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Blatt 8 - Institut für Theoretische Teilchenphysik

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Institut fu
¨ r Theoretische Teilchenphysik
Klassische Theoretische Physik I
WS 2014
¨
Ubungsblatt
8
Abgabe: 16.1.2015
Besprechung: 23.1.2015
Prof. Dr. U. Nierste
Dr. M. Spinrath, Dr. S. Schacht
Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Matrikelnummer auf jedes Blatt ihrer L¨osung und geben
Sie auf der ersten Seite Ihre Tutorgruppe (Ort, Zeit, Name des Tutors) an.
Aufgabe 15: Spaß mit Indizes
a) (1.5 Punkte)
Berechnen Sie
3
X
δij jkl ,
j=1
b) (1 Punkt)
{1, 2, 3} gilt:
3 X
3
X
δij ijk ,
i=1 j=1
3 X
3
X
δij δji .
i=1 j=1
Zeigen Sie durch geschicktes Argumentieren, dass f¨
ur j1 , j2 , j3 , k1 , k2 , k3 ∈
j1 j2 j3 k1 k2 k3 =
δj1 k1 δj2 k2 δj3 k3 + δj1 k2 δj2 k3 δj3 k1 + δj1 k3 δj2 k1 δj3 k2
− δj1 k2 δj2 k1 δj3 k3 − δj1 k3 δj2 k2 δj3 k1 − δj1 k1 δj2 k3 δj3 k2 .
c) (1.5 Punkte)
Berechnen Sie
3
X
j1 j2 l k1 k2 l ,
l=1
d) (1 Punkt)
3 X
3
X
j1 lm k1 lm ,
l=1 m=1
3 X
3 X
3
X
lmn lmn .
l=1 m=1 n=1
Das Kreuzprodukt ~a × ~b = ~v kann in Komponentenform als
vi =
3 X
3
X
ijk aj bk
j=1 k=1
geschrieben werden. Berechnen Sie ~a · (~a × ~b) und ~a × (~b × ~c).
Aufgabe 16: Drehungen im R3
Jede beliebige Drehung kann als Produkt aufeinanderfolgender Drehungen geschrieben werden. Als Standard w¨
ahlt man eine Drehung um die z-Achse mit dem Winkel α, gefolgt von
einer Drehung um die neue x-Achse mit dem Winkel β und abgeschlossen mit einer Drehung
um die neue z-Achse mit dem Winkel γ. Die Winkel α, β und γ werden Eulersche Winkel
genannt. Die assoziierte Drehmatrix ist




cos γ sin γ 0
1
0
0
cos α sin α 0
R(α, β, γ) = − sin γ cos γ 0 0 cos β sin β  − sin α cos α 0 .
0
0
1
0 − sin β cos β
0
0
1
Eine andere Beschreibung einer beliebigen Drehung haben Sie in Aufgabe 13 kennengelernt.
~ mit φ ≡ |φ|
~ = (φ
~ · φ)
~ 1/2 ≤ π beschrieben werden.
Eine Drehung kann durch einen Vektor φ
P
0
~
~
~
Die assoziierte Drehmatrix ist R (φ) = exp(φ · ω
~ ) mit φ · ω
~ = 3i=1 φi ω (i) und Matrizen ω (i)
(i)
mit ωjk = ijk .
a) (0.5 Punkte)
Bestimmen Sie die Komponenten der Matrix R(α, β, 0).
b) (1 Punkt) Zeigen Sie an jeweils einem Beispiel: Die Zeilenvektoren von R(α, β, 0) haben
die L¨ange 1 und stehen paarweise orthogonal aufeinander.
c) (1.5 Punkte)
~·ω
~φ
~ T − φ2 1 , (φ
~·ω
~·ω
~·ω
~·ω
(φ
~ )2 = φ
~ )3 = −φ2 (φ
~ ) , (φ
~ )4 = −φ2 (φ
~ )2 .
~φ
~ T die Matrix mit [φ
~φ
~ T ]ij = φi φj .
Dabei bezeichnet φ
Hinweis: Verwenden Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabe 15.
d) (1 Punkt)
Zeigen Sie, dass f¨
ur n ∈ N0 gilt:
~·ω
~·ω
~·ω
~φ
~ T − φ2 1) .
(φ
~ )2n+1 = (−1)n φ2n (φ
~ ) , (φ
~ )2n+2 = (−1)n φ2n (φ
e) (1 Punkt)
Zeigen Sie
sin φ
~ = exp(φ
~·ω
~φ
~ T 1 − cos φ + (φ
~·ω
R0 (φ)
~ ) = 1 cos φ + φ
~)
φ2
φ
indem Sie die Exponentialreihe geeignet aufteilen.
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