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Analysis 11. Prof. Schumann
bitte ab 12. Januar 2015 zu Beginn der jeweiligen Übung abgeben
1. a) Zeigen Sie folgenden Rechenregeln für die Exponentialfunktion: Es
gilt für a; b > 0 und x1 ; x2 2 R
a) ax1 +x2 = ax1 ax2
ax bx = (ab)x
b)
2. a) Es sei c > 1. Dann ist die Funktion f (x) := cx für x 2 R erklärt,
sie ist streng monoton wachsend von R auf (0; +1). Die Umkehrfunktion
bezeichnen wir mit c log, d.h. y = cx gdw. x = c log y. Zeigen Sie
c
log y =
ln y
ln c
b) Geschichtlich spielte der dekadische Logarithmus lg =10 log y eine
wichtige Rolle (c = 10). Welchen Wert haben (ohne Benutzung von a) bzw.
Rechner)
lg 1000
lg 0:01
c) Berechne: 3 log 243 (ohne Benutzung von a) bzw. Rechner)
(Für b) und c) zusammen 1 Punkt.)
3. Beweisen Sie die Quotientenregel: Existieren für f; g : (x0 d; x0 +
d)!R die Ableitungen f 0 (x0 ) und g 0 (x0 ), so ist für g(x0 ) 6= 0 auch fg in x0
di¤erenzierbar und es gilt
f
g
0
(x0 ) =
f 0 (x0 )g(x0 ) f (x0 )g 0 (x0 )
[g(x0 )]2
4. a) Zeigen Sie die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen cos und
sin
sin(y1 + y2 ) = sin y1 cos y2 + cos y1 sin y2
cos(y1 + y2 ) = cos y1 cos y2 sin y1 sin y2
Hinweis: Benutzen Sie hierfür die Formel
exp (iy) = cos y + i sin y
und das Additionstheorem für die Exponentialfunktion.
1
b) Leiten Sie aus a) die bekannten Formeln
sin2 x + cos2 x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x sin2 x
(für alle x 2 R) her.
5. Berechnen Sie die Ableitungen von cos und sin durch Bildung des
Di¤erenzenquotienten.
Hinweis: (i) Berechnen Sie zuerst die Ableitungen in x0 = 0. Benutzen
Sie die Formel
sin h
lim
=1
h!0 h
aus dem Abschnitt über Grenzwerte von Funktionen und die ebenso zu beweisende Formel
cos h 1
=0
lim
h!0
h
(ii) Berechnen Sie dann die Ableitungen für beliebiges x0 2 R. Benutzen
Sie die Additionstheoreme aus Aufgabe 4. a)
2
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