close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

- SV Magstadt Handball

EinbettenHerunterladen
Prof TeknD Timo Weidl, Dr. James Kennedy
FB Mathematik, Universit¨
at Stuttgart
Seite 1 von 2
¨
Ubung
am 17. Oktober 2014
Analysis III (WS 2014/15) — Blatt 1
Die Evolution eines Mathematikers:
Ein Mathematikstudent im ersten Semester wird gefragt: Wieviel ist 2 × 2?“
”
Blitzschnell antwortet er Vier.“ Im zweiten Semester wird er wieder gefragt: Wieviel ist 2 × 2?“
”
”
Er l¨
auft ins Rechenzentrum, schreibt ein Fortran-Programm und gibt dann die Antwort: Vier.“
”
Bei der gleichen Frage im dritten Semester setzt er sich zu Hause an seinen PC, schreibt eine Frage
in eine entsprechende Newsgroup und liefert nach einigen Stunden das Ergebnis: Vier.
Im vierten Semester wird er wieder gefragt: Wieviel ist 2 × 2?“ Darauf der Student:
”
Bin ich verr¨
uckt, mir Konstanten einzupr¨
agen?“ 1
”
Votieraufgaben:
1.1. Berechnen Sie alle komplexen L¨
osungen der folgenden Gleichungen.
(a) z 4 − i = 0;
(c) z 2 + z z¯ = 4;
(b) z 2 + (3 + 2i)z − (1 − 3i) = 0;
(d) z 6 = −216.
1.2. Wir definieren die (komplexe) Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus durch ihre jeweiligen
Potenzreihen:
∞
ez :=
n=0
zn
,
n!
∞
cos z :=
n=0
∞
(−1)n z 2n
,
(2n)!
sin z :=
n=0
(−1)n z 2n+1
(2n + 1)!
f¨
ur z ∈ C. Zeigen Sie: F¨
ur z, w ∈ C gilt dann eiz = cos z + i sin z und ez+w = ez · ew . Es darf
ohne Beweis angenommen werden, dass alle drei Potenzreihen Konvergenzradius ∞ haben.
1.3. Leiten Sie aus den in Aufg. 1.2 gezeigten Eigenschaften Folgendes her:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
F¨
ur z = x + iy, x, y ∈ R gilt ez = ex (cos y + i sin y).
Finden Sie f¨
ur z ∈ C eine Darstellung von cos z und sin z bez¨
uglich eiz und e−iz .
cos2 z + sin2 z = 1 f¨
ur alle z ∈ C.
Sinus und Kosinus haben nur reelle Nullstellen.
F¨
ur x ∈ R gilt lim | cos(x + iy)| = ∞ und lim | sin(x + iy)| = ∞.
y→±∞
y→±∞
1.4. F¨
ur die folgenden Funktionen bestimmen Sie f¨
ur λ, µ ∈ R die Mengen
Mλ := {f (z) : Re(z) = λ}
und
Nµ := {f (z) : Im(z) = µ}
und bezeichnen Sie f¨
ur geeignete λ und µ die zugeh¨origen Kurvenscharen.
(a) f : C → C, f (z) = ez ;
(b) f : C \ {0} → C, f (z) = z −1 .
Hinweis zu (b): Die F¨
alle λ = 0 bzw. µ = 0 sollen separat behandelt werden. Auch f¨
ur λ, µ = 0
weisen Mλ und Nµ eine einfache geometrische Form auf.
1
aus Simon Singh, Homers letzter Satz, Hanser, M¨
unchen, 2013, s. 167. Es wird nicht angegeben, ob der Erstsemester
nur mithilfe eines blitzschnellen GTR zu seinem Ergebnis gelangen kann.
c
james.kennedy@mathematik.uni-stuttgart.de
timo.weidl@mathematik.uni-stuttgart.de
Prof TeknD Timo Weidl, Dr. James Kennedy
FB Mathematik, Universit¨
at Stuttgart
Seite 2 von 2
¨
Ubung
am 17. Oktober 2014
1.5. Auf der Riemann’schen Zahlenkugel C∗ = C ∪ {∞} mit 1/0 = ∞ und 1/∞ = 0 betrachten wir
die M¨obius-Transformationen f : C∗ → C∗ ,
f (z) =
az + b
cz + d
f¨
ur z ∈ C∗ , wobei a, b, c, d ∈ C mit ad − bc = 0.
(a) Zeigen Sie, dass sich jede solche M¨obius-Transformation als Komposition von Funktionen
der Form
1/z,
αz,
z+β
mit α, β ∈ C schreiben l¨
asst. Mit anderen Worten: Jede M¨obius-Transformation ist darstellbar als Verkn¨
upfung von Inversionen, Drehungen, Streckungen (bzw. Stauchungen)
und Verschiebungen.
(b) Beweisen Sie, dass die Menge M aller M¨obius-Transformationen eine Gruppe bez¨
uglich
Komposition bildet, und dass es einen Gruppenhomomorphismus ϕ : GL2 (C) → M gibt.
Hierbei ist GL2 (C) die allgemeine lineare Gruppe aller invertierbaren Matrizen A ∈ C2×2 .
(c) Ist ϕ bijektiv?
c
james.kennedy@mathematik.uni-stuttgart.de
timo.weidl@mathematik.uni-stuttgart.de
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
12
Dateigröße
178 KB
Tags
1/--Seiten
melden