.
Insbesondere ist ker(φ) eine Untergruppe von G, und im(φ) ist Untergruppe von H .
Beweis:
zu (i) Wegen eG ∈ U und φ(eG ) = e H ist e H ∈ φ(U ) enthalten. Seien nun g 0 , h 0 ∈ φ(U ) vorgegeben. Dann
gibt es Elemente g , h ∈ U mit φ(g ) = g 0 und φ(h) = h 0 . Mit g , h liegen auch die Elemente g h und g −1 in U . Es folgt
g 0 h 0 = φ(g )φ(h) = φ(g h) ∈ U , und ebenso erhalten wir g 0−1 = φ(g )−1 = φ(g −1 ) ∈ φ(U ).
zu (ii) Aus φ(eG ) = e H ∈ V folgt eG ∈ φ−1 (V ). Sind g , h ∈ φ−1 (V ) vorgegeben, dann gilt φ(g ), φ(h) ∈ V . Es folgt φ(g h) =
φ(g )φ(h) ∈ V und somit g h ∈ φ−1 (V ). Ebenso gilt φ(g −1 ) = φ(g )−1 ∈ V , also g −1 ∈ φ−1 (V ).
—– 30 —–
ä
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Proposition 5.5
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung φ ist genau dann
injektiv, wenn ker(φ) = {eG } gilt.
Beweis:
„⇒“ Ist φ ein Monomorphismus, dann ist eG das einzige Element mit φ(eG ) = e H , also gilt ker(φ) = eG .
„⇐“ Setzen wir ker(φ) = {eG } voraus, und seien g , h ∈ G mit φ(g ) = φ(h) vorgegeben. Dann gilt φ(g )φ(h)−1 = e H , und
wir erhalten φ(g h −1 ) = φ(g )φ(h)−1 = e H . Nach Definition des Kerns folgt g h −1 ∈ ker(φ). Auf Grund der Voraussetzung
bedeutet dies g h −1 = eG und somit g = h.
Lemma 5.6
ä
Ist φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus und g ∈ G, dann gilt φ(g n ) = φ(g )n für
alle n ∈ Z.
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Gleichung φ(g n ) = φ(g )n für alle n ∈ N0 durch vollständige Induktion. Es gilt
φ(g 0 ) = φ(eG ) = e H = φ(g )0 . Setzen wir nun die Gleichung für ein n ∈ N0 voraus. Dann folgt φ(g n+1 ) = φ(g n g ) =
φ(g n )φ(g ) = φ(g )n φ(g ) = φ(g )n+1 . Sei nun n ∈ Z negativ und m = −n. Dann gilt m ∈ N, und mit Hilfe der bereits
bewiesenen Gleichung erhalten wir φ(g n ) = φ(g −m ) = φ((g m )−1 ) = φ(g m )−1 = (φ(g )m )−1 = φ(g )−m .
Proposition 5.7
ä
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Ist g ∈ G ein Element von endli-
cher Ordnung n, dann ist ord(φ(g )) endlich, und ein Teiler von n.
Beweis:
Nach Lemma 5.6 gilt φ(g )n = φ(g n ) = φ(eG ) = e H . Mit dem Kriterium Satz 3.3 (iii) zur Ordnung von Grup-
penelementen folgt sowohl die Endlichkeit von ord(φ(g )) als auch die Teiler-Eigenschaft.
Proposition 5.8
ä
(Eindeutigkeit von Homomorphismen)
Seien G, H Gruppen und S ⊆ G ein Erzeugendensystem von G. Sind φ, φ0 : G → H Gruppenhomomorphismen mit φ(s) = φ0 (s) für alle s ∈ S, dann folgt φ = φ0 .
Beweis:
Wir zeigen, dass die Teilmenge U = {g ∈ G | φ(g ) = φ0 (g )} eine Untergruppe von G ist. Wegen φ(eG ) = e H =
φ0 (eG ) ist eG ∈ U . Sind g , h ∈ U beliebig vorgegeben, dann gilt
φ(g h) = φ(g )φ(h) = φ0 (g )φ0 (h) = φ0 (g h)
und
φ(g −1 ) = φ(g )−1 = φ0 (g )−1 = φ0 (g −1 ) ,
also gilt g h ∈ U und g −1 ∈ U . Weil U nach Voraussetzung die Menge S enthält, gilt G = 〈S〉 ⊆ U und somit G = U . Die
Abbildungen φ und φ0 stimmen also auf der gesamten Gruppe G überein.
Proposition 5.9
ä
(Existenz von Homomorphismen auf zyklischen Gruppen)
Sei G eine zyklische Gruppe, g ∈ G ein erzeugendes Element, H eine weitere Gruppe und h ∈ H .
Ist ord(g ) = ∞ oder ord(g ) endlich und ein Vielfaches von ord(h), dann existiert ein (eindeutig
bestimmter) Gruppenhomomorphismus φ : G → H mit φ(g ) = h.
Beweis: Die Eindeutigkeit folgt in beiden Fällen aus Proposition 5.8. Für die Existenz betrachten wir zunächst den Fall
ord(g ) = ∞ und definieren die Abbildung φ durch φ(g n ) = h n für alle n ∈ Z. Dann ist φ ein Homomorphismus, denn
alle Elemente aus G lassen sich in der Form g m mit m ∈ Z darstellen, und für alle m, n ∈ Z gilt φ(g m g n ) = φ(g m+n ) =
h m+n = h m h n = φ(g m )φ(g n ).
—– 31 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Sei nun n = ord(g ) endlich und ein Vielfaches von ord(h). Dann definieren wir φ als Abbildung durch φ(g k ) = h k für
0 ≤ k < n. Wir zeigen, dass dann φ(g m ) = h m für alle m ∈ Z erfüllt ist. Division von m durch n mit Rest liefert q, r ∈ Z
mit m = qn + r und 0 ≤ r < n. Da n ein Vielfaches von ord(h) ist, gilt h n = e H , und es folgt
φ(g m )
=
φ(g qn+r )
=
φ((g n )q g r )
=
φ(g r )
=
hr
=
(h n )q h r
=
hm .
Wie im Fall unendlicher Ordnung prüft man nun die Homomorphismus-Eigenschaft von φ.
ä
Satz 5.10 Je zwei unendliche zyklische Gruppen isomorph. Ebenso sind zwei zyklische Gruppen
derselben endlichen Ordnung isomorph.
Beweis: Seien G und H unendliche zyklische Gruppen und g ∈ G, h ∈ H mit G = 〈g 〉 sowie H = 〈h〉. Dann gibt es nach
Proposition 5.9 eindeutig bestimmte Homomorphismen φ : G → H und ψ : H → G mit φ(g ) = h und ψ(h) = g . Es gilt
(ψ ◦ φ)(g ) = g . Aber nach Proposition 5.8 gibt es nur einen Homomorphismus G → G mit g 7→ g , nämlich idG . Somit
ist ψ ◦ φ = idG . Ebenso schließt man aus der Gleichung (φ ◦ ψ)(h) = h, dass φ ◦ ψ = idH ist. Die Abbildungen φ und ψ
sind also zueinander invers, damit bijektiv. Es folgt G ∼
= H . Im Fall endlicher Ordnung verläuft der Beweis analog. ä
Der folgende spezielle Typ einer Untergruppe steht mit den Gruppenhomomorphismen in einem besonders engen
Zusammenhang.
Definition 5.11 Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe U von G wird Normalteiler von G genannt
(Schreibweise U E G), wenn gU = U g für alle g ∈ G gilt.
Für die Normalteiler-Eigenschaft einer Untergruppe gibt es mehrere äquivalente Kriterien.
Proposition 5.12
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann sind die folgenden Bedin-
gungen äquivalent:
(i) U ist Normalteiler von G.
(ii) Es gilt gU g −1 ⊆ U für alle g ∈ G, wobei gU g −1 = {g ug −1 | u ∈ U } ist.
(iii) Es gilt gU g −1 = U für alle g ∈ G.
Beweis:
„(i) ⇒ (ii)“ Seien g ∈ G und h ∈ gU g −1 vorgegeben. Dann gibt es ein u ∈ U mit h = g ug −1 . Auf Grund
der Gleichung gU = U g finden wir ein u 0 ∈ U mit g u = u 0 g . Es folgt h = (u 0 g )g −1 = u 0 ∈ U . Damit ist die Inklusion
gU g −1 ⊆ U nachgewiesen.
„(ii) ⇒ (iii)“ Sei g ∈ G vorgeben. Auf Grund der Voraussetzung genügt es, die Inklusion U ⊆ gU g −1 zu beweisen. Seien
g ∈ G und u ∈ U vorgegeben. Nach Voraussetzung gilt auch g −1U g ⊆ U , also liegt das Element u 0 = g −1 ug in U . Es
folgt u = g u 0 g −1 ∈ gU g −1 .
„(iii) ⇒ (i)“ Zunächst beweisen wir die Inklusion gU ⊆ U g . Sei dazu h ∈ gU vorgegeben. Dann gibt es ein u ∈ U mit
h = g u. Nach Voraussetzung liegt das Element u 0 = g ug −1 in U . Es gilt also h = u 0 g ∈ U g . Zum Beweis von U g ⊆ gU
sei nun umgekehrt h ∈ U g enthalten, also h = ug für ein u ∈ U . Wegen g −1U g = U liegt u 0 = g −1 ug in U . Daraus folgt
h = g u 0 ∈ gU .
ä
—– 32 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Ist G eine beliebige Grupe, dann sind {eG } und G stets Normalteiler von G. Man nennt eine Gruppe einfach, wenn es
neben diesen beiden keine weiteren Normalteiler gibt. Gilt N E G, dann folgt N E U für jede Untergruppe U von G mit
U ⊇ N . Ist G abelsch, dann ist jede Untergruppe von G ein Normalteiler.
Proposition 5.13
Beweis:
Ist G eine Gruppe und U eine Untergruppe mit (G : U ) = 2, dann gilt U E G.
Sei g ∈ G beliebig. Ist g in U enthalten, dann gilt gU = U = U g . Setzen wir nun g ∉ U voraus. Dann ist gU
eine von U verschiedene Linksnebenklasse in G. Wegen (G : U ) = 2 sind U und gU die einzigen Linksnebenklassen,
und wir erhalten eine disjunkte Zerlegung G = U ∪ gU , also gU = G \ U . Ebenso zeigt man U g = G \ U . Insgesamt
erhalten wir gU = U g .
ä
Beispielsweise ist N = 〈(1 2 3)〉 ein Normalteiler von S 3 , denn aus |N | = 3 und |S 3 | = 6 folgt (G : N ) nach dem Satz
von Lagrange. Die Untergruppe U = 〈(1 2)〉 ist dagegen kein Normalteiler von S 3 . Für g = (1 2 3) gilt nämlich gU =
{(1 2 3), (1 3)} und U g = {(1 2 3), (2 3)}.
Proposition 5.14 Ist G eine Gruppe und (Ni )i ∈I eine Familie von Normalteilern, dann ist auch
T
N = i ∈I Ni ein Normalteiler von G.
Beweis:
Für beliebiges g ∈ G ist zu zeigen, dass g N g −1 ⊆ N gilt. Sei also h ∈ g N g −1 . Dann gibt es ein n ∈ N mit
h = g ng −1 . Weil jedes Ni Normalteiler und nach Voraussetzung n in jedem Ni enthalten ist, gilt h = g ng −1 ∈ Ni für
alle i ∈ I . Also liegt h in N .
Proposition 5.15
ä
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus.
(i) Ist N ein Normalteiler von H , dann ist φ−1 (N ) ein Normalteiler von G. Insbesondere ist
der Kern ker(φ) ein Normalteiler.
(ii) Ist φ surjektiv und N ein Normalteiler von G, dann ist φ(N ) ein Normalteiler von H .
Beweis:
zu (i) Sei n ∈ φ−1 (N ), also φ(n) ∈ N . Dann gilt hφ(n)h −1 ∈ N für alle h ∈ H . Insbesondere gilt φ(g ng −1 ) =
φ(g )φ(n)φ(g )−1 ∈ N für alle g ∈ G, also g ng −1 ∈ φ−1 (N ) für alle g ∈ G. Die zweite Aussage erhält man durch die erste,
angewendet auf den Normalteiler N = {e H } von H .
zu (ii) Sei n ∈ φ(N ), also n = φ(n 0 ) für ein n 0 ∈ G. Ist nun h ∈ H beliebig vorgegeben, dann finden wir auf Grund
der Surjektivität von φ ein g ∈ G mit φ(g ) = h. Weil N Normalteiler von G ist, gilt g n 0 g −1 ∈ N . Es folgt hnh −1 =
φ(g )φ(n 0 )φ(g )−1 = φ(g n 0 g −1 ) ∈ φ(N ).
Proposition 5.16
ä
Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Dann gibt es auf der Menge
G/N eine eindeutig bestimmte Verknüpfung · mit der Eigenschaft
(g N ) · (hN )
=
(g h)N
für alle g , h ∈ G.
—– 33 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Beweis der Eindeutigkeit:
Ist ∗ eine weitere Verknüpfung auf G/N mit der angegebenen Eigenschaft, dann gilt (g N )∗(hN ) = (g h)N = (g N )·(hN ),
also stimmen ∗ und · auf dem gesamten Definitionsbereich G/N ×G/N überein.
Beweis der Existenz:
Sei R ⊆ G ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen. Sind g¯ , h¯ beliebige Elemente in G/N , dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente g 0 , h 0 ∈ R mit g¯ = g 0 N und h¯ = h 0 N . Wir definieren nun die Verknüpfung · auf G/N durch
g¯ · h¯
(g 0 h 0 )N .
=
Zu zeigen ist nun, dass die Gleichung (g N )·(hN ) = (g h)N für alle g , h ∈ G erfüllt ist. Seien g , h ∈ G beliebig vorgegeben.
Sind g 0 , h 0 ∈ R die eindeutig bestimmten Elemente mit g N = g 0 N und hN = h 0 N , dann gilt nach Definition
(g N ) · (hN )
=
(g 0 h 0 )N .
Wir müssen nun die Gleichung (g 0 h 0 )N = (g h)N beweisen, denn daraus folgt dann (g N ) · (hN ) = (g h)N wie gewünscht. Weil die Linksnebenklassen eine Zerlegung von G bilden und insbesondere zwei Nebenklassen entweder
gleich oder disjunkt sind (siehe Proposition 4.8), genügt der Nachweis, dass g h in (g 0 h 0 )N enthalten ist.
Wegen g ∈ g 0 N und h ∈ h 0 N gibt es Elemente n 1 , n 2 ∈ N mit g = g 0 n 1 , h = h 0 n 2 . Wegen N h 0 = h 0 N gibt es außerdem
ein n 3 ∈ N mit n 1 h 0 = h 0 n 3 . Es folgt
gh
=
(g 0 n 1 )(h 0 n 2 )
=
g 0 (n 1 h 0 )n 2
g 0 (h 0 n 3 )n 2
=
=
(g 0 h 0 )(n 3 n 2 )
∈
(g 0 h 0 )N .
ä
Um die soeben bewiesene Proposition zu illustrieren, betrachten wir als Beispiel die Gruppe G = S 3 und die Untergruppe N = 〈(1 2 3)〉. Dann besteht die Menge G/N der Linksnebenklassen aus den beiden Elementen
id N = {id, (1 2 3), (1 3 2)} ,
(1 2)N = {(1 2), (1 2)(1 2 3), (1 2)(1 3 2)} = {(1 2), (2 3), (1 3)}.
Wegen (G : N ) = 2 ist N ein Normalteiler von G. Für die soeben definierte Verknüpfung · auf G/N gilt beispielsweise
(id N ) · ((1 2)N ) = (id ◦ (1 2))N = (1 2)N
und
((1 2)N ) · ((1 2)N ) = ((1 2) ◦ (1 2)) = id N .
Insgesamt ist die Verknüpfungstabelle von · gegeben durch
·
id N
(1 2)N
id N
id N
(1 2)N
(1 2) N
(1 2)N
id N
Stellt man die Nebenklasse (1 2)N durch andere Repräsentanten dar, so liefert die Verknüpfung · dennoch dasselbe
Ergebnis. Beispielsweise gilt (1 2)N = (2 3)N = (1 3)N , und man erhält entsprechend
((2 3)N ) · ((1 3)N )
=
((2 3) ◦ (1 3))N
=
(1 2 3)N
=
N.
Als nächstes zeigen wir nun, dass die Verknüpfung · auf der Menge G/N eine Gruppenstruktur definiert.
—– 34 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Satz 5.17
Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler. Dann ist die Menge G/N der Linksneben-
klassen mit der Verknüpfung g N ·hN = (g h)N eine Gruppe, die sogenannte Faktorgruppe von G
modulo N .
Beweis: Wir müssen für die gegebene Verknüpfung die Gruppenaxiome überprüfen. Zum Nachweis der Assoziativität
seien g 1 , g 2 , g 3 ∈ G vorgegeben. Dann gilt
(g 1 N · g 2 N ) · g 3 N
=
(g 1 g 2 )N · g 3 N
g 1 N · (g 2 g 3 )N
=
=
((g 1 g 2 )g 3 )N
=
(g 1 (g 2 g 3 ))N
=
g 1 N · (g 2 N · g 3 N ).
Die Nebenklasse e¯ = eG N = N übernimmt die Rolle des Neutralelements, denn für alle g ∈ G gilt g N · eG N = (g eG )N =
¯
g N und eG N · g N = (eG g )N = g N . Außerdem gilt g N · g −1 N = (g g −1 )N = eG N = e¯ und ebenso g −1 N · g N = eG N = e,
also ist g −1 N das zu g N inverse Element in G/N .
Proposition 5.18
ä
Sei G eine Gruppe und N E G ein Normalteiler. Dann ist die Abbildung
πN : G → G/N , g 7→ g N ein surjektiver Homomorphismus, der sogenannte kanonische Epimorphismus.
Beweis:
Für alle g , g 0 ∈ G gilt πN (g g 0 ) = (g g 0 )N = (g N )(g 0 N ) = πN (g )πN (g 0 ). Somit ist πN ein Homomorphismus. Ist
g N ∈ G/N vorgegeben, dann gilt πN (g ) = g N . Also ist πN surjektiv.
ä
Auf Grund von Proposition 5.18 und Lemma 5.6 überträgt sich nicht nur die Gruppenverknüpfung, sondern auch die
Exponentiation von Elementen von der Gruppe auf die Faktorgruppe: Für g ∈ G und n ∈ Z gilt (g N )n = πN (g )n =
πN (g n ) = (g n )N .
Sei G = (Z, +), n ∈ N und U = 〈n〉 = n Z. Dann ist G/U = Z/n Z eine n-elementige, zyklische Gruppe der Ordnung n.
Dass Z/n Z zyklisch ist und vom Element 1 + n Z erzeugt wird, erkennt man an der Gleichung
a + nZ
=
(a · 1) + n Z
=
a · (1 + n Z)
für beliebiges a ∈ Z.
Für 1 ≤ a < n gilt a ∉ n Z und somit a·(1+n Z) 6= 0+n Z. Andererseits gilt n·(1+n Z) = 0+ Z. Somit ist 1+n Z ein Element
der Ordnung n. Nach Satz 5.10 sind zwei zyklische Gruppen gleicher Ordnung isomorph. Also gilt Z/n Z ∼
= C n für alle
natürlichen Zahlen n.
Sei φ : G → H ein Gruppen-Homomorphismus und N E G ein Normalteiler
mit N ⊆ ker(φ). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus φ¯ : G/N → H mit
Proposition 5.19
¯ N)
φ(g
=
φ(g )
für alle g ∈ G.
Man nennt φ¯ den durch φ induzierten Homomorphismus.
Beweis:
Die Eindeutigkeit von φ¯ ist klar, weil durch die Gleichung die Bilder aller Elemente von G/N festgelegt sind.
Zum Beweis der Existenz sei R ⊆ G ein Repräsentantensystem von G/N . Ist g¯ ∈ G/N ein beliebiges Element, dann gibt
¯ g¯ ) = φ(g 0 ).
es ein eindeutig bestimmtes g 0 ∈ R mit g¯ = g 0 N , und wir definieren φ(
—– 35 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
¯ N ) = φ(g ). Sei g¯ = g N und g 1 ∈ R das eindeutig
Sei nun g ∈ G beliebig vorgegeben. Wir beweisen die Gleichung φ(g
bestimmte Element mit g¯ = g 1 N . Dann gilt g N = g 1 N , insbesondere gibt es ein n ∈ N mit g 1 = g n. Wegen N ⊆ ker(φ)
und nach Definition der Abbildung φ¯ erhalten wir
¯ N)
φ(g
=
φ(g 1 )
=
φ(g n)
=
φ(g )φ(n)
φ(g )e H
=
=
φ(g ).
Zum Schluss überprüfen wir noch, dass φ¯ ein Homomorphismus ist. Seien g¯ , h¯ ∈ G/N und g , h ∈ G mit g¯ = g N und
h¯ = hN . Dann gilt
¯
¯ g¯ h)
φ(
=
¯ N )(hN ))
φ((g
=
¯ h)N )
φ((g
¯ N )φ(hN
¯
φ(g
)
Satz 5.20
=
=
φ(g h)
¯
¯ g¯ )φ(
¯ h).
φ(
=
φ(g )φ(h)
=
ä
(Homomorphiesatz für Gruppen)
Sei φ : G → H ein Homomorphismus von Gruppen. Dann induziert φ einen Isomorphismus
∼
φ¯ : G/ker(φ) −→ im(φ).
Beweis:
Nach Proposition 5.15 ist N = ker(φ) ein Normalteiler von G. Anwendung von Proposition 5.19 auf diesen
¯ N ) = φ(g )
Normalteiler liefert einen von φ induzierten Homomorphismus φ¯ : G/N → H . Auf Grund der Gleichung φ(g
¯ überein. Wir können φ¯ somit als surjektiven Homomorphismus G/N → im(φ)
für alle g ∈ G stimmen im(φ) und im(φ)
¯ dann gilt φ(g ) = φ(
¯ g¯ ) = e H . Es folgt g ∈ ker(φ), also g ∈ N ,
auffassen. Zusätzlich ist φ¯ injektiv. Ist nämlich g¯ ∈ ker(φ),
¯ = {e}.
¯ Nach Proposition 5.5 folgt daraus
und damit ist g¯ = g N = eG N = e¯ das Neutralelement in G/N . Es gilt also ker(φ)
¯
die Injektivität von φ.
ä
Wir betrachten einige Beispiele zur Anwendung des Homomorphiesatzes.
(i) Sei G eine Gruppe und φ : G → {eG } gegeben durch g 7→ eG für alle g ∈ G. Dann ist im = {eG }, und φ induziert
einen Isomorphismus G/G ∼
= {eG }.
(ii) Die identische Abbildung idG : G → G hat den Kern {eG } und die gesamte Gruppe G als Bild. Sie induziert also
einen Isomorphismus G/{eG } ∼
= G.
(iii) Die Signumsfunktion sgn : S n → {±1} hat als Kern die Untergruppe A n = {σ ∈ S n | sgn(σ) = 1}, die sog. alternierende Gruppe. Außerdem ist sie surjektiv, denn aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass zum Beispiel die
Transpositionen Signum −1 haben. Also induziert sgn einen Isomorphismus S n /A n ∼
= {±1}.
Definition 5.21
Sei G eine Gruppe, und seien A, B ⊆ G beliebige Teilmengen. Dann bezeichnet
man die Teilmenge AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B } als Komplexprodukt von A und B .
—– 36 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Lemma 5.22
Beweis:
Sei G eine Gruppe, und seien U ,V Untergruppen mit U ⊆ V . Dann gilt UV = V .
Ist g ∈ V , dann gilt g = eG g ∈ UV . Liegt umgekehrt g in UV , dann gibt es u ∈ U und v ∈ V mit g = uv. Da V
als Untergruppe von G unter der Verknüpfung abgeschlossen ist und u, v in V liegen, folgt g = uv ∈ V .
Proposition 5.23
ä
Sei G eine Gruppe, und seien U und N Untergruppen von G.
(i) Gilt U N = NU , dann ist U N eine Untergruppe von G. Dies ist insbesondere dann erfüllt,
wenn N ein Normalteiler von G ist.
(ii) Sind N und U beides Normalteiler von G, dann folgt U N E G.
Beweis:
zu (i) Wir beweisen die Untergruppen-Eigenschaft von U N unter der gegebenen Voraussetzung. Zunächst
ist das Neutralelement eG = eG eG wegen eG ∈ U und eG ∈ N in U N enthalten. Seien nun g , g 0 ∈ U N vorgegeben. Dann
gibt es u, u 0 ∈ U und n, n 0 ∈ N mit g = un und g 0 = u 0 n 0 . Auf Grund der Voraussetzung finden wir ein n 00 ∈ N mit
nu 0 = u 0 n 00 , so dass das Element
gg0
=
(un)(u 0 n 0 )
=
u(nu 0 )n 0
=
u(u 0 n 00 )n 0
=
(uu 0 )(n 00 n 0 )
in U N liegt. Ebenso finden wir ein n 1 ∈ N , so dass g −1 = (un)−1 = n −1 u −1 = u −1 n 1 ∈ U N erfüllt ist.
Sei nun N ein Normalteiler von G und g ∈ U N . Dann gibt es Elemente u ∈ U und n ∈ N mit g = un. Auf Grund der
Normalteiler-Eigenschaft gilt uN = Nu, es existiert also ein n 0 ∈ N mit un = n 0 u. Dies zeigt, dass g in NU enthalten ist,
und wir haben damit die Inklusion U N ⊆ NU bewiesen. Der Nachweis der Inklusion NU ⊆ U N funktioniert analog.
zu (ii) Sei g ∈ G beliebig. Um zu zeigen, dass U N Normalteiler von G ist, müssen wir die Inklusion g (U N )g −1 ⊆ U N
nachrechnen. Ist h ∈ g (U N )g −1 , dann gibt es Elemente u ∈ U und n ∈ N mit h = g (un)g −1 . Da U Normalteiler von G
ist, gilt g ug −1 ∈ U , und aus N E G folgt g ng −1 ∈ G. Insgesamt erhalten wir h = g (un)g −1 = (g ug −1 )(g ng −1 ) ∈ U N . ä
Selbst wenn U und U 0 beides Untergruppen von G sind, braucht das Komplexprodukt UU 0 im allgemeinen keine Untergruppe von G zu sein. Als Beispiel betrachten wir G = S 3 , U = 〈(1 2)〉 und U 0 = 〈(1 3)〉. Dann ist UU 0 =
{id, (1 2), (1 3), (1 3 2)}. Nach dem Satz von Lagrange kann diese vierelementige Teilmenge keine Untergruppe der
sechselementigen Gruppe S 3 sein.
Proposition 5.24
Sei G eine Gruppe, N E G ein Normalteiler und πN : G → G/N der kanonische
Epimorphismus.
(i) Ist U eine Untergruppe von G, dann gilt π−1
N (πN (U )) = U N .
¯
¯
¯
(ii) Ist U eine Untergrupe von G/N , dann gilt πN (π−1
N (U )) = U .
Beweis:
zu (i)
das Element n = u
Sei g ∈ π−1
N (πN (U )). Dann liegt πN (g ) in πN (U ), es gibt also ein u ∈ U mit πN (g ) = πN (u). Für
−1
g gilt nN = πN (n) = πN (u)−1 πN (g ) = e¯ = N , also ist nN = N und insbesondere n ∈ N . Es folgt
g = un ∈ U N . Ist umgekehrt g ∈ U N , dann gibt es Elemente u ∈ U und n ∈ N mit g = un. Wir erhalten πN (g ) =
πN (un) = πN (u)πN (n) = πN (u)e¯ = πN (u), und es folgt g ∈ π−1
N (πN (U )).
¯
¯
zu (ii) Die Inklusion πN (π−1
N (U )) ⊆ U folgt unmittelbar aus der Definition von Bild- und Urbildmenge. Für die umgekehrte Inklusion sei g¯ ∈ U¯ vorgegeben und g ∈ G mit g N = g¯ . Dann gilt πN (g ) = g¯ und somit g ∈ π−1 (U¯ ) nach
N
−1 ¯
¯
¯
Definition der Urbildmenge π−1
N (U ). Es folgt g = πN (g ) ∈ πN (πN (U )).
—– 37 —–
ä
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Satz 5.25
(Korrespondenzsatz für Gruppen)
Sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler, G¯ = G/N und πN : G → G¯ der kanonische Epimorphismus.
Ferner sei G¯ die Menge der Untergruppen von G¯ und G N die Menge der Untergruppen U von G
mit U ⊇ N . Dann sind die beiden Abbildungen
G N −→ G¯ , U 7→ πN (U )
und
¯
G¯ −→ G N , U¯ 7→ π−1
N (U )
sind bijektiv und zueinander invers. Außerdem gilt:
(i) Für U ,V ∈ G N gilt U ⊆ V genau dann, wenn πN (U ) ⊆ πN (V ) erfüllt ist.
(ii) Genau dann ist U ∈ G N ein Normalteiler von G, wenn πN (U ) ein Normalteiler von G¯ ist.
Beweis: Sei U ∈ G N , also eine Untergruppe von G mit U ⊇ N . Dann gilt π−1
N (πN (U )) = U N = NU = U , wobei wir im ersten Schritt Proposition 5.24 (i), im zweiten Proposition 5.23 und im dritten Lemma 5.22 verwendet haben. Umgekehrt
¯
liefert Teil (ii) von Proposition 5.24 die Gleichung πN (π−1 (U¯ )) = U¯ für alle Untergruppen U¯ von G.
N
zu (i) Seien U ,V ∈ G N mit U ⊆ V . Dann gilt offenbar πN (U ) ⊆ πN (V ). Ist umgekehrt πN (U ) ⊆ πN (V ) vorausgesetzt,
−1
dann folgt U = π−1
N (πN (U )) ⊆ πN (πN (V )) = V .
zu (ii) Weil der kanonische Homomorphismus πN surjektiv ist, folgen die Richtungen „⇒“ und „⇐“ beide aus Proposition 5.15.
ä
Sei n ∈ N und G = Z/n Z. Für die Elemente von G folgen wir von nun an der allgemein üblichen Konvention, die
Restklasse a + n Z für jedes a ∈ Z jeweils mit a¯ zu bezeichnen, oder auch mit [a]n , falls die Gruppe, in der das Element
liegen soll, nicht aus dem Zusammenhang heraus klar ist.
Wir verwenden nun den Korrespondenzsatz für Gruppen, um alle Untergruppen von (Z, +) zu bestimmen, die die
Untergruppe 〈44〉 enthalten. Sei π〈44〉 : Z → Z/44Z der kanonische Epimorphismus. Die Gruppe (Z/44Z, +) ist eine
zyklische Gruppe der Ordnung 44. Durch Folgerung 3.13 haben wir eine vollständige Beschreibung der Untergruppen von (Z/44Z, +) zur Verfügung: Zu jedem Teiler der Gruppenordnung 44 gibt es eine eindeutig bestimmte Untergruppe, und diese werden erzeugt durch gewisse Potenzen des Erzeugers 1¯ von Z/44Z. Die vollständige Liste der
Untergruppen ist also gegeben durch
〈1¯ 〉 , 〈2¯ 〉 , 〈4¯ 〉 , 〈11〉 , 〈22〉 , 〈44〉 = {0¯ }.
Der Korrespondenzsatz besagt nun, dass es korrespondierend zu diesen sechs Untergruppen von Z/44Z genau sechs
Untergruppen von (Z, +) gibt, die 〈44〉 enthalten. Offenbar ist 〈44〉 in 〈a〉 enthalten für a ∈ {1, 2, 4, 11, 22, 44}, denn jedes
ganzzahlige Vielfache von 44 ist auch ein Vielfaches von a für jede Zahl a in dieser Menge. Der Korrespondenzsatz
liefert uns die Information, dass es keine weiteren Untergruppen U von (Z, +) mit U ⊇ 〈44〉 gibt.
—– 38 —–
§ 6. Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Das Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis, dass jede endliche abelsche Gruppe aus zyklischen Gruppen zusammengesetzt ist. Wir werden dieses Ergebnis sogar auf gewisse unendliche Gruppen ausdehnen, nämlich auf diejenigen mit
einem endlichen Erzeugendensystem.
Definition 6.1
Eine Gruppe G wird endlich erzeugt genannt, wenn eine endliche Teilmenge
S ⊆ G mit G = 〈S〉 existiert.
Die Eigenschaft einer Gruppe, endlich erzeugt zu sein, überträgt sich auf ihre Faktorgruppen.
Lemma 6.2 Ist G endlich erzeugt und N ein Normalteiler von G, dann ist auch die Faktorgruppe
G¯ = G/N endlich erzeugt. Genauer gilt: Ist S ein endliches Erzeugendensystem von G, π : G → G¯
¯
der kanonische Epimorphismus und S¯ = π(S), dann ist G¯ = 〈S〉.
¯ dann folgt π−1 (U¯ ) ⊇ S und somit π−1 (U¯ ) = G, da π−1 (U¯ ) eine UnterIst U¯ ⊆ G¯ eine Untergruppe mit U¯ ⊇ S,
¯
gruppe und S ein Erzeugendensystem von G ist. Auf Grund des Korrespondenzsatzes gilt U¯ = π(π−1 (U¯ )) = π(G) = G.
Beweis:
¯
Also ist S¯ ein Erzeugendensystem von G.
ä
Als erstes zeigen wir nun, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe in eine endliche Gruppe und einen speziellen
Typ unendlicher Gruppen zerlegt werden kann, die sog. freien abelschen Gruppen.
Definition 6.3
Wir bezeichnen eine endlich erzeugte abelsche Gruppe G als frei, wenn ein
r ∈ N0 und ein Isomorphismus φ : Zr → G existieren, wobei Zr mit der komponentenweisen
Addition als Verknüpfung ausgestattet ist.
Im Fall r = 0 definieren wir Z0 = {0}, eine Gruppe G mit G ∼
= Z0 ist also trivial. Dies bedeutet, dass wir auch die trivialen
Gruppen als freie Gruppen ansehen.
Seien (G, ·) und (H , ◦) Gruppen. Man überprüft leicht, dass die Menge G × H mit der Verknüpfung ∗ gegeben durch
(g , h) ∗ (g 0 , h 0 )
=
(g · g 0 , h ◦ h 0 )
für g , g 0 ∈ G, h, h 0 ∈ H
eine Gruppe ist. (Wir haben dies in den Übungen nachgerechnet.) Dabei ist (eG , e H ) das Neutralelement von G × H ,
und für (g , h) ∈ G × H ist (g −1 , h −1 ) jeweils das Inverse. Man bezeichnet G × H als das äußere direkte Produkt der
Gruppen G und H .
Definition 6.4
Sei π : G → H ein Epimorphismus abelscher Gruppen. Wir bezeichnen einen
solchen Epimorphismus π als spaltend, wenn ein Homomorphismus φ : H → G mit π ◦ φ = idH
existiert.
—– 39 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Spaltende Epimorphismen werden verwendet, um abelsche Gruppen in ein äußeres direktes Produkt von kleineren
Gruppen zu zerlegen (zu „spalten“).
Proposition 6.5 Seien G, H abelsche Gruppen und π : G → H ein spaltender Epimorphismus.
∼ ker(π) × H .
Dann gilt G =
Sei φ : H → G ein Homomorphismus mit π ◦ φ = idH . Wir zeigen, dass die Abbildung ψ : ker(π) × H → G,
Beweis:
(g , h) 7→ g + φ(h) ein Isomorphismus von Gruppen ist. Seien (g 1 , h 1 ), (g 2 , h 2 ) ∈ ker(π) × H vorgegeben. Dann gilt
ψ((g 1 , h 1 ) + (g 2 , h 2 ))
=
ψ(g 1 + g 2 , h 1 + h 2 )
(g 1 + φ(h 1 )) + (g 2 + φ(h 2 ))
(g 1 + g 2 ) + φ(h 1 + h 2 )
=
=
ψ(g 1 , h 1 ) + ψ(g 2 , h 2 ).
=
Also ist ψ ein Homomorphismus. Zum Nachweis der Surjektivität sei g ∈ G vorgegeben. Wir definieren h = π(g ) ∈ H
und g 0 = g − φ(h). Es gilt
π(g 0 )
π(g − φ(h))
=
π(g ) − (π ◦ φ)(h)
=
=
π(g ) − idH (h)
=
h −h
=
0H .
Also ist g 0 in ker(π) enthalten. Außerdem gilt ψ(g 0 , h) = g 0 + φ(h) = (g − φ(h)) + φ(h) = g . Damit ist die Surjektivität
bewiesen. Um auch die Injektivität nachzuweisen, sei (g 0 , h) ∈ ker(ψ) mit g 0 ∈ ker(π) und h ∈ H . Dann gilt g 0 + φ(h) =
ψ(g 0 , h) = 0G . Wenden wir π auf diese Gleichung an, so erhalten wir
0H
=
π(0G )
=
π(g 0 + φ(h))
=
π(g 0 ) + (π ◦ φ)(h)
π(g 0 ) + idH (h)
=
=
0H + h
=
h.
Aus h = 0H folgt g 0 = g 0 + 0G = g 0 + φ(0H ) = g 0 + φ(h) = 0G . Damit ist auch die Injektivität des Homomorphismus ψ
bewiesen.
ä
Im folgenden sei e i ∈ Zr für 1 ≤ i ≤ r jeweils das Element mit den Komponenten (e i ) j = δi j , wobei δi j das KroneckerDelta bezeichnet. Es gilt also (e i )i = 1 und (e i ) j = 0 für j 6= i .
Lemma 6.6
Sei G eine beliebige abelsche Gruppe, r ∈ N0 und g 1 , ..., g r ∈ G. Dann gibt es einen
eindeutig bestimmten Homomorphismus φ : Zr → G mit φ(e i ) = g i für 1 ≤ i ≤ r .
Beweis:
Die Elemente e 1 , ..., e r bilden ein Erzeugendensystem von Zr , denn für jedes Element (a 1 , ..., a r ) ∈ Zr gilt
(a 1 , ..., a r ) = a 1 e 1 + ... + a r e r . Die Eindeutigkeit des Homomorphismus φ folgt deshalb aus Proposition 5.8. Für die Existenz rechnen wir nach, dass durch φ(a 1 , ..., a r ) = a 1 g 1 +...+a r g r ein Gruppenhomomorphismus mit der gewünschen
Eigenschaft gegeben ist. Seien beliebige Elemente (a 1 , ..., a r ) und (b 1 , ..., b r ) in Zr vorgegeben. Weil G eine abelsche
Gruppe ist, gilt
φ((a 1 , ..., a r ) + (b 1 , ..., b r ))
=
=
φ(a 1 + b 1 , ..., a r + b r )
(a 1 g 1 + ... + a r g r ) + (b 1 g 1 + ... + b r g r )
=
=
(a 1 + b 1 )g 1 + ... + (a r + b r )g r
φ(a 1 , ..., a r ) + φ(b 1 , ..., b r ).
Damit ist die Homomorphismus-Eigenschaft nachgewiesen. Außerdem gilt nach Definition φ(e i ) = δi 1 g 1 +...+δi r g r =
g i für 1 ≤ i ≤ r .
ä
Proposition 6.7 Ist G eine beliebige abelsche und H eine endlich erzeugte, freie abelsche Gruppe. Dann ist jeder Epimorphismus π : G → H spaltend.
—– 40 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Beweis:
Sei π : G → H ein Epimorphismus und r ∈ N mit H ∼
= Zr . Ist r = 0, dann gilt H = {0H }, und die Abbildung
φ : H → G gegeben durch φ(0H ) = 0G erfüllt offenbar die Gleichung π◦φ = idH . Setzen wir nun r ≥ 1 voraus. Dann gibt
es einen Isomorphismus ψ : H → Zr . Es genügt, einen Homomorphismus φ : Zr → G mit ψ ◦ π ◦ φ = idZr anzugeben.
Setzen wir nämlich φ˜ = φ ◦ ψ, dann gilt
π ◦ φ˜
=
π◦φ◦ψ
=
ψ−1 ◦ (ψ ◦ π ◦ φ) ◦ ψ
=
ψ−1 ◦ idZr ◦ ψ
=
idH .
Definieren wir also einen Homomorphismus φ : Zr → G mit dieser Eigenschaft. Für jedes i ∈ {1, ..., r } sei g i ∈ G jeweils
ein Element mit (ψ ◦ π)(g i ) = e i . Nach Lemma 6.6 gibt es einen Homomorphismus φ : Zr → G mit φ(e i ) = g i für
1 ≤ i ≤ r . Es folgt
(ψ ◦ π ◦ φ)(e i )
=
(ψ ◦ π)(g i )
=
ei
=
idZr (e i ).
für 1 ≤ i ≤ r . Auf Grund der Eindeutigkeit in Lemma 6.6 erhalten wir ψ ◦ π ◦ φ = idZr .
ä
Nicht jeder Epimorphismus zwischen abelschen Gruppen ist spaltend. Als Beispiel betrachten wir den Epimorphismus
π : Z/4Z → Z/2Z ,
a + 4Z 7→ a + 2Z.
Nehmen wir an, dass ein Homomorphismus φ : Z/2Z → Z/4Z mit π ◦ φ = idZ/2Z existiert. Dann wäre ψ(1 + 2Z) =
¯ = 1 + 2Z. Nun ist aber
1 + 4Z oder ψ(1 + 2Z) = 3 + 4Z, denn dies sind die einzigen beiden Elemente a¯ ∈ Z/4Z mit π(a)
1 + 2Z ein Element der Ordnung 2 in Z/2Z, während die Elemente 1 + 4Z und 3 + 4Z aus Z/4Z beide von Ordnung
4 sind. Nach Proposition 5.7 kann die Elementordnung unter Homomorphismen aber nur kleiner werden, deshalb
existiert ein Homomorphismus φ wie angegeben nicht.
Der Beweis des folgenden Lemmas ist eine leichte Übungsaufgabe.
Seien G,G 0 und H , H 0 Gruppen, wobei G ∼
= G 0 und H ∼
= H 0 gilt.
0
0
∼G ×H .
Dann folgt G × H =
Lemma 6.8
Wir werden nun zeigen, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe durch Abspaltung einer freien abelschen Gruppe
zu einer endlichen Gruppe gemacht werden kann. Für den Beweis ist der folgende Satz entscheidend.
Satz 6.9
Sei G eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe und U ⊆ G eine Untergruppe. Dann
ist auch U endlich erzeugt und frei.
Beweis:
Wir können G = Zr voraussetzen und beweisen durch vollständige Induktion über r , dass U isomorph zu
Zs für ein s ≤ r ist. Im Fall r = 0 ist U = G = {0G } und somit nichts zu zeigen. Sei nun r = 1. Dann ist G unendlich
zyklisch. In Satz 3.10 haben wir die Untergruppen einer solchen Gruppe G bestimmt. Demnach gilt entweder U = {0}
oder U = m Z für ein m ∈ N. Im ersten Fall ist U isomorph zu Z0 . Im zweiten Fall ist U unendlich zyklisch, nach Satz
5.10 also isomorph zu Z1 = Z mit der Addition.
—– 41 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Nehmen wir nun an, dass r > 1 ist, und setzen wir die Aussage für alle freien Gruppen voraus, die isomorph zu Zs für
ein s < r sind. Wir betrachten die Projektionsabbildung π : Zr → Z, (a 1 , ..., a r ) 7→ a 1 . Durch Einschränkung von π auf
U erhalten wir einen Epimorphismus πU : U → π(U ). Das Bild π(U ) ist eine Untergruppe von Z1 , also auf Grund des
bereits bewiesen Falls isomorph zu Zt für t ∈ {0, 1}. Insbesondere ist π(U ) frei. Der Epimorphismus πU ist somit nach
Lemma 6.6 spaltend, und wir erhalten
U
∼
=
ker(πU ) × π(U )
∼
=
ker(πU ) × Zt .
Weiter gilt ker(π) = Zr −1 × {0} ∼
= Zr −1 , also ist ker(πU ) = ker(π) ∩U isomorph zu Untergruppe von Zr −1 . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein s ∈ N0 mit s ≤ r − 1 und ker(πU ) ∼
= Zs . Mit Lemma 6.8 folgt U ∼
= Zs × Zt = Zs+t . Also ist
auch U eine freie abelsche Gruppe. Außerdem gilt s + t ≤ (r − 1) + 1 = r .
Satz 6.10
ä
Sei G eine abelsche Gruppe. Dann ist Tor(G) = {g ∈ G | ord(g ) < ∞} eine Untergruppe
von G, die sog. Torsionsuntergruppe. Man nennt G eine Torsionsgruppe, wenn Tor(G) = G erfüllt
ist. Gilt dagegen Tor(G) = {0G }, dann spricht man von einer torsionsfreien Gruppe.
Beweis:
Wir rechnen die Untergruppeneigenschaft von Tor(G) nach. Zunächst ist das Neutralelement 0G ∈ G als
Element der Ordnung 1 in Tor(G) enthalten. Seien nun g , h ∈ Tor(G) und m, n ∈ N mit mg = nh = 0G . Dann gilt mn(g +
h) = n(mg ) + m(nh) = n0G + m0G = 0G , also g + h ∈ Tor(G). Außerdem ist m(−g ) = −mg = −0G = 0G und somit −g ∈
Tor(G).
ä
Endlich erzeugte freie abelsche Gruppen sind offenbar torsionsfrei. Im Gegensatz dazu sind endliche abelsche Gruppen stets Torsionsgruppen. Es gibt aber auch unendliche Torsionsgruppen, zum Beispiel die additive Gruppe (V, +)
eines unendlich-dimensionalen F2 -Vektorraums V . Zunächst untersuchen wir den torsionsfreien Anteil genauer.
Lemma 6.11
Beweis:
Jede torsionsfreie, endlich erzeugte abelsche Gruppe ist frei.
Sei G eine torsionsfreie endlich erzeugte abelsche Gruppe. Weiter sei S ein endliches Erzeugendensy-
stem und T = {g 1 , ..., g n } ⊆ S eine maximale Teilmenge von S mit der Eigenschaft, dass die Abbildung φ : Zn → G,
(a 1 , ..., a n ) 7→ a 1 g 1 + ... + a n g n injektiv ist. Dann ist die Untergruppe U = 〈T 〉 von G frei, denn als Abbildung Zn → U ist
φ auch surjektiv, die Gruppe U also isomorph zu Zn .
Nun sei g ∈ S ein beliebiges Element mit g 6= 0G . Auf Grund der Torsionsfreiheit gilt mg 6= 0G für alle m ∈ Z, m 6= 0.
Wegen der Maximalität von T finden wir aber einen Satz (a, a 1 , ..., a n ) ganzer Zahlen mit ag + a 1 g 1 + ... + a n g n = 0G
und a 6= 0, a i 6= 0 für ein i ∈ {1, ..., n}. Wegen
ag
=
−a 1 g 1 − ... − a n g n
ist dann ag in U enthalten. Auf diese Weise erhalten wir für jedes g ∈ S ein a g ∈ Z mit a g g ∈ U . Weil S endlich ist,
können wir das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen bilden und finden so ein a ∈ N mit aS ⊆ U . Nun ist
φ : G → G, g 7→ ag ein (auf Grund der Torsionsfreiheit) injektiver Homomorphismus, dessen Bild φ(G) in der freien abelschen Gruppe U enthalten ist. Nach Satz 6.9 ist G ∼
= φ(G) damit selbst eine freie, endlich erzeugte abelsche
Gruppe.
ä
—– 42 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Satz 6.12
Sei G eine endlich erzeugte, abelsche Gruppe. Dann ist die Faktorgruppe G/Tor(G)
eine freie, endlich erzeugte abelsche Gruppe. Man bezeichnet sie als den freien Anteil von G.
Auf Grund des Lemmas genügt es zu zeigen, dass G¯ = G/Tor(G) torsionsfrei ist. Sei π : G → G¯ der kanonische
Epimorphismus. Nehmen wir an, es gibt ein m ∈ N und ein g¯ ∈ G¯ mit m g¯ = 0¯ . Ist g ∈ G mit π(g ) = g¯ , dann folgt
Beweis:
π(mg ) = 0¯ , d.h. das Element mg ist in Tor(G) enthalten. Dies wiederum bedeutet, dass ein n ∈ N mit (mn)g = n(mg ) =
0G existiert. Aber dies bedeutet, dass bereits g in Tor(G) liegt, also g¯ = 0¯ ist. Damit haben wir nachgewiesen, dass die
Torsionsgruppe von G¯ ist.
ä
Proposition 6.13
Sei G eine endlich erzeugte, abelsche Gruppe, Tor(G) seine Torsionsunter¯
¯
gruppe und G sein freier Anteil. Dann gilt G ∼
= Tor(G) × G.
Weil die Gruppe G¯ nach Satz 6.12 frei ist, ist der kanonische Epimorphismus π : G → G¯ mit dem Kern Tor(G)
¯
nach Proposition 6.7 spaltend, und durch Proposition 6.5 erhalten wir einen Isomorphismus G ∼
ä
= Tor(G) × G.
Beweis:
Lemma 6.14
Jede endlich erzeugte abelsche Torsionsgruppe G ist endlich.
Beweis:
Sei S = {g 1 , ..., g r } ein Erzeugendensystem von G. Nach Proposition 2.12 sind die Elemente von G gegeben
e ¯
· ... · g r r ¯e 1 , ..., e r ∈ Z}. Weil G eine Torsionsgruppe ist, ist g i jeweils von endlicher Ordnung n i , für 1 ≤ i ≤ r .
e ¯
e
Daraus folgt G = {g 1 1 · ... · g r r ¯0 ≤ e i < n i für 1 ≤ i ≤ r }. Dies zeigt, dass G endlich ist.
ä
e
durch {g 1 1
Satz 6.15
Sei G eine endlich erzeugte, abelsche Gruppe. Dann gibt es ein r ∈ N0 und eine
endliche, abelsche Gruppe U mit G ∼
= U × Zr .
¯ Weil
Beweis: Sei Tor(G) die Torsionsgruppe und G¯ der freie Anteil von G. Nach Proposition 6.13 gilt G ∼
= Tor(G) × G.
G¯ nach Satz 6.12 frei ist, gibt es ein r ∈ N0 mit G¯ ∼
= Zr . Die Gruppe Tor(G) ist eine Torsionsgruppe. Durch Komposition des Isomorphismus G ∼
= Tor(G) × Zr mit der Projektion auf die erste Komponente erhält man einen surjektiven
Homomorphismus ψ : G → Tor(G). Setzen wir N = ker(ψ), dann ist Tor(G) nach dem Homomorphiesatz isomorph
zur Faktorgruppe G/N , und diese ist nach Lemma 6.2 als Faktorgruppe einer endlich erzeugten Gruppe selbst endlich
erzeugt. Also ist U = Tor(G) eine endlich erzeugte Torsionsgruppe und nach Lemma 6.14 eine endliche Gruppe.
ä
Im zweiten Teil dieses Kapitels sehen wir uns nun an, wie eine endliche abelsche Gruppe in kleinere Bestandteile
zerlegt werden kann.
Definition 6.16
Sei G eine Gruppe, und seien U ,V Untergruppen von G. Wir bezeichnen G
als inneres direktes Produkt von U und V , wenn U und V beides Normalteiler von G sind und
G = UV sowie U ∩ V = {e} gilt.
—– 43 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Proposition 6.17
Sei G eine Gruppe und inneres direktes Produkt ihrer Untergruppen U und
V . Dann besitzt jedes g ∈ G eine eindeutige Darstellung der Form g = uv mit u ∈ U und v ∈ V .
Außerdem gilt G ∼
= U × V . (Jedes innere direkte Produkt von U und V ist also isomorph zum
äußeren.)
Beweis:
Das jedes g ∈ G in der Form g = uv mit u ∈ U und v ∈ V dargestellt werden kann, folgt direkt aus der
Definition des Komplexprodukts UV . Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien u, u 0 ∈ U und v, v 0 ∈ V mit uv = u 0 v 0
vorgegeben. Dann gilt u(u 0 )−1 = v(v 0 )−1 . Auf Grund der Voraussetzung U ∩V = {e} folgt uu 0−1 = e ⇔ u = u 0 und ebenso
die Gleichung v = v 0 .
Für den Isomorphismus G ∼
= U ×V zeigen wir zunächst, dass für alle u ∈ U und v ∈ V die Gleichung uv = vu erfüllt ist.
Wir beweisen die äquivalente Gleichung uvu −1 v −1 = e. Weil V ein Normalteiler von G ist, gilt uvu −1 ∈ V , und somit
liegt auch vuv −1 u −1 in V . Andererseits ist auch U ein Normalteiler von G. Es folgt vu −1 v −1 ∈ U und uvu −1 v −1 ∈ U .
Insgesamt gilt also uvu −1 v −1 ∈ U ∩ V = {e}, also uvu −1 v −1 = e.
Nun zeigen wir, dass durch die Abbildung φ : U × V → G, (u, v) 7→ uv ein Isomorphismus von Gruppen definiert ist.
Zum Nachweis der Homomorphismus-Eigenschaft seien (u 1 , v 1 ), (u 2 , v 2 ) ∈ U × V vorgegeben. Durch Anwendung der
zu Beginn bewiesenen Gleichung u 1 v 2 = v 2 u 1 erhalten wir
φ(u 1 , v 1 )φ(u 2 , v 2 )
(u 1 v 1 )(u 2 v 2 )
=
(u 1 u 2 )(v 1 v 2 )
=
=
u 1 (v 1 u 2 )v 2
φ(u 1 u 2 , v 1 v 2 )
=
=
u 1 (u 2 v 1 )v 2
=
φ((u 1 , v 1 )(u 2 , v 2 )).
Jedes g ∈ G kann als Produkt g = uv mit u ∈ U und v ∈ V dargestellt werden. Dies beweist die Surjektivität von φ, und
die Eindeutigkeit der Darstellung beweist die Injektivität.
Definition 6.18
ä
Sei G eine abelsche Gruppe und m ∈ N. Dann nennt man
G[m] = {g ∈ G | mg = 0G } die m-Torsionsuntergruppe von G.
Proposition 6.19
Sei G eine abelsche Gruppe.
(i) Für jedes m ∈ N ist G[m] eine Untergruppe von G.
(ii) Sind m, n ∈ N teilerfremd, dann ist G[mn] ein inneres direktes Produkt von G[m] und G[n].
Es gilt also G[m] ×G[n] ∼
= G[mn].
Beweis:
zu (i) Sei m ∈ N vorgegeben. Wir überprüfen die Untergruppen-Eigenschaft von G[m]. Es gilt m0G = 0G ,
also ist 0G in G[m] enthalten. Seien g , h ∈ G[m] vorgegeben. Dann gilt mg = mh = 0G . Es folgt m(g + h) = mg + mh =
0G + 0G = 0G und somit g + h ∈ G[m]. Außerdem gilt m(−g ) = −mg = −0G = 0G . Dies zeigt, dass auch −g in G[m] liegt.
zu (ii) Seien m, n ∈ N teilerfremd. Nach dem Lemma von Bézout gibt es a, b ∈ Z mit ma + nb = 1. Wir beweisen nun
die Gleichung G[mn] = G[m]+G[n]. Für die Inklusion „⊇“ genügt es zu bemerken, dass nach Definition G[m] ⊆ G[mn]
und G[n] ⊆ G[mn] gilt. Zum Nachweis von „⊆“ sei g ∈ G[mn] vorgegeben. Wir definieren
g 0 = (bn)g
und
h 0 = (am)g .
—– 44 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Wegen mg 0 = (bmn)g = 0G liegt g 0 in G[m], und wegen nh 0 = (amn)h = 0G ist h 0 ein Element von G[n]. Außerdem gilt
g = 1 · g = (am + bn)g = (am)g + (bn)g = g 0 + h 0 , also insgesamt g ∈ G[m] +G[n].
Nun zeigen wir noch G[m] ∩ G[n] = {0G }. Auch hier ist die Inklusion „⊇“ offensichtlich erfüllt. Sei umgekehrt g ∈
G[m] ∩G[n] vorgegeben. Dann gilt mg = ng = 0G , und es folgt
g
=
1·g
=
(am + bn)g
=
(am)g + (bn)g
=
0G .
Der Isomorphismus G[m] ×G[n] ∼
= G[mn] folgt nun aus Proposition 6.17.
Satz 6.20
ä
(Chinesischer Restsatz)
Sind m, n ∈ N teilerfremd, dann gilt Z/(mn)Z ∼
= Z/m Z × Z/n Z.
Beweis:
Setzen G = Z/(mn)Z, dann gilt G[mn] = G. Ist nämlich [a]mn ∈ G beliebig vorgegeben, so erhalten wir
(mn)[a]mn = [(mn)a]mn = [amn]mn = [0]mn , also [a]mn ∈ G[mn]. Dies zeigt G ⊆ G[mn], und die Inklusion G[mn] ⊆ G
ist auf Grund der Definition offensichtlich. Mit Proposition 6.19 erhalten wir G ∼
= G[m] ×G[n].
Als Untergruppen einer zyklischen Gruppe sind G[m] und G[n] beide zyklisch. Wegen ord([1]mn ) = mn hat n[1]mn =
[n]mn die Ordnung m. Wegen m[n]mn = [mn]mn = [0]mn ist [n]mn in G[m] enthalten, damit ist G[m] mindestens melementig. Ebenso zeigt man, dass G[n] aus mindestens n Elementen besteht. Wegen |G[m]| · |G[n]| = |G[m] ×G[n]| =
|G| = mn folgt |G[m]| = m und |G[n]| = n. Als zyklische Gruppe der Ordnung m ist G[m] isomorph zu Z/m Z, und
entsprechend ist G[n] isomorph zu Z/n Z. Insgesamt erhalten wir G ∼
= G[m] × G[n] ∼
= Z/m Z × Z/n Z wie gewünscht.
ä
Der Chinesische Restsatz kann nicht angewendet werden, falls m und n nicht teilerfremd sind. Beispielsweise ist die
Gruppe Z/4Z nicht isomorph zu Z/2Z × Z/2Z. Denn Z/4Z enthält als zyklische Gruppe der Ordnung 4 ein Element
der Ordnung 4, während die Gruppe Z/2Z × Z/2Z wegen 2([a]2 , [b]2 ) = ([2a]2 , [2b]2 ) = ([0]2 , [0]2 ) nur Elemente der
Ordnung ≤ 2 enthält.
Lemma 6.21
Sei G eine endliche abelsche Gruppe und p ein Primteiler von |G|. Dann enthält
G ein Element der Ordnung p.
Beweis:
Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion über die Gruppenordnung |G|. Im Fall |G| = 1 braucht
nicht gezeigt werden, weil |G| in diesem Fall keine Primteiler besitzt. Sei nun G eine nichttriviale Gruppe, und setzen
wir die Aussage für Gruppen mit Ordnung < |G| voraus. Sei p ein Primteiler von |G| und g ∈ G ein beliebiges nichttriviales Element. Ist m = ord(g ) ein Vielfaches von p, dann ist
m
p g
nach Lemma 3.11 ein Element mit der gewünschten
Eigenschaft.
¯
Nehmen wir nun an, dass p kein Teiler der Ordnung von g ist. Setzen wir G¯ = G/〈g 〉, dann gilt |G| = |G||〈g
〉| nach dem
¯
Satz von Lagrange. Wegen p - |〈g 〉| teilt p dann die Ordnung von |G|. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es in G¯ ein
Element h¯ der Ordnung p. Sei h ∈ G ein Urbild von h¯ unter dem kanonischen Epimorphismus. Nach Proposition 5.7
ist n = ord(h) ein Vielfaches von p, also ist
n
ph
ein Element der Ordnung p.
Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann ist G trivial, oder es gibt ein r ∈ N und
abelsche Gruppen G 1 , ...,G r von Primzahlpotenzordnung mit G ∼
= G 1 × ... ×G r .
Satz 6.22
—– 45 —–
ä
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Beweis:
Auch hier führen wir den Beweis durch vollständige Induktion über die Gruppenordnung. Im Fall |G| = 1 ist
nichts zu zeigen. Sei nun G eine nichttriviale, endliche abelsche Gruppe, und setzen wir die Aussage für Gruppen mit
Ordnung < |G| voraus. Ist |G| eine Primzahlpotenz, dann können wir r = 1 und G 1 = G setzen. Andernfalls können wir
die Ordnung |G| in ein Produkt mn zweier teilerfremder Zahlen m, n > 1 zerlegen. Für alle g ∈ G gilt (mn)g = 0. Es gilt
also G = G[mn], und mit Proposition 6.19 folgt G ∼
= G[m] ×G[n].
Die Untergruppe G[m] ist nichttrivial. Ist nämlich p ein Primteiler von m, dann gibt es in G nach Lemma 6.21 ein
Element g der Ordnung p. Aus p|m folgt mg = 0, also g ∈ G[m]. Ebenso zeigt man, dass G[n] nichttrivial ist. Weil die
Untergruppen G[m] und G[n] beide nichttrivial sind, muss |G[m]| < |G| und |G[n]| < |G| gelten. Wir können also die
Induktionsvoraussetzung auf diese Untergruppen anwenden und erhalten s, t ∈ N0 sowie Gruppen G i und H j von
Primzahlpotenzordnung mit G[m] ∼
= G 1 × ... ×G s und G[n] ∼
= H1 × ... × H t . Insgesamt erhalten wir
G
∼
=
G[m] ×G[n]
∼
=
G 1 × ... ×G s × H1 × ... × H t .
ä
Ist p eine Primzahl, dann wird eine Gruppe von p-Potenzordnung auch p-Gruppe genannt.
Sei G eine nichttriviale abelsche p-Gruppe und C eine zyklische Untergruppe
maximaler Ordnung. Dann gibt es eine Untergruppe H von G mit G ∼
= C × H.
Proposition 6.23
Sei a ∈ C mit C = 〈a〉 und p n die Ordnung von a. Weil G nichttrivial ist, gilt n > 0. Sei ferner H eine Untergruppe von G, die mit der Eigenschaft C ∩ H = {0G } maximal ist. Dann ist G˜ = C + H ein inneres direktes Produkt von
Beweis:
C und H , also G˜ ∼
= C × H nach Proposition 6.17. Stimmen G˜ und G überein, dann sind wir fertig. Wir setzen nun G˜ ( G
voraus und führen diese Annahme zu einem Widerspruch.
˜
1. Schritt: Es gibt ein x ∈ G mit x ∉ G˜ und px ∈ G.
˜ Weil p n die maximale Elementordnung in G ist, gilt p n x 0 = 0G und insbeNach Voraussetzung gibt es ein x 0 ∈ G \ G.
˜ Es gibt also ein minimales r ∈ N mit p r x 0 ∈ G.
˜ Setzen wir x = p r −1 x 0 , dann ist x ∉ G˜ und px ∈ G˜
sondere p n x 0 ∈ G.
erfüllt.
2. Schritt: Es gibt ein y ∈ G mit y ∉ H und p y ∈ H .
Wegen px ∈ G˜ gibt es Elemente c ∈ C und h ∈ H mit px = c + h. Weil p n die maximale Elementordnung in G ist,
gilt p n−1 (px) = p n x = 0G . Es folgt p n−1 c + p n−1 h = p n−1 (c + h) = 0G und damit p n−1 c = p n−1 h = 0G , weil G˜ inneres
direktes Produkt von C und H ist. Wegen p n−1 c = 0 muss es ein c 0 ∈ C mit c = pc 0 geben. Denn ansonsten wäre c ein
zu p teilerfremdes Vielfaches vom Erzeuger a und hätte damit die volle Ordnung p n . Setzen wir nun
y
=
x − c0
,
dann gilt y ∉ H , denn ansonsten wäre x = c 0 + y in G˜ enthalten. Andererseits ist p y = px − pc 0 = px −c = h ein Element
von H .
—– 46 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
3. Schritt: Anwendung der Maximalität von H
Sei K = 〈y〉+H . Weil K echt größer als H ist, gibt es auf Grund der Maximalitätsbedingung ein Element z 6= 0G in C ∩K .
Dieses hat eine Darstellung der Form z = m y + h 0 mit m ∈ Z und h 0 ∈ H . Dabei gilt p - m, denn ansonsten wäre z in
H enthalten, im Widerspruch zu C ∩ H = {0G }. Weil p und m teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bézout
Zahlen u, v ∈ Z mit up + vm = 1. Wir erhalten
y
=
1· y
=
up y + vm y
=
up y + v(z − h 0 )
=
up y + v z − vh 0 .
˜ Damit ist auch x = c 0 + y in G˜ enthalten, im Widerspruch zur Aussage im 1.
Wegen up y, vh 0 ∈ H und v z ∈ C gilt y ∈ G.
Schritt.
ä
Ist G eine endliche abelsche Gruppe, dann ist G entweder trivial, oder es gibt ein
r ∈ N0 und endliche zyklische Gruppen C 1 , ...,C r mit G ∼
= C 1 × ... ×C r .
Satz 6.24
Beweis:
Nach Satz 6.22 kann G als direktes Produkt von Gruppen mit Primzahlpotenzordnung dargestellt werden. Es
genügt deshalb, die Aussage für Gruppen solcher Ordnung zu beweisen. Wieder führen den Beweis durch vollständige
Induktion über die Gruppenordnung durch. Für die triviale Gruppe ist nichts zu zeigen. Sei nun G eine nichttriviale
Gruppe von p-Potenzordnung, wobei p eine Primzahl bezeichnet, und setzen wir die Aussage für alle Gruppen kleinerer Ordnung voraus. Sei C eine zyklische Untergruppe maximaler Ordnung. Dann gibt es nach Proposition 6.23 eine
∼ C × H . Mit G ist auch C nichttrivial, und folglich gilt |H | < |G|. Wir können also die InUntergruppe H von G mit G =
duktionsvoraussetzung anwenden, nach der H entweder trivial oder isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer
Gruppen ist. Damit ist die Behauptung dann auch für G bewiesen.
ä
Als Anwendungsbeispiel für die behandelten Sätze zeigen wir, dass es bis auf Isomorphie genau zwei abelsche Gruppen der Ordnung 50 gibt. Sei G eine solche Gruppe. Nach Satz 6.22 kann G als direktes Produkt von Gruppen mit
Primzahlpotenzordnung dargestellt werden, und nach Satz 6.24 zerfällt jede davon in ein Produkt zyklischer Gruppen. Lassen wir triviale Faktoren außer Acht, so ergeben sich die beiden Möglichkeiten
G∼
= Z/2Z × Z/25Z und G ∼
= Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z.
Dies zeigt, dass es bis auf Isomorphie höchstens zwei abelsche Gruppen der Ordnung 50 gibt. Um zu zeigen, dass
genau zwei Isomorphietypen existieren, müssen wir noch nachweisen, dass Z/2Z × Z/25Z und Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z
nicht isomorph sind. In der ersten Gruppe ist ([0]2 , [1]25 ) ein Element der Ordnung 25. Wären die Gruppen isomorph,
müsste auch in Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z ein Element dieser Ordnung existieren. Aber die Gleichung 10([a]2 , [b]5 , [c]5 ) =
([0]2 , [0]5 , [0]5 ) für alle a, b, c ∈ Z zeigt, dass die Gruppe nur Elemente der Ordnung ≤ 10 enthält.
Zu beachten ist noch, dass die Darstellung einer endlichen (oder endlich erzeugten) abelschen Gruppe als kartesisches Produkt zyklischer Gruppen im allgemeinen nicht eindeutig ist. Beispielsweise gibt es nach dem Chinesischen
Restsatz Isomorphismen
Z/2Z × Z/25Z ∼
= Z/50Z
und
Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z ∼
= Z/10Z × Z/5Z.
—– 47 —–
§ 7. Gruppenoperationen
Definition 7.1
Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Gruppenoperation von G auf X ist
eine Abbildung α : G × X −→ X mit den Eigenschaften
α(eG , x) = x
und
α(g , α(h, x)) = α(g h, x)
für alle g , h ∈ G und x ∈ X , wobei eG das Neutralelement der Gruppe bezeichnet. Man sagt auch,
dass G mittels α auf X operiert.
An Stelle von α(g , x) schreibt man häufig auch einfach g · x. Die definierenden Gleichungen der Gruppenoperation
lassen sich dann sparsamer in der Form eG · x = x und g · (h · x) = (g h) · x schreiben. Man darf allerdings das Symbol ·
nicht mit der Verknüpfungsabbildung der Gruppe verwechseln!
Wir betrachten einige Beispiele für Gruppenoperationen.
(i) Die symmetrische Gruppe S n operiert auf der Menge M n = {1, ..., n} durch σ·x = σ(x) für alle σ ∈ S n und x ∈ M n .
Ist n = 7, dann gilt beispielsweise (1 2 7) · 2 = 7 und (1 2 7) · 3 = 3.
(ii) Sei K ein Körper und V ein K -Vektorraum. Dann operiert die Gruppe G = GL(V ) der bijektiven linearen Abbildungen V → V auf V durch φ · v = φ(v) für alle φ ∈ G und v ∈ V .
Nun schauen wir uns an, durch welche Eigenschaften eine Gruppenoperation genauer beschrieben werden kann.
Definition 7.2
Sei G eine Gruppe, X eine Menge und G × X → X , (g , x) 7→ g · x eine Gruppen-
operation. Für jedes x ∈ X bezeichnet man die Menge
G(x)
=
{g · x | g ∈ G}
als Bahn von x. Gibt es ein x ∈ X mit G(x) = X , dann spricht man von einer transitiven Gruppenoperation. Die Elemente x ∈ X mit G(x) = {x} bezeichnet man als Fixpunkte der Gruppenoperation.
Allgemein bezeichnet man eine Teilmenge Y ⊆ X als G-invariant, wenn für alle g ∈ G und y ∈ Y jeweils g · y ∈ Y
gilt. Dies ist gleichbedeutend mit G(y) ⊆ Y für alle y ∈ Y . Offenbar ist jede Bahn der Gruppenoperation G-invariant,
ebenso jede Vereinigung von Bahnen.
Die folgende Beobachtung ist für nachfolgende Theorie von zentraler Bedeutung, ähnlich wie beim Satz von Lagrange
die Zerlegung einer Gruppe in Nebenklassen bezüglich einer Untergruppe.
Proposition 7.3
Die Menge B = {G(x) | x ∈ X } der Bahnen bildet eine Zerlegung der Menge X .
—– 48 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
Beweis:
Wir überprüfen die Bedingungen aus Def. 4.6. Jedes x ∈ X ist wegen eG · x = x in G(x) enthalten. Also ist jede
Bahn nichtleer, und jedes x ∈ X ist in mindestens einer Bahn enthalten. Wir zeigen nun, dass jedes Element in genau
einer Bahn enthalten ist und beweisen dafür: Ist x ∈ X und y ∈ G(x), dann folgt G(x) = G(y). Wegen y ∈ G(x) gibt es ein
Gruppenelement g 0 ∈ G mit g 0 · x = y und
g 0−1 · y
=
g 0−1 · (g 0 · x)
=
(g 0−1 g 0 ) · x
=
eG · x
=
x.
Wir überprüfen nun die Inklusionen G(x) ⊆ G(y) und G(x) ⊇ G(y). „⊆“ Sei z ∈ G(x). Dann gibt es ein g ∈ G mit
g · x = z. Es folgt (g g 0−1 )· y = g ·(g 0−1 · y) = g · x = z und damit z ∈ G(y). „⊇“ Sei z ∈ G(y). Dann existiert nach Definition
der Bahn G(y) ein g ∈ G mit g · y = z. Wir erhalten damit (g g 0 ) · x = g · (g 0 · x) = g · y = z, also z ∈ G(x).
ä
Ist die Gruppenoperation transitiv, so gibt es nur eine Bahn in X . Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, dass je
zwei Elemente x, y ∈ X in derselben Bahn liegen, also jeweils ein g ∈ G mit g · x = y existiert. Dies bedeutet auch, dass
G(x) = X für alle x ∈ X erfüllt ist.
(i) Die Gruppe S n operiert transitiv auf M n . Sind nämlich a, b ∈ M n mit a 6= b vorgegeben, dann gilt τ · a = b für
τ = (a b). Also liegen je zwei Elemente in derselben Bahn.
(ii) Sei nun G = S 7 und U = 〈σ〉 die vom Element σ = (1 2 5)(3 4)(6 7) erzeugte, zyklische Untergruppe der Ordnung
6. Für jedes n ∈ Z gilt σn (1) ∈ {1, 2, 5}, wie man mit vollständiger Induktion leicht überprüft. Die Bahn von 1 ist
also durch U (1) = {1, 2, 5} gegeben. Zugleich ist dies auch die Bahn der Elemente 2 und 5. Ebenso sieht man
U (3) = U (4) = {3, 4} und U (6) = U (7) = {6, 7}.
Das letzte Beispiel liefert bereits einen Hinweis darauf, wie die Zykelzerlegung eines Elements der symmetrischen
Gruppe S n mit Hilfe der Gruppenoperationen interpretieren lässt.
Lemma 7.4
Sei n ∈ N, σ ∈ S n und x ∈ tr(σ). Dann gilt 〈σ〉(x) ⊆ tr(σ), und Gleichheit genau dann,
wenn σ ein k-Zykel für ein geeignetes k ∈ N mit k ≥ 2 ist. In diesem Fall gilt k = |tr(σ)|.
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Inklusion 〈σ〉(x) ⊆ tr(σ). Sei y ∈ 〈σ〉(x). Dann gibt es ein a ∈ Z mit y = σa (x).
Daraus folgt, dass y von σ bewegt wird. Wäre nämlich y ∉ tr(y), also σ(y) = y, dann würde daraus σc (y) = y für alle
c ∈ Z folgen, wie ein einfacher Induktionsbeweis zeigt. Insbesondere wäre y = σ−a (y) = x. Aber dies wiederum würde
σ(x) = x bedeuten, im Widerspruch zu x ∈ tr(σ).
Nun beweisen wir die Äquivalenz. „⇒“ Nach Voraussetzung gilt tr(σ) = 〈σ〉(x). Sei k ∈ N minimal mit σk (x) = x. Wir
müssen zeigen, dass σ die Form eines k-Zykels besitzt. Wir definieren nun
xi
=
σi −1 (x)
für 1 ≤ i ≤ k.
Dann gilt σ(x i ) = (σ ◦ σi −1 )(x 1 ) = σi (x 1 ) = x i +1 für 0 ≤ i < k und außerdem σ(x k ) = x 1 . Sei nun y ∈ tr(σ) = 〈σ〉(x)
beliebig vorgegeben. Dann gibt es ein u ∈ Z mit y = σu (x). Durch Division mit Rest erhalten wir q, r ∈ Z mit u = qk +r
und 0 ≤ r < k. Wegen σk (x) = x gilt auch σqk (x) = x und somit
y
=
σu (x)
=
σr (σqk (x))
=
σr (x)
=
x r +1 .
Dies zeigt, dass der Träger von σ genau aus den Elementen x 1 , ..., x k besteht, genauer dass σ mit dem k-Zykel der Form
(x 1 x 2 ... x k ) übereinstimmt.
—– 49 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
„⇐“ Ist σ ein k-Zykel für ein k ∈ N mit k ≥ 2, dann gibt es nach Definition verschiedene Element x 1 , ..., x k in M n ,
so dass σ(x i ) = x i +1 für 1 ≤ i < k und σ(x k ) = x 1 sowie σ(y) = y für y ∉ tr(σ) gilt. Wie wir bereits im Beweis von Satz
3.7 festgestellt haben, gilt σi (x 1 ) = x i +1 für 1 ≤ i < k. Dies zeigt, dass der gesamte Träger tr(σ) = {x 1 , ..., x k } in der
Bahn 〈σ〉(x 1 ) enthalten ist. Mit dem bereits Gezeigten folgt tr(σ) = 〈σ〉(x 1 ). Wegen x ∈ tr(σ) ⊆ 〈σ〉(x 1 ) gilt außerdem
〈σ〉(x 1 ) = 〈σ〉(x).
Satz 7.5
ä
Jedes Element σ ∈ S n , σ 6= id, ist als Produkt disjunkter Zyklen der Form τ1 ◦ ... ◦ τr , mit
r ∈ N. Diese Darstellung ist bis auf Reihenfolger der σi eindeutig.
Beweis:
Seien B 1 , ..., B r die verschiedenen Bahnen von 〈σ〉 mit Länge > 1, und seien die Elemente τ1 , ..., τr ∈ S n
definiert durch
τi (x)
=

σ(x) falls x ∈ B i
x
sonst.
Sei x ∈ tr(τi ) beliebig gewählt. Wenn wir zeigen können, dass tr(τi ) ⊆ 〈τi 〉(x) erfüllt ist, dann folgt aus Lemma 7.4, dass
es sich bei τi um einen k i -Zykel handelt, mit k i = |〈σ〉(x)| = B i . Aus x ∈ tr(τi ) folgt zunächst x ∈ B i . Ist nun y ∈ tr(τi )
ein weiteres Element, dann folgt y ∈ B i , und weil B i eine Bahn von 〈σ〉 ist, gibt es ein a ∈ Z mit σa (x) = y. Weil σa und
τia auf B i übereinstimmen, gilt y = τia (x) ∈ 〈τi 〉(x). Also sind τ1 , ..., τr tatsächlich Zykel, außerdem paarweise disjunkt,
weil die Mengen B 1 , ..., B r paarweise disjunkt sind.
Wir beweisen nun die Gleichun (τ1 ◦ ... ◦ τr )(x) = σ(x) für alle x ∈ M n . Ist nämlich x ∉ tr(σ), dann folgt x ∉ tr(τi ) für
1 ≤ i ≤ r . Also wird x sowohl von σ als auch vom Produkt τ1 ◦...◦τr auf sich selbst abgebildet. Gilt andererseits x ∈ tr(σ),
dann ist x ∈ B i für ein eindeutig bestimmtes i . Es folgt τi (x) = σ(x) ∈ B i . Andererseits wird x noch σ(x) von einem τ j
mit j 6= i bewegt, es gilt somit (τ1 ◦ ... ◦ τr )(x) = τi (x) = σ(x). Damit ist die Gleichung σ = τ1 ◦ ... ◦ τr bewiesen.
Sei nun σ = τ01 ◦ ... ◦ τ0s eine weitere Zerlegung von σ als Produkt von disjunkten Zyklen, und sei B i0 = tr(τ0i ) für 1 ≤ i ≤ s.
Dann gilt σ|B 0 = τ0i |B 0 für alle i . Ist x ∈ B i0 für ein i , dann gilt 〈τ0i 〉(x) = tr(τ0i ) = B i0 , und wegen σ|B 0 = τ0i |B 0 ist B i0 eine
i
i
i
i
Bahn von 〈σ〉. Dies zeigt, dass B 10 , ..., B s0 genau die Bahnen von 〈σ〉 der Länge > 1 sind. Es gilt also r = s, und nach
Umnummerierung können wir B i = B i0 für 1 ≤ i ≤ r annehmen. Aus τ0i |B i = σ|B i = τi |B i folgt τ0i = τi für 1 ≤ i ≤ r .
ä
Wenden wir uns nun wieder den Eigenschaften von Gruppenoperationen im Allgemeinen zu.
Satz 7.6
Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert, und x ∈ X . Dann ist die Teilmenge
G x = {g ∈ G | g · x = x} eine Untergruppe von G, der sogenannte Stabilisator von x.
Beweis:
Wegen eG · x = x gilt eG ∈ G x . Seien nun g , h ∈ G x vorgegeben. Dann gilt g · x = x und h · x = x. Es folgt
(g h) · x = g · (h · x) = g · x = x. Dies zeigt g h ∈ G x . Ferner gilt g −1 · x = g −1 · (g · x) = (g −1 g ) · x = eG · x = x, also g −1 ∈ G x .ä
Wieder betrachten wir eine Reihe von Beispielen.
(i) Wir betrachten die Operation von G = S 4 auf X = M 4 . Der Stabilisator G 4 des Elements 4 ∈ X besteht nach
Definition aus allen σ ∈ G mit σ · 4 = σ(4) = 4, also allen Permutationen mit 4 ∉ tr(σ). Es gilt also
G4
=
{id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}.
—– 50 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
(ii) In der Untergruppe U von S 7 aus Beispiel (i) von oben ist der Stabilisator von 3 durch die dreielementige Untergruppe 〈σ2 〉 gegeben. Denn für jedes m ∈ Z gilt σm (3) = 3 genau dann, wenn m eine gerade Zahl ist. Der
Stabilisator von 1 ist die Untergruppe 〈σ3 〉 der Ordnung 2.
(iii) Sei V = R2 , G = GL(V ) und X = V . Ist v = e 1 , dann besteht G v genau aus den Matrizen der Form
Ã
1
a
0
b
!
mit a, b ∈ R , b 6= 0 ,
denn an der ersten Spalte der Matrix kann abgelesen werden, dass e 1 = (1, 0) auf sich abgebildet wird. Für den
Nullvektor gilt G (0,0) = G.
Satz 7.7
Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert, und sei x ∈ X . Dann gibt es eine
Bijektion φx : G/G x → G(x) mit φx (gG x ) = g · x für alle g ∈ G. Ist insbesondere X endlich, dann ist
auch der Index (G : G x ) endlich, und es gilt (G : G x ) = |G(x)|.
Beweis:
Sei R ⊆ G ein Repräsentantensystem von G/G x . Ist g¯ ∈ G/G x und g 0 ∈ R das eindeutig bestimmte Element
mit g¯ = g 0G x , dann definieren wir φx (g¯ ) = g 0 · x. Wir zeigen nun, dass φx (gG x ) = g · x für alle g ∈ G erfüllt ist. Sei dazu
g ∈ G beliebig vorgegeben und g 0 ∈ R das Element mit gG x = g 0G x . Dann gibt es ein h ∈ G x mit g 0 = g h, und wir
erhalten
φx (gG x )
=
φx (g 0G x )
=
g0 · x
(g h) · x
=
=
g · (h · x)
=
g ·x
Die Abbildung φx ist surjektiv: Ist nämlich y ∈ G(x) vorgegeben, dann existiert nach Definition der Bahn ein Element
g ∈ G mit g · x = y, und wir erhalten φ¯ x (gG x ) = y. Nun beweisen wir noch die Injektivität. Seien g¯ , h¯ ∈ G/G x mit
¯ vorgegeben. Außerdem seien g , h ∈ G so gewählt, dass g¯ = gG x und h¯ = hG x gilt. Nach Definition der
φx (g¯ ) = φx (h)
Abbildung φx gilt g · x = φx (gG x ) = φx (hG x ) = h · x, also
(g −1 h) · x
=
g −1 · (h · x)
g −1 · (g · x)
=
=
x.
¯
Es folgt g −1 h ∈ G x , also g¯ = gG x = g (g −1 h)G x = hG x = h.
Definition 7.8
ä
Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert, B die Menge der Bahnen
dieser Operation und S ⊆ B eine Teilmenge. Eine Teilmenge R ⊆ X wird Repräsentantensystem
von S genannt, wenn G(x) ∈ S für alle x ∈ R gilt und die Abbildung R → S , x 7→ G(x) bijektiv ist.
Satz 7.9
(Bahngleichung)
Sei G eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert. Sei F ⊆ X die Fixmpunktmenge der
Operation und R ⊆ X ein Repräsentantensystem der Menge aller Bahnen G(x) mit mindestens
zwei Elementen. Dann gilt
|X |
=
|F | +
X
(G : G x )
x∈R
und (G : G x ) > 1 für alle x ∈ R.
—– 51 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
Beweis:
Sei B die Menge aller Bahnen, S ⊆ B die Teilmenge aller Bahnen der Länge > 1 und R ⊆ X ein Repräsen-
tantensystem von S . Weil die einelementigen Bahnen genau die Mengen {x} mit x ∈ F sind, ist F ∪ R ein Repräsentantensystem von B, und die Mengen R und F sind disjunkt. Weil X die disjunkte Vereinigung der Mengen aus B ist
und nach Definition des Repräsentantensystems für jedes B ∈ B genau ein x ∈ F ∪ R mit B = G(x) existiert, gilt
X
X
X
X
|B | =
|G(x)| =
|G(x)| +
|G(x)|
|X | =
x∈F ∪R
B ∈B
X
=
|{x}| +
x∈F
X
x∈F
|G(x)|
=
|F | +
x∈R
x∈R
X
|G(x)|.
x∈R
Durch Anwendung von Satz Satz 7.7 erhalten wir |X | = |F | +
P
x∈R (G
: G x ). Aus |G(x)| > 1 folgt außerdem (G : G x ) > 1
für alle x ∈ R.
ä
Wir werden nun mit Hilfe der Gruppenoperationen und der Bahngleichung eine Reihe von wichtigen Ergebnissen
der Gruppentheorie herleiten: den Satz von Cayley, die Einfachheit der alternierenden Gruppe A 5 und die NichtEinfachheit von p-Gruppen der Ordnung > p.
1. Anwendung:
Der Satz von Cayley
Der Satz von Cayley besagt, dass jede endliche Gruppe isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe
S n ist, unter der Voraussetzung, dass n groß genug gewählt wird. Dieses Ergebnis beruht auf dem folgenden allgemeinen Zusammenhang zwischen Gruppenoperationen und Homomorphismen.
Satz 7.10
Sei G eine Gruppe und X eine Menge.
(i) Ist α : G × X → X eine Gruppenoperation, dann kann jedem g ∈ G durch τg (x) = α(g , x)
ein Element aus Per(X ) zugeordnet werden. Die Abbildung G → Per(X ), g 7→ τg ist ein
Gruppenhomomorphismus.
(ii) Sei umgekehrt φ : G → Per(X ) ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist durch α : G × X →
X mit α(g , x) = φ(g )(x) eine Gruppenoperation gegeben.
Beweis:
zu (i) Zunächst überprüfen wir, dass τg für jedes g ∈ G eine bijektive Abbildung ist. Seien x, y ∈ X . Aus
τg (x) = τg (y) folgt α(g , x) = α(g , y), und es gilt
x
=
α(eG , x)
α(g −1 g , x)
=
=
=
α(g −1 g , y)
α(g −1 , α(g , x))
α(eG , y)
=
=
=
α(g −1 , α(g , y))
y.
Also ist die Abbildung τg injektiv. Ist y ∈ X vorgegeben, dann setzen wir x = α(g −1 , x). Es gilt
τg (x)
=
α(g , x)
α(g , α(g −1 , y))
=
α(g g −1 , y)
=
=
α(eG , y)
=
y.
Die beweist die Surjektivität von τg . Nun zeigen wir, dass g 7→ τg ein Gruppenhomomorphismus ist. Seien dazu g , h ∈
G vorgegeben. Für jedes x ∈ X gilt
(τg ◦ τh )(x)
=
τg (τh (x))
=
τg (α(h, x))
=
α(g , α(h, x))
=
α(g h, x)
Also ist die Abbildung g 7→ τg verträglich mit den Verknüpfungen auf G und Per(X ).
—– 52 —–
=
τg h (x).
§ 7.
Gruppenoperationen
zu (ii) Seien g , h ∈ G und x ∈ X gegeben. Wir müssen die definierenden Gleichungen einer Gruppenoperation nachrechnen. Weil φ ein Gruppenhomomorphismus ist, wird eG auf das Neutralelement id X von Per(X ) abgebildet. Es folgt
α(eG , x) = φ(eG )(x) = id X (x) = x. Die Homomorphismus-Eigenschaft liefert außerdem φ(g h) = φ(g ) ◦ φ(h). Also gilt
α(g h, x)
=
φ(g h)(x)
=
α(g , φ(h)(x))
(φ(g ) ◦ φ(h))(x)
=
=
α(g , α(h, x)).
φ(g )(φ(h)(x))
=
ä
Die Gruppenoperation im Beispiel (i) von oben kommt durch den identischen Homomorphismus auf G = S n , die
Operation im Beispiel (ii) durch die Inklusionsabbildung GL(V ) → Per(V ) zu Stande. Jedes Element aus GL(V ) ist
inbesondere eine bijektive Abbildung auf V .
Proposition 7.11 Sei G eine Gruppe. Dann ist durch G×G → G, g ·h = g h eine Gruppenoperation
von G auf sich definiert. Man bezeichnet diese als Operation durch Linkstranslation.
Beweis:
Wir überprüfen, dass die definierenden Gleichungen einer Gruppenoperation erfüllt sind: Für alle h ∈ G gilt
eG · h = eG = h. Sind g 1 , g 2 ∈ G vorgegeben, dann ist g 1 · (g 2 · h) = g 1 · (g 2 h) = g 1 (g 2 h) = (g 1 g 2 )h = (g 1 g 2 ) · h.
Satz 7.12
ä
(Satz von Cayley)
Sei G eine Gruppe der Ordnung n. Dann gibt es einen Monomorphismus G → S n . Mit anderen
Worten, G ist isomorph zu einer Untergruppe von S n .
Beweis:
Nach Proposition 7.11 operiert G durch Linkstranslation auf sich selbst, und nach Satz 7.10 ist durch g 7→ τg ,
τg (h) = g · h ein Homomorphismus Ψ : G → Per(G) definiert. Dieser Homomorphismus ist injektiv. Sei nämlich g ∈ G
mit Ψ(g ) = τg = idG vorgegeben. Dann gilt insbesondere g = g e G = τg (eG ) = idG (eG ) = eG . Damit ist die Injektivität
von Ψ bewiesen.
Darüber hinaus gibt es wegen |G| = n eine Bijektion zwischen M n = {1, ..., n} und G, und diese liefert nach Satz 1.21
einen Isomorphismus Φ : S n → Per(G). Ingesamt ist Φ−1 ◦ Ψ : G → S n also ein Monomorphismus, der einen Isomorphismus zwischen G und der Untergruppe (Φ−1 ◦ Ψ)(G) von S n definiert.
2. Anwendung:
ä
Klassengleichung und Einfachheit der Gruppe A 5
In diesem Abschnitt betrachten wir ein weiteres Beispiel für die Operation einer Gruppe auf sich selbst.
Proposition 7.13
Sei G eine Gruppe. Dann ist durch G × G → G, (g , h) 7→ g hg −1 eine Operation
von G auf sich selbst definiert. Man bezeichnet diese als Operation durch Konjugation.
Beweis:
Seien g 1 , g 2 , h ∈ G vorgegeben. Dann gilt eG · h = eG heG−1 = h und
g 1 · (g 2 · h)
=
g 1 · (g 2 hg 2−1 )
=
g 1 g 2 hg 2−1 g 1−1
=
—– 53 —–
(g 1 g 2 )h(g 1 g 2 )−1
=
(g 1 g 2 ) · h.
ä
§ 7.
Gruppenoperationen
Die Bahnen der soeben definierten Operation bezeichnet man als Konjugationsklassen, und zwei Elemente, die in
derselben Bahn liegen, nennt man zueinander konjugiert.
Proposition 7.14
Der Stabilisator eines Elements h ∈ G unter der Operation durch Konjuga-
tion ist gegeben durch CG (h) = {g ∈ G | g h = hg }. Man bezeichnet diese Untergruppe von G als
Zentralisator von h. Die Fixpunkte der Operation sind die Elemente der Menge
Z (G)
{g ∈ G | g h = hg ∀ h ∈ G} ,
=
dem sogenannten Zentrum. Auch Z (G) ist eine Untergruppe, sogar ein Normalteiler von G.
Beweis:
Sei G h der Stabilisator von h. Für alle g ∈ G gilt dann
g ∈ Gh
⇔
g ·h = h
⇔
g hg −1 = h
⇔
g h = hg
⇔
g ∈ CG (h) ,
somit haben wir G h = CG (h) gezeigt. Aus der Gleichung folgt auch, dass CG (h) eine Untergruppe von G ist. Ein Element h ∈ G ist genau dann ein Fixpunkt der Operation,wenn g · h = h ⇔ g h = hg für alle g ∈ G erfüllt ist. Dies ist
gleichbedeutend damit, dass h in Z (G) liegt.
Wir überprüfen nun die Untergruppen-Eigenschaft von Z (G). Wegen eG g = g e G für alle g ∈ G ist eG im Zentrum
enthalten. Sind g , h ∈ Z (G), dann gilt für jedes g 0 ∈ G die Gleichung g 0 (g h) = g g 0 h = (g h)g 0 . Also ist auch das Produkt
g h in Z (G) enthalten. Außerdem ist g 0 g −1 = (g g 0−1 )−1 = (g 0−1 g )−1 = g −1 g 0 , also g −1 ∈ Z (G). Ist g ∈ Z (G) und h ∈ G
beliebig, dann gilt hg h −1 = g hh −1 = g ∈ Z (G). Damit ist auch die Normalteiler-Eigenschaft von Z (G) nachgewiesen.
ä
Ist G eine Gruppe und N ein Normalteiler, dann gilt g ng −1 ∈ N für alle g ∈ G und n ∈ N . Durch G×N → N , g ·n = g ng −1
ist also auch eine Operation von G auf N definiert.
Satz 7.15
(Klassengleichung)
Sei G eine endliche Gruppe, die durch Konjugation auf sich selbst operiert. Sei R ein Repräsentantensystem der Bahnen mit Länge > 1. Dann gilt
|G|
=
|Z (G)| +
X
(G : CG (g )).
g ∈R
Beweis:
Dies ist ein Spezialfall der Bahngleichung, wenn man die Beschreibung der Fixmpunktmenge und der Sta-
bilisatoren aus Proposition 7.14 berücksichtigt.
ä
Wir werden nun die Klassengleichung verwenden, um die Struktur der symmetrischen Gruppen S n genauer zu untersuchen. Dazu benötigen wir eine einfache Beschreibung der Konjugationsklassen von S n .
Definition 7.16
Sei n ∈ N und σ ∈ S n , σ 6= id. Besitzt σ eine Zerlegung in disjunkte Zykel der
Form σ = τ1 ◦...◦τr , wobei τi jeweils einen k i -Zykel bezeichnet, so dass k 1 ≥ ... ≥ k r ≥ 2 erfüllt ist,
dann nennen wir (k 1 , ..., k r ) den Zerlegungstyp von σ. Dabei gilt offenbar 2 ≤ k 1 + ... + k r ≤ n.
—– 54 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
Beispielsweise hat das Element (1 2 3)(4 5) ∈ S 5 den Zerlegungstyp (3, 2), das Element (2 3 4)(5 6)(7 1) aus S 7 den
Zerlegungstyp (3, 2, 2). In der symmetrischen Gruppe S 4 sind folgende vier Zerlegungstypen möglich: (2), (3), (4) und
(2, 2). (Jedes Element Element 6= id ist ein 2-, ein 3-, ein 4-Zykel oder eine Doppeltransposition.)
Proposition 7.17
Sei n ∈ N, und seien σ, σ0 ∈ S n zwei nicht-triviale Elemente. Genau dann sind
σ, σ0 zueinander konjugiert, wenn sie denselben Zerlegungstyp besitzen.
Beweis:
„⇒“ Seien σ, σ0 zueinander konjugiert. Dann gilt es ein τ ∈ S n mit σ0 = τστ−1 . Sei σ = σ1 ◦ ... ◦ σr eine
disjunkte Zerlegung von σ, wobei die Zykellängen k i durch k 1 ≥ ... ≥ k r geordnet sind. Definieren wir σ0i = τσi τ−1 für
1 ≤ i ≤ r , dann gilt
σ0
=
σ01 ◦ ... ◦ σ0r .
Wir zeigen, dass σ0i ein k i -Zykel ist. Sei dazu tr(σi ) = {x 1 , ..., x ki }, wobei σi (x ` ) = x `+1 für 1 ≤ ` < k i und σi (x ki ) = x 1
0
gilt. Setzen wir x `0 = τ(x ` ), dann gilt σ0i (x `0 ) = τσi τ−1 (τ(x ` )) = τσ(x ` ) = τ(x `+1 ) = x `+1
für 1 ≤ i < k i und ebenso
σ0i (x k0 i )
=
τσi τ−1 (τ(x ki ))
=
τσi (x ki )
=
τ(x 1 )
=
x 10 .
Für y ∉ {x 10 , ..., x k0 } gilt τ−1 (y) ∉ {x 1 , ..., x ki } und somit σ0i (y) = τσi τ−1 (y) = τσi (τ−1 (y)) = ττ−1 (y) = y. Also ist σ0i tatsächi
lich ein k i -Zykel. Ebenso ist klar, dass die Träger der Zykel σ01 , ..., σ0r disjunkt sind.
„⇐“ Nach Voraussetzung existieren disjunkte Zykelzerlegungen σ = σ1 ◦ ... ◦ σr und σ0 = σ01 ◦ ... ◦ σ0r , wobei σi und σ0i
jeweils dieselbe Zykellänge k i haben, mit k 1 ≥ ... ≥ k r . Sei B i = tr(σi ) und B i0 = tr(σ0i ) für 1 ≤ i ≤ r , außerdem
B 0 = M n \ (B 1 ∪ ... ∪ B r )
und
B 00 = M n \ (B 10 ∪ ... ∪ B r0 ).
Wir ordnen die Elemente von B i jeweils so an, dass B i = {x 1 , ..., x ki } mit σi (x ` ) = x `+1 für 1 ≤ ` < k i und σ(x ki ) = x 1 gilt.
0
Ebenso seien die Elemente in B i0 = {x 10 , ..., x k0 } so angeordnet, dass σ0i (x `0 ) = x `+1
für 1 ≤ ` < k i und σi (x k0 ) = x 10 gilt.
i
i
Wir definieren nun τi : B i → B i0 durch τi (x ` ) = x `0 und wählen eine beliebige Bijektion τ0 : B 0 → B 00 . Definieren wir die
Abbildung τ : M n → M n durch
τ(x) = τi (x)
für x ∈ B i , i ∈ {0, ..., r } ,
dann ist τ bijektiv, weil die Einschränkungen τ|B i : B i → B i0 für 0 ≤ i ≤ r bijektiv sind. Außerdem gilt σ0 = τ ◦ σ ◦ τ−1 . Ist
nämlich x ∈ B i0 für ein i ∈ {1, ..., r }, x = x `0 in der Notation von oben mit 1 ≤ ` < k i , dann folgt τ−1 (x) ∈ B i und
τστ−1 (x `0 )
=
τσ(τ−1 (x `0 ))
=
0
x `+1
τσi (τ−1 (x `0 ))
=
=
σ0i (x `0 )
=
=
τσi (x ` )
=
τ(x `+1 )
σ0 (x `0 ).
Ebenso behandelt man den Fall, dass x = x k0 ist. Im Fall x ∈ B 00 gilt σ0 (x) = x, und wegen τ−1 (x) ∈ B 0 gilt auch
i
τστ−1 (x) = τσ(τ−1 (x)) = τ(τ−1 (x)) = x. Insgesamt gilt also τστ−1 = σ0 .
ä
Der Beweis der Proposition zeigt, wie sich die Konjugation mit einem Element τ ∈ S n konkret auf ein Element σ mit
gegebener Zykelzerlegung auswirkt. Ist beispielsweise σ = (1 2 3)(4 5) und τ ∈ S 5 beliebig vorgegeben, dann gilt
τστ−1
=
( τ(1) τ(2) τ(3) )( τ(4) τ(5) )
Die Gleichung lässt sich auch direkt nachrechnen, indem man sich ansieht, auf welche Elemnte τ(1), τ(2), ... durch
die Permutation τστ−1 abgebildet werden.
—– 55 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
Lemma 7.18
Sei n ∈ N und 2 ≤ k ≤ n. Ist A ⊆ M n eine k-elementige Teilmenge, so beträgt die
Anzahl der k-Zykel σ mit tr(σ) = A genau (k − 1)!.
Beweis:
Sei A = {x 1 , ..., x k }. Dann kann jeder k-Zykel σ mit Träger A in der Form (x 1 x τ(2) ...x τ(k) ) geschrieben werden,
wobei τ die Permutationen der Menge {2, ..., k} durchläuft. Umgekehrt lässt sich aus einem gegebenen k-Zykel σ die
Permutation τ zurückgewinnen: Für jedes i ∈ {2, ..., k} ist τ(i ) bestimmt durch die Gleichung σi −1 (x 1 ) = x τ(i ) . Da es
(k − 1)! Permutationen von {2, ..., k} gibt, folgt aus der bijektiven Korrespondenz zwischen k-Zykeln mit Träger A und
Permutationen von {2, ..., k} die Behauptung.
Folgerung 7.19
ä
Für n ∈ N und k ∈ {2, ..., n} gibt es jeweils genau (k − 1)!
Beweis: Für die Auswahl einer k-elementigen Teilmenge A ⊆ M n gibt es
¡n ¢
k
¡n ¢
k
k-Zykel.
Möglichkeiten, und für jede solche Menge
A gibt es auf Grund des Lemmas dann (k − 1)! k-Zykel mit Träger A.
ä
Wir haben bereits festgestellt, dass die Zerlegungstypen in G = S 4 neben der Identität durch Zykel der Länge 2, 3, 4
und Doppeltranspositionen der Form (a b)(c d ) gegeben sind. Für die 2-, 3- und 4-Zykel erhält man durch Einsetzen
in die Formel Folgerung 7.19 die Anzahlen 6, 8 und 6, und es ist leicht zu sehen, dass es genau drei Doppeltranspositionen gibt. Die Operation durch Konjugation liefert also eine Zerlegung der Gruppe in fünf Bahnen der Längen 1,
6, 8, 6, 3; insbesondere gibt es nur einen einzigen Fixpunkt. Das heißt also, dass S 4 ein triviales Zentrum besitzt. Ein
Repräsentantensystem der Bahnen der Länge > 1 ist zum Beispiel durch
R
{(1 2), (1 2 3), (1 2 3 4), (1 2)(3 4)}
=
gegeben. Nach Satz 7.7 ist (G : CG (g )) zugleich die Länge der Bahn G(g ). Beispielsweise ist (G : CG ((1 2))) = |G((1 2))| = 6
die Anzahl der 2-Zykel. Ingesamt hat die Klassengleichung für G = S 4 die Form
24
=
1 + 6 + 8 + 6 + 3.
Als nächstes sehen wir uns nun an, wie man die Konjugationsklassen der alternierenden Gruppen A n bestimmt.
Lemma 7.20
Sei G eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert. Sei N ein Nor-
malteiler von G vom Index 2, außerdem x ∈ X ein beliebiges Element und g ∈ G \ N . Dann gilt
G(x) = N (x) ∪ N (g · x) und |N (x)| = |N (g · x)|.
Beweis:
Sei y = g · x. Wir beweisen zunächst die Gleichung G(x) = N (x) ∪ N (y). „⊇“ Die Inklusion N (x) ⊆ G(x)
ist nach Definition von N (x) und G(x) offensichtlich. Ist z ∈ N (y), dann gibt es ein h ∈ N mit z = h · y = (hg ) · x, und
es folgt z ∈ G(x). „⊆“ Sei z ∈ G(x) vorgegeben. Dann existiert ein h ∈ G mit z = h · x. Wenn h in N liegt, dann gilt
z ∈ N (x). Setzen wir nun h ∉ N voraus. Wegen (G : N ) = 2 sind N und N g die einzigen Rechtsnebenklassen von N . Es
gilt also h ∈ N g , und folglich existiert ein n ∈ N mit h = ng . Wir erhalten z = h · x = (ng ) · x = n · (g · x) = n · y ∈ N (y).
Nun beweisen wir die Gleichung |N (x)| = |N (y)|. Es ist N y = g N x g −1 , denn für alle h ∈ N gilt die Äquivalenz
h ∈ Ny
g −1 · (h · (g · x)) = g −1 · (g · x)
h·y =y
⇔
⇔
⇔
h · (g · x) = g · x
(g −1 hg ) · x = x
—– 56 —–
⇔
⇔
g −1 hg ∈ N x
⇔
h ∈ g N x g −1 .
§ 7.
Gruppenoperationen
Die Zuordnung N x → N y , h 7→ g hg −1 ist offenbar eine Bijektion, denn durch N y → N x , h 7→ g −1 hg ist eine Umkehrabbildung gegeben. Mit Satz 7.7 folgt |N (x)| = (N : N x ) =
|N |
|N x |
=
|N |
|N y |
= (N : N y ) = |N (y)|.
ä
Man beachte, dass die beiden Bahnen N (x) und N (g · x) in Lemma 7.20 entweder übereinstimmen oder disjunkt sind
(Proposition 7.3). Das Lemma zeigt also, dass im Fall (G : N ) = 2 für jedes x ∈ X die Bahn G(x) entweder mit der Bahn
N (x) übereinstimmt oder in zwei N -Bahnen gleicher Länge zerfällt.
Wir bestimmen nun die Klassengleichung von A 4 . Wir haben bereits festgestellt, dass S 4 aus fünf Konjugationsklassen
besteht. Davon bestehen drei Konjugationsklassen aus Elementen mit positivem Signum: die einelementige Klasse
{id}, die 3-Zykel und die Doppeltranspositionen. Auf Grund des Lemmas, angewendet auf die Gruppe G und die Untergruppe N = A 4 , ist jede dieser S 4 -Bahnen entweder eine A 4 -Bahn, oder sie zerfällt in zwei A 4 -Bahnen gleicher
Länge. Weil die Bahn der Doppeltranspositionen aus einer ungeraden Anzahl von Elementen besteht (nämlich drei),
kann sie nicht in zwei Bahnen gleicher Länge zerfallen. Also bilden die Doppeltranspositionen auch in der Gruppe A 4
eine Konjugationsklasse.
Untersuchen wir nun die Menge S 4 ((1 2 3)) der 3-Zykel. Das Element τ = (1 2) liegt in S 4 \ A 4 , und auf Grund des
Lemmas zerfällt S 4 ((1 2 3)) genau dann in zwei A 4 -Bahnen, wenn A 4 ((1 2 3)) 6= A 4 (τ · (1 2 3)), also τ · (1 2 3) = (2 1 3) ∉
A 4 ((1 2 3)) gilt. Nehmen wir an, dass (2 1 3) in der Konjugationsklasse A 4 ((1 2 3)) liegt. Dann gibt es ein ρ ∈ A 4 mit
(2 1 3)
=
ρ · (1 2 3)
(ρ(1) ρ(2) ρ(3))
=
(1)
Im Allgemeinen stimmen zwei k-Zykel (a 1 · · · a k ) und (b 1 · · · b k ) als Elemente von S n genau dann überein, wenn
das Tupel (b 1 , ..., b n ) durch zyklische Vertauschung der Elemente in (a 1 , ..., a n ) entsteht, also genau dann, wenn ein
(b 1 , ..., b k ) mit einem der Tupel
(a 1 , ..., a k ) ,
(a 2 , ..., a k , a 1 ) ,
(a 3 , ..., a k , a 1 , a 2 )
oder
(a k , a 1 , ..., a k−1 )
übereinstimmt. Die Gleichung 1 ist also äquivalent dazu, dass das Tupel (ρ(1), ρ(2), ρ(3)) mit einem der Tupel (2, 1, 3),
(1, 3, 2), (3, 2, 1) übereinstimmt. Dann wäre ρ identisch mit einem der Elemente
(1 2) =
Ã
1
2
3
4
2
1
3
4
!
Ã
,
(2 3) =
1
2
3
4
1
3
2
4
!
Ã
,
(1 3) =
1
2
3
4
3
2
1
4
!
beschrieben. In sämtlichen Fällen wäre ρ eine Transposition, und dies würde sgn(ρ) = −1 bedeuten, im Widerspruch
zu ρ ∈ A 4 . Es gilt also τ · (1 2 3) = (2 1 3) ∉ A 4 ((1 2 3)), und die achtelementige Menge der 3-Zykel zerfällt in zwei
vierelementige A 4 -Konjugationsklassen. Die Klassengleichung von A 4 lautet somit 12 = 1 + 4 + 4 + 3.
Proposition 7.21
Die Klassengleichung der Gruppe A 5 lautet
60
Beweis:
=
1 + 20 + 15 + 12 + 12.
Die in A 5 liegenden Konjugationsklassen von S 5 sind neben der Identität die 3-Zykel, die 5-Zykel und die
Doppeltranspositionen. Wie bei der Gruppe A 4 müssen wir nachsehen, welche dieser S 5 -Konjugationsklassen auch
A 5 -Konjugationsklassen sind, und welche in kleinere A 5 -Konjugationsklassen zerfallen. Um dies in den einzelnen
Fällen zu testen, verwenden wir jeweils das Element τ = (1 2) aus S 5 \ A 5 .
—– 57 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
(i) Die Anzahl der 3-Zykel in A 5 beträgt 2!
¡5 ¢
3
= 2 · 10 = 20, und die S 5 -Konjugationsklasse der 3-Zykel wird unter
anderem repräsentiert durch das Element (3 4 5). Wegen τ · (3 4 5) = (1 2)(3 4 5)(1 2) = (3 4 5) gilt τ · (3 4 5) ∈
A 5 ((3 4 5)). Somit gilt A 5 (τ · (3 4 5)) = A 5 ((3 4 5)), und nach Lemma 7.20 folgt S 5 ((3 4 5)) = A 5 ((3 4 5)) ∪ A 5 (τ ·
(3 4 5)) = A 5 ((3 4 5)).
(ii) Als nächstes bestimmen wir die Anzahl der Doppeltranspositionen. Für die Wahl des Trägers der ersten Trans¡ ¢
¡ ¢
position gibt es 52 = 10 Möglichkeiten, für den Träger der zweiten Transposition noch 32 = 3. Weil sich die
Doppeltransposition bei Vertauschung der Reihenfolge der beiden disjunkten Transpositionen nicht ändert,
müssen wir die erhaltene Anzahl 10 · 3 = 30 noch halbieren und kommen so auf 15 Doppeltranspositionen.
Diese Anzahl ist ungerade, also kann die S 5 -Konjugationsklasse der Doppeltranspositionen nicht in zwei verschiedene, gleich große A 5 -Konjugationsklassen zerfallen. Die Menge der Doppeltranspositionen ist also nicht
nur eine S 5 -, sondern auch eine A 5 -Konjugationsklasse.
¡ ¢
(iii) Die Anzahl der 5-Zykel beträgt 4! 55 = 24 und wird repräsentiert vom Element (1 2 3 4 5). Angenommen, es
gilt τ · (1 2 3 4 5) = (2 1 3 4 5) ∈ A 5 ((1 2 3 4 5)). Dann gibt es ein ρ ∈ A 5 mit (2 1 3 4 5) = ρ · (1 2 3 4 5) =
(ρ(1) ρ(2) ρ(3) ρ(4) ρ(5)). Die Gleichheit der Zykel bedeutet, dass das Tupel (ρ(1), ..., ρ(5)) mit einem der Tupel (2, 1, 3, 4, 5), (1, 3, 4, 5, 2), (3, 4, 5, 2, 1), (4, 5, 2, 1, 3) oder (5, 2, 1, 3, 4) übereinstimmt. Damit wäre ρ durch eine
der fünf Wertetabellen
Ã
1
2
3
4
5
2
1
3
4
5
!
,
Ã
1
2
3
4
5
1
3
4
5
2
Ã
1
2
3
4
5
4
5
2
1
3
!
!
Ã
oder
,
Ã
1
2
3
4
5
3
4
5
2
1
1
2
3
4
!
5
5
2
1
3
4
!
,
gegeben, würde also mit einem der Elemente (1 2), (2 3 4 5), (1 3 5)(2 4), (1 4)(2 5 3) oder (1 5 4 3) übereinstimmen. Aber dies ist unmöglich, weil jedes dieser Elemente Signum −1 besitzt, wärend ρ in A 5 liegt. Es folgt
τ · (1 2 3 4 5) ∉ A 5 ((1 2 3 4 5)). Also zerfällt die 24-elementige Konjugationsklasse S 5 ((1 2 3 4 5)) in die beiden
12-elementigen A 5 -Konjugationsklassen A 5 ((1 2 3 4 5)) und A 5 (τ · (1 2 3 4 5)).
Insgesamt gibt es also fünf A 5 -Konjuationsklassen, mit Elementezahlen 1, 20, 15, 12 und 12.
ä
Sei G eine endliche Gruppe und N ein Normalteiler von G. Dann gibt es ein
S
r ∈ N und Konjugationsklassen C 1 , ...,C r von G, so dass N = ri=1 C i erfüllt ist.
Proposition 7.22
Beweis:
Sei C ⊆ G eine Konjugationsklasse von G. Wir zeigen, dass entweder C ⊆ N oder C ∩ N = ∅ gilt. Weil jedes
n ∈ N in einer Konjugationsklasse liegt, folgt daraus dann, dass N genau die Vereinigung der (endlich vielen) Konjugationsklassen von G ist, die mit N einen nichtleeren Durchschnitt haben. Nehmen wir an, C ∩ N ist nichtleer, und h
ist ein Element im Durchschnitt. Dann gilt also C = G(h) = {g hg −1 | g ∈ G}. Wegen h ∈ N ist auch g hg −1 ∈ N für alle
g ∈ G, es gilt also G(h) ⊆ N .
ä
—– 58 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
Folgerung 7.23
Die 12-elementige Gruppe A 4 hat keine Untergruppe der Ordnung 6 (obwohl 6
ein Teiler von 12 ist).
Beweis:
Ist U eine Untergruppe der Ordnung 6 von A 4 , dann gilt (A 4 : U ) = 2, dann ist U auch Normalteiler. Also
ist U nach Proposition 7.22 als Vereinigung von A 4 -Konjugationsklassen darstellbar. Laut Klassengleichung bestehen
die Konjugationsklassen aus 1, 4, 4 bzw. 3 Elementen. Aber offenbar ist es unmöglich, U als 6-elementige Menge aus
diesen Klassen mit diesen Elementezahlen zusammenzusetzen; die Summe ergibt in keinem Fall genau 6.
Satz 7.24
Beweis:
ä
Die Gruppe A 5 ist einfach.
Sei N ein Normalteiler von A 5 mit {id} ( N ( A 5 . Dann kann N nach Proposition 7.22 als disjunkte Vereini-
gung C 1 ∪ ... ∪ C r von Konjugationsklassen dargestellt werden, wobei wir C 1 = {id} und 1 ≤ r ≤ 5 voraussetzen können
(denn das Neutralelement ist auf jeden Fall in N enthalten, und es gibt insgesamt nur fünf Konjuationsklassen in A 5 ).
Im Fall r = 1 wäre N = {id}, im Fall r = 5 würden wir N = A 5 erhalten, im Widerspruch zur Annahme.
Also bleiben für r nur die Wert 2, 3 oder 4. Im Fall r = 2 wäre |N | die Summe aus 1 und einer der drei anderen Zahlen
12, 15 oder 20 aus der Klassengleichung von A 5 . Da N eine Untergruppe von A 5 ist, muss N ein Teiler von 60 sein.
Aber 60 wird von keiner der Zahlen 1 + 12, 1 + 15 oder 1 + 20 geteilt, weshalb r = 2 ausscheidet.
Im Fall r = 3 ergeben sich für N die Möglichkeiten 1+12+12 = 25, 1+12+15 = 28, 1+12+20 = 33 oder 1+15+20 = 36,
aber auch hier ist kein Teiler von 60 darunter. Im Fall r = 4 ist bereits die kleinstmögliche Summe 1 + 12 + 12 + 15 = 40
größer als 30, weshalb auch keine dieser Summen ein Teiler von 60 sein kann. Somit haben wir gezeigt, dass in N kein
nichttrivialer Normalteiler existiert.
3. Anwendung:
ä
Das Zentrum der p-Gruppen
Sei p eine Primzahl. Bereits im Abschnitt §6 haben wir den Begriff der p-Gruppe eingeführt; dabei handelte es sich
um Gruppen von p-Potenzordnung. Während wir dort in erster Linie an kommutativen Gruppen interessiert waren,
werden wir hier beliebige p-Gruppen betrachten.
Satz 7.25
Sei G eine nichttriviale p-Gruppe. Dann ist das Zentrum Z (G) von G ebenfalls nicht-
trivial, besteht also aus mindestens p Elementen.
Beweis: Sei r ∈ N mit |G| = p r . Wir stellen für die Gruppe G die Klassengleichung auf. Sei R ein Repräsentantensystem
der Konjugationsklassen von G, die aus mehr als einem Element bestehen. Nach Satz 7.15 gilt dann
|G|
=
|Z (G)| +
X
(G : CG (g )).
g ∈R
Die Zahl |G| ist nach Voraussetzung durch p teilbar. Die Indizes (G : CG (g )) sind Teiler > 1 von p r und wegen (G :
CG (g )) > 1 somit ebenfalls Vielfache von p. Damit muss auch |Z (G)| durch p teilbar sein. Wegen eG ∈ Z (G) ist |Z (G)| >
0, und das kleinste positive Vielfache von p ist die Zahl p selbst.
—– 59 —–
ä
§ 7.
Gruppenoperationen
Proposition 7.26 Ist G eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass die Faktorgruppe G/Z (G) zyklisch
ist, dann ist G selbst abelsch.
Beweis:
Sei N = Z (G) und g ∈ G so gewählt, dass g¯ = g N die Faktorgruppe G/N erzeugt. Seien außerdem g 1 , g 2 ∈ G
beliebig vorgegeben. Zu zeigen ist die Gleichung g 1 g 2 = g 2 g 1 . Wegen G/N = 〈g¯ 〉 gibt es m, n ∈ Z mit g 1 N = g¯ m , g 2 N =
g¯ n . Insbesondere gilt g 1 ∈ g m N , g 2 ∈ g n N , also gibt es Elemente a, b ∈ N mit g 1 = g m a und g 2 = g n b. Weil a und b als
Elemente des Zentrums mit jedem Gruppenelement vertauschbar sind, erhalten wir
g1g2
=
g m ag n b
Folgerung 7.27
=
g m g n ab
=
g m+n ab
=
g n g m ab
=
g n bg m a
=
g2g1
ä
Sei p eine Primzahl. Dann ist jede Gruppe der Ordnung p 2 abelsch. Bis auf
Isomorphie sind also Z/p 2 Z und Z/p Z × Z/p Z die einzigen Gruppen der Ordnung p 2 .
Beweis:
Sei G eine Gruppe mit |G| = p 2 . Als p-Gruppe besitzt G nach Satz 7.25 ein nichttriviales Zentrum Z (G). Da
|Z (G)| ein Teiler von p 2 ist, kann somit nur |Z (G)| = p oder |Z (G)| = p 2 gelten. Im Fall |Z (G)| = p 2 gilt Z (G) = G. Jedes
Element aus G ist dann mit jedem anderen vertauschbar, also ist G abelsch. Im Fall |Z (G)| = p ist |G/Z (G)| =
p2
p
=p
von Primzahlordnung, die Faktorgruppe G/Z (G) also zyklisch. Nach Proposition 7.26 ist G auch in diesem Fall abelsch.
ä
—– 60 —–
§ 8. Die Sylowsätze
Satz 8.1
Sei G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl und k ∈ N0 derart, dass p k ein Teiler der
Gruppenordnung |G| ist. Dann gibt es in G eine Untergruppe der Ordnung p k .
Beweis:
Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion über n = |G|. Für n = 1 ist 1 die einzige Primzahlpo-
tenz, die n teilt, und daher braucht nichts gezeigt werden. Sei nun n > 1, und setzen wir die Aussage für alle kleineren
Gruppenordnungen als gültig voraus. Sei G eine Gruppe der Ordnung n und p k eine Primzahlpotenz, die n teilt, wobei
wir k > 0 annehmen können. Wir unterscheiden nun zwei Fälle.
1. Fall: Es gibt eine Untergruppe H ( G mit p - (G : H ).
Dann ist p k wegen |G| = (G : H )|H | auch ein Teiler von |H |. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es in H eine Untergruppe U der Ordnung p k , und natürlich ist U auch eine Untergruppe von G.
2. Fall: Für jede Untergruppe H ( G ist p ein Teiler von (G : H ).
In diesem Fall stellen wir die Klassengleichung für G auf. Bezeichnet R ein Repräsentantensystem der Konjugationsklassen mit mehr als einem Element, dann gilt
|G|
=
|Z (G)| +
X
(G : CG (g )) ,
g ∈R
Auf Grund unserer Voraussetzung sind die Zahlen (G : CG (g )) ebenso wie |G| alle durch p teilbar, somit ist auch |Z (G)|
ein Vielfaches von p. Weil die Gruppe Z (G) abelsch ist, muss sie nach Lemma 6.21 ein Element g der Ordnung p
enthalten. Damit ist N = 〈g 〉 eine Untergruppe der Ordnung p.
Wegen N ⊆ Z (G) ist N ein Normalteiler von G. Sind nämlich n ∈ N und g ∈ G beliebig vorgegeben, dann gilt g ng −1 =
¯ < |G| können wir die Induktionsvoraussetzung
g g −1 n = n ∈ N . Wir bilden nun die Faktorgruppe G¯ = G/N . Wegen |G|
anwenden und erhalten eine Untergruppe U¯ von G¯ der Ordnung p k−1 . Sei U = π−1 (U¯ ) das Urbild von U¯ unter dem
kanonischen Epimorphismus π : G → G/N . Wegen U¯ = U /N und nach dem Satz von Lagrange gilt |U | = |U¯ | · |N | =
p k−1 p = p k .
ä
In endlichen abelschen Gruppen kann man sogar für jeden Teiler d der Gruppenordnung eine Untergruppe der Ordnung d finden. Dies kann aus Satz 6.24 abgeleitet werden, wenn man noch berücksichtigt, dass eine endliche zyklische
Gruppe zu jedem Teiler ihrer Gruppenordnung ein eine (eindeutig bestimmte) Untergruppe dieser Ordnung besitzt
(vgl. Folgerung 3.13). Für nicht-abelsche Gruppen ist die Aussage zu den Teilern der Gruppenordnung aber falsch, wie
Folgerung 7.23 zur alternierenden Gruppe A 4 zeigt.
Definition 8.2
Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe der Ordnung n = p r m, wobei
m und p teilerfremd sind. Eine p-Untergruppe von G ist eine Untergruppe der Ordnung p s mit
0 ≤ s ≤ r . Ist r = s, dann sprechen wir von einer p-Sylowgruppe.
—– 61 —–
§ 8.
Die Sylowsätze
Sei G eine Gruppe und U ⊆ G eine Untergruppe. Dann nennt man
Definition 8.3
NG (U ) = {g ∈ G | gU g −1 = U } den Normalisator von U in G.
Lemma 8.4
Sei G eine Gruppe. Für jedes g ∈ G ist durch τg : G → G, h 7→ g hg −1 ein Automor-
phismus von G definiert.
Beweis:
Zunächt überprüfen wir, dass τg ein Endomorphismus ist. Für h 1 , h 2 ∈ G gilt
τg (h 1 h 2 )
=
g h 1 h 2 g −1
(g h 1 g −1 )(g h 2 g −1 )
=
=
τg (h 1 )τg (h 2 ).
Damit ist die Endomorphismus-Eigenschaft nachgewiesen. Außerdem ist τg −1 offenbar die Umkehrabbildung von τg .
Also τg bijektiv und somit ein Automorphismus von G.
Proposition 8.5
ä
Sei G eine Gruppe und U die Menge der Untergruppen von G.
(i) Durch G × U → U , (g ,U ) 7→ g ·U mit g ·U = gU g −1 ist eine Gruppenoperation von G auf
U definiert.
(ii) Liegen zwei Untergruppen U ,V ∈ U in derselben Bahn, dann sind sie isomorph.
(iii) Für jedes U ∈ U ist NG (U ) genau der Stabilisator von U bezüglich der Gruppenoperation.
Beweis:
zu (i) Nach Definition gilt g · U = τg (U ) für alle g ∈ G und U ∈ U , mit dem τg aus Lemma 8.4. Wegen
der Automorphismus-Eigenschaft von τg ist τg (U ) auch wieder eine Untergruppe von G, es gilt also g · U ∈ U . Die
beiden Bedingungen für eine Gruppenoperation rechnet man unmittelbar nach: Sind g , h ∈ G und U ∈ U , dann gilt
eG ·U = eG U eG−1 = U und
g · (h ·U )
=
g · (hU h −1 )
=
g hU hg −1
=
(g h)U (g h)−1
=
(g h) ·U .
zu (ii) Liegen U ,V ∈ U in derselben Bahn, dann gibt es ein g ∈ G mit V = g ·U = τg (U ). Weil τg ein Automorphismus
von G ist, sind U und τg (U ) isomorph.
zu (iii) Für jedes U ∈ U und jedes g ∈ G ist g ∈ GU nach Definition äquivalent zu g ·U = U und zu g ∈ NG (U ), also ist
NG (U ) der Stabilisator von U .
ä
Aus (iii) folgt insbesondere, dass NG (U ) für jedes U ∈ U eine Untergruppe von G ist.
Proposition 8.6
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann ist NG (U ) die größte Unter-
gruppe H von G mit der Eigenschaft, dass U Normalteiler von H ist.
Beweis:
Für jedes g ∈ NG (U ) gilt gU g −1 = U nach Definition von NG (U ). Dies zeigt, dass U E NG (U ) ist. Sei nun
H eine beliebige Untergruppe von G mit der Eigenschaft U E H . Für jedes h ∈ H gilt dann hU h −1 = U und somit
h ∈ NG (U ). Also ist H tatsächlich in NG (U ) enthalten.
Lemma 8.7
Sei G eine Gruppe mit Untergruppen S, H , und es gelte hSh −1 = S für alle h ∈ H .
Dann ist das Komplexprodukt H S eine Untergruppe von G, und es gilt S E H S.
—– 62 —–
ä
§ 8.
Die Sylowsätze
Beweis:
Wir zeigen zunächst, dass aus der Voraussetzung hSh −1 = S für alle h ∈ H die Gleichung H S = SH folgt. Sei
a ∈ H S vorgegeben. Dann gibt es Elemente h ∈ H und s ∈ S mit hs = a. Auf Grund der Voraussetzung liegt hsh −1 in S
und somit hs = (hsh −1 )h in SH . Dies beweist die Inklusion H S ⊆ SH . Sei nun umgekehrt b ∈ SH vorgegeben, b = sh
mit s ∈ S und h ∈ H . Dann liegt h −1 sh in h −1 Sh = S, und es folgt sh = h(h −1 sh) ∈ H S.
Wir können nun die Proposition 5.23 über Komplexprodukte anwenden. Folglich ist H S eine Untergruppe von G. Zum
Beweis von S E H S bestimmen wir den Normalisator von S in H S. Wegen hSh −1 = S für alle h ∈ H gilt H ⊆ N H S (S),
und wegen sSs −1 ⊆ S für alle s ∈ S ist auch S in N H S (S) enthalten. Jede Untergruppe von H S, die S und H enthält,
stimmt offenbar mit H S überein. Es gilt also N H S (S) = H S, und aus der Eigenschaft S E N H S (S) des Normalisators
(Proposition 8.6) folgt S E H S.
Satz 8.8
ä
(Sylowsätze)
Sei G eine Gruppe der Ordnung n, p eine Primzahl und n = mp r mit p - m.
(i) Jede p-Untergruppe von G ist in einer p-Sylowgruppe enthalten.
(ii) Je zwei p-Sylowgruppen sind zueinander konjugiert.
(iii) Für die Anzahl νp der p-Sylowgruppen gilt νp ≡ 1 mod p und νp | m.
Beweis:
Wir betrachten die Operation von G auf der Menge V der Untergruppen; sei α : G × V → V die zugehörige
Abbildung. Sei Vp ⊆ V die Teilmenge der p-Sylowgruppen. Nach Proposition 8.5 (iii) sind zwei Untergruppen in derselben Bahn von α isomorph, insbesondere haben sie dieselbe Anzahl von Elementen. Durch Einschränkung von α
auf G ×Vp erhalten wir also eine Operation von G auf Vp . Nach Satz 8.1 gibt es in Vp mindestens ein Element, und nach
Proposition 8.5 (iii) ist NG (P ) der Stabilisator von P bezüglich der Operation.
Sei U = G(P ) die Bahn von P . Wir zeigen, dass p - |U | gilt. Auf Grund des allgemeinen Zusammenhangs zwischen
Bahnlänge und Index des Stabilisators (siehe Satz 7.7) gilt zunächst
|U |
=
|G(P )|
=
(G : NG (P )).
Wegen P ⊆ NG (P ) und |NG (P )| = |P | · (NG (P ) : P ) erhalten wir
(G : P )
=
|G|
|P |
=
|G|
|NG (P )|
·
|NG (P )|
|P |
=
(G : NG (P ))(NG (P ) : P ) ,
und somit ist |U | = (G : NG (P )) ein Teiler von m = (G : P ). Da m teilerfremd zu p ist, gilt dies auch für |U |.
zu (i) Sei H eine beliebige p-Untergruppe. Wir betrachten die Operation von H auf U durch Konjugation und zeigen,
dass mindestens ein Fixpunkt existiert. Darüber hinaus zeigen wir, dass jede Untergruppe S, die als Fixpunkt der
Operation auftritt, die Untergruppe H enthält.
Die Menge U zerfällt unter der gegebenen Operation disjunkt in eine gewisse Anzahl von Bahnen. Ist B eine solche
Bahn, dann ist |B| ein Teiler von |H | und hat somit p-Potenzlänge. Sei F die Menge der Fixpunkte und R ein Repräsentantensystem der Bahnen mit Länge > 1. Weil |U | aber teilerfremd zu p ist, muss es auf Grund der Bahngleichung
|U |
=
|F | +
X
(H : HU )
U ∈R
—– 63 —–
§ 8.
Die Sylowsätze
mindestens einen Fixpunkt S ∈ B unter dieser der Operation geben. Wir beweisen nun die Inklusion H ⊆ S. Die
Fixpunkt-Eigenschaft bedeutet gerade hSh −1 = S für alle h ∈ H . Nach Lemma 8.7 ist das Komplexprodukt H S jedenfalls eine Untergruppe von G und S ein Normalteiler von H S. Der Homomorphismus
φ : H −→ H S/S
,
h 7→ hS
ist surjektiv, denn jedes g¯ ∈ H S/S kann in der Form g¯ = (hs)S mit h ∈ H und s ∈ S dargestellt werden. Es gilt dann
φ(h) = hS = (hs)S. Außerdem gilt ker(φ) = H ∩ S. Der Homomorphiesatz liefert einen Isomorphismus
H /(H ∩ S)
∼
=
H S/S
,
insbesondere gilt (H S : S) = (H : H ∩ S). Sowohl |S| als auch (H : H ∩ S) sind p-Potenzen (letztere als Teiler von |H |).
Also ist H S wegen |H S| = |S| · (H S : S) = |S| · (H : H ∩ S) ebenfalls eine p-Untergruppe von G. Da S nach Voraussetzung
eine p-Untergruppe maximaler Ordnung in G ist, muss H S = S, also H ⊆ S gelten.
zu (ii) Sei P 0 eine beliebige p-Sylowgruppe in G. Wie wir in (i) gezeigt haben, gibt es ein Element P 00 ∈ U mit P 0 ⊆ P 00 .
Weil P 0 und P 00 dieselbe Ordung haben, gilt P 0 = P 00 . Weil P 00 in derselben Bahn wie P liegt, gibt es ein g ∈ G mit
P 0 = P 00 = g P g −1 .
zu (iii) Weil nach (ii) die Bahn U bereits die Menge Vp aller p-Sylowgruppen umfasst, gilt νp = |Vp | = |U | = (G : NG (P )).
Wir haben bereits am Anfang des Beweises gesehen, dass (G : NG (P )) ein Teiler von m = (G : P ) ist.
Zum Beweis der Kongruenz betrachten wir die Operation von P auf Vp . Nach Teil (i) ist P in jeder p-Sylowgruppe
enthalten, die unter dieser Operation fest bleibt. Da P auf Grund seiner Ordnung in keiner anderen p-Sylowgruppe
als P selbst liegen kann, ist P der einzige Fixpunkt dieser Operation, und der Rest von U zerfällt in Bahnen von pPotenzlänge > 1. Bezeichnen wir mit R ein Repräsentantensystem dieser Bahnen, dann gilt
νp
=
|Vp |
=
|{P }| +
X
(P : PU ).
U ∈R
Wegen |{P }| = 1 ist die rechte Seite der Gleichung kongruent zu 1 modulo p.
Folgerung 8.9
ä
Sei G eine Gruppe und p eine Primzahl. Eine p-Sylowgruppe P ist genau dann
ein Normalteiler von G, wenn die Anzahl νp der p-Sylowgruppen gleich 1 ist.
Beweis:
„⇒“ Ist P 0 eine weitere p-Sylowgruppe, dann ist P 0 nach Teil (ii) der Sylowsätze zu P konjugiert. Es gibt also
ein g ∈ G mit P 0 = g P g −1 . Weil P ein Normalteiler von G ist, folgt P 0 = g P g −1 = P und somit νp = 1.
„⇐“ Sei g ∈ G. Dann ist nach Proposition 8.5 (iii) die Untergruppe g P g −1 isomorph zu P . Insbesondere hat g P g −1
dieselbe Ordnung wie P und ist somit eine p-Sylowgruppe. Wegen νp = 1 muss g P g −1 = P gelten. Weil g beliebig
gewählt war, folgt daraus die Normalteiler-Eigenschaft von P .
ä
Als Anwendungsbeispiel für die Sylowsätze beweisen wir
Proposition 8.10
Jede Gruppe der Ordnung 15 besitzt einen Normalteiler der Ordnung 3 und
einen Normalteiler der Ordnung 5.
Beweis:
Sei G eine Gruppe mit |G| = 15, und für jede Primzahl p sei νp die Anzahl der p-Sylowgruppen von G. Wegen
Teil (iii) der Sylowsätze ist ν3 ein Teiler von 5, also ν3 ∈ {1, 5}, und es gilt ν3 ≡ 1 mod 3. Da 5 6≡ 1 mod 3 ist, bleibt als
—– 64 —–
§ 8.
Die Sylowsätze
einzige Möglichkeit ν3 = 1. Die einzige 3-Sylowgruppe ist nach Folgerung 8.9 ein Normalteiler von G. Wenden wir Teil
(iii) der Sylowsätze auf die Anzahl der 5-Sylowgruppen an, dann erhalten wir ν5 |3, also ν5 ∈ {1, 3}, und µ5 ≡ 1 mod 5.
Wegen 3 6≡ 1 mod 5 muss ν5 = 1 sein, und die einzige 5-Sylowgruppe ist wiederum ein Normalteiler von G.
Folgerung 8.11
Beweis:
ä
Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.
Sei G eine Gruppe mit |G| = 15. Wie wir bereits gezeigt haben (Proposition 8.10) besitzt G Normalteiler N
und U der Ordnungen 3 bzw. 5. Weil |N | und |U | teilerfremd sind, gilt N ∩U = {e}. Die Untergruppe NU enthält U und
N , also ist |NU | ein Vielfaches von 3 und zugleich ein Vielfaches von 5. Also ist |NU | insgesamt ein Vielfaches von 15.
Wegen NU ⊆ G und |G| = 15 folgt G = NU . Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass G ein direktes Produkt von N und
U ist. Nach Proposition 6.17 folgt daraus
G
∼
=
N ×U .
Als Gruppen von Primzahlordnung sind N und U nach Folgerung 4.15 zyklisch, es gilt also N ∼
= Z/3Z und U ∼
= Z/5Z.
Mit dem Chinesischen Restsatz (Satz 6.20) erhalten wir
G
∼
=
N ×U
∼
=
Z/3Z × Z/5Z
Insbesondere ist G zyklisch.
∼
=
Z/15Z.
ä
—– 65 —–
§ 9. Die Kategorie der Körper
Obwohl der Begriff des Körpers bereits aus der Linearen Algebra und der Ringtheorie bekannt ist, geben wir hier die
Definition noch einmal an.
Ein Körper ist ein Tupel (K , +, ·) bestehend aus einer Menge K und zwei Ver-
Definition 9.1
knüpfungen + und · auf K , so dass folgende Bedingungen erfüllt sind.
(i) Die Paar (K , +) und (K \ {0K }, ·) sind abelsche Gruppen, wobei 0K das Neutralelement von
(K , +) bezeichnet.
(ii) Es gilt das Distributivgesetz a(b + c) = ab + ac für alle a, b, c ∈ K .
Eine äquivalente Definition lautet: Ein Körper ist ein Ring R, dessen Einheitengruppe R × durch R \ {0R } gegeben ist.
Insbesondere ist also jeder Körper ein Ring. Einen Ringhomomorphismus φ : K → L zwischen Körpern K und L bezeichnen wir auch als Körperhomomorphismus. Neben den Rechenregeln
φ(1K ) = 1L
,
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) und φ(ab) = φ(a)φ(b)
für a, b ∈ K erfüllt dieser auch φ(a −1 ) = φ(a)−1 . Dies erhält man durch Umstellen der Gleichung
φ(a −1 )φ(a)
φ(a −1 a)
=
=
φ(1K )
=
1L .
Im Gegensatz zu den Ringhomomorphismen gilt bei Körpern aber
Proposition 9.2
Beweis:
Ein Körperhomomorphismus φ : K → L ist stets injektiv.
Sei a ∈ K ein Element im Kern, also ein Element mit φ(a) = 0L , und nehmen wir an, dass a 6= 0K ist. Dann
folgt 1L = φ(1K ) = φ(aa −1 ) = φ(a)φ(a −1 ) = 0L φ(a −1 ) = 0L . Aber dies ist unmöglich, da L kein Nullring ist.
ä
Wie bei den Gruppen und Ringen nennen wir einen Körperhomomorphismus φ : K → L einen Isomorphismus von
Körpern, wenn φ bijektiv ist und einen Automorphismus, wenn außerdem noch K = L gilt. Zwei Körper K und L,
zwischen denen ein Isomorphismus existiert, bezeichnet man als isomorph (Notation K ∼
= L).
Proposition 9.3
bildung φ
−1
Beweis:
Ist φ : K → L ein Körperisomorphismus, dann gilt dasselbe für die Umkehrab-
:L →K.
Zunächst ist φ−1 offenbar bijektiv. Aus φ(1K ) = 1L folgt φ(1L ) = 1K . Sind a, b ∈ L und a 0 , b 0 ∈ K mit φ(a 0 ) = a,
φ(b ) = b, dann gilt
0
φ−1 (a + b)
=
φ−1 (φ(a 0 ) + φ(b 0 ))
=
φ−1 (φ(a 0 + b 0 ))
=
a0 + b0
=
φ−1 (a) + φ−1 (b)
und ebenso φ−1 (ab) = φ−1 (φ(a 0 )φ(b 0 )) = φ−1 (φ(a 0 b 0 )) = a 0 b 0 = φ−1 (a)φ−1 (b).
In der Zahlentheorie haben wir den Begriff des Teilrings definiert. Entsprechend definieren wir hier
—– 66 —–
ä
§ 9.
Die Kategorie der Körper
Definition 9.4
Sei K ein Körper. Eine Teilmenge F ⊆ K wird Teilkörper von K genannt, wenn
1K ∈ F gilt, für alle a, b ∈ F auch die Elemente a − b und ab in F liegen und für jedes a ∈ F , a 6= 0K
auch a −1 ∈ F gilt.
Die Bedingungen 1K ∈ F und a, b ∈ F ⇒ a − b, ab ∈ F allein besagen, dass F ein Teilring von K ist. Aus der Ringtheorie
ist bekannt, dass auf Grund dieser Bedingungen sich die Verknüpfungen + und · auf K zu Verknüpfungen +F und ·F
auf F einschränken lassen, so dass (F, +F , ·F ) selbst zu einem Ring mit Einselement 1F = 1K und Nullelement 0F = 0K
wird. Weil zusätzlich für jedes a ∈ F \ {0K } auch a −1 in F liegt und jeweils a ·F a −1 = a · a −1 = 1K = 1F gilt, ist (F, +F , ·F )
sogar ein Körper.
Proposition 9.5 Sei K ein Körper und (F i )i ∈I eine beliebige Familie von Teilkörpern. Dann ist
T
auch F = i ∈I F i ein Teilkörper von K . Insbesondere gibt es bezüglich Inklusion einen kleinsten
Teilkörper von K , den man als Primkörper von K bezeichnet.
Beweis:
Wir überprüfen die Teilkörper-Eigenschaften der Menge F . Jeder Teilkörper F i enthält das Einselement 1K
von K . Damit ist 1K auch in F enthalten. Seien nun a, b ∈ F vorgegeben. Dann gilt a, b ∈ F i für alle i ∈ I . Weil jedes F i
ein Teilkörper ist, gilt a +K (−b) ∈ F i und a ·K b ∈ F i für alle i ∈ I , damit a +K (−b) ∈ F und a ·K b ∈ F . Sei nun a ∈ F ,
a 6= 0K und a −1 das multiplikative Inverse von a in K . Wiederum auf Grund der Teilkörper-Eigenschaft gilt a −1 ∈ F i für
alle i ∈ I , und es folgt a −1 ∈ F .
Damit ist die Teilkörper-Eigenschaft von F bewiesen. Den bezüglich Inklusion kleinsten Teilkörper von K erhalten wir,
indem wir den Durchschnitt über die Familie aller Teilkörper von K bilden.
ä
Sind K und L Körper, dann bezeichnen wir mit Hom(K , L) die Menge der Körperhomomorphismen K → L. Ist F ein
gemeinsamer Teilkörper von K und L, dann definieren wir
HomF (K , L)
=
{φ ∈ Hom(K , L) | φ(a) = a ∀ a ∈ F }.
Die Elemente dieser Menge werden als F -Homomorphismen von K nach L bezeichnet. Ist F sogar der gemeinsame
Primkörper von K und L, dann gilt HomF (K , L) = Hom(K , L). Die Inklusion „⊆“ ist nach Definiton offensichtlich.
Für die Inklusion „⊇“ genügt es zu bemerken, dass für jedes φ ∈ Hom(K , L) die Elemente a ∈ K mit φ(a) = a einen
Teilkörper K 0 von K bilden. Weil F nach Definition der kleinste Teilkörper von K ist, folgt F ⊆ K 0 und damit φ(a) = a
für alle a ∈ F . Also ist φ in HomF (K , L) enthalten.
Für die Menge der Automorphismen von K schreiben wir Aut(K ), und wir setzen
AutF (K )
=
HomF (K , K ) ∩ Aut(K ).
Man überprüft unmittelbar, dass die Hintereinanderausführung von je zwei Körperhomomorphismen wieder ein Körperhomomorphismus ist. Dasselbe gilt für Iso- und Automorphismen von Körpern. Zusammen mit Proposition 9.3
folgt daraus, dass für jeden Körper K die Menge Aut(K ) mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung eine
Gruppe bildet. Für jeden Teilkörper F von K ist AutF (K ) eine Untergruppe von Aut(K ), wie man unmittelbar nachrechnet. Die Gruppen Aut(K ) und AutF (K ) werden später in der Galoistheorie eine wichtige Rolle spielen.
—– 67 —–
§ 9.
Die Kategorie der Körper
In der Zahlentheorie-Vorlesung wurde der Begriff der Charakteristik char(R) eines Rings eingeführt. Dabei handelte
es sich um die Ordnung von 1R in der additiven Gruppe (R, +), sofern diese endlich ist. Im Fall unendlicher Ordnung
wurde char(R) = 0 gesetzt. Beispielsweise gilt
char(Q)
char(R)
=
=
char(C)
0.
=
Für jede Primzahl p gilt jeweils char(Fp ) = p. Denn (Fp , +) = (Z/p Z, +) ist bekanntlich eine zyklische Gruppe der
Ordnung p, mit dem Einselement 1¯ als Erzeuger.
Aus der Zahlentheorie-Vorlesung wissen wir bereits, dass die Charakteristik eines Körpers entweder Null oder eine
Primzahl ist.
Satz 9.6
Sei K ein Körper und P sein Primkörper.
(i) Ist char(K ) = 0, dann gilt P ∼
= Q.
(ii) Ist char(K ) = p für eine Primzahl p, dann gilt P ∼
= Fp .
Beweis:
Aus der Zahlentheorie-Vorlesung ist bekannt, dass für jeden Ring R ein eindeutig bestimmter Ringhomo-
morphismus Z → R existiert, gegeben durch n 7→ n · 1R für alle n ∈ Z. Sei φ : Z → K dieser Homomorphismus für
R = K . Mit Hilfe von φ beweisen wir nun die beiden Aussagen des Satzes.
zu (i) Im Fall char(K ) = 0 ist φ injektiv. Wäre nämlich n ∈ Z, n 6= 0 mit φ(n) = 0K , dann wäre auch φ(−n) = −φ(n) =
−0K = 0K . Damit gäbe es auf jeden Fall eine natürliche Zahl m ∈ N mit m ·1K = φ(m) = 0K , was aber der Voraussetzung
char(K ) = 0 widerspricht. Wir definieren nun eine Abbildung φ˜ : Q → K , indem wir jeder rationalen Zahl a mit a ∈ Z
b
und b ∈ N das Bild φ(a)φ(b)−1 zuordnen. Das Bild ist unabhängig von der Darstellung der rationalen Zahl als Bruch.
Gilt nämlich
a
b
=
c
d
mit a, c ∈ Z und b, d ∈ N, dann folgt ad = bc, somit
φ(a)φ(d )
φ(b)φ(c)
=
φ(a)φ(b)−1 = φ(c)φ(d )−1 .
und
Wir überprüfen nun, dass φ˜ ein Ringhomomorphismus ist. Zunächst gilt
˜
φ(1)
=
˜ 1)
φ(
1
=
φ(1)φ(1)−1
=
1K · 1−1
K
1K .
=
Seien α, β ∈ Q mit α = ba , β = dc , a, c ∈ Z, b, d ∈ N. Dann gilt
α+β =
ad + bc
bd
und
αβ =
ac
bd
,
˜ + β) = φ(ad + bc)φ(bd )−1 = φ(ad )φ(bd )−1 + φ(bc)φ(bd )−1 = φ(a)φ(b)−1 + φ(c)φ(d )−1 = φ(α)
˜
˜
und es folgt φ(α
+ φ(β)
˜
˜ φ(β).
˜
sowie φ(αβ)
= φ(ac)φ(bd )−1 = φ(a)φ(b)−1 φ(c)φ(d )−1 = φ(α)
Damit ist die Homomorphismus-Eigenschaft nachgewiesen.
˜ Q). Als isomorphes Bild
Der Ringhomomorphismus φ˜ : Q → K definiert einen Isomorphismus von Q auf sein Bild φ(
˜
˜
eines Körpers ist φ(Q) ein Teilkörper von K . Wir zeigen nun, dass φ(Q) der Primkörper von K ist. Dafür genügt es zu
˜ Q) in einem beliebig vorgegebenen Teilkörper F von K enthalten ist. Zunächst gilt φ(1)
˜
überprüfen, dass φ(
= 1K ∈ F .
˜
Setzen wir für ein n ∈ N voraus, dass φ(n)
in F liegt, dann folgt
˜ + 1)
φ(n
=
˜
˜
φ(n)
+ φ(1)
=
—– 68 —–
˜
φ(n)
+ 1K
∈
F.
§ 9.
Die Kategorie der Körper
˜
˜
˜
Durch vollständige Induktion erhält man also φ(n)
∈ F für alle n ∈ N. Wegen φ(−n)
= −φ(n)
∈ F für alle n ∈ N gilt
a
˜
auch φ(n) ∈ F für alle n ∈ Z. Sei nun α ∈ Q beliebig vorgegeben, α = b mit a ∈ Z und b ∈ N. Wie bereits gezeigt, gilt
˜
˜
˜
φ(a),
φ(b)
∈ F , und auf Grund der Injektivität von φ gilt φ(b)
= φ(b)φ(1)−1 6= 0K . Weil F ein Teilkörper von K ist, folgt
˜
˜ φ(b)
˜ −1 ∈ F . Damit ist φ(
˜ Q) ⊆ F nachgewiesen.
φ(α)
= φ(a)
zu (ii) Im Fall char(K ) = p gilt φ(p) = p · 1K = 0K . Der Kern von φ ist damit eine Untergruppe von (Z, +), die p Z
enthält. Wäre ker(φ) = Z, dann wäre φ die Nullabbildung, was aber im Widerspruch zu φ(1) = 1K 6= 0K steht. Also
muss ker(φ) = p Z gelten. Der Homomorphiesatz für Ringe liefert einen Ringisomorphismus φ¯ : Z/p Z → φ(Z), es gilt
also Fp ∼
= φ(Z).
Wir überprüfen nun, dass φ(Z) der Primkörper von K ist. Als Bild von Fp unter dem Isomorphismus φ¯ ist φ(Z) jedenfalls ein Teilkörper von K . Sei nun F ein beliebiger Teilkörper von K . Zunächst gilt φ(1) = 1K ∈ F . Mit vollständiger
Induktion und durch Verwendung der Abgeschlossenheit von F unter Addition zeigt man, dass φ(a) ∈ F für alle a ∈ N
¯ a)
¯ Fp ) = φ(Z) ⊆ F .
¯ = φ(a) ∈ F für 1 ≤ a ≤ p und damit φ(
gilt. Es folgt φ(
ä
—– 69 —–
§ 10. Körpererweiterungen und Körpergrad
Definition 10.1
Eine Körpererweiterung L|K ist ein Paar (K , L) von Körpern mit der Eigen-
schaft, dass K ein Teilkörper von L ist. Einen Teilkörper M von L mit M ⊇ K bezeichnet man als
Zwischenkörper der Erweiterung L|K .
Beispielsweise ist C|Q eine Körpererweiterung, und Q, R und C sind Zwischenkörper dieser Erweiterung.
˜ eine Körpererweiterung und S ⊆ L˜ eine Teilmenge. Dann gibt es einen einSei L|K
˜ mit den Eigenschaften
deutig bestimmten Zwischenkörper L von L|K
Satz 10.2
(i) L ⊇ S
˜ mit L 0 ⊇ S, dann folgt L 0 ⊇ L.
(ii) Ist L 0 ein weiterer Zwischenkörper von L|K
Insgesamt ist L also der kleinste Zwischenkörper von L|K mit der Eigenschaft L ⊇ S.
˜ mit L i ⊇ S. Dann
Zunächst beweisen wir die Existenz. Sei (L i )i ∈I die Familie aller Zwischenkörper von L|K
T
ist nach Proposition 9.5 auch L = i ∈I L i ein Teilkörper von L˜ Darüber hinaus gilt L ⊇ L i für alle i ∈ I und somit L˜ ⊇ K ,
˜ . Aus L i ⊇ S für alle i ∈ I folgt auch L ⊇ S. Da L nach Definition in
insgesamt ist L also ein Zwischenkörper von L|K
Beweis:
˜ enthalten ist, ist auch die Bedingung (ii) für den Körper L erfüllt.
jedem Zwischenkörper L i von L|K
˜ mit den Eigenschaften (i) und (ii). Weil L und L 0 beide die Bedingung
Sei nun L 0 ein weiterer Zwischenkörper von L|K
(ii) erfüllen, gilt L 0 ⊇ L und L ⊇ L 0 , insgesamt also L = L 0 .
ä
Wir bezeichnen den nach Satz 10.2 eindeutig bestimmten Körper mit K (S) und nennen ihn den von S über K erzeug˜ Ist S eine endliche Menge, S = {a 1 , ..., a n }, dann schreibt man statt K ({a 1 , ..., a n }) auch
ten Teilkörper von L.
K (a 1 , ..., a n ) ,
p p
man lässt also die Mengenklammern weg. Beispielsweise bezeichnet Q( 3, 5) den kleinsten Zwischenkörper von
p p
R|Q, der { 3, 5} als Teilmenge enthält. Wir bemerken bereits hier, dass auf Grund der Teilkörper-Eigenschaft von
p p
p
p
Q( 3, 5) mit 3 und 5 auch z.B. die Elemente
p
p
p
p
p
p p
p
p
3+4 5
3+ 5 ,
3− 5 ,
3 5 = 15 , 2 + 7 5 , p
, ...
p
3+ 5
p p
in Q( 3, 5) enthalten sind. Insgesamt enthält dieser Körper alle Elemente, die mit Hilfe der vier Grundrechenarten
p p
+, −, · und ÷ aus 3, 5 und beliebigen rationalen Zahlen gebildet werden können.
Proposition 10.3
˜ Dann gilt
L.
˜ eine Körpererweiterung, und seien S und T beliebige Teilmengen von
Sei L|K
K (S ∪ T )
=
K (S)(T ).
˜
Wir müssen überprüfen, dass K (S)(T ) ein Zwischenkörper von L|K
ist, der die Bedingungen (i) und (ii)
˜ , und K (S)(T ) ist ein
aus Satz 10.2 für die Menge S ∪ T erfüllt. Nach Definition ist K (S) ein Zwischenkörper von L|K
Beweis:
—– 70 —–
§ 10.
Körpererweiterungen und Körpergrad
˜ (S). Aus K (S)(T ) ⊇ K (S) und K (S) ⊇ K folgt K (S)(T ) ⊇ K , also ist K (S)(T ) ein Zwischenkörper
Zwischenkörper von L|K
˜ .
von L|K
Weiter gilt nach Definition K (S) ⊇ S, und K (S)(T ) enthält sowohl K (S) als auch T als Teilmengen. Insgesamt gilt damit
˜ mit
K (S)(T ) ⊇ S∪T . Damit ist Bedingung (i) erfüllt. Zum Nachweis von (ii) sei L 0 ein beliebiger Zwischenkörper von L|K
˜ mit L 0 ⊇ S. Auf Grund der Eigenschaft (ii) des Körpers
L 0 ⊇ S ∪T . Dann ist L 0 insbesondere ein Zwischenkörper von L|K
˜ (S). Zusammen mit L 0 ⊇ T folgt L 0 ⊇ K (S)(T ).
K (S) folgt daraus L 0 ⊇ K (S), somit ist L 0 ein Zwischenkörper von L|K
Damit ist insgesamt die Bedingung (ii) für den Körper K (S)(T ) nachgewiesen.
ä
Als nächstes schauen wir uns Körpererweiterungen an, die von einem einzelnen Element erzeugt werden.
Proposition 10.4
˜ eine Körpererweiterung und a ∈ L.
˜ Dann gilt
Sei L|K
¾
½
f (a) ¯¯
K (a) =
¯ f , g ∈ K [x], g (a) 6= 0 .
g (a)
Dabei sei K [x] der Polynomring über dem Körper K , und f (a), g (a) bezeichnen die Elemente in
˜ die durch Einsetzen von a in f , g zu Stande kommen.
L,
Sei T ⊆ L˜ die Teilmenge auf der rechten Seite der Gleichung. Wir überprüfen zunächst, dass T ein Zwischen˜ ist. Zum Nachweis der Teilkörper-Eigenschaft stellen wir zunächst fest, dass 1 ∈ T gilt, denn setzen
körper von L|K
Beweis:
wir f = g = 1, dann gilt 1 = f (a)/g (a). Seien nun α, β ∈ T vorgegeben. Dann gibt es Polynome f , f 1 , g , g 1 ∈ K [x] mit
g (a) 6= 0, g 1 (a) 6= 0 und
α=
f (a)
g (a)
und
β=
f 1 (a)
.
g 1 (a)
Es folgt
α−β
=
f (a)g 1 (a) − f 1 (a)g (a)
g (a)g 1 (a)
und
αβ
=
f (a) f 1 (a)
g (a)g 1 (a)
=
=
( f g 1 − f 1 g )(a)
(g g 1 )(a)
( f f 1 )(a)
.
(g g 1 )(a)
Somit sind auch die Elemente α − β und αβ in T enthalten. Ist α 6= 0, dann gilt f (a) 6= 0, und wir erhalten
α−1
=
g (a)
f (a)
∈ T.
Damit ist gezeigt, dass T ein Teilkörper von L˜ ist. Jedes b ∈ K entsteht durch Einsetzen von a in das konstante Polynom
˜ . Dieser enthält auch a, denn
b ∈ K [x]. Dies zeigt T ⊇ K , d.h. T ist tatsächlich ein Zwischenkörper der Erweiterung L|K
dieses Element entsteht durch Einsetzen von a in das Polynom x ∈ K [x].
˜
Sei nun L 0 ein beliebiger Zwischenkörper von L|K
mit a ∈ L 0 . Wegen K ⊆ L und a ∈ L, und weil L 0 abgeschlossen
unter Addition und Multiplikation ist, liegt f (a) für jedes Polynom f ∈ K [x] in L 0 . Ferner ist L 0 auch abgeschlossen
unter Inversenbildung. Ist g ∈ K [x] und g (a) 6= 0, dann gilt g (a) ∈ L 0 und somit auch g (a)−1 ∈ L 0 . Ingesamt sind also
sämtliche Elemente der Form f (a)/g (a) mit f , g ∈ K [x] und g (a) 6= 0 in L 0 enthalten. Damit haben wir T ⊆ L 0 und
insgesamt T = K (a) nachgewiesen.
ä
—– 71 —–
§ 10.
Körpererweiterungen und Körpergrad
Definition 10.5
Ist L|K eine Körpererweiterung, dann definieren die beiden Abbildungen
+ : L × L → L , (α, β) 7→ α + β und · : K × L → L , (a, α) 7→ aα
eine K -Vektorraumstruktur auf L. Dabei bezeichnet man [L : K ] = dimK L als den Grad der Körpererweiterung; auch [L : K ] = ∞ ist als Wert zugelassen. Im Fall [L : K ] nennt man L|K eine
endliche Körpererweiterung.
Beispielsweise gilt [C : R] = 2, denn jedes Element α ∈ C kann auf eindeutige Weise in der Form α = a + i b mit a, b ∈ R
dargestellt werden. Somit ist {1, i } eine Basis von C als R-Vektorraum.
Satz 10.6
(Gradformel)
Seien L|K und M |L endliche Körpererweiterungen. Dann ist auch die Körpererweiterung M |K
endlich, und es gilt
[M : K ]
Beweis:
[M : L] · [L : K ].
=
Sei (α1 , ..., αm ) eine Basis von L als K -Vektorraum und (β1 , ..., βn ) eine Basis von M als L-Vektorraum. Wir
zeigen, dass dann die mn Elemente αi β j mit 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n eine Basis von M als K -Vektorraum bilden und
beweisen damit [M : K ] = mn = [L : K ][M : L].
Zunächst rechnen wir nach, dass die Elemente ein Erzeugendensystem bilden. Sei γ ∈ M beliebig vorgegeben. Weil M
P
als L-Vektorraum von β1 , ..., βn aufgespannt wird, gibt es γ1 , ..., γn ∈ L mit γ = nj=1 γ j β j . Weiter finden wir a i j ∈ K mit
P
γj = m
i =1 a i j αi für 1 ≤ j ≤ n. Einsetzen liefert
γ
=
Ã
n
m
X
X
!
a i j αi β j
m X
n
X
=
j =1 i =1
a i j αi β j .
i =1 j =1
Nun beweisen wir noch die lineare Unabhängigkeit. Seien a i j ∈ K mit
Ã
n
m
X
X
Pm Pn
i =1
j =1 a i j αi β j
= 0 vorgegeben. Dann gilt
!
a i j αi β j
=
0.
j =1 i =1
Die lineare Unabhängigkeit von β1 , ..., βn im L-Vektorraum M liefert
Pm
i =1 a i j αi
= 0 für 1 ≤ j ≤ n. Da die Elemente
α1 , ..., αn im K -Vektorraum L linear unabhängig sind, folgt daraus wiederum a i j = 0 für 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n.
ä
Umgekehrt gilt : Ist M |K eine endliche Erweiterung, dann sind auch M |L und L|K endlich. Wäre M |L unendlich, dann
gäbe es für jedes n ∈ N ein System α1 , ..., αn von Elementen aus M , die über L linear unabhängig sind. Diese sind
dann erst recht linear unabhängig über K . Wäre L|K unendlich, dann gäbe es beliebig große, endliche Systeme von
Elementen in L, die über K linear unabhängig sind. Diese sind dann erst recht in M enthalten.
—– 72 —–
§ 11. Algebraische Erweiterungen
In diesem Abschnitt wird der Ring K [x] der Polynome über einem Körper K eine wichtige Rolle spielen. Wir sammeln
hier zunächst eine Reihe von Eigenschaften dieses Rings, die wir im weiteren Verlauf als bekannt voraussetzen. Die
meisten davon wurden in der Linearen Algebra oder der Zahlentheorie behandelt, lediglich der Beweis der letzten
beiden Punkte in der Zahlentheorie-Vorlesung steht noch aus.
(i) Ist f ∈ K [x], f 6= 0 ein Element der Form
Pn
i =0 a i x
i
mit n ∈ N0 , a 0 , ..., a n ∈ K und a n 6= 0, dann nennt man n den
Grad (Bezeichnung grad( f )) und a n den Leitkoeffizienten von f . Ist a n = 1, dann bezeichnet man das Polynom
als normiert, und die Multiplikation eines Polynoms mit dem Kehrwert a n−1 seines Leitkoeffizienten bezeichnet
man als Normierung. Ist der Grad n = 0 spricht man von konstanten Polynomen. Auch das Nullpolynom wird
als konstantes Polynom bezeichnet, wir ordnen ihm aber keinen Grad zu.
(ii) Division mit Rest: Seien f , g ∈ K [x] mit g 6= 0. Dann gibt es Polynome q, r ∈ K [x], so dass f = q g + r und
außerdem r = 0 oder grad(r ) < grad(g ) gilt. Für je zwei Polynome f , g ∈ K [x] mit ( f , g ) 6= (0, 0) gibt es Polynome
a, b ∈ K [x], so dass a f + bg = ggT( f , g ) erfüllt ist.
(iii) Sei L ein Erweiterungskörper von K . Ein Element α ∈ L mit f (α) = 0 wird Nullstelle von f genannt. Ein Polynom
f 6= 0 vom Grad n besitzt in einem beliebigen Erweiterungskörper L höchstens n Nullstellen.
(iv) Ein Polynom f heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn es nicht konstant ist und es auch keine nichtkonstanten Polynome g , h ∈ K [x] mit f = g h gibt. Ein reduzibles Polynom ist ein nicht-konstantes, nicht irreduzibles Polynom.
(v) Sei f ein irreduzibles Polynom, und seien g , h ∈ K [x], so dass f ein Teiler von g h ist. Dann gilt f |g oder f |h.
(vi) Für jedes nicht-konstante Polynom f ∈ K [x] gibt es ein a ∈ K × und normierte, irreduzible Polynome g 1 , ..., g r ∈
K [x] mit f = ag 1 · ... · g r . Dabei sind die Polynome g i durch f bis auf Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Definition 11.1
Sei L|K eine Körpererweiterung. Ein Element α ∈ L heißt algebraisch über K ,
wenn ein Polynom f 6= 0 in K [x] mit der Eigenschaft existiert, dass α eine Nullstelle von f ist. Gibt
es ein solches Polynom nicht, dann nennt man α transzendent über K .
Wir betrachten einige Beispiele für algebraische und transzendente Körpererelemente.
p
2 ist algebraisch über Q, denn es ist Nullstelle des Polynoms x 2 − 2 ∈ Q[x]. Weil dieses Polynom
p
auch in R[x] liegt, ist 2 auch algebraisch über R. Alternativ kann zum Nachweis dieser Eigenschaft aber auch
p
das Polynom x − 2 ∈ R[x] verwendet werden.
(i) Das Element
(ii) Allgemein gilt: Ist K ein Körper und a ∈ K , dann ist α als Nullstelle von x − a ∈ K [x] algebraisch über K .
(iii) Die imaginäre Einheit i ∈ C ist algebraisch über R, sogar über Q, als Nullstelle des Polynoms x 2 + 1 ∈ Q[x].
—– 73 —–
§ 11.
Algebraische Erweiterungen
(iv) Man kann zeigen, dass die Kreiszahl π und die Eulersche Zahl e transzendent über Q sind. Der Beweis ist leider
so aufwändig, dass wir ihn hier nicht durchführen können. Nach (ii) sind beide Elemente aber algebraisch über
R und C.
Definition 11.2
Sei L|K eine Körpererweiterung, und sei α ∈ L algebraisch über K . Dann gibt es
ein eindeutig bestimmtes, normiertes Polynom f ∈ K [x], f 6= 0 minimalen Grades mit f (α) = 0.
Man nennt f das Minimalpolynom von α über K . Wir bezeichnen es mit µK ,α .
Beweis:
Weil α über K algebraisch ist, gibt es jedenfalls ein Polynom 0 6= g ∈ K [x] mit der Eigenschaft g (α) = 0.
Bezeichnet a n ∈ K × den Leitkoeffizienten von g , dann ist g˜ = a n−1 g ein normiertes Polynom mit g˜ (α) = 0. Aus der
Menge aller normierten Polynome f ∈ K [x] mit f (α) = 0 können wir eines mit minimalem Grad wählen.
Zum Beweis der Eindeutigkeit seien f , g ∈ K [x] zwei normierte Polynome minimalen Grades mit f (α) = g (α) = 0. Ist
f 6= g , dann hat das Polynom h = g − f die Eigenschaft h(α) = g (α) − f (α) = 0 − 0 = 0 und grad(h) < grad( f ). Durch
Normierung von h erhalten wir also ein normiertes Polynom mit α als Nullstelle, das einen echt kleineren Grad als f
hat. Dies aber widerspricht der Minimalität. Somit ist nur f = g möglich.
ä
p
Wir betrachten die Körpererweiterung R|Q. Das Minimalpolynom µQ,p2 des Elements 2 ∈ R über Q ist f = x 2 − 2.
p
Denn einerseits gilt f ( 2) = 0. Gäbe es andererseits ein normiertes Polynom g ∈ Q[x] kleineren Grades, also g = x + a
p
p
p
mit g ( 2) = 0, dann würde a = − 2 folgen, und 2 wäre rational.
Proposition 11.3
˜ eine Körpererweiterung, α ∈ L˜ algebraisch über K und f ∈ K [x] sein
Sei L|K
Minimalpolynom, also f = µK ,α . Dann gilt
(i) Das Polynom f ist irreduzibel.
(ii) Ist g ∈ K [x] mit g (α) = 0, dann folgt f | g .
(iii) Ist g ∈ K [x] ein weiteres normiertes, irreduzibles Polynom mit α als Nullstelle,
dann folgt f = g .
Beweis:
zu (i) Zunächst kann f wegen f 6= 0 und f (α) = 0 nicht konstant sein. Nehmen wir nun an, f ist reduzibel,
und g , h sind nicht-konstante Polynome mit f = g h. Wegen grad(g ) > 0, grad(h) > 0 und grad( f ) = grad(g ) + grad(h)
gilt grad(g ) < grad( f ) und grad(h) < grad( f ). Aus g (α)h(α) = f (α) = 0 folgt außerdem g (α) = 0 oder h(α) = 0.
Nehmen wir nun o.B.d.A. an, dass g (α) = 0 gilt, und sei g˜ das Polynom, das man durch Normierung von g erhält.
Dann ist g˜ ein normiertes Polynom mit α als Nullstelle, dass einen echt kleineren Grad als f hat. Dies widerspricht
der Voraussetzung f = µK ,α .
zu (ii) Durch Division mit Rest erhalten wir Polynome q, r ∈ K [x] mit g = q f + r und r = 0 oder grad(r ) < grad( f ).
Es gilt r (α) = g (α) − q(α) f (α) = 0 − q(α) · 0 = 0. Damit ist der Fall r 6= 0 ausgeschlossen, denn ansonsten wäre die
Normierung von r ein Polynom mit echt kleinerem Grad als f und α als Nullstelle. Somit gilt g = q f , d.h. f ist ein
Teiler von g .
zu (iii) Sei g ein Polynom mit der angegebenen Eigenschaft. Nach Teil (ii) gilt f |g . Es gibt also ein h ∈ K [x] mit g = f h.
Weil g irreduzibel ist, muss h konstant sein. Weil f und g beide normiert sind, folgt daraus h = 1 und g = f .
—– 74 —–
ä
§ 11.
Algebraische Erweiterungen
Mit Hilfe des Konzepts vom Minimalpolynom können wir nun genauer angeben, wie eine Körpererweiterung aussieht, die von einem einzigen algebraischen Element erzeugt wird.
Satz 11.4
˜ eine Körpererweiterung, α ∈ L algebraisch über K , f = µK ,α und n = grad( f ).
Sei L|K
Dann bilden die Elemente 1, α, α2 , ..., αn−1 eine Basis von K (α) als K -Vektorraum. Insbesondere
gilt [K (α) : K ] = n.
Beweis:
˜ der durch {1, α, ..., αn−1 } aufgespannt wird, also
Sei U der Untervektorraum von L,
)
(
¯
¯
n
o
n−1
X
¯
k ¯
a k α ¯ a 0 , ..., a n−1 ∈ K
=
g (α) ¯ g ∈ K [x] , grad(g ) < n oder g = 0 .
U =
k=0
Wir zeigen, dass U ein Teilkörper von L ist. Durch Einsetzen von α in das konstante Polynom 1 ∈ K [x] sieht man, dass
1 in U liegt. Seien nun β, γ ∈ U vorgegeben. Dann gibt es Polynome g , h ∈ K [x] mit β = g (α), γ = h(α), wobei g und h
entweder Null sind oder jedenfalls einen Grad kleiner als n haben. Mit g und h ist auch g −h ein Polynom mit g −h = 0
oder grad(g − h) < n; daraus folgt β − γ = g (α) − h(α) = (g − h)(α) ∈ U .
Der Nachweis von βγ ∈ U ist etwas aufwändiger, weil der Grad des Polynoms g h auch größer als n−1 sein kann. Durch
Division von g h durch f mit Rest erhalten wir aber Polynome q, r ∈ K [x] mit g h = q f + r und r = 0 oder grad(r ) < n.
Es folgt
βγ
=
g (α)h(α)
=
(q f + r )(α)
=
q(α) f (α) + r (α)
=
q(α) · 0 + r (α)
=
r (α).
Nach Definition der Menge U ist r (α) in U enthalten. Es bleibt zu zeigen, dass im Fall β 6= 0 auch β−1 in U liegt. Aus
β 6= 0 folgt zunächst g 6= 0. Weil f irreduzibel ist, sind die Polynome f und g teilerfremd. Nach dem Lemma von Bézout
aus der Ringtheorie gibt es Polynome a, b ∈ K [x] mit a f + bg = 1. Es folgt
1
=
(a f + bg )(α)
a(α) f (α) + b(α)g (α)
=
=
a(α) · 0 + b(α)g (α)
=
b(α)g (α)
und somit β−1 = g (α)−1 = b(α). Division von b durch f mit Rest liefert weiter Polynome q, r ∈ K [x] mit b = q f + r und
grad(r ) < n. Es folgt
β−1
=
b(α)
=
q(α) f (α) + r (α)
=
q(α) · 0 + r (α)
=
r (α) ∈ U .
Damit haben wir insgesamt nachgewiesen, dass U tatsächlich ein Teilkörper von L˜ ist. Darüber hinaus gilt α ∈ U . Ist
nämlich n = 1, dann gilt K = U , außerdem f = x − α ∈ K [x] und damit α ∈ K . Im Fall n > 1 ist g = x ein Polynom vom
Grad < n, und es gilt α = g (α) ∈ U .
Sei nun L ein beliebiger Zwischenkörper von L˜ mit α ∈ L. Auf Grund der Teilkörpereigenschaft ist L abgeschlossen
unter Addition und Multiplikation. Damit enthält L sämtliche Elemente der Form g (α) mit g ∈ K [x] in L, es gilt also
L ⊇ U . Somit ist U der kleinste Zwischenkörper von L|K mit α ∈ U . Nach Definition des erzeugten Zwischenkörpers
folgt U = K (α).
Aus der Definition von U folgt unmittelbar, dass K (α) als K -Vektorraum von den Elementen 1, α, ..., αn−1 aufgespannt
wird. Nehmen wir nun an, dass diese Elemente über K linear abhängig sind. Dann gibt es Koeffizienten a 0 , ..., a n−1 ∈ K ,
nicht alle gleich Null, mit
n−1
X
a k αk
=
k=0
—– 75 —–
0.
§ 11.
Algebraische Erweiterungen
Setzen wir g =
Pn−1
k=0
a k x k , dann ist g ∈ K [x] ein Polynom ungleich Null mit den Eigenschaften g (α) = 0 und grad(g ) <
n. Durch Normierung von g erhalten wir ein normiertes Polynom mit kleinerem Grad als f und mit α als Nullstelle.
Aber dies ist unmöglich, weil f das Minimalpolynom von α ist. Also sind die Elemente 1, α, ..., αn−1 linear unabhängig
und bilden eine Basis von K (α) als K -Vektorraum.
ä
Dem Beweis von Satz 11.4 kann entnommen werden, wie die arithmetischen Operationen (Addition, Multiplikation, Berechnung von Negativen und Kehrwerten) in einem algebraischen Erweiterungskörper K (α) von K ausgeführt
werden können.
Sei f ∈ K [x] das Minimalpolynom von α und n = grad( f ). Auf Grund des Satzes kann jedes Element aus K (α) auf
eindeutige Weise in der Form g (α) geschrieben werden, wobei g ∈ K [x] entweder Null oder vom Grad < n. Seien
β, γ ∈ K (α) und g , h ∈ K [x] Polynome passenden Grades mit β = g (α), γ = h(α). Unser Ziel besteht darin, die Elemente
β + γ, −β, βγ und (im Fall β 6= 0) auch β−1 wiederum in dieser eindeutigen Form darzustellen.
Addition: Es gilt β + γ = (g + h)(α), außerdem g + h = 0 oder grad(g + h) < n.
Negative: Es gilt −β = (−g )(α) und −g = 0 oder grad(−g ) < n.
Multiplikation: Durch Division mit Rest bestimmen wir Polynome q, r ∈ K [x] mit g h = q f + r und r = 0 oder grad(r ) < n. Wie
im Beweis von Satz Satz 11.4 gezeigt wurde, gilt βγ = r (α).
Kehrwerte: Hier sei β 6= 0 vorausgesetzt. Wie im Beweis des Satzes gezeigt wurde, gilt ggT( f , g ) = 1. Mit dem Euklidischen
Algorithmus können Polynome a, g ∈ K [x] mit a f +bg = 1 berechnet werden. Weiter finden wir Polynome q, r ∈
K [x] mit g = q f + r und grad(r ) < n. Im Beweis haben wir bereits nachgerechnet, dass dann β−1 = r (α) erfüllt
ist.
Wir betrachten ein konkretes Anwendungsbeispiel. Sei L˜ ein Erweiterungskörper von F3 und α ∈ L ein Element mit
α2 + 1¯ = 0¯ . Dabei bezeichnen die Elemente 0¯ , 1¯ ∈ F3 Null- und Einselement des Körpers F3 und damit zugleich diejeni˜ Nach Definition ist α eine Nullstelle des Polynoms f = x 2 + 1¯ ∈ F3 [x]. Weil f in F3 keine Nullstellen
gen des Körpers L.
besitzt, ist es irreduzibel und somit das Minimalpolynom von α. Jedes β ∈ F3 (α) kann auf eindeutige Weise in der
Form
β = a 0 + a 1 α mit a 0 , a 1 ∈ F3
dargestellt werden. Weil es für a 0 und a 1 jeweils |F3 | = 3 Auswahlmöglichkeiten gibt, handelt es sich bei F3 (α) um
einen Körper mit 9 Elementen. Wegen dimF3 F3 (α) = grad( f ) = 2 ist F3 (α) ein 2-dimensionaler F3 -Vektorraum.
Sei nun konkret β = α + 1¯ und γ = α − 1¯ . Dann ist β = g (α) und γ = h(α) mit g = x + 1¯ und h = x − 1¯ . Es folgt g + h = 2¯ x,
g − h = 2¯ und somit
β + γ = (g + h)(α) = 2¯ α
β − γ = (g − h)(α) = 2¯ .
und
Natürlich kann man auch direkt mit den Elementen rechnen: Es gilt
β+γ
=
(α + 1¯ ) + (α − 1¯ )
=
α+α
=
2¯ α
1¯ + 1¯
=
2¯ .
und ebenso
β−γ
=
(α + 1¯ ) − (α − 1¯ )
=
—– 76 —–
§ 11.
Algebraische Erweiterungen
Um nach βγ nach der angegebenen Methode zu berechnen, teilen wir das Polynom g h = x 2 − 1¯ mit Rest durch f und
erhalten x 2 − 1¯ = 1¯ ·(x 2 + 1¯ )+ 1¯ . Es folgt βγ = 1¯ , also ist γ im Körper F3 (α) der Kehrwert von β. Auch hier hätte man statt
mit den Polynomen direkte mit den Körperelementen rechnen können. Aus f (α) = α2 − 1¯ = 0¯ ⇔ α2 = −1¯ folgt
(α + 1¯ )(α − 1¯ )
=
α2 − 1¯
=
−1¯ − 1¯
=
1¯ .
Um den Kehrwert es Elements α auszurechnen, bestimmen wir mit dem Euklidischen Algorithmus Polynome a, b ∈
K [x] mit ax + b f = 1¯ . Wir erhalten a = 2¯ x und b = 1¯ . Der Kehrwert von α ist also durch α−1 = a(α) = 2¯ α gegeben.
Tatsächlich gilt (2¯ α)α = 2¯ α2 = 2¯ (−1¯ ) = −2¯ = 1¯ .
Die vollständige Tabelle der Kehrwerte sämtlicher Elemente in F3 (α)× sieht folgendermaßen aus.
β
1¯
2¯
α
α + 1¯
α + 2¯
2¯ α
2¯ α + 1¯
2¯ α + 2¯
β−1
1¯
2¯
2¯ α
α + 2¯
α + 1¯
α
2¯ α + 2¯
2¯ α + 1¯
Jeder einzelne Eintrag kann durch Multiplikation von β und β−1 unmittelbar verifiziert werden.
Aus den bisherigen Ausführen folgt noch nicht, dass zum Polynom x 2 + 1¯ ∈ F3 [x] überhaupt eine Körpererweiterung
˜ F3 und ein Element α ∈ L˜ mit α2 + 1 = 0 existieren. Dem Problem der Konstruktion und der Eindeutigkeit solcher
L|
Körpererweiterungen wenden wir uns nun als nächstes zu.
Satz 11.5
Sei L|K eine Körpererweiterung, α ∈ L algebraisch über K und f = µK ,α . Dann gibt es
einen Isomorphismus
φ¯ : K [x]/( f ) −→ K (α) mit φ(g + ( f )) = g (α) für alle g ∈ K [x].
Dabei bezeichnet K (α) den von α erzeugten Zwischenkörper der Erweiterung L|K .
Beweis:
Aus der Zahlentheorie-Vorlesung ist bekannt, das ein eindeutig bestimmter Homomorphismus φ : K [x] → L
von Ringen mit φ(x) = α und φ|K = idK existiert, der sogenannte Auswertungshomomorphismus. Weil φ als Ringhomomorphismus verträglich mit Addition und Multiplikation verträglich ist, gilt φ(g ) = g (α) für alle g ∈ K [x]. Weil der
Körper K (α) das Element g (α) für jedes g ∈ K [x] enthält, ist durch φ ein Homomorphismus K [x] → K (α) gegeben.
Nach Satz 11.4 hat jedes Element aus K (α) die Form g (α) mit g ∈ K [x] und grad(g ) < n. Dies zeigt, dass φ als Ringhomomorphismus K [x] → K (α) auch surjektiv ist.
Wir zeigen nun, dass ker(φ) = ( f ) gilt, wobei ( f ) das vom Element f erzeugte Hauptideal in K [x] bezeichnet. Ist g ∈ ( f ),
dann gibt es nach Definition ein h ∈ K [x] mit g = h f . Es folgt φ(g ) = g (α) = h(α) f (α) = h(α) · 0 = 0, also φ ∈ ker(φ).
Sei umgekehrt g ∈ ker(φ). Dann gilt g (α) = 0. Nach Proposition 11.3 ist g ein Vielfaches des Minimalpolynoms f , also
g ∈ ( f ).
ä
Jeder Isomorphismus φ : K → K˜ induziert offenbar einen Isomorphismus K [x] → K˜ [x] zwischen den Polynomringen
gegeben durch
m
X
a i x i 7→
i =0
m
X
φ(a i )x i .
i =0
Wir bezeichnen diesen Isomorphismus ebenfalls mit φ.
—– 77 —–
§ 11.
Algebraische Erweiterungen
(Fortsetzungssatz)
˜
˜ K˜ KörpererweiterunSei φ : K → K ein Isomorphismus von Körpern. Seien außerdem L|K und L|
gen und α ∈ L ein über K algebraisches Element mit Minimalpolynom f ∈ K [x]. Ist dann α˜ ∈ L˜
Satz 11.6
eine Nullstelle von f˜ = φ( f ) ∈ K˜ [x], dann gibt es eine eindeutig bestimmte Fortsetzung ψ von φ
˜ also einen eindeutig bestimmten Homomorphismus
auf K (α) mit ψ(α) = α,
ψ : K (α) −→ L˜
mit ψ(α) = α˜ und ψ|K = φ.
Dieser Homomorphismus ψ definiert einen Isomorphismus zwischen den beiden Körpern K (α)
˜
und K˜ (α).
Beweis: Zunächst beweisen wir die Eindeutigkeit von ψ. Nehmen wir an, dass ψ, ψ0 zwei Homomorphismen K (α) →
L˜ mit ψ(α) = ψ0 (α) = α˜ und ψ|K = ψ0 |K = φ gegeben sind. Sei nun n = grad( f ) und β ∈ K (α) ein beliebiges Element.
Dann gibt es a 0 , ..., a n−1 ∈ K mit
β
=
a 0 + a 1 α + ... + a n−1 αn−1 ,
und die Homomorphismus-Eigenschaft von ψ und ψ0 liefert
ψ(β)
=
n
X
ψ(a i )ψ(α)i
n
X
=
i =0
φ(a i )ψ0 (α)i
=
ψ0 (β).
i =0
Zum Nachweis der Existenz verwenden wir Satz Satz 11.5 Dieser liefert uns Isomorphismen
φ1 : K [x]/( f ) → K (α)
und
˜
φ2 : K˜ [x]/( f˜) → K˜ (α)
˜ f˜)) = a˜ für a ∈ K und a˜ ∈ K˜ . Wir betrachten nun
mit φ1 (x +( f )) = α und φ2 (x +( f˜)) = α˜ sowie φ1 (a+( f )) = a und φ2 (a+(
zusätzlich Ringhomomorphismus ρ : K [x] → K˜ [x]/( f˜) gegeben durch g 7→ φ(g ) + ( f˜). Weil die Abbildungen φ : K [x] →
K˜ [x] und K˜ [x] → K˜ [x]/( f˜), h 7→ h + ( f˜) surjektiv sind, ist auch ρ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Außerdem ist
ker(ρ) = ( f ), denn für alle g ∈ K [x] gilt
g ∈ ker(ρ)
⇔
ρ(g ) = 0 + ( f˜)
⇔
φ(g ) ∈ ( f˜)
⇔
g ∈ (f ) ,
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass auf Grund der Isomorphismus-Eigenschaft von φ die Vielfachen
des Polynoms genau auf die Vielfachen von f˜ = φ( f ) abgebildet werden. Wir können also den Homomorphiesatz für
¯ + ( f )) = x + ( f˜).
Ringe anwenden und erhalten einen Isomorphismus ρ¯ : K [x]/( f ) → K˜ [x]/( f˜) mit ρ(x
¯ + ( f )) = φ2 (x + ( f˜)) = α.
˜
Definieren wir nun den Isomorphismus ψ durch ψ = φ2 ◦ ρ¯ ◦ φ−1
1 , dann gilt ψ(α) = (φ2 ◦ ρ)(x
¯
Andererseits gilt für alle a ∈ K auch ψ(a) = (φ2 ◦ ρ)(a
+ ( f )) = φ2 (φ(a) + ( f˜)) = φ(a), also ψ|K = φ. Als Isomorphismus
˜ ist ψ auch ein Homomorphismus K (α) → L˜ von Körpern.
K (α) → K˜ (α)
Häufig benötigt man auch die folgende Umkehrung des soeben bewiesenen Satzes.
˜ KörSei φ : K → K˜ ein Isomorphismus von Körpern. Seien außerdem L|K und L|K
pererweiterungen, α ∈ L und f ∈ K [x] ein Polynom mit f (α) = 0. Ist dann ψ : K (α) → L˜ ein KörSatz 11.7
perhomomorphismus mit ψ|K = φ, dann ist α˜ = ψ(α) eine Nullstelle von f˜ = φ( f ).
—– 78 —–
ä
§ 11.
Algebraische Erweiterungen
Beweis:
Sei n = grad( f ) und f =
˜
f˜(α)
Pn
i =0 a i x
=
n
X
i
P
mit a 0 , ..., a n ∈ K . Es gilt f˜ = ni=0 φ(a i )x i , und daraus folgt
φ(a i )α˜ i
n
X
=
=
ψ
n
X
=
n
X
ψ(a i )ψ(α)i
i =0
i =0
i =0
Ã
φ(a i )ψ(α)i
!
i
ai α
=
ψ( f (α))
=
ψ(0)
=
0.
i =0
Dabei wurde im vierten Schritt die Homomorphismus-Eigenschaft von ψ verwendet.
ä
Insbesondere gilt also: Sind L, L˜ Erweiterungskörper von K , f ∈ K [x], α ∈ L eine Nullstelle von f und ψ : L → L˜ ein
K -Homomorphismus, dann ist auch ψ(α) eine Nullstelle von f . Beispielsweise muss jeder Q-Homomorphismus
p
p
p
p
p
Q( 2) → Q( 2) das Element 2 auf 2 oder − 2 abbilden, denn dies sind die einzigen Nullstellen des Polynoms
f = x 2 − 2 ∈ Q[x].
Folgerung 11.8
˜ K˜
Sei φ : K → K˜ ein Isomorphismus von Körpern. Seien außerdem L|K , L|
Körpererweiterungen, α ∈ L algebraisch über K und f = µK ,α . Dann stimmt die Anzahl der Fortsetzungen ψ : K (α) → L˜ von φ (also die Anzahl der Homomorphismen mit ψ|K = φ) überein mit
˜
der Anzahl der Nullstellen von f˜ = φ( f ) in L.
Beweis:
˜ Auf Grund des Fortsetzungssatzes gibt
Seien s ∈ N und β1 , ..., βs die verschiedenen Nullstellen von f˜ in L.
es für jedes i ∈ {1, ..., s} eine eindeutig bestimmte Fortsetzung ψi : K (α) → L von φ mit ψi (α) = βi . Ist umgekehrt
ψ : K (α) → L˜ eine beliebige Fortsetzung von φ, dann ist ψ(α) nach Satz 11.7 eine Nullstelle von f˜, also gilt ψ(α) = βi
für ein i . Auf Grund der Eindeutigkeitsaussage im Fortsetzungssatz folgt daraus ψ = ψi .
ä
In der Zahlentheorie-Vorlesung behandeln wir das sogenannte Eisenstein-Kriterium, mit dem in vielen Fällen die
P
Irreduzibilität von Polynomen gezeigt werden kann. Es besagt: Ist f = ni=0 a i x i ein Polynom in Z[x], und ist p eine
Primzahl, so dass p - a n , p|a i für 0 ≤ i < n und p 2 - a 0 gilt, dann ist f in Q[x] irreduzibel.
p
3
Als Anwendungsbeispiel der bisherigen Sätze zeigen wir, dass es genau drei Q-Homomorphismen Q( 2) → C, aber
p
3
nur einen einzigen Q-Homomorphismus Q( 2) → R gibt.
p
3
Das Polynom f = x 3 −2 ist nach dem Eisenstein-Kriterium in Q[x] irreduzibel. Außerdem gilt f ( 2) = 0, also ist f nach
p
3
Proposition Proposition 11.3 das Minimalpolynom von 2 über Q. Wir bestimmen nun die komplexen Nullstellen von
p
f . Es gibt genau drei komplexe Zahlen z mit z 3 = 1, nämlich 1, ζ und ζ2 , wobei ζ = − 21 + 12 −3 ist. Es gilt also
p
3
(ζ 2)3
=
p
3 3
ζ3 2
=
2
und
p
3
(ζ2 2)3
=
p
3 3
ζ6 2
=
2.
p
p
p
3
3
3
2, ζ 2 und ζ2 2 die drei komplexen Nullstellen von f sind. Die drei Nullstellen entsprechen nach
p
3
Folgerung 11.8 drei verschiedenen Fortsetzungen ψ : Q( 2) → C von idQ , also drei verschiedenen Q-HomomorphisDies zeigt, dass
men.
p
p
p
3
3
Wegen ζ ∉ R ist ζ 2 keine reelle Zahl, und wegen ζ2 = − 21 − 21 −3 ∉ R ist auch ζ2 2 nicht reell. Dies bedeutet, dass
p
p
3
3
2 die einzige Nullstelle von f in R ist. Folglich gibt es auch nur einen Q-Homomorphismus Q( 2) → R.
—– 79 —–
§ 11.
Algebraische Erweiterungen
(Existenz algebraischer Erweiterungen)
Satz 11.9
Sei K ein Körper und f ∈ K [x] ein irreduzibles Polynom. Dann gibt es eine Körpererweiterung
L|K und ein Element α ∈ L mit f (α) = 0.
Beweis:
In der Zahlentheorie-Vorlesung haben wir ein Kriterium für die Existenz von Ringerweiterungen behandelt,
dass hier zur Anwendung kommen soll. Dazu bilden wir zunächst den Restklassenring L˜ = K [x]/( f ). In der Zahlen-
theorie wird gezeigt: Weil f irreduzibel ist und es sich bei K [x] um einen Hauptidealring handelt, ist das Ideal ( f )
˜ a 7→ a + ( f ) ein Körmaximal, und folglich ist L˜ ein Körper. Wir überprüfen nun, dass durch die Abbildung φ : K → L,
perhomomorphismus definiert ist. Zunächst gilt φ(1K ) = 1K + ( f ) = 1L˜ . Seien nun a, b ∈ K beliebig vorgegeben. Dann
gilt φ(a + b) = (a + b) + ( f ) = (a + ( f )) + (b + ( f )) = φ(a) + φ(b) und ebenso
φ(ab)
ab + ( f )
=
=
(a + ( f ))(b + ( f ))
φ(a)φ(b).
=
Das oben angesprochene Kriterium für die Existenz von Ringerweiterungen (Satz 3.7 im Zahlentheorie-Skript) liefert
ˆ K = φ. Weil L˜ ein Körper
uns nun einen Erweiterungsring L ⊇ K und einen Isomorphismus φˆ : L → L˜ von Ringen mit φ|
und φˆ ein Isomorphismus ist, ist auch L ein Körper, und somit ist L|K eine Körpererweiterung. Wir zeigen nun, dass
P
das Element α = φˆ −1 (x + ( f )) eine Nullstelle von f ist. Dazu schreiben wir f in der Form f = n a i x i mit n ∈ N und
i =0
a 0 , ..., a n ∈ K . Es gilt
Ã
ˆ f (α))
φ(
φˆ
=
n
X
!
i
ai α
i =0
n
X
i =0
Ã
i
(a i x + ( f ))
=
n
X
=
n
X
ˆ i
φ(a i )φ(α)
=
i =0
n
X
(a i + ( f ))(x + ( f ))i
=
i =0
!
ai x
i
+(f )
=
f +(f )
=
0+(f )
=
0L˜
,
also
f (α) = φˆ −1 (0L˜ ) = 0L .
ä
i =0
Im Rest dieses Abschnitts untersuchen wir allgemeine Eigenschaften von Körpererweiterungen, die durch algebraische Elemente erzeugt werden.
Definition 11.10
Eine Körpererweiterung L|K wird algebraisch genannt, wenn jedes Element
α ∈ L algebraisch über K ist.
Proposition 11.11
Sei L|K eine Körpererweiterung.
(i) Ist L|K endlich, dann auch algebraisch.
(ii) Sind α1 , ..., αn ∈ L algebraisch über K und gilt L = K (α1 , ..., αn ), dann ist die Erweiterung
L|K endlich (also insbesondere algebraisch).
Beweis: zu (i) Wir führen den Beweis durch Kontraposition. Ist L|K nicht algebraisch, dann gibt es ein Element α ∈ L,
das transzendent über K ist. Dies bedeutet, dass für jedes n ∈ N die Elemente 1, α, ..., αn über K linear unabhängig
P
sind. Denn andernfalls gäbe es Elemente a 0 , ..., a n ∈ K , nicht alle gleich Null, mit ni=0 a i αi = 0, und folglich wäre
P
f = ni=0 a i x i ∈ K [x] ein Polynom ungleich Null mit f (α) = 0. Daraus würde folgen, dass α algebraisch über K ist, im
—– 80 —–
§ 11.
Algebraische Erweiterungen
Widerspruch zur Voraussetzung. Aus der linearen Unabhängigkeit der n+1 Elemente 1, α, ..., αn folgt [L : K ] = dimK L ≥
n + 1. Da n beliebig gewählt war, erhalten wir [L : K ] = ∞.
zu (ii) Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion über n. Für n = 0 gilt L = K und somit [L : K ] = 1. Sei nun
n ∈ N vorgegeben, und setzen wir die Aussage für alle m ∈ N mit m < n voraus. Seien α1 , ..., αn ∈ L mit L = K (α1 , ..., αn ).
Nach Induktionsvoraussetzung ist die Erweiterung L 0 |K mit L 0 = K (α1 , ..., αn−1 ) endlich, und nach Proposition 10.3
gilt L = L 0 (αn ). Weil αn über K algebraisch ist, besitzt αn ein Minimalpolynom über K , erst recht ein Minimalpolynom
f ∈ L 0 [x] über L 0 . Nach Satz 11.4 gilt [L : L 0 ] = grad( f ). Weil L 0 |K und L|L 0 endliche Erweiterungen sind, ist nach Satz
10.6 auch L|K endlich.
ä
Satz 11.12
(i) Sei L|K eine Körpererweiterung und T ⊆ L die Teilmenge bestehend aus den Elementen,
die algebraisch über K sind. Dann ist T ein Teilkörper von L.
(ii) Seien L|K und M |L Körpererweiterungen. Genau dann ist die Erweiterung M |K algebraisch, wenn die Erweiterungen L|K und M |L beide algebraisch sind.
Beweis: zu (i) Zum Nachweis der Teilkörper-Eigenschaft müssen wir zeigen, dass 1L in T liegt, und mit α, β ∈ T auch
die Elemente α − β und αβ, im Fall α 6= 0L auch das Element α−1 . Wegen 1L = 1K ∈ K ist 1L algebraisch über K , also
in T enthalten. Seien nun α, β ∈ T vorgegeben. Weil α und β algebraisch über T sind, ist K (α, β)|K nach Proposition
11.11 (ii) eine endliche Erweiterung. Nach Teil (i) ist K (α, β)|K damit auch algebraisch, es gilt also K (α, β) ⊆ T . Als
Teilkörper enthält K (α, β) mit α und β auch die Elemente α − β und αβ, im Fall α 6= 0L auch das Element α−1 . Damit
sind all diese Elemente auch in T enthalten.
zu (ii) „⇒“ Setzen wir voraus, dass M |K algebraisch ist. Dann ist jedes α ∈ M Nullstelle eines Polynoms f ∈ K [x]
ungleich Null. Dieses Polynom ist auch in L[x] enthalten, folglich ist α auch algebraisch über L. Weil α ∈ M beliebig
gewählt war, folgt daraus, dass die Erweiterung M |L algebraisch ist. Wenn jedes α ∈ M algebraisch über K ist, dann
gilt dies insbesondere für jedes Element aus L. Folglich ist auch L|K algebraisch.
„⇐“ Seien nun L|K und M |L algebraische Erweiterungen und α ∈ M ein beliebig vorgegebenes Element. Wir müssen
zeigen, dass α algebraisch über K ist. Nach Voraussetzung ist α jedenfalls algebraisch über L. Sei f = µL,α ∈ L[x], und
seien a 0 , ..., a n ∈ L die Koeffizienten von f . Jedes a i ist laut Voraussetzung algebraisch über K . Nach Proposition 11.11
(ii) ist L 0 |K mit L 0 = K (a 0 , ..., a n ) damit eine endliche Erweiterung. Weil das Polynom f in L 0 [x] liegt, ist α algebraisch
über L 0 . Damit ist auch L 0 (α)|L 0 endlich. Mit Satz 10.6 können wir schließen, dass L 0 (α)|K endlich ist. Aber dies
bedeutet nach Proposition 11.11 (i) wiederum, dass L 0 (α)|K algebraisch und insbesondere α algebraisch über K ist.ä
—– 81 —–
§ 12. Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss
Satz 12.1
Sei K ein Körper und f ∈ K [x] ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es einen
Erweiterungskörper L von K mit den beiden Eigenschaften
(i) Das Polynom f zerfällt über L in Linearfaktoren.
(ii) Sind α1 , ..., αr die Nullstellen von f in L, dann gilt L = K (α1 , ..., αr ).
Ein Erweiterungskörper von L mit diesen Eigenschaften wird Zerfällungskörper von f über K
genannt.
Beweis:
Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion über n = grad( f ). Dabei können wir voraussetzen,
dass f normiert ist, weil sich an den Nullstellen nichts ändert, wenn wir f mit einem Element a ∈ K × multiplizieren.
Im Fall n = 1 gilt dann f = x − α für ein α ∈ K . Also ist L = K (α) = K der gesuchte Körper.
Sei nun n ∈ N und setzen wir die Aussage für Polynomgrade m < n als gültig voraus. Sei f vom Grad n und f 1 ∈ K [x]
ein irreduzibler Faktor von f . Nach Satz 11.9 über die Existenz algebraischer Erweiterungen gibt es einen Erweiterungskörper M 0 von K und ein Element α1 ∈ M 0 mit f (α1 ) = f 1 (α1 ) = 0. Sei M = K (α1 ) und g ∈ M [x] mit f = (x −α1 )g .
Wegen grad(g ) < grad( f ) = n können wir die Induktionsvoraussetzung auf g ∈ M [x] anwenden. Wir erhalten einen
Erweiterungskörper L von M , so dass das Polynom g über L in Linearfaktoren zerfällt, g = (x − α1 ) · ... · (x − αr ), und
L = M (α2 , ..., αr ) gilt. Es folgt
f
=
(x − α1 )(x − α2 ) · ... · (x − αr )
und L = M (α2 , ..., αr ) = K (α1 , α2 , ..., αr ).
ä
Nach Proposition 11.11 ist jeder Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K [x] algebraisch über K , weil er von algebraischen Elementen erzeugt wird. Wir erweitern die Definition des Zerfällungskörpers nun von einem Polynom auf eine
beliebige Menge von Polynomen.
Satz 12.2
Ist K ein Körper und S ⊆ K [x] eine beliebige (möglicherweise unendliche) Menge
von nicht-konstanten Polynomen, dann gibt es einen Erweiterungskörper L von K mit der Eigenschaft, dass jedes Polynom f ∈ S über L in Linearfaktoren zerfällt, und dass L = K (N ) gilt,
wobei
N
=
{α ∈ L | f (α) = 0 für ein f ∈ S}
die Menge der Nullstellen sämtlicher Polynome aus S bezeichnet. Man nennt L dann einen Zerfällungskörper von S über dem Grundkörper K .
Für den Beweis benötigt man hier ein nicht ganz triviales Hilfsmittel aus der Mengenlehre, das sog. Zornsche Lemma.
Aus algebraischer Sicht bietet der Beweis aber nichts Neues, weshalb wir auf die Ausführung verzichten.
Wir bemerken noch, dass der Zerfällungskörper L = K (N ) auch im Fall einer unendlichen Menge S von Polynomen
algebraisch über K ist. Sei nämlich L˜ ⊆ L die Teilmenge der über K algebraischen Elemente von L. Nach Satz 11.12 ist
˜ denn jedes Element von N ist Nullstelle eines Polynoms über K .
L˜ ein Zwischenkörper von L|K . Außerdem gilt N ⊆ L,
˜
Weil L = K (N ) nach Definition der kleinste Zwischenkörper von L|K ist, der N enthält, folgt L = L.
—– 82 —–
§ 12.
Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss
p
Wir schauen uns ein konkretes Beispiel für einen Zerfällungskörper an. Sei ζ = − 21 + 12 −3. Dann ist der Teilkörper
p
3
K = Q( 2, ζ) von C ein Zerfällungskörper des Polynoms f = x 3 − 2 über Q, denn die Nullstellen des Polynoms f in C
sind
α1 =
p
3
2 ,
p
p
3
3
α2 = ζ 2 und α3 = ζ2 2 ,
und es gilt K = Q(α1 , α2 , α3 ). Dagegen ist Q(α1 ) kein Zerfällungskörper von f , denn über diesem Körper zerfällt f nur
in die Faktoren (x − α1 )(x 2 + α1 x + α21 ). Der zweite Faktor ist über Q(α1 ) irreduzibel, weil die beiden Nullstellen α2 , α3
von f in C \ R liegen und damit nicht in Q(α1 ) ⊆ R enthalten sind.
Man beachte, dass das Polynom f in Satz 12.1 auch reduzibel über dem Grundkörper Q sein kann. Ist beispielsweise
p p
f = (x 2 −2)(x 2 −3)(x−5) ∈ Q[x] und K = Q( 2, 3), dann ist K ein Zerfällungskörper von f über Q, denn die Nullstellen
p
p
von f sind ± 2, ± 3 und 5, und es gilt
K
=
p
p p
p
Q( 2, − 2, 3, − 3, 5).
Wir wenden uns nun einem besonders wichtigen Typ von Zerfällungskörpern zu, dem algebraischen Abschluss eines
Körpers K . Zunächst definieren wir
Definition 12.3
Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht-konstante
Polynom f ∈ K [x] in K eine Nullstelle besitzt.
Durch vollständige Induktion über den Polynomgrad grad( f ) zeigt man leicht, dass jedes nicht-konstante Polynom
f ∈ K [x] über K in Linearfaktoren zerfällt, wenn K algebraisch abgeschlossen ist. In der Funktionentheorie wird gezeigt, dass der Körper C der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.
Definition 12.4 Sei K ein Körper. Ein Erweiterungskörper L von K wird algebraischer Abschluss
von K genannt, wenn L|K algebraisch und L algebraisch abgeschlossen ist.
Unser nächstes Ziel besteht in dem Nachweis, dass jeder Körper K einen algebraischen Abschluss besitzt, und dass
dieser „im wesentlichen“ eindeutig bestimmt ist. Auch für den Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K [x] werden wir
einen entsprechende Eindeutigkeitsaussage beweisen.
Proposition 12.5
Für eine algebraische Erweiterung L|K sind die folgenden beiden Aussagen
äquivalent.
(i) L ist ein algebraischer Abschluss von K .
(ii) Jedes nicht-konstante Polynom f ∈ K [x] zerfällt über L in Linearfaktoren.
Die Richtung „(i) ⇒ (ii)“ ist trivial. Für den Beweis der Umkehrung sei f ∈ L[x] nicht-konstant, L˜ ⊇ L ein
Zerfällungskörper von f über L und α ∈ L˜ eine beliebige Nullstelle von f . Mit L(α)|L und L|K ist nach Satz 11.12 auch
Beweis:
die Erweiterung L(α)|K algebraisch. Sei h ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K . Nach Voraussetzung zerfällt h
über L in Linearfaktoren. Aus h(α) = 0 folgt α ∈ L.
ä
—– 83 —–
§ 12.
Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss
Folgerung 12.6
Sei K ein Körper, S K ⊆ K [x] die Menge aller nicht-konstanten Polynome über
K und L ein Zerfällungskörper von S K über K . Dann ist L ein algebraischer Abschluss von K .
Beweis:
Als Zerfällungskörper ist L jedenfalls algebraisch über K . Außerdem zerfällt jedes nicht-konstante Polynom
aus K [x] über L in Linearfaktoren. Nach Proposition 12.5 ist L damit ein algebraischer Abschluss von K .
ä
Damit ist also bewiesen, dass jeder Körper K einen algebraischen Abschluss besitzt. Um den Nachweis der Eindeutigkeit vorzubereiten, zeigen wir
˜ Körpererweiterungen, S ⊆ L eine Teilmenge und
Lemma 12.7 Seien K ein Körper, L|K und L|K
φ : L → L˜ ein K -Homomorphismus. Dann gilt φ(K (S)) = K (φ(S)).
Beweis:
Sei M = φ(K (S)). Nach Definition des erzeugten Teilkörpers K (φ(S)) ist zu zeigen:
˜ , der φ(S) enthält.
(i) M ist ein Zwischenkörper von L|K
˜ mit L 1 ⊇ φ(S), dann folgt L 1 ⊇ M .
(ii) Ist L 1 ein weiterer Zwischenkörper von L|K
zu (i) Als Bild von K (S) ⊆ L unter einem Körperhomomorphismus nach L˜ ist φ(K (S)) auf jeden Fall ein Teilkörper von
˜ Wegen K ⊆ K (S) und S ⊆ K (S) enthält φ(K (S)) die beiden Mengen φ(K ) = K und φ(S).
L.
zu (ii) Es genügt zu zeigen, dass K (S) in φ−1 (L 1 ) enthalten ist, denn die Anwendung von φ auf beide Seiten dieser
Gleichung liefert
M
φ(K (S))
=
⊆
φ(φ−1 (L 1 ))
⊆
L1.
Wegen φ(K ) = K ⊆ L 1 und φ(S) ⊆ L 1 enthält φ−1 (L 1 ) die Teilmengen K und S. Also liegt auch der von S über K erzeugte
Teilkörper K (S) von L in φ−1 (L 1 ).
ä
Sei L|K eine algebraische Erweiterung, K˜ ein algebraisch abgeschlossener
Körper und φ : K → K˜ ein Homomorphismus von Körpern. Dann gibt es eine Fortsetzung ψ von
φ auf den Körper L, also einen Homomorphismus ψ : L → K˜ mit ψ|K = φ.
Proposition 12.8
Beweis:
Wir beschränken uns auf den Fall, dass die Erweiterung L|K endlich ist. Den unendlichen Fall bearbeitet
man auch hier mit Hilfe des Zornschen Lemmas. Der Beweis wir durch vollständige Induktion über n = [L : K ] geführt.
Ist n = 1, dann gilt L = K , und wir können einfach ψ = φ setzen.
Sei nun n ∈ N, und setzen wird die Aussage für Erweiterungen vom Grad < n voraus. Sei α ∈ L \ K ein beliebiges
Element und f ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K . Weil K˜ algebraisch abgeschlossen ist, besitzt das Polynom
f˜ = φ( f ) eine Nullstelle α˜ in K˜ . Wir wenden nun den Fortsetzungssatz (Satz 11.6) auf den Isomorphismus φ : K → φ(K )
an und erhalten einen (eindeutig bestimmten) Homomorphismus φˆ : K (α) → K˜ mit
ˆ
φ(α)
= α˜
ˆ K = φ.
φ|
und
Wegen α ∉ K ist [K (α) : K ] > 1, und nach dem Gradsatz gilt
[L : K (α)]
=
[L : K ]
[K (α) : K ]
<
[L : K ]
=
n.
Wir können somit die Induktionsvoraussetzung auf die Erweiterung L|K (α) anwenden und erhalten einen Homomorˆ Es folgt ψ|K = (ψ|K (α) )|K = φ|
ˆ K = φ.
phismus ψ : L → K˜ mit ψ|K (α) = φ.
ä
—– 84 —–
§ 12.
Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss
Satz 12.9
Sei K ein Körper und S ⊆ K [x] eine Menge bestehend aus nicht-konstanten Polyno-
men. Seien L 1 und L 2 Zerfällungskörper von S. Dann gibt es einen K -Isomorphismus ψ : L 1 → L 2 .
(Man sagt dazu, dass der Zerfällungskörper von S „bis auf K -Isomorphie“ eindeutig bestimmt
ist.)
Sei L˜ 2 ein algebraischer Abschluss von L 2 . Weil der Körper L˜ 2 algebraisch abgeschlossen ist, kann die Inklusionsabbildung ι : K → L˜ 2 nach Proposition 12.8 zu einem K -Homomorphismus ψ : L 1 → L˜ 2 fortgesetzt werden. Zu
Beweis:
zeigen ist ψ(L 1 ) = L 2 .
Für i = 1, 2 sei Ni ⊆ L i jeweils die Menge der Nullstellen aller Polynome f ∈ S in L i . Nach Definition der Zerfällungskörper gilt L i = K (Ni ) für i = 1, 2. Für jedes α ∈ N1 gibt es ein f ∈ S mit f (α) = 0. Weil es sich bei ψ um einen K Homomorphismus handelt, ist ψ(α) ebenfalls eine Nullstelle von f nach Satz 11.7. Es folgt ψ(α) ∈ N2 und insgesamt
ψ(N1 ) ⊆ N2 . Mit Lemma 12.7 erhalten wir
ψ(L 1 )
ψ(K (N1 ))
=
⊆
K (ψ(N1 ))
⊆
K (N2 ).
Nun zeigen wir, dass jedes nicht-konstante Polynom aus S über dem Körper ψ(L 1 ) in Linearfaktoren zerfällt. Sei also
f ∈ S vorgegeben. Weil L 1 ein Zerfällungskörper von S ist, zerfällt f über L 1 in Linearfaktoren. Es gibt also ein c ∈ K
und α1 , ..., αn ∈ L 1 mit
f
c(x − α1 ) · ... · (x − αn ) ,
=
wobei n = grad( f ) ist. Anwendung von ψ auf diese Gleichung liefert
f
=
ψ( f )
=
c(x − ψ(α1 )) · ... · (x − ψ(αn )) ,
und es gilt ψ(αi ) ∈ ψ(L 1 ) für 1 ≤ i ≤ n. Dies zeigt, dass die Nullstellen sämtlicher f ∈ S in L 2 bereits in ψ(L 1 ) enthalten
sind. Damit ist ψ(L 1 ) ein Zwischenkörper von L˜ 2 |K mit ψ(L 1 ) ⊇ N2 . Weil L 2 = K (N2 ) nach Definition der kleinste
Zwischenkörper von L˜ 2 |K mit dieser Eigenschaft ist, folgt L 2 ⊆ ψ(L 1 ). Insgesamt ist damit ψ(L 1 ) = L 2 nachgewiesen.ä
Folgerung 12.10
Ist K ein Körper und sind L 1 , L 2 algebraische Abschlüsse von K , dann existiert
zwischen L 1 und L 2 ein K -Isomorphismus.
Beweis: Nach Folgerung 12.6 sind L 1 und L 2 beides Zerfällungskörper der Menge S K aller nicht-konstanten Polynome
über K . Also existiert nach Satz Satz 12.9 ein K -Isomorphismus zwischen diesen Körpern.
—– 85 —–
ä
§ 13. Endliche Körper
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass es zu jeder Primzahlpotenz p n jeweils „bis auf Isomorphie“ genau einen
Körper mit p n Elementen gibt. Als erstes stellen wir fest, dass die Elementezahl in einem endlichen Körper auf jeden
Fall eine Primzahlpotenz sein muss.
Satz 13.1
Ist K ein endlicher Körper, dann ist |K | eine Primzahlpotenz. Es gilt also |K | = p n für
eine Primzahl p und ein n ∈ N.
Sei P der Primkörper von K . Nach Satz 9.6 gilt P ∼
= Q oder P ∼
= Fp für eine Primzahl p. Dabei scheidet die
erste Möglichkeit aus, weil |K | und damit |P | endlich ist. Sei also p die Primzahl mit P ∼
= Fp . Wegen |K | < ∞ muss auch
Beweis:
der Grad n = [K : P ] endlich sein. Als P -Vektorraum ist K damit isomorph zu P n , und es folgt |K | = |P |n = p n .
ä
Als nächstes werden wir zeigen, dass jeder Körper mit p n Elementen zwangsläufig ein Zerfällungskörper über seinem
Primkörper ist. Weil nach § 12 jeder Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K [x] bis auf K -Isomorphie eindeutig bestimmt ist, stellt dies einen wichtigen Schritt hin zum Nachweis der Eindeutigkeit dar. Hierzu benötigen wir allerdings
ein wenig Vorbereitung.
Definition 13.2
Sei K ein Körper und f =
nennt man
f0
=
n
X
ka k x k−1
Pn
k=0
a k x k ∈ K [x], mit n ∈ N0 und a 0 , ..., a n ∈ K . Dann
die formale Ableitung von f .
k=1
Man überprüft unmittelbar, dass die aus der Analysis bekannten Ableitungsregeln ( f + g )0 = f 0 + g 0 und
( f g )0 = f 0 g + f g 0 auch für die formale Ableitung gültig sind.
Proposition 13.3
Sei K ein Körper, f ∈ K [x] ein Polynom vom Grad n ≥ 1 und L ein Erweite-
rungskörper von K , über dem f in Linearfaktoren zerfällt. Dann sind die folgenden beiden Aussage äquivalent:
(i) Es gilt ggT( f , f 0 ) = 1 in K [x].
(ii) Das Polynom f besitzt in L nur einfache Nullstellen, d.h. es ein a ∈ K und n verschiedene
Q
Elemente α1 , ..., αn ∈ L, so dass f = a ni=1 (x − αi ).
Beweis:
Sei α ∈ L eine Nullstelle von f . Wir zeigen zunächst, dass α genau dann eine mehrfache Nullstelle von f
ist, wenn f 0 (α) = 0 gilt. Wegen f (α) = 0 gibt es ein Polynom g ∈ L[x] mit f = (x − α)g . Auf Grund der Produktregel gilt
f 0 = g + (x − α)g 0 , und α ist genau dann eine mehrfache Nullstelle von f , wenn
g (α) = 0
⇔
g (α) + (α − α)g 0 (α) = 0
⇔
f 0 (α) = 0
erfüllt ist. Wir beweisen nun die Äquivalenz. Sind die Polynome f und f 0 nicht teilerfremd in K [x], dann haben sie
einen gemeinsamen irreduziblen Faktor p ∈ K [x]. Mit f zerfällt auch p über L in Linearfaktoren. Jede Nullstelle von p
in L ist eine gemeinsame Nullstelle von f und f 0 und somit eine mehrfache Nullstelle von f .
—– 86 —–
§ 13.
Endliche Körper
Eine mehrfache Nullstelle α von f in L ist umgekehrt eine gemeinsame Nullstelle von f und f 0 . Würde in K [x] nun
ggT( f , f 0 ) = 1 gelten, dann gäbe es nach dem Lemma von Bézout Polynome a, b ∈ K [x] mit a f + b f 0 = 1. Dies hätte
den Widerspruch
0
a(α) f (α) + b(α) f 0 (α)
=
1
=
zur Folge. Also sind f und f 0 in K [x] nicht teilerfremd.
ä
Sei p eine Primzahl, n ∈ N und K ein Körper mit p n Elementen. Dann ist
Proposition 13.4
n
der Primkörper P von K zu Fp isomorph, und K ist ein Zerfällungskörper von f n = x p − x ∈ P [x]
über dem Körper P .
Beweis:
Dass der Primkörper P von K isomorph zu Fp sein muss, haben wir schon im Beweis von Satz 13.1 festge-
stellt. Wir zeigen nun, dass K der Zerfällungskörper von f n über P ist. Die multiplikative Gruppe K × hat die Ordnung
p n − 1. (Diese Beobachtung ist ganz entscheidend für das Verständnis der endlichen Körper!) Für jedes α ∈ K × gilt
deshalb
αp
n
αp
=
n −1
α
α
=
n
αp − α
⇔
0 ,
=
n
also ist jedes solche Element Nullstelle von f n = x p − x. Zusätzlich gilt offenbar f n (0K ) = 0K . Da f n als Polynom vom
Grad p n andererseits höchstens p n Nullstellen besitzt, kommen wir insgesamt zu dem Ergebnis, dass die Nullstellenmenge N von f n mit K übereinstimmt. Das Polynom f n zerfällt also über K in Linearfaktoren, und zugleich wird K
wegen P (N ) = P (K ) = K über dem Grundkörper P von N erzeugt. Also ist K der Zerfällungskörper von f n .
ä
n
Umgekehrt werden wir nun zeigen, dass jeder Zerfällungskörper des Polynoms x p − x über einem Körper mit p Elementen aus genau p n Elementen besteht. Dies ist ein wichtiger Schritt in Richtung des Existenzbeweises.
Sei p eine Primzahl, R ein Ring der Charakteristik p und n ∈ N. Dann gilt
Proposition 13.5
(a + b)p
Beweis:
n
=
n
ap + bp
n
für alle a, b ∈ R.
Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion über n. Auf Grund des binomischen Lehrsatzes gilt
à !
à !
p
n p
X
X
p p−k k
p
p
a
b
= a +
a p−k b k + b p .
(a + b)
=
k=1 k
k=0 k
Die Binomialkoeffizienten
¡p ¢
k
sind für 1 ≤ k ≤ p − 1 durch p teilbar, denn in
à !
p
k
=
p!
k!(p − k)!
=
1
k!
Ã
!
p
Y
m
m=p−k+1
wird das Produkt rechts von p geteilt, und wegen k < p wird p durch den Vorfaktor (k!)−1 nicht weggekürzt. Aufgefasst
¡p ¢
als Elemente in R sind die Binomialkoeffizienten k für 1 ≤ k ≤ p − 1 also gleich Null, und wir erhalten (a + b)p =
a p + b p . Setzen wir nun die Gleichung für n voraus, dann erhalten wir
(a + b)p
n+1
=
n
((a + b)p )p
=
n
n
(a p + b p )p
=
n
n
(a p )p + (b p )p
—– 87 —–
=
ap
n+1
+ bp
n+1
.
ä
§ 13.
Endliche Körper
Proposition 13.6
Sei p eine Primzahl, P ein Körper mit p Elementen, n ∈ N und K ein Zerfäln
lungskörper von f n = x p − x ∈ P [x]. Dann gilt |K | = p n .
Beweis:
Sei M ⊆ K die Menge der Nullstellen von f n in K . Wir zeigen zunächst, dass M ein Teilkörper von K ist.
pn
Wegen f n (1K ) = 1K − 1K = 1K − 1K = 0K liegt zunächst 1K in M . Seien nun a, b ∈ K vorgegeben. Nach Proposition 13.5
gilt
(a − b)p
n
=
(a + (−b))p
n
=
n
n
a p + (−1)p b p
n
n
a + (−1)p b.
=
n
n
Sowohl im Fall p = 2 als auch im Fall p 6= 2 erhalten wir (a − b)p = a − b und somit a − b ∈ M . Ebenso gilt (ab)p =
a
pn
b
pn
= ab, also ab ∈ M . Im Fall a 6= 0 gilt schließlich
(a −1 )p
n
a −p
=
n
=
n
(a p )−1
=
a −1
und damit auch a −1 ∈ M . Damit ist der Nachweis der Teilkörper-Eigenschaft abgeschlossen.
Nun zeigen wir, dass M ein Erweiterungskörper von P ist. Die multiplikative Gruppe P × besteht aus p − 1 Elementen.
Für alle a ∈ P × gilt deshalb a p = a p−1 a = 1· a = a, und natürlich ist die Gleichung a p = a auch für a = 0K erfüllt. Damit
n
gilt auch a p = a für alle a ∈ P , und es folgt P ⊆ M . Insgesamt ist M also ein Erweiterungskörper von P , der genau aus
den Nullstellen von f n besteht und insbesondere von diesen erzeugt wird. Damit ist M der Zerfällungskörper von f n
in K . Dies bedeutet, dass M = K gilt.
Nun brauchen wir nur noch überprüfen, dass f n genau p n Nullstellen besitzt und für M als Nullstellenmenge somit
|K | = |M | = p n gilt. Die formale Ableitung von f n ist gegeben durch f n0 = p n x p
n −1
−1 = −1, also ist ggT( f n0 , f n ) = 1. Nach
n
Proposition 13.3 besitzt f n in K damit p voneinander verschiedene Nullstellen. Wir erhalten |K | = |M | = p n .
ä
Wir können nun das Hauptergebnis dieses Abschnitts formulieren.
Satz 13.7
Sei p eine Primzahl und n ∈ N. Dann gibt es einen Körper mit p n Elementen, und je
zwei Körper mit p n Elementen sind zueinander isomorph.
n
Zunächst beweisen wir die Existenzaussage. Sei K ein Zerfällungskörper des Polynoms f n = x p − x ∈ Fp [x].
Dann gilt |K | = p n nach Proposition 13.6. Sei nun K˜ ein beliebiger Körper mit p n Elementen und P˜ sein Primkörper.
Beweis:
Nach Proposition 13.4 gibt es eine Isomorphismus φ : Fp → P˜ . Unser Ziel besteht darin, φ mit Hilfe des Fortsetzungssatzes zu einem Isomorphismus zwischen K und K˜ zu erweitern.
Aus der Zahlentheorie-Vorlesung ist bekannt, dass die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist, also
auch die Gruppe K × . Sei α ein erzeugendes Element dieser Gruppe. Dann gilt insbesondere Fp (α) = K . Sei außerdem
f ∈ Fp [x] das Minimalpolynom von α über K . Aus |K | = p n folgt [K : Fp ] = n und damit
grad( f )
=
[Fp (α) : Fp ]
=
[K : Fp ]
n
=
n.
Wegen f n (α) = αp − α = 0 ist f n ein Vielfaches des Minimalpolynoms f , es gibt also ein g ∈ Fp [x] mit f n = f g . Mit f
ist auch das Polynom f˜ = φ( f ) in P˜ [x] irreduzibel. Wegen |K˜ | = p n ist K˜ nach Proposition 13.4 ein Zerfällungskörper
von f˜n = φ( f n ). Wegen
f˜n
=
φ( f g )
=
—– 88 —–
f˜ · φ(g )
§ 13.
Endliche Körper
ist f˜ ein Teiler von f˜n . Dies bedeutet, dass f˜ über K˜ in Linearfaktoren zerfällt. Damit sind die Vorbereitungen zur
Anwendung des Fortsetzungssatzes abgeschlossen. Sei nun α˜ ∈ K˜ eine beliebige Nullstelle von f˜. Dann gibt es auf
Grund des Fortsetzungssatzes (Satz 11.6) einen Isomorphismus
˜
ψ : Fp (α) −→ P˜ (α)
˜ Weil α˜ Nullstelle eines irreduziblen Polynoms vom Grad n ist, gilt [P˜ (α) : P˜ ] = n und somit
mit ψ|Fp = φ und ψ(α) = α.
|P˜ (α)| = p n . Zusammen mit P˜ (α) ⊆ K˜ und |K˜ | = p n folgt K˜ = P˜ (α). Damit ist bewiesen, dass es sich bei ψ um einen
Isomorphismus zwischen K = Fp (α) und K˜ handelt.
Folgerung 13.8
ä
alg
Sei p eine prim und Fp ein algebraischer Abschluss von Fp .
alg
(i) Für jedes n ∈ N gibt es genau einen Teilkörper Fp n ⊆ Fp mit p n Elementen.
(ii) Für m, n ∈ N gilt Fp m ⊆ Fp n genau dann, wenn m ein Teiler von n ist.
Beweis:
n
alg
zu (i) Sei Fp n der Zerfällungskörper von f n = x p − x ∈ Fp [x] in Fp . Dann gilt |Fp n | = p n nach Proposition
13.6. Ist umgekehrt L
alg
⊆ Fp
ein beliebiger Teilkörper mit p n Elementen, dann ist Fp der Primkörper von L, und nach
alg
Proposition 13.4 ist L der Zerfällungskörper von f n in Fp . Also stimmen L und Fp n überein.
zu (ii) Wenn m ein Teiler von n ist, n = d m mit d ∈ N, dann ist der Zerfällungskörper von f m im Zerfällungskörper von
m
alg
f n enthalten. Ist nämlich α ∈ Fp eine Nullstelle von f m , dann gilt αp = α, und folglich wird α unter der Abbildung
m
φm (α) = αp auf sich selbst abgebildet. Durch vollständige Induktion über k ∈ N0 sieht man, dass φkm (α) = αp
km
gilt,
und wir erhalten insbesondere
αp
n
=
αp
dm
=
φdm (α)
=
α.
Dies zeigt, dass α auch Nullstelle von f n ist.
Seien umgekehrt m, n ∈ N mit der Eigenschaft, dass Fp m ein Teilkörper von Fp n ist. Setzen wir d = [Fp n : Fp m ], dann
handelt es sich bei Fp n also um einen d -dimensionalen Fp m -Vektorraum. Dieser enthält (p m )d = p md Elemente, und
aus p md = |Fp n | = p n folgt d m = n.
ä
—– 89 —–
§ 14. Normale Erweiterungen
In diesem und dem nächsten Abschnitt behandeln wir zwei weitere wichtige Eigenschaften von algebraischen Erweiterungen, die wir dann anschließend für die Formulierung der Galoistheorie benötigen werden. Der erste Begriff
ermöglicht es, die Zerfällungskörper unter den algebraischen Erweiterungen zu charakterisieren, ohne dabei Bezug
auf ein konkretes Polynom zu nehmen.
Definition 14.1
Eine algebraische Körpererweiterung L|K heißt normal, wenn folgende Bedin-
gung erfüllt ist: Ist f ∈ K [x] ein irreduzibles Polynom, das in L eine Nullstelle besitzt, dann zerfällt
f über L in Linearfaktoren.
Proposition 14.2
Beweis:
Sei K ein Körper und L|K eine Erweiterung vom Grad 2. Dann ist L|K normal.
Sei f ∈ K [x] ein irreduzibles Polynom, das in L eine Nullstelle α besitzt. Dabei können wir uns auf den Fall
beschränken, dass f normiert und somit das Minimalpolynom von α ist. Wegen [L : K (α)] · [K (α) : K ] = [L : K ] = 2 gilt
grad( f ) = [K (α) : K ] ∈ {1, 2}. Im Fall grad( f ) = 1 ist f bereits ein lineares Polynom. Im Fall grad( f ) = 2 ist x −α ein Teiler
von f in L[x]. Es gibt somit ein Polynom grad(g ) vom Grad 1 mit f = (x − α)g . Also zerfällt f auch in diesem Fall über
L in Linearfaktoren.
ä
Wenn wir nach Gegenbeispielen zu normalen Erweiterungen suchen, müssen wir uns also auf solche vom Grad ≥ 3
p
3
konzentrieren. Sei etwa K = Q und L = Q( 2), wobei wir beide Körper als Teilkörper von R betrachten. Dann ist die
Erweiterung L|K nicht normal. Denn das Polynom f = x 3 − 2 ∈ K [x] ist nach dem Eisenstein-Kriterium irreduzibel
p
p
3
3
über K , besitzt aber andererseits in L eine Nullstelle, nämlich 2. Wäre L|K normal, dann müsste f über Q( 2) in
Linearfaktoren zerfallen. Aber wir haben bereits im Abschnitt über Zerfällungskörper gesehen, dass dies nicht der Fall
ist.
Durch den folgende Satz zeigt, dass normale Erweiterungskörper nichts weiter als Zerfällungskörper von Polynomen
des Grundkörpers sind. Die zusätzliche Charakterisierung über die Körperhomomorphismen werden wir später in
der Galoistheorie verwenden.
Satz 14.3 Sei K ein Körper, und seien K˜ ⊇ L ⊇ K Erweiterungen von K , wobei L|K endlich und
K˜ algebraisch abgeschlossen ist. Dann sind die folgenden Aussgen äquivalent:
(i) L|K ist normal.
(ii) Es gibt ein nicht-konstantes Polynom f ∈ K [x], so dass L der Zerfällungskörper in von f
über K ist.
(iii) Es gilt HomK (L, K˜ ) = AutK (L).
—– 90 —–
§ 14.
Normale Erweiterungen
„(i) ⇒ (ii)“ Da L|K endlich ist, gibt es über K algebraische Elemente α1 , ..., αr ∈ L mit L = K (α1 , ..., αr ) (wähle
Q
zum Beispiel eine K -Basis von L). Für jedes i ∈ {1, ..., r } sei f i ∈ K [x] das Minimalpolynom von αi und f = ri=1 f i .
Beweis:
Jedes f i besitzt offenbar in L eine Nullstelle. Weil L|K normal ist, zerfällt jedes f i und damit auch das Polynom f über
L in Linearfaktoren, und zugleich wird f von den Nullstellen von f erzeugt. Also ist L ein Zerfällungskörper von f .
„(ii) ⇒ (iii)“ Die Inklusion „⊇“ ist auf Grund der Definition von HomK (L, K˜ ) und AutK (L) klar. Zum Nachweis von „⊆“
sei nun φ ∈ HomK (L, K˜ ) vorgegeben. Außerdem setzen wir voraus, dass L der Zerfällungskörper des nicht-konstanten
Polynoms f ∈ K [x] ist. Dann gilt L = K (α1 , ..., αr ), wobei α1 , ..., αr ∈ L die verschiedenen Nullstellen von f sind. Für
jedes i ist φ(αi ) nach Satz 11.7 ebenfalls eine Nullstelle von f und liegt damit in L. Aus
φ({α1 , ..., αr })
⊆
{α1 , ..., αr }
erhalten wir durch Anwendung von Lemma 12.7 die Inklusion φ(L) ⊆ L, d.h. φ(L) ist ein Teilkörper von L. Weil φ aber
injektiv ist, muss der Grad [φ(L) : K ] mit [L : K ] übereinstimmen. Es folgt φ(L) = L und somit φ ∈ AutK (L).
„(iii) ⇒ (i)“ Sei f ∈ K [x] ein irreduzibles Polynom, das in L eine Nullstelle α besitzt. Zu zeigen ist, dass f über L in
Linearfaktoren zerfällt. Zumindest zerfällt f über dem Körper K˜ , da dieser algebraisch abgeschlossen ist. Sei β ∈ K˜ eine
beliebige weitere Nullstelle von f . Auf Grund des Fortsetzungssatzes gibt es einen K -Homomorphismus φ : K (α) → K˜
mit φ(α) = β. Nach Proposition 12.8 gibt es eine Fortsetzung ψ : L → K˜ von φ auf L. Dieses ψ ist nach Definition in
HomK (L, K˜ ) enthalten. Nach Voraussetzung gilt HomK (L, K˜ ) = AutK (L), also ist β = phi (α) = ψ(α) in L enthalten. Jede
Nullstelle von f liegt also bereits in L, d.h. f zerfällt über L in Linearfaktoren.
ä
p
p
3
Sei ζ = − 12 + 12 −3 ∈ C und L = Q( 2, ζ). Dann ist die Erweiterung L|Q normal, denn wie wir in §12 gezeigt haben, handelt es sich bei L um den Zerfällungskörper des Polynoms x 3 − 2 ∈ Q[x]. Nach Satz 14.3 (iii) ist jeder QHomomorphismus φ : L → C ein Q-Automorphismus von L.
Zum Schluss untersuchen wir noch, wie sich die Eigenschaft „normal“ bei Türmen von Körpererweiterungen verhält.
Proposition 14.4
Ist L|K eine normale Erweiterung und M ein Zwischenkörper von L|K , dann
ist auch die Erweiterung L|M normal.
Beweis:
Sei f ∈ M [x] ein irreduzibles Polynom und α ∈ L eine Nullstelle von f . Zu zeigen ist, dass f über L in Linear-
faktoren zerfällt. Nach Multiplikation von f mit einem α ∈ M × können wir voraussetzen, dass f normiert ist. Dann ist
f das Minimalpolynom von α über M . Das Minimalpolynom g ∈ K [x] von α über K zerfällt über L in Linearfaktoren,
weil die Erweiterung L|K normal ist. Nun ist g auch ein Polynom in M [x] mit g (α) = 0 und damit ein Vielfaches des
Minimalpolynoms f von α über L. Mit g zerfällt also auch f über L in Linearfaktoren.
ä
Aus den Voraussetzungen von Proposition 14.4 folgt nicht, dass auch die auch die untere Teilerweiterung M |K normal
ist. Als Beispiel betrachten wir die Körper
K =Q ,
p
p
3
3
M = Q( 2) und L = Q( 2, ζ)
p
mit ζ = − 12 + 12 −3. Wir haben bereits festgestellt, dass L|K eine normale Erweiterung ist, und auf Grund der Proposition gilt dasselbe für die Erweiterung L|M . Aber M |K ist nicht normal, wie wir im Beispiel von oben gesehen haben.
Ebenso wenig folgt aus der Normalität der beiden Teilerweiterungen M |K und L|M , dass die Gesamterweiterung L|K
normal ist.
—– 91 —–
§ 15. Separable Erweiterungen
Mit der Separabilität definieren wir eine weitere Eigenschaft algebraischer Körpererweiterungen, die beim Beweis des
Hauptsatzes der Galoistheorie eine wichtige Rolle spielen wird. Außerdem werden wir sehen, dass sich endliche separable Erweiterungen stets durch ein einziges Körperelement erzeugen lassen, was ihr Studium erheblich vereinfacht.
Definition 15.1
Sei K ein Körper. Ein Polynom f ∈ K [x] wird separabel genannt, wenn es
irreduzibel ist und ggT( f , f 0 ) = 1 gilt.
Nach Proposition 13.3 ist die Separabilität von f gleichbedeutend damit, dass f irreduzibel ist und in jedem Erweiterungskörper L von K nur einfache Nullstellen besitzt.
Definition 15.2
Sei L|K eine Körpererweiterung. Ein Element α ∈ L wird separabel über K
genannt, wenn es algebraisch über K ist und sein Minimalpolynom f ∈ K [x] separabel ist. Wir
nennen die Erweiterung L|K separabel, wenn jedes α ∈ L über K separabel ist.
Proposition 15.3
Ist L|K eine Körpererweiterung, α ∈ L ein über K separables Element und M
ein Zwischenkörper von L|K , dann ist α auch separabel über M .
Beweis: Sei f ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K und g ∈ M [x] das Minimalpolynom von α über M . Da f
auch in M [x] liegt und f (α) = 0 gilt, ist g als Minimalpolynom ein Teiler von f . Sei L˜ nun ein algebraischer Abschluss
von L. Da α über K separabel ist, besitzt f in L˜ keine mehrfachen Nullstellen. Dasselbe gilt dann auch für den Teiler g
von f . Also ist das Minimalpolynom g ∈ M [x] separabel und α damit separabel über M .
Satz 15.4
ä
Ist K ein Körper der Charakteristik 0, dann ist jede algebraische Erweiterung L|K
separabel.
Beweis: Sei α ∈ L\K und f ∈ K [x] sein Minimalpolynom. Ist n = grad( f ), dann gilt n > 1, denn ansonsten wäre f = x −
α und α somit in K enthalten. Das Polynom f 0 ist dann vom Grad n − 1. (Dies ist für Polynome über Körpern positiver
Charakteristik falsch, wie man anhand des Polynoms x p − 1 über dem Körper Fp sieht.) Weil f aber irreduzibel ist,
muss ggT( f , f 0 ) = 1 gelten.
Satz 15.5
Beweis:
ä
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist jede algebraische Erweiterung L|K separabel.
Sei |K | = q, q = p r mit einer Primzahl p und einem r ∈ N, und sei α ∈ L ein beliebiges Element. Dann gilt
rn
|K (α)| = q n = p r m , wobei n = [K (α) : K ] ist. Das Element α ist damit Nullstelle des Polynoms g = x p − x ∈ K [x],
und wegen g 0 = −1 besitzt dieses im algebraischen Abschluss K˜ von K nur einfache Nullstellen. Das Minimalpolynom
—– 92 —–
§ 15.
Separable Erweiterungen
f ∈ K [x] von α ist ein Teiler von g , also hat auch f in K˜ nur einfache Nullstellen, und es folgt ggT( f , f 0 ) = 1 nach
Proposition 13.3.
ä
In Anbetracht von Satz 15.4 und Satz 15.5 drängt sich die Frage auf, ob es überhaupt Körper mit nicht-separablen algebraischen Erweiterungen gibt. Um ein solches Beispiel anzugeben, betrachten wir den rationalen Funktionenkörper
K (t ) über einem Körper K , der in der Zahlentheorie-Vorlesung eingeführt wurde. Sei p eine Primzahl, L = Fp (t ) der
rationale Funktionenkörper über Fp und K = Fp (t p ). Dann ist das Element α = t ∈ L nicht separabel über K .
Beweis:
Das Polynom f = x p − t p ∈ K [x] hat α als Nullstelle und zerfällt über L in f = (x − t )p (beachten Sie hierbei
Proposition 13.5). Wäre f über K reduzibel, dann hätte ein Teiler g ∈ K [x] von f die Form (x − t )m mit 1 ≤ m < p. Aber
der konstante Term (−1)m t m von g ist nicht in K enthalten, denn für jedes Element u/v ∈ K mit u, v ∈ Fp [t ] ist die
Zahl grad(u) − grad(v) durch p teilbar. Also ist f über K irreduzibel und somit das Minimalpolynom von α. Da f aber
in L eine p-fache Nullstelle hat, ist es nicht separabel.
ä
Definition 15.6 Eine Körpererweiterung L|K wird einfach genannt, wenn ein Element α ∈ L mit
L = K (α) existiert. In diesem Fall nennt man α eine primitives Element der Erweiterung.
Satz 15.7
(Satz vom primitiven Element)
Jede endliche, separable Erweiterung L|K ist einfach.
Beweis:
Ist K ein endlicher Körper, dann ist auch L endlich. Wie aus der Zahlentheorie-Vorlesung bekannt, ist die
multiplikative Gruppe L × eines endlichen Körpers zyklisch. Ist α ∈ L × ein Erzeuger der Gruppe, dann gilt offenbar
L = K (α), also ist L|K einfach. Von nun an gehen wir davon aus, dass der Körper K unendlich ist.
Da es sich bei L|K um eine endliche Erweiterung handelt, gibt es Elemente α1 , ..., αr mit L = K (α1 , ..., αr ). (Man kann
zum Beispiel eine Basis von L als K -Vektorraum nehmen.) Wir beweisen nun durch vollständige Induktion über r ,
dass eine solche Erweiterung einfach ist. Für r = 1 folgt die Aussage direkt aus der Definition. Sei nun r > 1, und
setzen wir die Aussage für alle s < r voraus. Nach Induktionsvoraussetzung ist L 0 = K (α1 , ..., αr −1 ) einfach. Es gibt also
ein α ∈ L 0 mit L 0 = K (α). Setzen wir β = αr , dann gilt also L = K (α, β). Es bleibt zu zeigen, dass die Erweiterung L|K
von einem einzigen Element erzeugt wird.
Sei L˜ ein algebraischer Abschluss von L, f ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K und g ∈ K [x] das Minimalpolynom von β über K . Dann zerfallen f und g über L˜ in Linearfaktoren, d.h. es gibt α1 , ..., αm ∈ L˜ und β1 , ..., βn mit
f
=
m
Y
(x − αi )
und
g
=
i =1
n
Y
(x − β j ) ,
j =1
wobei wir α1 = α und β1 = β annehmen können. Ferner sind die Elemente α1 , ..., αm und β1 , ..., βn jeweils verschieden
voneinander, weil α und β über K separabel und f und g damit separable Polynome sind. Für jedes c ∈ K × sei nun
γc
=
α + cβ
und
Mc
—– 93 —–
=
K (γc ).
§ 15.
Separable Erweiterungen
Wir werden zeigen, dass c so gewählt werden kann, dass M c = K (α, β) erfüllt ist. Dazu betrachten wir das Polynom
h c ∈ M c [x] gegeben durch
hc
=
f (γc − c x)
m
Y
=
((γc − c x) − αi )
m
Y
=
(γc − (αi + c x)).
i =1
i =1
Wir bezeichnen die einzelnen Linearfaktoren γc − (αi + c x) von h c mit h c,i . Das Polynom h c ist so konstruiert, dass es
β = β1 auf jeden Fall als Nullstelle besitzt, denn nach Definition gilt
h c,1 (β)
=
γc − (α1 + cβ)
γc − (α + cβ)
=
γc − γc
=
=
0
und somit h c (β1 ) = h c (β) = 0. Andererseits kann das Element c so gewählt werden, dass β2 , ..., βn nicht als Nullstellen
von h c auftreten. Für 1 ≤ i ≤ m und 2 ≤ j ≤ n gilt nämlich
h c,i (β j )
=
γc − (αi + cβ j )
(α + cβ) − (αi + cβ j )
=
=
(α − αi ) + c(β − β j ).
Weil K unendlich ist, können wir c so wählen, dass
c 6= −
α − αi
β − βj
für 1 ≤ i ≤ m, 2 ≤ j ≤ n
⇔
h c,i (β j ) 6= 0 für 1 ≤ i ≤ m, 2 ≤ j ≤ n
⇔
h c (β j ) 6= 0 für 2 ≤ j ≤ n
erfüllt ist. In diesm Fall ist dann x − β1 der einzige Linearfaktor von g , der auch das Polynom h c teilt. Es gilt also
x −β
=
ggT(g , h c ).
Aber der größte gemeinsame Teiler von zwei Polynomen g , h c ∈ M c [x] ist wiederum in M c [x] enthalten. Es folgt β ∈ M c
und damit auch α = γc − cβ ∈ M c . Aus α, β ∈ M c erhalten wir K (α, β) ⊆ M c = K (γc ). Da andererseits γc = α + cβ in
K (α, β) liegt, erhalten wir insgesamt die gewünschte Gleichung K (α, β) = K (γc ).
ä
Der Satz vom primitiven Element hat auch Auswirkungen auf die Anzahl der Zwischenkörper einer algebraischen
Erweiterung. Diesen Zusammenhang sehen wir uns als nächstes an. Als Vorbereitung beweisen wir
Lemma 15.8
Sei L|K eine einfache algebraische Erweiterung, also L = K (α) für ein α ∈ L. Sei M
ein Zwischenkörper von L|K und
f
xn +
=
n
X
ai x i
∈ M [x]
i =0
das Minimalpolynom von α über M . Dann gilt M = K (a 0 , ..., a n−1 ).
Beweis:
Sei M 0 = K (a 0 , ..., a n−1 ). Dann ist M 0 jedenfalls in M enthalten, denn jedes der Elemente a i liegt nach
Voraussetzung in M . Wir betrachten nun die Erweiterung L|M 0 . Wegen L = K (α) gilt erst recht L = M 0 (α), und das
Polynom f ist irreduzibel in M 0 [x], weil es sogar in M [x] irreduzibel ist. Also ist f auch das Minimalpolynom von α
über M 0 , und wir erhalten
[L : M ]
Der Gradsatz liefert nun
[M 0 : K ]
=
=
grad( f )
[L : K ]
[L : M 0 ]
=
=
[L : M 0 ].
[L : K ]
[L : M ]
Zusammen mit M 0 ⊆ M erhalten wir M 0 = M .
=
[M : K ].
ä
—– 94 —–
§ 15.
Separable Erweiterungen
Satz 15.9
Eine endliche Erweiterung L|K besitzt genau dann nur endlich viele Zwischenkörper,
wenn sie einfach ist.
Beweis:
Ist K ein endlicher Körper, dann ist auch L endlich. Weil es in L nur endlich viele Teilmengen gibt, kann
es auch nur endlich viele Zwischenkörper gegeben. Andererseits ist L × als multiplikative Gruppe eines endlichen
Körpers zyklisch, und ist α ein Erzeuger dieser Gruppe, dann gilt L = K (α). Die Äquivalenz ist im Fall endlicher Körper
also richtig, weil beide Teilaussagen immer erfüllt sind. Wir setzen von nun an voraus, dass K unendlich ist.
„⇐“ Sei α ∈ L ein Element mit L = K (α) und f ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K . Sei außerdem M ein Zwischenkörper von L|K und g ∈ M [x] das Minimalpolynom von α über M . Da f in M [x] liegt und f (α) = 0 gilt, ist f ein
Vielfaches von g [x]. Außerdem wird M nach Lemma 15.8 von den Koeffizienten von g erzeugt. Jedem Zwischenkörper kann also ein normierter Teiler von f zugeordnet werden, und diese Zuordnung ist injektiv. Da f nur endlich viele
normierte Teiler besitzt, kann es auch nur endlich viele Zwischenkörper geben.
„⇒“ Da L|K eine endliche Erweiterung ist, gibt es Elemente α1 , ..., αr ∈ L mit L = K (α1 , ..., αr ). Wir zeigen nun durch
vollständige Induktion über r , dass jede algebraische Erweiterung L|K , die nur endlich viele Zwischenkörper besitzt
und von r Elementen α1 , ..., αr erzeugt wird, eine einfache Erweiterung ist.
Für r = 1 ist nichts zu zeigen. Sei nun r > 1, und setzen wir die Aussage für alle s < r als gültig voraus. Setzen wir
L 0 = K (α1 , ..., αr −1 ), dann hat mit L|K auch die Erweiterung L 0 |K nur endlich viele Zwischenkörper. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein α ∈ L 0 mit L 0 = K (α). Es gilt dann L = K 0 (β) = K (α, β) mit β = αr . Da L|K nur endlich viele
Zwischenkörper besitzt, der Körper K nach Voraussetzung aber unendlich ist, gibt es Elemente c, d ∈ K , c 6= d , so dass
K (α + cβ)
=
K (α + d β)
gilt.
Setzen wir M = K (α + cβ), dann liegen also die Elemente α + cβ und α + d β beide in M . Es folgt (α + cβ) − (α + d β) =
(c − d )β ∈ M und wegen (c − d ) ∈ K × auch β ∈ M . Dies wiederum bedeutet, dass auch α = (α − cβ) + cβ in M liegt.
Aus α, β ∈ M folgt K (α, β) ⊆ M , und wegen α + cβ ∈ K (α, β) folgt umgekehrt M ⊆ K (α, β). Also ist L|K eine einfache
Erweiterung.
ä
Folgerung 15.10 Jeden endliche, separable Erweiterung L|K besitzt nur endlich viele Zwischenkörper.
Beweis:
Nach dem Satz vom primitiven Element ist L|K einfach, und nach Satz 15.9 besitzt L|K deshalb nur endlich
viele Zwischenkörper.
ä
—– 95 —–
§ 16. Der Hauptsatz der Galoistheorie
In diesem Abschnitt werden wir ein zentralen Satz der Algebra beweisen, der es ermöglicht, ein körpertheoretisches
Problem (die Bestimmung der Teilkörperstruktur einer algebraischen Erweiterung L|K ) auf ein gruppentheoretisches
Problem (die Bestimmung der Untergruppenstruktur einer Gruppe G) zurückzuführen. Dazu wird eine bijektive Korrespondenz zwischen Teilkörpern einerseits und Untergruppen andererseits hergestellt. Ein Beispiel für ein solches
Korrespondenzprinzip haben wir bereits in der Gruppentheorie kennengelernt, vgl. Satz 5.25.
Definition 16.1
Eine Körpererweiterung L|K wird Galois-Erweiterung genannt, wenn sie nor-
mal und separabel ist. Die Gruppe Gal(L|K ) = AutK (L) heißt dann die Galoisgruppe von L|K .
Ist L|K eine Galois-Erweiterung und M ein Zwischenkörper von L|K , dann ist auch L|M eine Galois-Erweiterung.
Dies folgt aus Proposition 14.4 und Proposition 15.3. Somit können wir auch die Galoisgruppe Gal(L|M ) bilden. Es
handelt sich dabei um eine Untergruppe von Gal(L|K ), denn wegen M ⊇ K ist jeder M -Automorphismus auch ein
K -Automorphismus von L.
Damit haben wir also einen Weg gefunden, jedem Zwischenkörper von L|K eine Untergruppe von Gal(L|K ) zuzuordnen. Wir überlegen uns nun, wie man umgekehrt von einer Untergruppe zu einem Zwischenkörper kommt.
Definition 16.2
Sei L ein Körper und G eine Untergruppe von Aut(L). Dann nennt man LG =
{α ∈ L | σ(α) = α ∀ σ ∈ G} den Fixkörper von G.
Man überprüft unmittelbar, dass LG ein Teilkörper von L ist: Wegen σ(1L ) = 1L für alle σ ∈ G liegt 1L in LG . Sind
α, β ∈ LG und σ ∈ G, dann gilt
σ(α − β)
=
σ(α) − σ(β)
=
α − β1
,
σ(αβ)
=
σ(α)σ(β)
=
αβ.
Ist α 6= 0L , dann ist wegen σ(α−1 ) = σ(α)−1 = α−1 für alle σ ∈ G auch α−1 in LG enthalten.
Proposition 16.3
Sei L ein Körper, G ≤ Aut(L) eine endliche Untergruppe und K = LG der
zugehörige Fixkörper.
(i) Sei α ∈ L und G(α) = {σ(α) | σ ∈ G}. Sind α1 , ..., αr die verschiedenen Elemente der Menge
Q
G(α), dann ist das Polynom f = ri=1 (x − αi ) das Minimalpolynom von α über K .
(ii) Die Erweiterung L|K ist galoissch.
Beweis:
zu (i) Zunächst zeigen wir, dass f in K [x] liegt. Sei τ ∈ G ein beliebiges Element. Dann gilt τ( f ) =
Qr
i =1 (x −
τ(αi )). Ist β ∈ G(α), β = σ(α) für ein σ ∈ G, dann liegt τ(β) = (τ ◦ σ)(α) ebenfalls in G(α). Die Menge G(α) wird also
durch τ in sich abgebildet. Weil τ als Automorphismus injektiv und G(α) endlich ist, ist durch τ|G(α) eine Permutation
von G(α) gegeben. Da die Elemente aus G(α) die verschiedenen Nullstellen von f sind, folgt τ( f ) = f . Dies bedeutet,
dass sich die Koeffizienten von f durch Anwendung von τ nicht ändern. Weil τ ∈ G beliebig gewählt war, folgt f ∈
LG [x] = K [x].
—– 96 —–
§ 16.
Der Hauptsatz der Galoistheorie
Nun beweisen wir, dass es sich bei f um das Minimalpolynom von α über K handelt. Wegen f (α) = 0 ist α algebraisch
über K . Ist g ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K , dann ist g ein Teiler von f . Für jedes σ ∈ G ist g (σ(α)) =
σ(g )(α) = g (α) = 0. Dies bedeutet, dass g durch sämtliche Linearfaktoren x − σ(α) des Polynoms f teilbar ist. Also gilt
auch f |g . Weil f und g beide normiert sind, erhalten wir insgesamt f = g .
zu (ii) Zunächst zeigen wir, dass L|K normal ist. Sei f ∈ K [x] ein irreduzibles, normiertes Polynom, dass in L eine
Q
Nullstelle α besitzt. Wie wir in Teil (i) gezeigt haben, gilt f = ri=1 (x − αi ), wobei α1 , ..., αr die verschiedenen Elemente
der Menge G(α) = {σ(α) | σ ∈ G} bezeichnen. Dies zeigt, dass f über L in Linearfaktoren zerfällt. Also ist L|K normal.
Nun beweisen wir die Separabilität. Ist α ∈ L und f ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K , dann gilt (wie soeben
Q
gezeigt) f = ri=1 (x − αi ) mit verschiedenen Elementen α1 , ..., αr ∈ L. Also ist α separabel über K . Weil α ∈ L beliebig
gewählt war, ist die Erweiterung L|K separabel.
Proposition 16.4
ä
Sei L|K eine endliche Erweiterung und K˜ ein algebraisch abgeschlossener
Erweiterungskörper von L. Dann gilt
|AutK (L)|
Beweis:
≤
|HomK (L, K˜ )|
≤
[L : K ].
Die erste Ungleichung folgt direkt aus der Inklusion AutK (L) ⊆ HomK (L, K˜ ). Zum Beweis der zweiten Un-
gleichung seien r ∈ N0 und α1 , ..., αr ∈ L mit L = K (α1 , ..., αr ). Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion
über r . Im Fall r = 0 ist L = K , also [L : K ] = 1, und der einzige K -Homomorphismus ist die Inklusionsabbildung
K → K˜ , a 7→ a. Sei nun r ∈ N, und setzen wir die Aussage für r − 1 voraus. Definieren wir L 0 = K (α1 , ..., αr −1 ), dann
gilt L = L 0 (αr ). Setzen wir m = [L 0 : K ], dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung höchstens m verschiedene K Homomorphismen φi : L 0 → K˜ (1 ≤ i ≤ m).
Sei f ∈ L 0 [x] das Minimalpolynom von αr über L 0 und n = grad( f ) = [L : L 0 ]. Das Polynom f besitzt in K˜ höchstens n verschiedene Nullstellen. Nach Folgerung 11.8 aus dem Fortsetzungssatz gibt es also für jedes i höchstens
n Fortsetzungen von φi auf den Körper L. Da umgekehrt jeder K -Homomorphismus L → K˜ Fortsetzung eines K Homomorphismus φi : L 0 → K˜ ist, kommen wir insgesamt auf höchstens
mn
=
[L 0 : K ] · [L : L 0 ]
=
[L : K ]
verschiedene K -Homomorphismen L → K˜ .
Satz 16.5
ä
Für eine endliche Erweiterung L|K sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) L|K ist eine Galois-Erweiterung.
(ii) |AutK (L)| = [L : K ]
(iii) L AutK (L) = K
Beweis:
Sei K˜ ein algebraischer Abschluss von L.
„(i) ⇒ (ii)“ Weil L|K normal ist, gilt AutK (L) = HomK (L, K˜ ). Auf Grund der Separabilität von L|K können wir den Satz
vom primitiven Element anwenden. Wir erhalten ein α ∈ L mit L = K (α). Sei f das Minimalpolynom von α über K .
Weil K˜ algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt f über K˜ in Linearfaktoren, und auf Grund der Separabilität von L|K
—– 97 —–
§ 16.
Der Hauptsatz der Galoistheorie
besitzt f genau n verschiedene Nullstellen α1 , ..., αn ∈ K˜ , wobei n = [L : K ] = [K (α) : K ] = grad( f ) ist. Nach Folgerung
11.8 zum Fortsetzungssatz gibt es genau n verschiedene K -Homomorphismen L → K˜ . Insgesamt erhalten wir [L : K ] =
|HomK (L, K˜ )| = |AutK (L)|.
„(ii) ⇒ (iii)“
Sei K 0 = L AutK (L) . Dann gilt K ⊆ K 0 nach Definition der Gruppe AutK (L), denn jedes a ∈ K liegt im
Fixkörper K 0 von AutK (L). Nach Definition gilt auch AutK 0 (L) ⊆ AutK (L), denn jeder Automorphismus von L, der alle
Element aus K 0 auf sich selbst abbildet, tut dies erst recht für alle Element aus K . Andererseits gilt σ(α) = α für alle
σ ∈ AutK (L) und α ∈ K 0 . Daraus folgt AutK (L) ⊆ AutK 0 (L), insgesamt AutK (L) = AutK 0 (L). Wäre K 0 ) K , dann würde
[L : K ]
>
[L : K 0 ]
≥
|AutK 0 (L)|
=
|AutK (L)|
gelten, im Widerspruch zur Voraussetzung.
„(iii) ⇒ (i)“ Wegen |AutK (L)| ≤ [L : K ] ist G = AutK (L) eine endliche Gruppe. Nach Proposition 16.3 und wegen K = LG
ist L|K somit eine normale und separable Erweiterung.
ä
Ist L|K eine endliche Erweiterung, aber nicht galoissch, dann sind demzufolge auch die Aussagen (ii) und (iii) falsch.
p
3
Als Beispiel betrachten wir die Erweiterung L|K mit K = Q und L = Q( 2). Jedes σ ∈ AutK (L) muss als Q-Homomorp
p
3
3
phismus die Nullstelle 2 von f = x 3 − 2 auf eine Nullstelle von f in L abbilden. Weil es aber in L neben 2 keine
p
p
p
3
3
3
weiteren Nullstellen von f gibt, muss σ( 2) = 2 gelten, und wegen L = Q( 2) folgt daraus σ = idL . Aus AutK (L) =
{idL } wiederum folgt
L AutK (L)
=
L {idL }
=
L
also insbesondere L AutK (L) 6= K . Auch (ii) ist nicht erfüllt, denn es gilt einerseits |AutK (L)| = |{idL }| = 1, andererseits aber
[L : K ] = 3.
Proposition 16.6
Sei L ein Körper, G ≤ Aut(L) eine endliche Untergruppe und K = LG der
zugehörige Fixkörper. Dann ist L|K eine endliche Galois-Erweiterung, und es gilt G = Gal(L|K ).
Beweis:
Nach Proposition 16.3 (ii) ist L|K eine Galois-Erweiterung. Setzen wir d = |G| und ist α ∈ L, dann enthält
die Menge G(α) höchstens d Elemente. Sei f das Minimalpolynom von α. Weil die Nullstellen von f nach Proposition
16.3 (i) gerade die Elemente der Menge G(α) sind, gilt grad( f ) ≤ d . Es gilt also [K (α) : K ] ≤ d für alle α ∈ L.
Sei α ∈ L so gewählt, dass [K (α) : K ] maximal ist. Ist nun β ∈ L beliebig, dann gibt es nach dem Satz 15.7 vom primitiven Element ein γ ∈ L mit K (α, β) = K (γ). Auf Grund der Wahl von α ist [K (γ) : K ] ≤ [K (α) : K ]; wegen K (α) ⊆ K (γ)
folgt K (α) = K (γ) und insbesondere β ∈ K (α). Weil β beliebig gewählt war, haben wir somit L = K (α) gezeigt. Es folgt
[L : K ] ≤ d , insbesondere ist die Erweiterung L|K endlich. Nach Definition ist G eine Untergruppe von Gal(L|K ); andererseits ist |Gal(L|K )| = |AutK (L)| = [L : K ] ≤ d = |G| nach Satz Satz 16.5 (ii). Damit ist G = Gal(L|K ) bewiesen.
Satz 16.7
(Hauptsatz der Galoistheorie)
Sei L|K eine endliche Galois-Erweiterung mit Galois-Gruppe G = Gal(L|K ), U die Menge der Untergruppe von G und Z die Menge der Zwischenkörper von L|K . Dann sind durch die Zuordnungen
φ : U −→ Z
,
U 7→ LU
und
ψ : Z −→ U
zueinander inverse Bijektionen zwischen U und Z gegeben.
—– 98 —–
,
M 7→ Gal(L|M )
ä
§ 16.
Der Hauptsatz der Galoistheorie
Beweis:
Sei M ∈ Z ein Zwischenkörper. Dann ist L|M galoissch, und nach Satz Satz 16.5 gilt
(φ ◦ ψ)(M )
φ(Gal(L|M ))
=
=
L Gal(L|M )
M.
=
Sei umgekehrt eine Untergruppe U ∈ U vorgegeben. Auf Grund von Proposition 16.3 und Proposition 16.6 ist dann
L|M mit M = LU eine Galois-Erweiterung, und es gilt U = Gal(L|M ). Folglich ist
(ψ ◦ φ)(U )
=
ψ(M )
=
Gal(L|M )
=
U.
Dies zeigt, dass die Abbildungen φ und ψ tatsächlich zueinander invers sind.
ä
Wir beweisen zum Hauptsatz der Galoistheorie noch einige ergänzende Aussagen, mit denen sich die bijektive Korrespondenz genauer beschreiben lässt.
Satz 16.8
(i) Sind U1 ,U2 ∈ U mit U1 ⊆ U2 , dann folgt LU1 ⊇ LU2 .
(ii) Sind umgekehrt M 1 , M 2 ∈ Z mit M 1 ⊆ M 2 , dann ist Gal(L|M 1 ) ⊇ Gal(L|M 2 ).
(iii) Es ist L {idL } = L, LG = K und entsprechend Gal(L|L) = {idL }, Gal(L|K ) = G.
(iv) Ist M ein Zwischenkörper und U = Gal(L|M ) die zugehörige Untergruppe, dann gilt [L :
M ] = |U | und [M : K ] = (G : U ).
Beweis:
Die Aussagen (i) und (ii) können unmittelbar nachgerechnet werden. Für (i) sei beispielsweise α ∈ LU2
vorgegeben. Dann gilt σ(α) = α für alle σ ∈ U2 , wegen U2 ⊇ U1 damit erst recht für alle σ ∈ U1 . Daraus folgt α ∈ LU1 .
Unter (iii) ebenso offensichtlich sind die Gleichungen L idL = L, Gal(L|K ) = G und Gal(L|L) = {idL }. Die Gleichung
LG = L AutK (L) = K folgt aus Satz 16.5.
Die erste Aussage unter (iv) folgt aus der Tatsache, dass L|M eine Galois-Erweiterung ist und nach Satz 16.5 somit
|Gal(L|M )| = |AutL (M )| = [L : M ] gilt. Die zweite Gleichung erhält man durch
[M : K ]
Proposition 16.9
=
[L : K ]
[L : M ]
=
|G|
|U |
=
(G : U ).
ä
Sei M ein Zwischenkörper von L|K und U = Gal(L|M ) die zugehörige Unter-
gruppe von G = Gal(L|K ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) Die Erweiterung M |K ist normal.
(ii) Die Untergruppe U ist Normalteiler von G.
In diesem Fall erhalten wir durch σ 7→ σ|M eine Abbildung G → Gal(M |K ), und diese induziert
einen natürlichen Isomorphismus G/U ∼
= Gal(M |K ).
Beweis:
Wir zeigen zunächst, dass für jedes σ ∈ G die Gleichung Gal(L|σ(M )) = σU σ−1 erfüllt ist. Für beliebiges τ ∈ G
gilt die Äquivalenz
τ ∈ Gal(L|σ(M ))
⇔
τ(α) = α ∀ α ∈ σ(M )
(σ−1 ◦ τ ◦ σ)(α) = α ∀ α ∈ M
⇔
⇔
τ(σ(α)) = σ(α) ∀ α ∈ M
σ−1 ◦ τ ◦ σ ∈ U
—– 99 —–
⇔
τ ∈ σU σ−1 .
⇔
§ 16.
Der Hauptsatz der Galoistheorie
Sei nun L˜ ein algebraischer Abschluss von L.
„(i) ⇒ (ii)“ Sei σ ∈ G vorgegeben. Zu zeigen ist σU σ−1 = U . Schränken wir σ auf M ein, dann erhalten wir einen K ˜ Weil M |K normal ist, handelt es sich bei σ|M um einen K -Automorphismus von M (siehe
Homomorphismus M → L.
Satz 14.3). Insbesondere gilt σ(M ) = M . Es folgt
σU σ−1
Gal(L|σ(M ))
=
Gal(L|M )
=
=
U.
Weil σ ∈ G beliebig gewählt war, erhalten wir U E G.
“(ii) ⇒ (i)“ Wir zeigen, dass M |K das Kriterium (iii) aus Satz 14.3 erfüllt. Sei dazu ein K -Homomorphismus τ : M → L˜
vorgegeben. Nach Proposition 12.8 existiert eine Fortsetzung σ : L → L˜ von τ, also ein K -Homomorphismus mit σ|M =
τ. Weil L|K normal ist, gilt σ ∈ Gal(L|K ), und weil U nach Voraussetzung ein Normalteiler von G ist, gilt σU σ−1 = U .
Es folgt
Gal(L|σ(M ))
=
σU σ−1
U
=
=
Gal(L|M ).
Weil nach dem Hauptsatz der Galoistheorie die Zuordnung Z → U , M 7→ Gal(L|M ) injektiv ist, erhalten wir σ(M ) = M
und somit auch τ(M ) = M . Dies zeigt, dass τ in AutK (M ) enthalten ist. Aus Satz 14.3 (iii) folgt, dass die Erweiterung
M |K normal ist.
Wir haben bereits festgestellt, dass durch σ 7→ σ|M jedes σ ∈ G nach Gal(M |K ) abgebildet wird. Die Abbildung ist
surjektiv, denn jedes τ ∈ Gal(M |K ) kann nach Proposition 12.8 zu einem K -Homomorphismus σ : L → L˜ fortgesetzt
werden, und weil L|K normal ist, liegt das Element σ in AutK (L) = G. Für jedes σ ∈ G gilt offenbar σ|M = idM genau
dann, wenn σ in Gal(L|M ) enthalten ist. Somit ist Gal(L|M ) genau der Kern der Abbildung σ 7→ σ|M , und der Isomorphismus G/U ∼
ä
= Gal(M |K ) folgt aus dem Homomorphiesatz für Gruppen.
Wir wenden nun den Hauptsatz der Galoistheorie auf ein konkretes Beispiel an und zeigen, dass die Erweiterung
p p
p p
Q( 2, −3)|Q genau fünf Zwischenkörper besitzt. Sei L = Q( 2, −3). In einer Übungsaufgabe wurde bereits gezeigt,
dass [L : Q] = 4 gilt. Außerdem ist die Erweiterung L|Q normal. Denn das Polynom f = (x 2 −2)(x 2 +3) hat die Nullstellen
p
p
± 2, ± −3, und man überprüft leicht, dass
p p
Q( 2, −3)
=
p
p
Q({± 2, ± −3})
gilt.
Also ist L der Zerfällungskörper von f über Q. Als algebraische Erweiterung eines Körpers der Charakteristik 0 ist L|Q
nach Satz 15.4 auch separabel. Insgesamt ist L|Q also eine Galois-Erweiterung.
Sei G = Gal(L|Q). Nach Satz 14.3 gilt |G| = [L : Q] = 4. Aus der Gruppentheorie wissen wir, dass alle Gruppen, deren
Ordnung ein Primzahlquadrat ist, abelsch sind. Als endliche abelsche Gruppe ist G isomorph zu einem kartesischen
Produkt zyklischer Gruppen. Daraus folgt
G∼
= Z/4Z
oder
G∼
= Z/2Z × Z/2Z.
p
Mit dem Hauptsatz der Galoistheorie ermitteln wir nun den korrekten Isomorphietyp. Sei K 1 = Q( 2) und K 2 =
p
Q( −3). Die Polynome g 1 = x 2 − 2 und g 2 = x 2 + 3 sind nach dem Eisenstein-Kriterium in Q[x] irreduzibel, wegen
p
p
p
p
g 1 ( 2) = g 2 ( −3) = 0 also die Minimalpolynome von 2 bzw. −3. Wir erhalten
[K i : Q]
=
grad(g i )
=
2
—– 100 —–
für i = 1, 2.
§ 16.
Der Hauptsatz der Galoistheorie
Die Körper K 1 und K 2 sind offenbar verschieden, denn es gilt K 1 ⊆ R, aber K 2 6⊆ R. Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie sind U1 = Gal(L|K 1 ) und U2 = Gal(L|K 2 ) zwei verschiedene Untergruppen von G. Nach Satz 16.8 (iv) gilt
|Ui |
=
[L : K i ]
=
[L : Q]
[K i : Q]
=
4
2
=
2
für i = 1, 2.
Aus der Gruppentheorie wissen wir, dass die zyklische Gruppe Z/4Z genau eine Untergruppe der Ordnung 2 enthält.
Weil es in unserer Gruppe G mindestens zwei Untergruppen dieser Ordnung gibt, muss also G ∼
= Z/2Z × Z/2Z gelten.
Jede Untergruppe von H = Z/2Z × Z/2Z der Ordnung 2 enthält genau ein Element der Ordnung 2, und umgekehrt
ist jedes Element g der Ordnung 2 in genau einer Untergruppe der Ordnung 2 enthalten, nämlich 〈g 〉. Die Anzahl
der Untergruppen der Ordnung 2 in H stimmt also mit der Anzahl der Elemente der Ordnung 2 überein. In H gibt es
genau drei solche Elemente, nämlich (1, 0), (0, 1) und (1, 1), also auch genau drei Untergruppen der Ordnung 2.
Wir verwenden dieses Ergebnis nun, um die Anzahl der Zwischenkörper der Erweiterung zu bestimmen. Wegen G ∼
=H
gibt es neben den beiden bereits gefundenen Untergruppen U1 , U2 der Ordnung 2 genau eine weitere, die wir mit U3
bezeichnen. Wir haben bereits oben festgestellt, dass die Untergruppen der Ordnung 2 unter dem Hauptsatz der Galoistheorie den Zwischenkörpern K mit [K : Q] = 2 entsprechen. Somit existiert in L|Q neben K 1 und K 2 genau ein weiterer Zwischenkörper vom Grad 2, den wir mit K 3 bezeichnen. Wegen |G| = 4 ist jede Untergruppe von G von Ordnung
1, 2 oder 4. Neben den drei Untergruppen der Ordnung 2 gibt es genau eine Untergruppe von Ordnung 1 (nämlich
{idL }) und genau eine Untergruppe der Ordnung 4 (nämlich G). Wie wir in Satz 16.8 (iii) bemerkt haben, entsprechen
diese Untergruppen den Zwischenkörpern L bzw. Q. Also sind durch Q, K 1 , K 2 , K 3 , L alle fünf Zwischenkörper von L|Q
gegeben.
p p
p
p
Es ist nicht schwer, den fehlenden Zwischenkörper K 3 zu ermitteln. Wegen 2 −3 = −6 ist auch Q( −6) ein Zwip
p
schenkörper von L|Q. Wie bei K 1 und K 2 überprüft man, dass [Q( −6) : Q] = 2 gilt. Der Körper Q( −6) stimmt weder
p
p
mit K 1 noch mit K 2 überein. Die Gleichung K 1 = Q( −6) ist von vornherein ausgeschlossen, weil Q( −6) im Gegenp
p
p
satz zu K 1 nicht in R enthalten ist. Nehmen wir nun an, dass K 2 = Q( −3) = Q( −6) gilt. Dann wäre −6 also ein
p
Element in Q( −3), und dieser Körper würde damit auch
p
2
=
p
−6
p
−3
p p
p
enthalten. Daraus würde L = Q( 2, −3) = Q( −3) = K 2 folgen, aber das ist wegen [L : Q] = 4 und [K 2 : Q] = 2 unp
möglich. Somit ist K 3 = Q( −6) tatsächlich der gesuchte Körper.
—– 101 —–
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