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ARBEITSMAPPE FÜR ERSTWÄHLERiNNEN

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Kurzskript zur Vorlesung
Analysis I (WiSe 2014/15)
Frank Klinker
14. November 2014
Inhaltsverzeichnis
1
Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche . .
1.1 Mengen und Mengenverkn¨
upfungen . . . . . . . . .
1.2 Die nat¨
urlichen Zahlen und das Induktionsprinzip .
1.3 Relationen, und
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Zahlenfolgen und reelle Zahlen . . . . . . . .
2.1 Zahlenfolgen in
. . . . . . . . . . . . . .
2.2 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eigenschaften reeller Zahlen . . . . . . . . .
2.4 Zahlenfolgen in
und Konvergenzkriterien
2.5 Rechenregeln, Intervalle . . . . . . . . . . .
❩
2
◗
◗
❘
3
Reelle Funktionen . . . . . . . . . .
3.1 Grundlagen und erste Beispiele . . .
3.2 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . .
3.3 Polynome und rationale Funktionen
A Grundbegriffe der formalen Logik
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
6
9
. .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
16
16
21
24
27
29
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. . . . .
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.
32
32
36
38
. . . . . . . . . . . . .
40
◆ ❩ ◗
B Zahlbereichserweiterungen → →
. . . . . . . . . . .
B.1 Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
48
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1
1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
1
2
Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
1.1
Mengen und Mengenverknu
¨ pfungen
Definition 1.1 (Menge). Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von
Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge.
Ist x ein Objekt der Menge M , dann schreiben wir x ∈ M . Ist x kein Objekt
der Menge M , dann schreiben wir x ∈ M .
Bemerkung 1.2. Mengen lassen sich beschreiben durch
• Aufz¨
ahlen der Elemente mit Mengenklammern {. . .}, oder
• Angabe einer Eigenschaft E, die die Elemente beschreibt
{x | x hat die Eigenschaft E} .
• M ={ , ,
Beispiel 1.3.
• M ={
|
,
}
ist gr¨
un}
• M = {Student | Student sitzt in diesem H¨orsaal}
• M = ∅ = {} ←→ Leere Menge
Man kann mit Mengen operieren
Definition 1.4 (Mengenverkn¨
upfungen). Es seien M, N, M1 , M2 , . . . , Mk
Mengen.
1. Die Vereinigung von M und N ist die Menge
M ∪ N = {x | x ∈ M oder x ∈ N } .
Es ist also x ∈ M ∪ N ⇐⇒ x ∈ M ∨ x ∈ N .
2. Der Schnitt von M und N ist die Menge
M ∩ N = {x | x ∈ M und x ∈ N } .
Es gilt also x ∈ M ∩ N ⇐⇒ x ∈ M ∧ x ∈ N .
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
3
3. M heißt Teilmenge von N , wenn jedes Element aus M auch ein Element in N ist. Wir schreiben dann M ⊂ N oder auch N ⊃ M . Es
ist
M ⊂ N ⇐⇒ ∀x : (x ∈ M =⇒ x ∈ N ) ⇐⇒ ∀x ∈ M : x ∈ N .
4. Die Differenz von M und N ist die Menge
M \ N = {x | x ∈ M und x ∈ N } .
Damit ist x ∈ M \ N ⇐⇒ x ∈ M ∧ ¬(x ∈ N )
5. Ist M ⊂ N , so ist das Komplement von M (bez¨
uglich N ) die Menge
M = {x | x ∈ N und x ∈ M } ,
also x ∈ M
⇐⇒ x ∈ N ∧ ¬(x ∈ M ).
6. Die symmetrische Differenz von M und N ist die Menge
M ♦N = (M \ N ) ∪ (N \ M ) .
7. Das Kreuzprodukt von M und N ist die Menge
M × N = {(m, n) | m ∈ M und n ∈ N }
und die Elemente von M × N nennt man auch Paare.
Analog definieren wir das Kreuzprodukt mehrerer Mengen als
M1 × M2 × . . . × Mk = {(m1 , m2 , . . . , mk ) | ∀i : mi ∈ Mi }
und ihre Elemente heißen k-Tupel.
Bemerkung 1.5.
M \ N = M.
• Ist in 4. M ∩ N = ∅, dann ist N \ M = N und
• Ist in 4. M ⊂ N , dann ist N \ M = M und M \ N = ∅.
• Es isti
M = N ⇐⇒ M ⊂ N ∧ N ⊂ M
⇐⇒ ∀x : (x ∈ M =⇒ x ∈ N ) ∧ ∀x : (x ∈ N =⇒ x ∈ M )
⇐⇒ ∀x : (x ∈ M =⇒ x ∈ N ) ∧ (x ∈ N =⇒ x ∈ M )
⇐⇒ ∀x : (x ∈ M ⇐⇒ x ∈ N ) .
i
¨
Die letzte Aquivalenz
ist genau der Ansatz f¨
ur den Beweis einer Mengengleichheit.
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
4
• Es ist M × N × P = (M × N ) × P = M × (N × P ).
Satz 1.6 (Rechenregeln f¨
ur Mengenverkn¨
upfungen). Es seien M, N und P
Mengen. Dann gilt
1.
M ∪N =N ∪M
M ∩N =N ∩M
2.
(M ∪ N ) ∪ P = M ∪ (N ∪ P )
(M ∩ N ) ∩ P = M ∩ (N ∩ P )
3.
(M ∪ N ) ∩ P = (M ∩ P ) ∪ (N ∩ P )
(M ∩ N ) ∪ P = (M ∪ P ) ∩ (N ∪ P )
4. (M ) = M
5.
(M ∩ N ) = M ∪ N
(M ∪ N ) = M ∩ N
6. M ∪ ∅ = M und M ∩ ∅ = ∅
7. M ♦N = (M ∪ N ) \ (M ∩ N )
Die Aussagen aus Satz 1.6 beweist man, indem man zu der logischen Formulierung u
¨bergeht. Wir erl¨autern das am Beispiel M ∪ N = N ∪ M . Der
entsprechende logische Ausdruck, der zu zeigen ist, ist x ∈ M ∪ N ⇐⇒ x ∈
N ∪ M . Mit der Definition der Vereinigungsmenge ist dasii
(x ∈ M ∨ x ∈ N ) ⇐⇒ (x ∈ N ∨ x ∈ M )
Dabei kann man im Prinzip auf zwei Arten vorgehen
• Wegen Bemerkung A.6 sind die folgenden beiden Beweise gleichwertig:
– Zeige, dass die gesamte Aussage eine Tautologie ist. Hierbei kann
man eine WWT benutzen oder durch Umformung mit den Rechenregeln aus dem Anhang das Ergebnis bekommen.
¨
– Zeige, dass die WWT beider Seiten der Aquivalenz,
das gleiche
Ergebnis liefern.
ii
¨
Die hier zu zeigende Aussage ist gerade die dritte Aquivalenz
aus Beispiel A.8.
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
Man werfe die Verneinung nicht in einen Topf mit umgangssprachlichen Gegens¨atzen. Eine
unkorrekte Verneinung von diese Kuh ist mager“ w¨are: diese Kuh ist fett“: Mager und fett
”
”
m¨ogen als Gegens¨atze empfunden werden, sie sind aber nicht die Verneinungen voneinander
(schließlich gibt es auch ganz normalgewichtige K¨
uhe).
Mengen
Cantors Definition lautet:
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten
”
(Elementen) unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.“
Symbole:
1 Mengensprache,
Relationen, Zahlbereiche
a∈M
: a ist Induktion,
Element von M
/
: leere Menge (sie enth¨alt kein Element)
{a}
: die Menge mit genau einem Element a (einelementige Menge)
5
M ⊆durch
N
¨
• Zeige,
Hilfe
dass
: Umformung
M ist Teilmenge und
von N mit
: f¨
ur jedes
x ∈bekannter
M ist auch x ∈ Aquivalenzen,
N
N ⊇M
¨
aus der linken Seite der Aquivalenz die rechte Seite folgt, und umgeM =N
: M ⊆ N und N ⊆ M
kehrt.
M ⊂N
: M ist echte Teilmenge von N (M ⊆ N, M = N).
N ⊃M
Bemerkung
1.7. uGraphisch
kann man sich die Verkn¨
upfungen sehr gut mit
Operationen f¨
r Mengen M, N, . . .:
Venn-Diagrammen
veranschaulichen.
Mit
ihnen
lassen
sich Mengengleich• Durchschnitt: M ∩ N := {x x ∈ M und x ∈ N}
heiten sehr
gut
auf
Plausibilit¨
a
t
u
berpr¨
u
fen
—
Achtung:
Ihre Verwendung
¨
• Vereinigung:
M ∪ N := {x x ∈ M oder x ∈ N}
ersetzt keinen
formalenM Beweis.
• Differenz:
\ N := {x x ∈ M und x ∈
/ N}.
Ist M ⊇ N, so heißt M \ N auch das Komplement von N (in M).
Abbildung 1: Venn-Diagramme
Veranschaulichung durch sog. Venn-Diagramme:
N
N
M
M
N
⊃
M
M
N
∪
N
N
M
M
M
∩
N
M \ N
Bezeichnung 1.8. Ist I eine beliebige Indexmenge und M = {Mα | α ∈ I}
eine Menge von Mengeniii . Dann schreiben wir
∩M := {x | ∀α ∈ I : x ∈ Mα } ,
∪M := {x | ∃α ∈ I : x ∈ Mα } .
Beispiel 1.9.
• Es sei die Indexmenge I = {a, b, c, d, e} gegeben und die
Mengen Ma = {1, 2, 3, 4, 5}, Mb = {4, 5, 8, 9}, Mc = {1, 3, 4, 5, 7, 9},
Md = {2, 4, 5, 6, 8, 10}, Me = {1, 4, 5}. Dann gilt f¨
ur die Familie M =
{Mα | α ∈ I}
∩M = {4, 5},
∪M = {1, 2, . . . , 10} .
• Es sei M eine Menge und I = M . Definiere nun Mx = {x} ⊂ M und
M = {Mx | x ∈ M }. Dann ist
∩M = ∅,
iii
∪M = M .
Man sagt auch M ist eine Familie von Mengen.
Frank Klinker
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
• Es sei M = (Mi )i∈◆ mit Mi = {k ∈
∩M = {0},
∪M =
◆.
6
◆ | k ≤ i}. Dann ist
Definition 1.10. Es sei M eine Menge. Die Potenzmenge P(M ) von M ist
die Menge der Teilmengen von M , also
P(M ) = {N | N ⊂ M } .
1.2
1.2.1
Die natu
¨ rlichen Zahlen und das Induktionsprinzip
◆ und seine Verknu¨pfungen
Wir m¨
ochten mit den Elementen einer Menge ”rechnen”. Wir werden die
folgende Definition sp¨
ater noch etwas pr¨azisieren, siehe Definition 1.33.
Definition 1.11.
ordnung
1. Eine Verkn¨
upfung auf einer Menge M ist eine Zu-
◦ : M × M → M mit ◦ (m1 , m2 ) = m1 ◦ m2 .
(a) ◦ heißt kommutativ ⇐⇒ ∀m1 , m2 ∈ M : m1 ◦ m2 = m2 ◦ m1
(b) ◦ heißt assoziativ ⇐⇒ ∀m1 , m2 , m3 ∈ M : (m1 ◦ m2 ) ◦ m3 =
m1 ◦ (m2 ◦ m3 )
(c) e ∈ M heißt neutrales Element bez¨
uglich ◦ ⇐⇒ ∀m ∈ M :
m◦e=e◦m=m
(d) m
˜ ∈ M heißt inverses Element zu m ∈ M bez¨
uglich ◦ ⇐⇒
m
˜ ◦m=m◦m
˜ =e
2. Das Paar (M, ◦) heißt Gruppe, wenn ◦ assoziativ ist, ein neutrales
Element besitzt und zu jedem m ∈ M das inverse Element m
˜ ∈ M
existiert.
Beispiel 1.12. F¨
ur eine Menge M sind ∩, ∪, \ und ♦ Verkn¨
upfungen auf
der Potenzmenge P(M ).
Definition 1.13. (Nat¨
urliche Zahlen) Die Menge der nat¨
urlichen Zahlen ist
die Menge
◆ = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} .
Wir schreiben
◆∗ = ◆ \ {0}
und
◆≥k = ◆ \ {0, 1, 2, . . . k − 1} .
Frank Klinker
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
◆ ◆
7
◆
Beispiel 1.14.
• Die Addition + :
×
→
ist eine Verkn¨
upfung
auf den nat¨
urlichen Zahlen mit den Eigenschaften (a), (b) und (c).
Das neutrale Element ist 0 und dies ist auch das einzige Element, dass
ein Inverses besitzt.
◆ ◆ ◆
• Die Multiplikation · : × → ist eine Verkn¨
upfung auf den nat¨
urlichen Zahlen mit den Eigenschaften (a) und (b) und (c). Das neutrale
Element ist 1 und dies ist auch das einzige Element, dass ein Inverses
besitzt.
◆
◆
◆
• Die Multiplikation · : ∗ × ∗ → ∗ ist eine Verkn¨
upfung auf den
nat¨
urlichen Zahlen ohne 0 mit den Eigenschaften (a), (b) und (c). Das
neutrale Element ist 1 und dies ist auch das einzige Element, dass ein
Inverses besitzt.
◆
• Auf der Menge
gilt zus¨atzlich noch das Distributivgesetz, dass die
beiden Verkn¨
upfungen verbindet
∀a, b, c ∈
1.2.2
◆ : a · (b + c) = a · b + a · c .
Axiomatik von
◆ und vollst¨andige Induktion
Definition 1.15 (Axiomatik der nat¨
urlichen Zahlen).
a. Die Peano-Axiome zur Einf¨
uhrung der nat¨
urlichen Zahlen sind
(PA0) 0 ∈
◆
Es gibt eine Zuordnung ν :
◆ → ◆, die Nachfolgerzuordnung, so dass
◆ =⇒ ν(k) = 0
(PA2) k, ∈ ◆ =⇒ ν(k) = ν( ) =⇒ k =
(PA3) 0 ∈ M ∧ ∀k ∈ ◆ : (k ∈ M =⇒ ν(k) ∈ M ) =⇒ ◆ ⊂ M
Zusatz: Setzt man in (PA3) M ⊂ ◆ voraus, so folgt schon M = ◆.
b. Die Verkn¨
upfungen auf ◆ sind durch die folgenden Festlegungen er(PA1) k ∈
kl¨
art:
(VA1) k + 0 := k
(VA2) k + ν( ) := ν(k + )
Frank Klinker
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
8
(VA3) k · 0 = 0
(VA2) k · ν( ) := (k · ) + k
Setzt man ν(0) := 1, so ist ν(k) = k + 1.
Das Axiom (PA3) liefert direkt die L¨osung des folgenden Problems:
◆
Es sei A eine Aussageform u
¨ber der Grundmenge , siehe Definition A.15.
Man kann {A(n)}n∈◆ als eine Familie von Aussagen interpretieren. Gesucht
ist ein effizientes Beweisverfahren f¨
ur die Aussage
∀n ∈
◆ : A(n) ist wahr
Satz 1.16 (Induktionsprinzip). Sei {A(n)}n∈◆≥k eine Familie von Aussagen, die f¨
ur alle n ∈ ≥k definiert ist. Weiter gelte
◆
(IA) A(k) ist wahr, und
(IS) F¨
ur alle
gilt: Ist A( ) wahr, so ist auch A( + 1) wahr.
Dann ist A(n) wahr f¨
ur alle n ∈
A(k) ∧ ∀ : A( ) =⇒ A(
◆≥k . Etwas formaler:
+ 1) =⇒ ∀n ∈ ◆≥k : A(n)
Beweis. Es sei {B(n)}n∈◆ die Familie von Aussagen mit B( ) : ⇐⇒ A( +
k). In Termen von B lauten (IA) und (IS)
(IA) B(0) ist wahr, und
(IS) F¨
ur alle
gilt: Ist B( ) wahr, so ist auch B( + 1) wahr.
◆
◆
Sei nun M := {m ∈
| B(m) ist wahr} ⊂ . Dann sind (IA) und (IS)
gerade die Voraussetzungen aus (PA3), so dass mit dem Zusatz nach (PA3)
schon M =
folgt. Das bedeutet: B(n) gilt f¨
ur alle n ∈ , bzw. A(n) gilt
f¨
ur alle n ∈ ≥k
◆
◆
◆
Beispiel 1.17. Im Folgenden sind immer A(n) und die G¨
ultigkeitsgrenze
k angegeben (machen Sie sich auch klar, dass diese Grenze jeweils optimal
ist)
n
k3 =
1.
k=0
n2 (n + 1)2
,n≥0
4
Frank Klinker
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
n
qk =
2.
k=0
n
9
q n+1 − 1
,n≥0
q−1
n+1
3.
k=0
22
−1
1
1 + 2k = 2n+1 −1 , n ≥ 0
2
2
4. 3 teilt 13n + 2, n ≥ 0
5. 47 teilt 72n − 2n , n ≥ 0
6. 2n > n2 , n ≥ 5
7. Besitzt die Menge M genau n Elemente, dann hat P(M ) genau 2n
Elemente, n ≥ 0.
1.3
1.3.1
Relationen,
❩ und ◗
Grundbegriffe
Definition 1.18 (Relation). Es seien M und N Mengen.
1. Eine Relation zwischen M und N ist eine Teilemenge R ⊂ M × N .
2. Ist M = N , also R ⊂ M × M , dann heißt R eine Relation auf M .
Ist (a, b) ∈ R ⊂ M × N so sagen wir a steht in Relation zu b und wir
schreiben
a ∼R b
statt (a, b) ∈ R. Ist klar, welche Relation gemeint ist, so schreiben wir noch
k¨
urzer a ∼ b. F¨
ur spezielle Relationen benutzen wir sp¨ater auch eigenst¨andige Symbole.
Beispiel 1.19.
• S sei die Menge aller Sch¨
uler einer Klasse und N =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Relation
R=
(s, n) ∈ S × N
der Sch¨
uler s hat in der
Klassenarbeit die Note n
ist eine Relation zwischen S und N . Diese nennt sich Notenspiegel.
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
10
• S sei wie oben. Die Relation
R=
(s1 , s2 ) ∈ S × S
der Sch¨
uler s1 hat in der Klassenarbeit die gleiche Note wie s2
Ist eine Relation auf der Menge der Sch¨
uler S.
1.3.2
¨
Ordnungs-, und Aquivalenzrelationen
Definition 1.20 (Eigenschaften von Relationen). Eine Relation R ⊂ M ×M
auf einer Menge M heißt
1. reflexiv ⇐⇒ ∀a ∈ M : a ∼R a
2. transitiv ⇐⇒ ∀a, b, c ∈ M : (a ∼R b ∧ b ∼R c =⇒ a ∼R c)
3. symmetrisch ⇐⇒ ∀a, b ∈ M : (a ∼R b =⇒ b ∼R a)
4. antisymmetrisch ⇐⇒ ∀a, b ∈ M : (a ∼R b ∧ b ∼R a =⇒ a = b)
5. total ⇐⇒ ∀a, b ∈ M : (a ∼R b ∨ b ∼R a)
Definition 1.21 (Spezielle Relationen). Eine Relation R ⊂ M × M auf
einer Menge M heißt
1. Halbordnung, wenn sie 1., 2. und 4. aus Definition 1.20 ef¨
ullt.
2. Totalordnung oder Ordnung, wenn sie 1., 2., 4. und 5. aus Definition
1.20 ef¨
ullt.
¨
3. Aquivalenzrelation,
wenn sie 1., 2. und 3. aus Definition 1.20 ef¨
ullt.
Beispiel 1.22.
1. Die Teilbarkeitsrelation auf
finiert duch
a ∼T b ⇐⇒ a|b : ⇐⇒ ∃k ∈
◆∗, T ⊂ ◆∗ × ◆∗, ist de-
◆∗ : b = k · a
und ist eine Halbordnung.
2. Die Gleichheit auf einer Menge M , G ⊂ M × M , ist definiert durch
a ∼G b : ⇐⇒ a = b
¨
und ist eine Aquivalenzrelation.
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
11
◆, O ⊂ ◆ × ◆, ist definiert durch
a ≤ b : ⇐⇒ ∃k ∈ ◆ : b = a + k
3. Die Ordnungsrelation auf
a ∼O b ⇐⇒
und ist eine Totalordung.
4. Es sei M eine Menge und P(M ) ihre Potenzmenge. Wir definieren die
Relation τ auf P(M ) f¨
ur U, V ∈ P(M ) durch
U ∼τ V : ⇐⇒ U ⊂ V .
Dies ist eine Halbordnung.
¨
5. Die zweite Relation aus Beispiel 1.19 ist eine Aquivalenzrelation
Bezeichnung 1.23. Bez¨
uglich der Ordnungsrelation auf
auch
◆ schreiben wir
• a ≥ b ⇐⇒ b ≤ a,
• a < b ⇐⇒ a ≤ b ∧ a = b,
• a > b ⇐⇒ b < a.
Bemerkung 1.24. Mit der obigen Bezeichnung gilt insbesondere f¨
ur alle
a, b ∈ entweder(!) a < b oder a = b oder b < a.
◆
◆
Satz 1.25. Die Ordnungsrelation auf
ist im folgenden Sinne mit der
Addition und der Multiplikation vertr¨
aglich. Sind a, b ∈
mit a ≤ b so gilt
f¨
ur alle c ∈
◆
◆
a + c ≤ b + c und a · c ≤ b · c .
¨
Definition 1.26. Ist ∼ eine Aquivalenzrelation
auf der Menge M so nennt
man die Teilmenge
[a]∼ := {b ∈ M | b ∼ a}
¨
die Aquivalenzklasse
zu a (bez¨
uglich ∼). Wenn die Relation klar ist, dann
schreiben wir auch [a].
¨
Satz 1.27. Ist ∼ eine Aquivalenzrelation
auf der Menge M so gilt
[a] = [b] ⇐⇒ a ∼ b .
Es ist also entweder [a] ∩ [b] = ∅ oder [a] = [b]
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
12
Definition 1.28 (Klasseneinteilung). Es sei M eine Menge. Eine Teilmenge
K ⊂ P(M ) heißt Klasseneinteilung von M , wenn die folgenden drei Bedingungen gelten
1. ∀x ∈ M ∃U ∈ K : x ∈ U ,
2. ∀U ∈ K : U = ∅,
3. ∀U, V ∈ K : (U ∩ V = ∅ =⇒ U = V ).
¨
Gelten nur 1. und 2. so spricht man auch von einer Uberdeckung
von M .
¨
Satz 1.29.
1. Es sei ∼ eine Aquivalenzrelation
auf der Menge M . Dann
ist {[x] | x ∈ M } eine Klasseneinteilung von M und diese wird mit
M/ ∼ bezeichnet.
¨
2. Es sei K eine Klasseneinteilung auf M . Dann definiert diese eine Aquivalenzrelation ∼ durch
a ∼ b : ⇐⇒ ∃U ∈ K : a, b ∈ U .
Liegt die Betonung bei einer Klasseneinteilung auf der sie definierenden
¨
¨
Aquivalenzrelation,
dann spricht man auch von einer Aquivalenzklasseneinteilung.
Definition 1.30. Ist K eine Klasseneinteilung der Menge M und w¨ahlen
wir aus jeder Menge U ∈ K genau einen Repr¨
asentanten xU ∈ M , dann
heißt die Menge {xU | U ∈ K} ein Repr¨
asentantensystem von K.
Beispiel 1.31 (aus der Linearen Algebra). Es sei V ein
U ⊂ V ein Untervektorraum. Definiere
❑-Vektorraum und
x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ U
¨
Dann definiert das eine Aquivalenzrelation
auf V und die Klasseneinteilung
wurde mit V /U bezeichnet. Insbesondere war das nach geeigneter Definition der Strukturen selbst wieder ein Vektorraum (dazu mehr im folgenden
Kapitel).
Beispiel 1.32 (Zahlenbereichserweiterungen).
Frank Klinker
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
13
❩
1. Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Erweiterung der nat¨
urlichen
Zahlen zu einem kommutativen Ring mit Eins. Es wird erreicht, dass
alle Elemente ein additives Inverses besitzen, d.h. die Subtraktion ist
uneingeschr¨
ankt durchf¨
uhrbar.
Die Erweiterung kann man vollziehen, indem man auf der Menge ×
¨
die Aquivalenzrelation
◆ ◆
(a, b) ∼Z (a , b ) : ⇐⇒ a + b = a + b
¨
betrachtet. Auf der Aquivalenzklasseneinteilung
(
ren
◆ × ◆)/ ∼Z definie-
[(a, b)] +Z [(a , b )] := [(a + a , b + b )]
[(a, b)] ·Z [(a , b )] := [(a · a + b · b , a · b + a · b)]
Verkn¨
upfungen, die diese zu einem kommutativen Ring mit Eins machen. Die nat¨
urlichen Zahlen findet man darin als Elemente der Form
[(a, 0)] wieder.
Weitere Details findet man in Abschnitt B.1.
◗
¨
2. Ahnlich
wie im vorangegangenen Beispiel ist die Menge
der ganzen
Zahlen eine Erweiterung der ganzen Zahlen zu einem K¨orper. Es wird
erreicht, dass alle Elemente ungleich 0 ebenfalls ein Multiplikatives
Inverses besitze, d.h. auch die Division ist uneingeschr¨ankt durchf¨
uhrbar.
Diese Zahlbereichserweiterung kann man vollziehen, indem man auf
¨
der Menge × ∗ die Aquivalenzrelation
❩ ❩
(a, b) ∼Q (a , b ) : ⇐⇒ a · b = a · b
❩ ❩∗)/ ∼Q definie-
¨
betrachtet. Auf der Aquivalenzklasseneinteilung
( ×
ren
[(a, b)] +Q [(a , b )] := [(a · b + a · b, b · b )]
[(a, b)] ·Q [(a , b )] := [(a · a , b · b )]
Verkn¨
upfungen, die diese zu einem K¨orper machen. Die ganzen Zahlen
findet man darin als Elemente der Form [(a, 1)] wieder.
Weitere Details findet man in Abschnitt B.2.
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
1.3.3
14
Abbildungen
In diesem Abschnitt finden wir eine konkrete Definition des Begriffs der
Abbildung. Wir haben Ihn schon vorher benutzt im Sinne von Zuordnung,
siehe Definitionen 1.4, 1.11, A.15 und auch Beispiel 1.14.
Definition 1.33. Es seien M ,N Mengen.
1. Eine Relation f ⊂ M × N heißt Abbildung von M nach N , wenn
∀x ∈ M ∃!y ∈ N : (x, y) ∈ f .
Die Menge f ⊂ M × N nennt man dann den Graphen der Abbildung
und wir schreiben Gf ⊂ M × N f¨
ur diesen Graphen. Die Menge M
nennt man die Definitionsmenge und N den Wertebereich der Abbildung f . Ist f eine Abbildung, so schreiben wir
f :M →N
und f (x) = y
statt f ⊂ M × N und (x, y) ∈ f .
2. Ist f (x) = y, dann nennen wir y ∈ N das Bild von x ∈ M unter f und
x ∈ M das Urbild von y ∈ N unter f .
3. Ist U ⊂ M , so nennen wir die Teilmenge
f (U ) = {y ∈ N | ∃x ∈ U : f (x) = y} ⊂ N
das Bild von U unter f . Ist hier U = M , dann nennen wir Bild(M ) =
f (M ) das Bild von f .
4. Ist V ⊂ N , so nennen wir die Menge
f −1 (V ) = {x ∈ M | f (x) ∈ V } ⊂ M
das Urbild von V unter f . Es gilt stets f −1 (N ) = M .
Beispiel 1.34. Es sei M eine Menge, dann ist die Gleichheit auf M eine
Abbildung. Diese wird Identit¨
at auf M genannt und mit idM : M → M und
es gilt idM (m) = m f¨
ur alle m ∈ M .
Definition/Bemerkung 1.35. Es sei f : M → N eine Abbildung.
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1 Mengensprache, Induktion, Relationen, Zahlbereiche
15
1. f heißt injektiv, wenn
∀x ∈ M ∀x ∈ M : (f (x) = f (x ) =⇒ x = x ) .
2. f heißt surjektiv, wenn
∀y ∈ N ∃x ∈ M : f (x) = y .
3. f : M → N heißt bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist, d.h. genau
dann, wenn
∀y ∈ N ∃!x ∈ M : f (x) = y .
4. Ist U ⊂ M , dann nennt man die Abbildung f |U : U → N mit f |U (x) :=
f (x) die Einschr¨
ankung von f auf U .
5. Man kann jede Abbildung f : M → N surjektiv machen, indem man
sie als Abbildung f : M → Bild(f ) betrachtet.
Definition 1.36. Sind f : M → N und g : N → P Abbildungen, dann
nennt man die Abbildung
g◦f :M →P
mit
(g ◦ f )(m) := g(f (m)) .
Die Verkettung oder Hintereinanderausf¨
uhrung von f und g.
Definition/Bemerkung 1.37. Ist f : M → N eine bijektive Abbildung,
so gibt es eine eindeutige Abbildung f −1 : N → M mit
f ◦ f −1 = idN und f −1 ◦ f = idM .
Diese heißt Umkehrabbildung von f .iv
Ist n ∈ N , so gilt f¨
ur die Umkehrabbildung f −1 (n) = m f¨
ur dasjenige m ∈ M
mit f (m) = n.
f −1 besitzt selbst eine Umkehrabbildung, und es gilt (f −1 )−1 = f .
iv
Achtung: Die Abbildung f −1 gibt es nur, wenn f bijektiv ist. Allerdings gibt es das
Urbild gem¨
aß Definition/Bemerkung 1.33.4 f¨
ur beliebige Mengen.
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16
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
2
Zahlenfolgen und reelle Zahlen
2.1
Zahlenfolgen in
◗
Definition 2.1. Eine Zahlenfolge in
x:
◗ ist eine Abbildung
◆ → ◗.
Die Bilder der Folge x bezeichnen wir mit
xk := x(k)
und nennen dieses Elements als k-tes Folgenglied. F¨
ur eine Folge x schreiben
wir auch (xn )n∈◆ oder k¨
urzer (xn ).
◆ ◗
Beispiel 2.2.
• x:
→
mit xn = a f¨
ur alle n ∈
Folge und wir schreiben (a) f¨
ur diese Folge.
• x:
◆∗ → ◗ mit xn := n1 .
• x:
1)(n − 4)
◆ → ◗ mit xn := (n4(n2 ++10)(n
.
+ 5)
◆ heißt konstante
◆ → ◗ mit xn := (−1)n.
• x : ◆ → ◗ mit xn := an f¨
ur ein festes a ∈ ◗.
• x:
Man kann Zahlenfolgen auf zwei Arten veranschaulichen: Man kann Ihre
Bilder auf einer ”Zahlengerade” einzeichnen, oder man kann den Graphen
der Folge in der ”Ebene” betrachten, siehe Abbildung 2. Wir werden die
zweite Art der Darstellung bevorzugen.
Wenn von jetzt an u
¨ber Folgen gesprochen wird, dann ist immer eine Zahlenfolge im Sinne von Definition 2.1 gemeint.
Definition 2.3. Eine Folge (xn ) heißt
1a. nach oben beschr¨
ankt, wenn es eine Zahl M ∈
f¨
ur alle n ∈ .
◆
◗ gibt, so dass xn < M
1b. nach unten beschr¨
ankt, wenn es eine Zahl M ∈
M f¨
ur alle n ∈ .
◆
◗ gibt, so dass xn >
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17
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
Abbildung 2: Die Zahlenfolge ( n1 )
Sheet1
0,0
0,0
0,1
1,0
0,9
0,2
0,8
0,7
0,6
0,3
0,5
0,4
0,4
0,3
0,2
0,5
0,1
0,0
0,6
0
5
10
15
0,7
0,8
0,9
1,0
1c. beschr¨
ankt, wenn es eine Zahl C ∈
n∈ .
◆
◗ gibt, so dass |xn| < C f¨ur alle
Page 2
◆ mit n < m.
2b. streng monoton steigend, wenn xn < xm f¨
ur alle n, m ∈ ◆ mit n < m.
2c. monoton fallend, wenn xn ≥ xm f¨
ur alle n, m ∈ ◆ mit n < m.
2d. streng monoton fallend, wenn xn > xm f¨
ur alle n, m ∈ ◆ mit n < m.
2a. monoton steigend, wenn xn ≤ xm f¨
ur alle n, m ∈
Beispiel 2.4. In der folgenden Tabelle listen wir einige Beispielfolgen mit
ihren Eigenschaften.
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20
25
18
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
xn
Eigenschaften aus Definition 2.3
a
konstante Folge (a) (beschr¨ankt mit gleicher
oberer und unterer Schranke)
1
n
beschr¨ankt, streng monoton fallend
n2
nach unten beschr¨ankt, streng monoton steigend
(−1)n
beschr¨ankt
an (mit a > 1)
an (mit 0 < a < 1)
an (mit 0 > a > −1)
an (mit a < −1)
4(n+1)(n−4)
(n2 +10)(n+5)
streng monoton steigend, nach unten beschr¨ankt
streng monoton fallend, beschr¨ankt
beschr¨ankt
—
beschr¨ankt
20n2 − 50n − n3
(−1)n n2
nach oben beschr¨ankt
—
Definition 2.5. Eine Folge (xn ) heißt konvergent, wenn es eine Zahl a ∈
gibt, so dass f¨
ur alle rationalen Zahlen > 0 eine nat¨
urliche Zahl n0 ∈
existiert, mit |xn − a| < f¨
ur alle n > n0 .
◗
◆
Etwas formaler:
∀ ∈
◗>0 ∃n0 ∈ ◆ ∀n ∈ ◆>n
0
: |xn − a| < .
a nennt man Grenzwert der Folge (xn ) und wir schreiben
a = lim xn oder xn −→ a (f¨
ur n −→ ∞) .
n→∞
Ist eine Folge nicht konvergent so heißt sie divergent.
Bemerkung 2.6. Konvergiert eine Folge (xn ) gegen a, so kann es f¨
ur jedes
n0 nur endlich viele Zahlen m ∈
geben, mit |xm − a| ≥ . F¨
ur diese m
muss n¨
amlich m ≤ n0 gelten.
◆
Satz 2.7. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.
Beispiel 2.8.
Ist
• Die Folge (xn ) mit xn =
(−1)n
n
konvergiert gegen a = 0.
1
> 0, so w¨
ahle n0 > . Dann ist f¨
ur alle n > n0
|xn − a| =
(−1)n
1
1
−0 = <
< .
n
n
n0
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19
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
• Die Folgen (−1)n und (n2 ) sind divergent. F¨
ur die erste Folge zeigt
man das mit der vorigen Bemerkung und f¨
ur die zweite folgt das aus
Satz 2.12.
◆
◆
Definition 2.9. Es sei (xn ) eine Folge und f :
→
eine injektive
Abbildung mit f (k) > f ( ) f¨
ur k > . Dann nennt man die Folge (xfn ) mit
f
xn := xf (n) eine Teilfolge von (xn ).
Beispiel 2.10.
•
1
2n
ist eine Teilfolge von
1
n
– Es ist f (n) = 2n.
• Die konstante Folge (1) ist eine Teilfolge von (−1)n — f ist nicht
eindeutig, es liefern z.B. f (n) = 2n und f (n) = 10n beide die konstante
Teilfolge (1).
• Es sei (xn ) eine Folge f¨
ur die unendlich viele Folgenglieder nicht verschwinden. Dann ist die Folge (ˆ
xn ), die durch Streichen der verschwindenden Folgenglieder entsteht eine Teilfolge von (xn ).
• Der Shift einer Folge ist durch f (n) = n + k f¨
ur k > 0 definiert: (xfn )
ist dann durch xfn = xn+k erkl¨art.
Satz 2.11. Es sei (xn ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Ist (xfn )
eine Teilfolge von (xn ), dann ist (xfn ) konvergent mit Grenzwert a.
Satz 2.12. Jede konvergente Folge in
◗ ist beschr¨ankt.
Satz 2.13 (Rechenregeln). Es seien (xn ) und (yn ) konvergent mit lim xn =
n→∞
a und lim yn = b. Dann gilt
n→∞
1. Die Folge (xn ± yn ) konvergiert und es gilt
lim (xn ± yn ) = a ± b .
n→∞
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2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
2. Die Folge (xn yn ) konvergiert und es gilt
lim (xn yn ) = ab .
n→∞
3. Ist yn = 0 f¨
ur alle n ∈
und es gilt
lim
n→∞
◆ und b = 0, so konvergiert die Folge
1
yn
◆ und b = 0, so konvergiert die Folge
xn
yn
1
1
= .
yn
b
4. Ist yn = 0 f¨
ur alle n ∈
und es gilt
xn
a
lim
= .
n→∞ yn
b
Bemerkung 2.14. Die Umkehrung von Satz 2.12 ist in der Regel nicht
wahr: Ist eine Folge in
beschr¨ankt so muss sie nicht konvergent sein, wie
das Beispiel (−1)n zeigt.
Ist eine Folge jedoch beschr¨ankt und monoton, so dr¨angt sich die Frage auf,
ob sie auch schon konvergiert. Im Fall der Folge ( n1 ) ist das genau der Fall. Im
allgemeinen ist das jedoch nicht der Fall, wie wir im Folgenden diskutieren
werden.
◗
Bezeichnung 2.15. Eine Folge (xn ), wie wir sie bisher betrachtet haben,
war durch eine Bildungsvorschrift gegeben, die einem erlaubte jedes Folgenglied unabh¨
angig voneinander zu berechnen. Solch eine Form nennt man
auch explizit oder geschlossen. Es gibt jedoch auch Folgen, die nicht in geschlossener Form gegeben sind. Sie ben¨otigen zur Berechnung eines Folgengliedes Informationen u
¨ber eines oder mehrerer vorangehender Folgenglieder. Solche Folgen nennt man rekursiv definierte Folgen.
• Die sogenannte Fibonacci Folge ist definiert als die Folge (fn ) mit
f1 = 1, f2 = 1
und fn = fn−1 + fn−2 f¨
ur n ≥ 2 .
F¨
ur diese Folge gibt es ”keine” geschlossene Form in
◗.v
• Ein weiteres Beispiel einer rekursiv definierten Folge ist (xn ) mit
1
1
x0 = 1 und xn+1 = xn +
.
2
xn
v
Eine geschlossene Form der Fibonacci-Folge ist fn =
√1
5
√
1+ 5
2
n
−
√
1− 5
2
n
.
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2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
Beispiel 2.16. Die obige rekursive Folge (xn ) mit x0 = 1 und xn+1 =
1
1
ankt und ab x1 monoton fallend. Das Gleiche gilt damit
2 xn + xn ist beschr¨
auch f¨
ur die Folge (x2n ). Außerdem ist (x2n ) konvergent mit Grenzwert 2.
Definition 2.17. Eine Folge (xn ) heißt Cauchy-Folge, wenn
∀ ∈
◗>0 ∃n0 ∈ ◆ ∀n, m ∈ ◆≥n
0
: |xn − xm | < .
Bemerkung 2.18. Mit einer ¨ahnlichen Begr¨
undung wie oben zeigt man
nun, dass jede Teilfolge einer Cauchy-Folge ebenfalls eine Cauchyfolge ist.
Satz 2.19.
1. Jede Cauchy-Folge in
2. Jede konvergente Folge in
◗ ist beschr¨ankt.
◗ ist eine Cauchy-Folge in ◗.
Es gilt sogar die folgende Bemerkung. Auf den Beweis verzichten wir hier,
weil sie eine Folgerung einer allgemeineren Aussage ist, siehe Satz ??.
Bemerkung 2.20. Jede monotone, beschr¨ankte Folge in
Folge in .
◗
◗ ist eine Cauchy-
Bisher haben wir lediglich Kriterien daf¨
ur, herauszufinden, ob eine Folge
nicht konvergiert. Nachzupr¨
ufen, ob eine Folge konvergiert, k¨onnen wir bisher nur, indem wir einen potentiellen Kandidaten hernehmen und testen, ob
dieser tats¨
achlich ein Grenzwert ist.
2.2
Die reellen Zahlen
Man kann auch mit Folgen rechnen und im Prinzip haben wir das schon in
2.13 gemacht: Wir schreiben
(xn ) ± (yn ) := (xn ± yn ),
(xn ) · (yn ) := (xn yn )
xn
(xn ) : (yn ) :=
,
yn
wobei die letzte Operation m¨oglich ist, wenn yn = 0 f¨
ur alle n ∈
◗
◆.
◗
Bezeichnung 2.21. Die Menge aller Folgen in bezeichnen wir mit F( ),
die Teilmenge aller beschr¨ankten Folgen mit BF( ) und die Teilmenge aller konvergenten Folgen in
mit KF( ). Eine wichtige Teilmenge davon
◗
◗
◗
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22
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
◗
◗
ist die Menge N F( ) aller Nullfolgen in , das sind die konvergenten Folgen mit Grenzwert 0. Die Menge aller Cauchy-Folgen in
bezeichnen wir
entsprechend mit CF( ). Es gilt
◗
◗
N F(◗) ⊂ KF(◗) ⊂ CF(◗) ⊂ BF(◗) ⊂ F(◗).
Bemerkung 2.22. Dass die Menge F(◗) unter den obigen Verkn¨
upfungen
abgeschlossen ist, sieht man sofort.
Satz 2.13 sagt gerade, dass die Menge KF(◗) ebenfalls bez¨
uglich der obigen
Operationen abgeschlossen ist. Daraus folgt die gleiche Eigenschaft auch f¨
ur
N F(◗), wobei die Division allerdings keinen Sinn macht.
¨
Ahnlich
wie in Satz 2.13 zeigt man nun, dass die Mengen BF(◗) und CF(◗)
ebenfalls unter Addition und Multiplikation abgeschlossen sind.
¨
Weiter zeigt man durch Uberpr¨
ufen der Rechenregeln, dass F(◗), BF(◗),
KF(◗) und CF(◗) jeweils kommutative Ringe mit Einselement sind und
N F(◗) ein kommutativer Ring (ohne Einselement!) ist. Null und eins sind
duch (0) und (1) gegeben.
All die Ringe aus der obigen Bemerkung haben Nullteiler!
Bemerkung 2.23.
1. Ist (xn ) · (yn ) = (0) so hat mindestens einer der
beteiligten Folgen (0) als Teilfolge, also unendlich viele verschwindende
Folgeglieder.
◗
2. Die Nullteiler in CF( ) sind genau die Nullfolgen.
◗
Definition/Satz 2.24. Auf dem Ring CF( ) der Cauchy-Folgen in
finieren wir eine Relation durch
◗ de-
◗
(xn ) ∼ (yn ) : ⇐⇒ (xn − yn ) ∈ N F( ) .
¨
¨
Dies ist eine Aquivalenzrelation
und die Aquivalenzklasseneinteilung
bezeichnen wir mit
❘ := CF(◗)/ ∼ .
◗
Satz 2.25.
1. Die Addition und die Multiplikation auf CF( ) induzieren
auf nat¨
urliche Weise eine Addition und Multiplikation auf . Es ist
[(xn )] ⊕ [(yn )] := [(xn + yn )],
2. Diese Verkn¨
upfungen machen
[(xn )]
❘
[(yn )] := [(xn yn )] .
❘ zu einem K¨orper.
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23
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
◗ ❘, die jedem q ∈ ◗ die konstante Folge (xn)
◆ zuordnet, ist mit den Strukturen vertr¨aglich.
3. Die Abbildung Φ : →
mit xn = q f¨
ur alle n ∈
F¨
ur den Beweis des Satzes sind folgende Aussagen n¨
utzlich:
Bemerkung 2.26.
1. Ist (xn ) eine beschr¨ankte Folge und (yn ) eine Nullfolge, so ist (xn yn ) ebenfalls eine Nullfolge.
2. Ist (xfn ) eine Teilfolge der Cauchy-Folge (xn ), so ist (xfn ) ebenfalls eine
Cauchy-Folge, und es gilt (xn ) ∼ (xfn ).
Beweis. (Satz 2.25). Zun¨achst zeigt man f¨
ur 1. die Repr¨asentantenunabh¨
angigkeit der Verkn¨
upfungen. F¨
ur 2. bemerkt man, dass die neutralen
Elemente in die Klassen der neutralen Elemente in CF( ) sind, also [(0)]
und [(1)].
Ist α ∈
\ {[(0)]}, so zeigt man, dass jeder Repr¨asentant (xn ) ∈ α nur
endlich viele verschwindende Folgeglieder besitzt. Betrachte dazu dann die
Teilfolge (ˆ
xn ), die aus (xn ) durch streichen eben dieser Folgeglieder entsteht.
1
Dann zeigt man weiter, dass
das multiplikative Inverse zu [(xn )] ist.
x
ˆn
◗
◗
❘
◗
Bezeichnung 2.27. Ist eine Cauchy-Folge (xn ) in konvergent mit Grenzwert a ∈ , dann ist [(xn )] = [(a)] und wir identifizieren [(xn )] ∈
und
a∈ .
◗
◗
❘
❘
Definition 2.28. Ein Element α ∈
nennen wir positiv, wenn es ein ∈
>0 und eine Cauchy-Folge (x ) ∈ α gibt, so dass x ≥
f¨
ur alle n ∈ .
n
n
Etwas formaler
◗
∃ ∈
◗>0 ∃(xn) ∈ α ∀n ∈ ◆ : xn ≥
◆
.
Weiter definieren wir
α > β : ⇐⇒ α − β ist positiv ,
α
≥
β : ⇐⇒ α > β ∨ α = β ,
α < β : ⇐⇒ β > α ,
α
≤
β : ⇐⇒ β
≥
α.
Wir nennen α negativ, wenn −α positiv ist. Es ist α positiv ⇐⇒ α > [(0)]
und α negativ ⇐⇒ α < [(0)].
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24
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
Bemerkung 2.29. Ist α positiv und wie oben, dann gibt es f¨
ur alle (xn ) ∈
α ein n0 ∈ , so dass xk > 2 f¨
ur alle k > n0 .
◆
Satz 2.30.
• ≤ ist eine Totalordnung auf
chen Rechenregeln, siehe Kapitel 2.5.
• F¨
ur alle q, r ∈
Φ(q)
≤
❘ und erf¨ullt die gew¨ohnli-
◗ gilt
Φ(r) ⇐⇒ q ≤ r .
Bezeichnung 2.31. Wir schreiben
❘
statt
+
statt ⊕
·
statt
α − β statt
α
statt
β
≤ statt
α ⊕ (−β)
β −1
α
≤
◗
statt
Φ( )
a
statt
[(a)]
Die Zahlen
2.3
❘
◗
❘ \ ◗ heißen irrationale Zahlen.
Eigenschaften reeller Zahlen
❘
Die Menge hat die so genannte Supremumseigenschaft bzw. die Infimumseigenschaft. Dazu ben¨
otigen wir die folgende Definition.
Definition 2.32. Es sei M eine Menge mit einer Ordnungsrelation ≤ und
M ⊂ M eine Teilmenge.
1. Ein Element C ∈ M heißt Maximum der Menge M , oder max(M ),
wenn es das gr¨
oßte Element der Menge M ist. D.h.
∀m ∈ M : m ≤ C .
2. Ein Element c ∈ M heißt Minimum der Menge M , oder min(M ),
wenn es das kleinste Element der Menge M ist. D.h.
∀m ∈ M : m ≥ C .
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25
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
3. Ein Element S ∈ M heißt Supremum der Menge M , oder sup(M ),
wenn es das kleinste Element in M ist, das gr¨oßer ist, als alle Elemente
der Menge M . D.h.
∀m ∈ M ∀S ∈ M : m ≤ S ∧ (m ≤ S =⇒ S ≤ S ) .
4. Ein Element s ∈ M heißt Infimum der Menge M , oder inf(M ), wenn
es das gr¨
oßte Element in M ist, das kleiner ist, als alle Elemente der
Menge M . D.h.
∀m ∈ M ∀s ∈ M : m ≥ s ∧ (m ≥ s =⇒ s ≥ s ) .
Insbesondere ist ein Maximum (Minimum) einer Menge auch ein Supremum
(Infimum).
Bemerkung 2.33. In einer geordneten Menge m¨
ussen f¨
ur eine Teilmenge
weder Maximum, Minimum, Supremum oder Infimum existieren.
Betrachte dazu die Potenzmenge P(M ) der Menge M . Diese ist durch die
Teilmengenbeziehung geordnet und besitzt ein Minimum (∅) und ein Maximum (M ) als untere und obere Schranken.
Entfernt man nun diese beiden Elemente, so ist die Menge P(M ) \ {∅, M }
immer noch durch ⊂ geordnet. Sie besitzt weder Maximum noch Minimum.
Als Teilmenge von P(M ) ist sie jedoch weiter durch ∅ und M beschr¨ankt
und sie bilden hier das Infimum und das Supremum.
Betrachten wir eine beliebige Teilmenge A ⊂ P(M ) so gilt allgemeiner
inf(A) = ∩A und sup(A) = ∪A.
In den reellen Zahlen gilt jedoch die folgende Eigenschaft.
Satz 2.34 (Supremumseigenschaft).
❘ hat ein Supremum.
• Jede nach unten beschr¨
ankte Teilmenge Menge M ⊂ ❘ hat ein Infi• Jede nach oben beschr¨
ankte Teilmenge M ⊂
mum.
◗
Beweis. Da M beschr¨
ankt ist, gibt es eine Zahl C0 ∈ so dass α < C f¨
ur
alle α ∈ .
Weiter gibt eine rationale Zahl x0 , die keine obere Schranke von M ist. Sei
dazu α ∈
und w¨
ahle dazu eine Cauchy-Folge (yn ) ∈ α. Dann gibt es ein
n0 ∈ , so dass |yn − ym | < 41 . Dazu definiere die Cauchy-Folge (¯
yn ) mit
◆
❘
❘
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2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
ur alle n ∈
y¯n := yn+n0 − 1. Dann gilt insbesondere y¯n < α f¨
x0 := y0 .
Wir definieren rekursiv zwei Folgen (xn ) und (Cn ) durch
◆. Setze nun
Ck−1 + xk−1
2
zk
falls zk obere Schranke
Ck :=
Ck−1 sonst
zk :=
xk :=
xk−1
zk
falls zk obere Schranke
sonst
f¨
ur k ≥ 1. Jetzt gilt
1. xk ist niemals obere Schranke und Ck ist stets obere Schranke von M .
2. (xn ) ist Cauchy-Folge, da |xk+m − xk | ≤ ( 21 )k (1 − ( 12 )m )|C0 − x0 |.
3. (Cn ) ist Cauchy-Folge, da |Ck+m − Ck | ≤ ( 21 )k (1 − ( 21 )m )|C0 − x0 |.
4. (xn −Cn ) ist Nullfolge, denn |Ck −xk | = 12 |Cn−1 −xn−1 | = ( 12 )k |C0 −x0 |.
5. Mit [(xn )] = [(Cn )] =: µ ist µ obere Schranke von M .
6. µ ist die kleinste obere Schranke von M .
❘ im folgenden Sinne zusammmenh¨angend ist:
Satz 2.35 (Zusammenhang von ❘). Es seien M, M ⊂ ❘ Teilmengen mit
x ≤ x f¨
ur alle x ∈ M und x ∈ M . Dann existiert ein y ∈ ❘ mit x ≤ y ≤ x
Daraus folgt nun, dass
f¨
ur alle x ∈ M, x ∈ M .
Bemerkung 2.36.
gen M = {x ∈
◗
◗
• Dass Satz 2.35 u
¨ber nicht gilt, zeigen die Men= {x ∈ | x2 > 2}.
◗ | x2 < 2} und M
• Ganz allgemein sind auf einer total geordneten Menge (M, ≤) die folgenden Aussagen ¨
aquivalent:
– Zu zwei Teilmengen N, N ⊂ M mit n ≤ n f¨
ur alle n ∈ N, n ∈ N
existiert ein m ∈ M , so dass n ≤ m ≤ n f¨
ur alle n ∈ N, n ∈ N .
– Jede nach oben beschr¨ankte Menge hat ein Supremum.
– Jede nach unten beschr¨ankte Menge hat ein Infimum.
Satz 2.37.
1a.
◆ ⊂ ❘ ist nicht beschr¨ankt.
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27
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
❘ gibt es zu jeder Zahl > 0 ein n ∈ ◆, so dass n
1c. Zu jedem ∈ ❘+ gibt es ein n ∈ ◆, so dass n1 < .
1b. Zu a ∈
> a.
2a. Zwischen zwei reellen Zahlen liegt immer eine rationale Zahl.
2b. Zwischen zwei reellen Zahlen liegt immer eine irrationale Zahl.
2c. Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine irrationale Zahl.
3. Zwischen zwei reellen/rationalen Zahlen liegen sowohl unendlich viele
rationale Zahlen als auch irrationale Zahlen.
4. Zu jeder reellen Zahl α ∈
mit |a − α| < .
2.4
Zahlenfolgen in
❘ und zu jedem
∈
❘+ gibt es ein a ∈ ◗
❘ und Konvergenzkriterien
◆
❘
Definition 2.38. Eine reelle Zahlenfolge ist eine Abbildung x :
→ .
F¨
ur solch eine Folge x mit Bildern xn := x(n) schreiben wir wieder (xn )n∈◆
oder (xn ).
Die Definitionen aus Kapitel 2.1 werden gleichlautend u
¨bernommen, wobei
stets
durch
ersetzt wird.
◗
❘
Bemerkung 2.39. Alle S¨atze und Bemerkungen aus Kapitel 2.1 bleiben
nach Ersetzen von
durch
wahr mit Ausnahme von Bemerkung 2.14,
wie wir gleich sehen werden. Es gilt insbesondere
◗
❘
• Jede konvergente reelle Folge ist beschr¨ankt.
• Jede reelle Cauchy-Folge ist beschr¨ankt.
• Jede konvergente reelle Folge ist eine Cauchy-Folge.
Satz 2.40.
• Jede nach oben beschr¨
ankte, monoton steigende reelle Folge ist konvergent.
• Jede nach unten beschr¨
ankte, monoton fallende reelle Folge ist konvergent.
• Jede beschr¨
ankte, monotone reelle Folge ist konvergent.
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
28
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
❘
Definition 2.41. Ein Punkt a ∈
heißt H¨
aufungspunkt der reellen Folge
(xn ), wenn es zu jeder reellen Zahl > 0 eine unendliche Menge N ⊂
gibt, so dass
|xn − a| <
❘
◆
f¨
ur alle n ∈ N .
Satz 2.42. a ∈ ist genau dann ein H¨
aufungspunkt der reellen Folge (xn ),
wenn es eine Teilfolge (xfn ) von (xn ) gibt, die gegen a konvergiert.
Beweis. F¨
ur die Richtung ”⇒” konstruieren wir eine Teilfolge u
¨ber ihre
definierende Funktion f : → wie folgt:
1
|xk −a| < n+1
Sei Bn := k ∈
und damit f (0) := min(B0 ) und rekursiv
≤f
(k−1)
f (k) := min(Bk \
) f¨
ur k ≥ 1
◆
Satz 2.43.
◆ ◆
◆
1. Jede reelle Folge besitzt eine monotone Teilfolge.
2. (Bolzano-Weierstraß). Jede beschr¨
ankte reelle Folge hat einen H¨
aufungspunkt.
3. Jede beschr¨
ankte Folge mit genau einem H¨
aufungspunkt ist konvergent.
Beweis. (zu 1) Wir konstruieren eine Teilfolge u
¨ber Ihre definierende
Funktion f : → wie folgt:
∀n ≥ k : xk ≤ xn . Dann unterscheiden wir zwei F¨alle:
Sei B := k ∈
Ist B unendlich, dann sei f (0) := min(B) und f¨
ur k ≥ 1 induktiv f (k) :=
≤f
(k−1)
min(B \
. Das liefert eine monoton steigende Teilfolge.
Ist B endlich, so gibt es ein N ∈ \ B, das eine obere Schranke f¨
ur B ist.
Dazu gibt es ein f (0) ∈ \ B mit f (0) > N und xf (0) < xN . Jetzt w¨ahlen
wir induktiv f (k) ∈ \ B mit f (k) > f (k − 1) und xf (k) < xf (k−1) . Das
definiert nun eine monoton fallende Teilfolge.
(Zu 3) Wir zeigen, dass der H¨aufungspunkt auch der Grenzwert der Folge
ist. Wir betrachten zu > 0 die Menge B := n ∈
|xn − a| <
und
zeigen, dass \ B endlich ist.
Dazu nehmen, wir an, dass \ B nicht endlich ist. Sei nun f (0) = min( \
B ) und induktiv f (k) := min ( \ B ) \ ≤f (k−1) f¨
ur k ≥ 1. Mit (xn )
f
ist auch (xn ) beschr¨
ankt und hat damit einen H¨aufungspunkt. Wegen der
Definition von B kann dieser dann aber nicht a sein.
◆ ◆
◆
◆
◆
◆
◆
◆
◆
◆
◆
◆
◆
Es folgen noch einige n¨
utzliche Kriterien.
Satz 2.44.
1. (Einschließungskriterium). Es sei (xn ) eine Folge und
(yn ), (zn ) konvergente Folgen mit gleichem Grenzwert a. Weiter gebe
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
29
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
◆
es ein n0 ∈
so dass f¨
ur alle n ≥ n0 die Ungleichung yn ≤ xn ≤ zn
gelte. Dann konvergiert (xn ) ebenfalls gegen a.
2. (Minorantenkriterium). Es seien (xn ) eine Folge und (yn ) eine unbeschr¨
ankte Folge. Weiter gebe es ein n0 ∈ so dass f¨
ur alle n ≥ n0 die
Ungleichung |xn | ≥ |yn | gelte. Dann ist auch (xn ) unbeschr¨
ankt.
◆
3. (Majorantenkriterium). Es seien (xn ) eine Folge und (yn ) eine Nullfolge. Weiter gebe es ein n0 ∈
so dass f¨
ur alle n ≥ n0 die Ungleichung 0 < xn ≤ yn gelte. Dann ist auch (xn ) eine Nullfolge.
◆
4. Es seien (xn ) und (yn ) Zahlenfolgen mit lim (xn − yn ) = 0 und die
n→∞
Folge (yn ) konvergiere gegen a. Dann konvergiert auch (xn ) gegen a.
❘
5. Es sei (yn ) eine Nullfolge und (xn ) eine Folge f¨
ur die ein a ∈
und
n0 ∈
existiert mit |xn − a| < yn f¨
ur alle n ≥ n0 . Dann konvergiert
(xn ) gegen a.
◆
Bemerkung 2.14 wird nun durch folgenden wichtigen Satz ersetzt.
Satz 2.45 (Cauchy Konvergenzkriterium). Eine reelle Zahlenfolge ist genau
dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.vi
2.5
Rechenregeln, Intervalle
❘
Betrag, Vorzeichen und Ordnungsrelation auf
erf¨
ullen die u
¨blichen Rechenregeln, so wie wir sie zum Teil im vorigen Abschnitt schon benutzt
haben.
Bemerkung 2.46 (Rechenregeln). Es seien im Folgenden a, b, c ∈
m, n ∈ . Dann gilt der Binomische Lehrsatz
◆
n
n+1
a
vi
n+1
−b
= (a − b)
n
k n−k
a b
k=0
n
und (a + b) =
k=0
❘ und
n k n−k
a b
k
Das liefert zusammen mit Satz 2.40 die Begr¨
undung f¨
ur Bemerkung 2.20.
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
30
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
mit
n
k
:=
n!
. Außerdem gilt:
k!(n − k)!
a<b
=⇒ a + c < b + c
a<b
=⇒ −a > −b
a > 0, b > 0
=⇒ ac < bc
a < b, c < 0
=⇒ ac > ab
a > 0, b > 0
=⇒ ab > 0
0<a<b
=⇒ 0 <
1
b
<
a<b<0
=⇒
a<b
=⇒ a <
am
=⇒
a > 1, m > 0
=⇒ am > 1
a > 1, m < n
am
=⇒
=⇒ (1 + a)m ≥ 1 + ma
=⇒ |a| > |c|
|a| < c ∧ a < −c
=⇒ |a| < |c|
|a| = 0
⇐⇒ a = 0
|a − b| < c
⇐⇒ b − c < a < b + c
= |b − a|
min{a, b}
=
|ab|
= |a| |b|
und
a+b
2
a+b
2
+
−
|a|
|b| , b
|a−b|
2
|a−b|
2
=0
|a + b|
≤ |a| + |b|
|a − b|
≥ |a| − |b|
≥ |a| − |b|
am an
= am+n
am bm
= (ab)m
(an )m
= amn
n
k
n+1
k
n
k=0
n
❘ | a < x < b}
=
=
=
=
n
k
(−1)k
Definition/Bemerkung 2.47. F¨
ur a, b ∈
]a, b[ := {x ∈
|a − b|
|a − b|
an
0 ≤ a < b, m > 0 =⇒ am < bm
|a| > c ∧ a > −c
= |a|
a
b
b
0 < a < 1, m < n =⇒ an < am
a ≥ −1
= |a|
max{a, b}
=0
<
| − a|
= min{a, −a}
|a|
1
1
b < a
1
a <0
a+b
2 <
a = 0, m > 0
= max{a, −a}
−|a|
=⇒ a + b > 0
a < b, c > 0
|a|
k=0
n
k
n
n−k
n
k−1
+
n
k
= 0 f¨
ur n ≥ 1
= 2n
❘ heißen
[a, b] := {x ∈
❘ | a ≤ x ≤ b}
das offene Intervall und das abgeschlossene Intervall mit den Intervallgrenzen a und b.
Die Zahlen m = m(a, b) :=
[a, b] = {x ∈
a+b
2
und r = r(a, b) :=
❘ | |x − m| ≤ r}
und
|a−b|
2
erf¨
ullen
]a, b[ = {x ∈
❘ | |x − m| < r}
und heißen Mittelpunkt x0 und Radius des Intervalls. Wir schreiben manchmal
¯r (x0 ) := {x ∈ | |x−x0 | ≤ r} .
Ur (x0 ) := {x ∈ | |x−x0 | < r} und U
❘
❘
Frank Klinker
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31
2 Zahlenfolgen und reelle Zahlen
❘
Ein Intervall I ⊂
ist eine Menge mit der Eigenschaft, dass mit je zwei
Punkten a, b die Punkte dazwischen ebenfalls in I liegen, d.h.
∀a, b ∈ I : [a, b] ⊂ I ∨ [b, a] ⊂ I .
Zu den Intervallen geh¨
oren somit auch die halboffenen Intervalle
]a, b] := {x ∈
❘ | a < x ≤ b}
und
[a, b[ := {x ∈
❘ | a ≤ x < b}
und die unbeschr¨
ankten Intervalle
[a, ∞[ :=
❘≥a, ]a, ∞[ := ❘>a, ]∞, a] := ❘≤a, ]∞, a[ := ❘<a .
Der Schnitt zweier Intervalle ist ein Intervall und der Schnitt abz¨ahlbar vieler
Intervalle ist ein Intervall.
Die Vereinigung zweier nichtleerer Intervalle ist genau dann ein Intervall,
wenn der Schnitt nicht leer ist, oder, wenn die Vereinigungen von der Formvii
a, b] ∪ ]b, c oder a, b[ ∪ [b, c sind.
Mit diesen Bezeichnungen l¨aßt sich der folgende Satz elegant beweisen.
❘
❘
¨
Satz 2.48 (Uberabz¨
ahlbarkeit von ). Die Menge der reellen Zahlen
und die Menge der irrationalen Zahlen \ sind u
¨berabz¨ahlbar, d.h. nicht
abz¨
ahlbar.
❘ ◗
vii
Mit dem Symbol wollen wir ausdr¨
ucken, dass an diesem Rand des Intervalls die Art
ders Randes unerheblich ist.
Frank Klinker
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32
3 Reelle Funktionen
3
Reelle Funktionen
3.1
Grundlagen und erste Beispiele
Definition 3.1. Es seien U, V ⊂
❘ Teilmengen der reellen Zahlen.
1. Eine (reelle) Funktion auf U ist eine Abbildung
f :U →
❘.
Eine besondere Rolle werden Funktionen spielen, deren Definitionsbereich ein Intervall I ⊂ ist.
❘
❘
2. Ein Wert x ∈ U heißt Nullstelle der Funktion f : U → , wenn
f (x) = 0. Die Menge der Nullstellen von f bezeichnen wir mit Nf :=
{x ∈ U | f (x) = 0}.
❘
❘
3. Sind f : U →
und g : V →
Funktionen und gilt f (x) = g(x) f¨
ur
einen Wert x ∈ U ∩ V , so nennt man den Punkt (x, f (x)) = (x, g(x))
Schnittpunkt der Funktionen f und g.
Definition 3.2. Es sei f : U →
❘ eine Funktion. f ist
• monoton steigend ⇐⇒ ∀x, x ∈ U : x ≤ x =⇒ f (x) ≤ f (x ) ,
• monoton fallend ⇐⇒ ∀x, x ∈ U : x ≤ x =⇒ f (x) ≥ f (x ) ,
• streng monoton steigend ⇐⇒ ∀x, x ∈ U : x < x =⇒ f (x) < f (x ) ,
• streng monoton fallend ⇐⇒ ∀x, x ∈ U : x < x =⇒ f (x) > f (x ) ,
❘
❘
Beispiel 3.3.
• Es sei a ∈ . Die Funktion, die f¨
ur jedes x ∈
den
Wert a annimmt, bezeichnen wir mit a :
→ , d.h. a(x) = a f¨
ur
alle x ∈ . Ihr Graph in der Koordinatenebene ist eine Parallele zur
x-Achse durch den Punkt (0, a).
❘
❘
❘
Die konstanten Funktionen sind sowohl monoton fallend als auch monoton steigend.
• Die Identit¨
at id auf
❘ ist die Funktion mit
id(x) = x
Ihr Graph ist die Winkelhalbierende in der Koordinatenebene. Die
Identit¨
at ist streng monoton steigend.
Frank Klinker
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33
3 Reelle Funktionen
Definition 3.4. Es sei U eine Menge mit a − x ∈ U =⇒ a + x ∈ U f¨
ur ein
a ∈ . Eine Funktion f : U → heißt
❘
❘
• achsensymmetrisch zur Achse x = a, wenn f (a − x) = f (a + x) f¨
ur alle
x ∈ U , und
• punktsymmetrisch zum Punkt (a, b), wenn f (a + x) − b = b − f (a − x)
f¨
ur alle x ∈ U .
• Eine Funktion die achsensymmetrisch zur Achse x = 0 ist, also f (x) =
f (−x), heißt gerade. Eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, also f (x) = −f (−x), heißt ungerade.
Beispiel 3.3 (Fortsetzung). Wie man an den bisherigen Beispielen schon
sieht, werden Funktionen in der Regel beschrieben, indem man eine Funktionsvorschrift angibt. Wir schreiben das dann auch in der Form
f : x → f (x) .
• F¨
ur n ∈
◆ ist die n-Potenzfunktion die Funktion f : ❘ → ❘ mit
f (x) = xn .
Sie hat genau eine Nullstelle bei x = 0. Sie ist f¨
ur gerades n auf
≤0 streng monoton fallend und auf
≥0 streng monoton steigend.
F¨
ur ungerades n ist die Potanzfunktion streng monoton wachsend auf
ihrem gesamten Definitionsbereich.
❘
❘
• Als Normalhyperbel bezeichnen wir die Funktion f :
f :x→
❘∗ → ❘ mit
1
.
x
Diese Funktion ist streng monoton fallend.
• Die Betragsfunktion ist die Funktion f :
f : x → |x| =
x
−x
❘ → ❘ mit
f¨
ur x ≥ 0
f¨
ur x < 0
Frank Klinker
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34
3 Reelle Funktionen
f (x) = 2
f (x) = |x|
f (x) = x
f (x) = x2
f (x) = x3
Bemerkung 3.5. Es seien U, V ⊂
❘ und f : U → V
eine Funktion.
1. f : U → V ist injektiv ⇐⇒ der Graph von f schneidet f¨
ur alle a ∈ V
den Graphen der Funktion a h¨ochstens einmal.
2. f : U → V ist surjektiv ⇐⇒ der Graph von f schneidet f¨
ur alle
a ∈ V den Graphen der Funktion a mindestens einmal.
3. f : U → V ist bijektiv ⇐⇒ der Graph von f schneidet f¨
ur alle a ∈ V
den Graphen der Funktion a genau einmal.
Man kann Funktionen auf verschiedene Arten verkn¨
upfen.
❘
❘
Definition 3.6.
1. Es seien f : U → und g : U → Funktionen mit
dem selben Definitionsbereich. Dann sind die Funktionen f + g, f − g,
f · g und fg u
¨ber die folgenden Funktionsvorschriften definiert
f +g :U →
❘
mit
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
Frank Klinker
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35
3 Reelle Funktionen
❘
f ·g :U →❘
f −g :U →
f
: U \ Ng →
g
(f − g)(x) := f (x) + g(x)
mit
(f · g)(x) := f (x)g(x)
f
f (x)
(x) :=
g
g(x)
mit
❘
❘
mit
❘
2. Es seien f : U → und g : V → Funktionen mit f (U ) ⊂ V . Dann
ist die Verkettung g ◦ f : U → ebenfalls eine Funktion und es gilt
❘
(g ◦ f )(x) = g f (x) .
❘
❘ ❘
Beispiel 3.7. Es sei f : U → eine Funktion und b : → mit b(x) = |x|
die Betragsfunktion. Die Verkettung liefert eine neue Funktion, die wir mit
|f | :→ bezeichnen. Es gilt
❘
|f | = b ◦ f
also
|f |(x) = |f (x)| .
Definition 3.8. Eine Funktion f : U →
❘ heißt
• nach unten beschr¨
ankt, wenn es eine Zahl C ∈
C f¨
ur alle x ∈ U ,
• nach oben beschr¨
ankt, wenn es eine Zahl C ∈
f¨
ur alle x ∈ U ,
• beschr¨
ankt, wenn es eine Zahl C ∈
x ∈ U.
❘ gibt, so dass f (x) ≥
❘ gibt, so dass f (x) ≤ C
❘ gibt, so dass |f (x)| < C f¨ur alle
Insbesondere ist eine Funktion genau dann beschr¨ankt, wenn sie nach oben
und nach unten beschr¨
ankt ist.
❘
Bezeichnung 3.9. Es seien f, g : U → zwei Funktionen. Dann schreiben
wir f < g, wenn f (x) < g(x) f¨
ur alle x ∈ U . Ist f < a f¨
ur ein a ∈
so
schreiben wir auch k¨
urzer f < a. Genauso gilt das auch f¨
ur ≤, > und ≥.
Eine Funktion ist in dieser Notation nach oben beschr¨ankt, nach unten beschr¨
ankt oder beschr¨
ankt, wenn es eine Zahl C ∈
gibt, so dass f ≤ C,
f ≥ C oder |f | ≤ C.
❘
❘
❘
Satz 3.10. Ist die Funktion f : U →
streng monoton, so ist sie invertierbar, wenn man den Wertebereich auf f (U ) ⊂
einschr¨
ankt. Ihre
Umkehrfunktion f −1 : f (U ) → hat das gleiche Monotonieverhalten wie f .
❘
❘
Frank Klinker
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36
3 Reelle Funktionen
❘
❘
❘
❘
❘ ❘
Beispiel 3.11. Es seien a ∈ ∗ , b ∈ . Die Funktion f :
→
mit
f (x) = ax + b ist f¨
ur a > 0 streng monoton steigend und f¨
ur a < 0 streng
monoton fallend. Die Umkehrfunktion zu f ist die Abbildung f −1 : →
mit f −1 (x) = a1 x − ab und hat deshalb das gleiche Monotonieverhalten.
❘
Bemerkung 3.12. Ist f : U →
eine invertierbare reelle Funktion und
f −1 : f (U ) →
ihre Umkehrfunktion so gilt Gf = (x, f (x)) x ∈ U
und Gf −1 = (y, f −1 (y)) y ∈ f (U ) = (f (x), x) x ∈ U . Deshalb ergeben sich die Graphen jeweils aus dem anderen durch Spiegelung an der
Winkelhalbierenden, also an Gid .
❘
3.2
Wurzelfunktionen
Die Potenzfunktion f : x → xn ist f¨
ur gerade n auf R≥0 und f¨
ur ungerades n auf
streng monoton steigend, siehe Beispiel 3.3. Damit ist die
Potenzfunktion wegen Satz 3.10 invertierbar.
❘
Wie sieht jedoch das Bild der Potenzfunktion aus? – dieses liefert gerade den
Definitionsbereich der Umkehrfunktion. Dieser ist ≥0 f¨
ur n gerade und
f¨
ur n ungerade, wie der folgende Satz zeigt.
❘
❘
◆
Satz 3.13.
1. Ist n ∈ ∗ , dann gibt es zu jeder Zahl b ≥ 0 genau ein
Zahl a > 0 mit an = b.
◆
2. Ist n ∈ ∗ gerade, dann gibt es zu jeder Zahl b > 0 – und nur zu
diesen – genau zwei Zahlen a1 < 0 < a2 mit an1 = an2 = b.
◆
3. Ist n ∈ ungerade, dann gibt es zu jeder Zahl b ∈
a ∈ mit an = b.
❘
❘ genau eine Zahl
❘
Beweis. Zum Beweis der Existenz von a in 1. definiere M := {x ∈ | xn <
b} und setze a := sup(M ). Dann zeige an = b durch Widerspruch aus an < b
und an > b.
Definition 3.14. Die Umkehrfunktionen der Potenzfunktion x → xn heißt
n-te Wurzelfunktion und wir schreiben
√
x → n x.
F¨
ur ungerades n ist der Definitions- und der Wertebereich
ist der Definitions- und der Wertebereich ≥0
❘
❘, f¨ur n gerade
Frank Klinker
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3 Reelle Funktionen
x→
√
3
x→
x
√
x
Definition/Bemerkung
3.15 (allgemeine Potenzfunktion 1).
√
√
n
n
x = n xn = x schreiben wir auch
1
x n :=
√
n
1. Wegen
x.
2. Wegen 1 = xn−n definieren wir f¨
ur eine negative ganze Zahl −n
x−n :=
1
xn
mit Definitionsbereich
◗
❘∗ .
eine rationale Zahl so definieren wir die Funktion
3. Ist nun q = m
n ∈
mit 1. und 2. durch
√
x → xq := n xm
mit Definitionsbereich R≥0 .
Die allgemeine Potenzfunktion aus 3. erf¨
ullt die g¨angigen Potenzgesetze.
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3 Reelle Funktionen
x → xr
0 < r1 < r2 < r3 = 1 < r4 < r5
r3 = 1
r1 > 1
r2 > 1
0 < r5 < 1
0 < r4 < 1
3.3
Polynome und rationale Funktionen
❘
❘
Definition 3.16. Ein Polynom ist eine Funktion p :
→ , die sich als
Summe und Produkten von Potenzfunktionen und konstanten Funktionen
ergibt. Sie hat die Form
1
n
ak xk = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 .
p(x) =
k=0
❘
Ist an = 0, dann heißt die Zahl n em Grad des Polynoms und die ai ∈
heißen die Koeffizienten. Speziell der h¨ochste Koeffizient an heißt Leitkoeffizient.
Satz 3.17. Ein Polynom p vom Grad ≥ 1 ist unbeschr¨
ankt. Es gilt:
• Ist der Grad von p ungerade, so ist p nach unten und oben unbeschr¨
ankt.
• Ist der Grad von p gerade, so ist p nach unten beschr¨
ankt und nach
oben unbeschr¨
ankt, wenn der Leitkoeffizient positiv ist, und nach oben
beschr¨
ankt und nach unten unbeschr¨
ankt, wenn der Leitkoeffizient negativ ist.
Frank Klinker
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39
3 Reelle Funktionen
Beispiel 3.18.
f (x) = 2x3 + 4x2 − 2x − 3
f (x) = 2x4 − 4x2 + 3x
Bemerkung 3.19.
• Ein Polynom p(x) = a1 x + a0 vom Grad 1 hat
genau eine Nullstelle, n¨amlich x0 = − aa10 .
• Ein Polynom p(x) = a2 x2 + a1 x + a0 vom Grad 2 hat keine Nullstelle,
a2
wenn ∆ := 41 − a0 a2 < 0, zwei Nullstellen, wenn ∆ > 0 und eine
Nullstelle, wenn ∆ = 0. Es gilt n¨amlich
1
a1
a22 x2 + a1 a2 x +
a2
2
2
1
∆
a1
−
=
a2 x +
a2
2
a2
p(x) =
2
−
a1
2
2
+ a0 a2
Satz 3.20. Es sei p ein Polynom n-ten Grades mit einer Nullstelle x = x0 .
Dann gibt es ein Polynom pˆ vom Grad n − 1, so dass f¨
ur alle x ∈
❘
p(x) = (x − x0 )ˆ
p(x) .
Folgerung 3.21. Es sei p ein Polynom n-ten Grades mit den Nullstellen
x1 , x2 , . . . , xm . Dann gibt es Zahlen r1 , . . . , rm ∈ ∗ und ein Polynom pˆ vom
Grad n − r, wobei r = r1 + . . . + rm , mit den folgenden Eigenschaften
◆
• pˆ hat keine Nullstellen
• f¨
ur alle x ∈
❘
p(x) = (x − x1 )r1 (x − x2 )r2 · . . . · (x − xm )rm pˆ(x) .
Die nat¨
urliche Zahl rk nennt man die Vielfachheit der Nullstelle xk
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Analysis I • WiSe 2014/15
40
A Grundbegriffe der formalen Logik
A
Grundbegriffe der formalen Logik
Definition A.1 (Wahrheitswerte, Aussagen). Eine (logische) Aussage A
ist eine Behauptung u
¨ber einen Sachverhalt, der genau einer der beiden
Wahrheitswerte “wahr” (w) oder “falsch” (f ) zugeordnet werden kann.
Definition A.2 (Negation, NICHT). Ist A eine Aussage so nennt man ¬A
die Negation von A (man sagt auch “nicht A”). Sie ist definiert u
¨ber ihren
Wahrheitsgehalt:
Wenn A falsch ist, dann ist ¬A wahr.
Wenn A wahr ist, dann ist ¬A falsch.
Definition A.3 (Konjunktion, UND). Sind A und B Aussagen, so bezeichnet A∧B die Konjunktion und man sagt “A und B”. Sie ist definiert u
¨ber
ihren Wahrheitsgehalt:
Wenn A und B wahr sind, dann ist A ∧ B wahr.
Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A ∧ B falsch.
Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A ∧ B falsch.
Wenn A und B falsch sind, dann ist A ∧ B falsch.
Definition A.4 (Disjunktion, ODER). Sind A und B Aussagen, so bezeichnet A ∨ B die Disjunktion und man sagt “A oder B”. Sie ist definiert u
¨ber
ihren Wahrheitsgehalt:
Wenn A und B wahr sind, dann ist A ∨ B wahr.
Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A ∨ B wahr.
Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A ∨ B wahr.
Wenn A und B falsch sind, dann ist A ∨ B falsch.
Definition A.5 (Tautologie, Kontradiktion). Es sei A eine beliebige Aussage.
1. Die Tautologie
(¬A) ∨ A.
❲ ist die Aussage mit dem Wahrheitswert der Aussage
2. Die Kontradiktion
sage (¬A) ∧ A
Das heißt,
❋ ist die Aussage mit dem Wahrheitswert der Aus-
❲ ist immer wahr und ❋ ist immer falsch.
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
41
A Grundbegriffe der formalen Logik
Die Definitionen A.2-A.5 kann man gut mit Hilfe von Wahrheitswerttabellen
(WWT) beschreiben:
A B ¬A A ∧ B A ∨ B
w w f
w
w
w f
f
f
w
f
w
f w w
f f
w
f
f
❲, A ∨ ¬A ❋, A ∧ ¬A
w
w
w
w
f
f
f
f
¨
Definition A.6 (Logische Aquivalenz).
Es seien A, B, . . . Aussagen und
weiter seien F (A, B, . . .) und G(A, B, . . .) Ausdr¨
ucke die durch Verkn¨
upfung
der Aussagen entstehen. Dann heißen F (A, B, . . .) und G(A, B, . . .) logisch
aquivalent, wenn f¨
ur alle Kombinationen von Wahrheitswerten der Aussagen
¨
A, B, . . . die Aussagen F (A, B, . . .) und G(A, B, . . .) den gleichen Wahrheitswert haben.
Wir schreiben dann F (A, B, . . .) ⇐⇒ G(A, B, . . .).
¨
Bemerkung A.7. Um die logische Aquivalenz
von Aussagenverkn¨
upfungen
zu pr¨
ufen, in die k Aussagen A1 , A2 , . . . , Ak eingehen, braucht man eine
WWT mit 2k Zeilen.
Beispiel A.8. Es seien A und B Aussagen. Dann gelten folgende logische
¨
Aquivalenzen:
¬(¬A) ⇐⇒ A
A ∧ B ⇐⇒ B ∧ A
A ∨ A ⇐⇒ A
❲ ⇐⇒ ❲
A ∨ ❋ ⇐⇒ ❆
A∨
A ∨ B ⇐⇒ B ∨ A
A ∧ A ⇐⇒ A
❲ ⇐⇒ A
A ∧ ❋ ⇐⇒ ❋
A∧
Satz A.9 (Rechenregeln). Es seien A, B und C Aussagen. Dann gelten
¨
folgende logischen Aquivalenzen:
1.
(A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C)
(A ∨ B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ (B ∨ C)
2.
A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
3.
¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B
(De Morgansche Regeln)
¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B
Frank Klinker
Analysis I • WiSe 2014/15
42
A Grundbegriffe der formalen Logik
¨
Definition A.10 (Folgerung, Aquivalenz).
Es seien A und B Aussagen.
Dann ist die Folgerung A → B durch
A → B :⇐⇒ ¬A ∨ B
¨
und die Aquivalenz
A ↔ B durch
A ↔ B :⇐⇒ (A → B) ∧ (B → A)
definiert.
Bemerkung A.11. Die WWT dieser Verkn¨
upfungen lauten
A B A→B A↔B
w w
w
w
w f
f
f
f w
w
f
w
w
f f
¨
¨
Mit Hilfe der Aquivalenz
kann man die logische Aquivalenz
zweier Aussagenverkn¨
upfungen auch wie folgt charakterisieren:
Bemerkung A.12. Es seien F (A, . . .) und G(A, . . .) zwei Aussageverkn¨
upfungen. Dann gilt:
F (A, . . .) ⇐⇒ G(A, . . .)
ist gleichbedeutend mit
F (A, . . .) ↔ G(A, . . .) ⇐⇒
❲
Definition A.13 (Logische Folgerung). Mit den Bezeichnungen aus Definition A.6 definieren wir die logische Folgerung analog zu Bemerkung A.12
F (A, . . .) =⇒ G(A, . . .)
ist gleichbedeutend mit
F (A, . . .) → G(A, . . .) ⇐⇒
❲
Bezeichnung A.14. Wir werden im Text die Unterscheiduung zwischen lo¨
¨
gischer Folgerung und Folgerung sowie logischer Aquivalenz
und Aquivalenz
nicht machen und schreiben in beiden F¨allen =⇒ und ⇐⇒ .
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Analysis I • WiSe 2014/15
43
A Grundbegriffe der formalen Logik
Definition A.15. Eine Aussageform A ist eine Zuordnung, die jedem Wert
x aus einer Grundmenge G einen Aussage A(x) zuordnet.viii
Definition A.16 (Allquantor, Existenzquantor). Es sei A eine Aussageform
u
¨ber der Grundmenge G.
• ∀x ∈ G : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A allgemeing¨
ultig ist.
Man sagt ”F¨
ur jedes x ∈ G gilt A(x)”.
• ∃x ∈ G : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A erf¨
ullbar ist. Man
sagt ”Es gibt ein x ∈ G, so dass A(x) gilt”.
Bemerkung A.17. Es sei A eine Aussageform u
¨ber G. Dann gilt
1. A ist erf¨
ullbar ⇐⇒
∃x ∈ G : A(x).
2. A ist nicht erf¨
ullbar ⇐⇒
∀x ∈ G : ¬A(x).
3. A ist allgemeing¨
ultig ⇐⇒
∀x ∈ G : A(x).
4. A ist nicht allgemeing¨
ultig ⇐⇒
∃x ∈ G : ¬A(x).
In der letzten Bemerkung haben wir schon von folgendem Sachverhalt Gebrauch gemacht:
Satz A.18 (Negation von Quantoren). Es sei A eine Aussageform u
¨ber der
Grundmenge G. Dann gilt:
1. ¬ ∃x ∈ G : A(x)
⇐⇒
∀x ∈ G : ¬A(x)
2. ¬ ∀x ∈ G : A(x)
⇐⇒
∃x ∈ G : ¬A(x)
Bezeichnung A.19. Ist die Aussageform A f¨
ur genau ein x ∈ G erf¨
ullbar,
d.h
∃x ∈ G : A(x) ∧ ∀y ∈ G : y = x =⇒ ¬A(y)
so k¨
urzen wir das ab mit
∃!x ∈ G : A(x) .
Bemerkung A.20 (Rechenregeln).
viii
siehe z.B. Satz 1.16, wo jedem n ∈
◆ die Aussage A(n) zugeordnet wird.
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44
A Grundbegriffe der formalen Logik
1. Es seien A und B Aussageformen auf der Grundmenge G. Dann gilt:
∀x ∈ G : A(x) ∧ B(x)
∃x ∈ G : A(x) ∨ B(x)
⇐⇒
⇐⇒
∀x ∈ G : A(x) ∧ ∀x ∈ G : B(x)
∃x ∈ G : A(x) ∨ ∃x ∈ G : B(x)
2. Es seien A und B Aussageformen auf der Grundmenge G und D eine
Aussage, die nicht von x abh¨angt, dann gilt
∀x ∈ G : D ⇐⇒ ∃x ∈ G : D ⇐⇒ D
∀x ∈ G : A(x) ∧ D
∀x ∈ G : A(x) ∨ D
∃x ∈ G : A(x) ∨ D
∃x ∈ G : A(x) ∧ D
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
∀x ∈ G : A(x) ∧ D
∀x ∈ G : A(x) ∨ D
∃x ∈ G : A(x) ∨ D
∃x ∈ G : A(x) ∧ D
3. Es sei C eine Aussageform auf der Menge G1 × G2 . Dann giltix
∀x ∈ G1 ∀y ∈ G2 : C(x, y) ⇐⇒ ∀y ∈ G2 ∀x ∈ G1 : C(x, y)
∃x ∈ G1 ∃y ∈ G2 : C(x, y) ⇐⇒ ∃y ∈ G2 ∃x ∈ G1 : C(x, y)
Beispiel A.21.
• Ist in 3. C(x, y) = A(x) ∧ B(y) so gilt
∀x ∈ G1 ∀y ∈ G2 : A(x) ∧ B(y) ⇐⇒ ∀x ∈ G1 : A(x) ∧ ∀y ∈ G2 : B(y)
• Ist in 2. C(x, y) = A(x) ∨ B(y) so gilt
∃x ∈ G1 ∃y ∈ G2 : A(x) ∨ B(y) ⇐⇒ ∃x ∈ G1 : A(x) ∨ ∃y ∈ G2 : B(y)
ix
Wenn zwei Quantoren aufeinanderfolgen, so hat man das geklammert zu verstehen,
z.B. ∀x ∈ G1 ∀y ∈ G2 : C(x, y) ⇐⇒ ∀x ∈ G1 : ∀y ∈ G2 : C(x, y)
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B Zahlbereichserweiterungen
B
◆→❩→◗
Zahlbereichserweiterungen
45
◆→❩→◗
Hier pr¨
asentieren wir die Details zur Zahlenbereichserweiterung
¨
mittels Aquivalenzrelationen
gem¨aß Beispiel 1.32.
◗
B.1
◆→❩→
Die ganzen Zahlen
Die ganzen Zahlen erh¨
alt man, indem man eine kleinere nat¨
urliche Zahl von
einer gr¨
oßeren Zahl ”abzieht”. Aber was soll das heißen, wenn man lediglich
die Addition auf
kennt. F¨
ur einen Spezialfall kann man die Subtraktion
definieren, n¨
amlich wenn a ≥ b ist. In diesem Fall gibt es genau ein k ∈
so dass a = b + k ist. Wir setzen in diesem Fall a − b := k
◆
◆
Wir konstruieren die ganzen Zahlen mit Hilfe von Paaren nat¨
urlicher Zahlen.
Definition/Satz B.1. Wir betrachten die Menge
Relation ∼Z , die wie folgt definiert ist
(a, b) ∼Z (a , b ) ⇐⇒ a + b = a + b .
¨
Dann ist ∼Z ist eine Aquivalenzrelation
auf
einteilung bezeichnen wir mit
◆ × ◆ und auf ihr eine
¨
◆ × ◆. Die Aquivalenzklassen-
❩ = {[(a, b)]Z | (a, b) ∈ ◆ × ◆} .
Bemerkung B.2. In der Menge ❩ gibt es lediglich drei verschiedene Typen
von Klassen: [(a, b)] mit a > b,


[(k, 0)] falls
[(a, b)] = [(0, 0)] falls


[(0, k )] falls
[(a, a)] und [(a, b)] mit a < b. Dann gilt
a > b und a = b + k
a=b
a < b und b = a + k
Ein ”sch¨
ones” Repr¨
asentantensystem ist also
(0, k), (0, 0), (k, 0) k ∈
◆∗
.
Definition/Satz B.3. Auf der Menge
eine Multiplikation wie folgt
❩ definieren wir eine Addition und
[(a, b)] +Z [(a , b )] := [(a + a , b + b )] ,
[(a, b)] ·Z [(a , b )] := [(a · a + b · b , a · b + b · a )] .
Diese ist wohldefiniert und es gilt
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B Zahlbereichserweiterungen
◆→❩→◗
46
❩
• ( , +Z ) ist eine kommutative Gruppe, dessen neutrales Element mit 0
bezeichnet wird.
❩
• ( \ {0}, ·Z ) ist assoziativ, kommutativ und besitzt ein Einselement
welches das einzige invertierbare Element ist. Das neutrale Element
bezeichnen wir mit 1.
❩
• ( , +Z , ·Z ) ist distributiv.
Diese drei Punkte machen
❩ zu einem kommutativen Ring mit Einselement.
Proof. Nachdem man die Wohldefiniertheit gezeigt hat, sieht man, dass 0 =
[(0, 0)] und [(a, b)]+Z [(b, a)] = [(0, 0)]. Außerdem ist 1 = [(1, 0)]. Alles andere
rechnet man nach.
Definition/Satz B.4. Auf der Menge
tion durch
❩ definieren wir eine Ordnungsrela-
(a, b) ≤Z (a , b ) ⇐⇒ a + b ≤ a + b .
Satz B.5. Die Abbildung φ :
◆ → ❩ mit
φ(a) = [(a, 0)]
ist mit den Strukturen vertr¨
aglich, d.h.
φ(a + b) = φ(a) +Z φ(b) ,
φ(a · b) = φ(a) ·Z φ(b) ,
a ≤ b ⇐⇒ φ(a) ≤Z φ(b) .
Bezeichnung B.6. Wir schreiben f¨
ur a > 0
❩
❩∗
statt
❩
statt
Z \ {0}
k
statt
[(a + k, a)]
−k
statt
[(a, a + k)]
0
statt
[(a, a)]
+
statt
+Z
·
statt
·Z
k−
statt
≤ statt
◆
statt
k + (− )
≤Z
◆
φ( )
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B Zahlbereichserweiterungen
◆→❩→◗
47
Definition B.7. Wir benutzen die Schreibweisen
sign(a) :=
1
−1
falls a ≥ 0
falls a < 0
|a| :=
a
−a
falls a ≥ 0
falls a < 0
und nennen sign(a) das Vorzeichen und |a| den Betrag von a ∈
stets a = sign(a) · |a|.
Definition/Satz B.8 (aus der linearen Algebra).
¨
Auf definieren wir die Aquivalenzrelation
❩
k∼
⇐⇒ n (k − ) .
❩. Es gilt
1. Es sei n ∈
◆≥2.
❩
¨
Die zugeh¨
orige Aquivalenzklasseneinteilung
wird mit n und besitzt
genau n-Elemente. Ein Repr¨
asentantensystem ist durch die Zahlen
{0, 1, , . . . , n} gegeben. Die Klasse zu k ∈
wird wieder mit [k] bezeichnet.
❩
2. Die folgenden Definition liefern wohldefinierte Verkn¨
upfungen auf
[k] + [ ] := [k + ],
3.
❩
❩n:
[k] · [ ] := [k · ] .
upfunen zu einem kommutativen Ring mit
n wird mit diesen Verkn¨
Einselement.
❩
4. In n ist genau dann jedes Element invertierbar bez¨
uglich ·, wenn n
eine Primzahl ist. Insbesondere ist n in diesem Fall ein K¨orper.
❩
Satz B.9. Die Menge
surjektive Abbildung γ :
γ(k) =
−
❩ der ganzen Zahlen ist abz¨ahlbar, d.h es gibt eine
◆ → ❩, etwa
falls k = 2 mit ≥ 0
falls k = 2 − 1 mit ≥ 1
(diese Abbildung ist sogar bijektiv).
◆2 und damit auch ❩2 sind abz¨ahlbar.
• F¨
ur die Abbildung, die die Abz¨ahlbarkeit von ◆2 zeigt, betrachten
wir zwei Primzahlen p, q ∈ ◆.x Damit definieren wir die Abbildung
Bemerkung B.10. Die Mengen
x
p∈
◆ heißt Primzahl, wenn p > 1 und p nur 1 und p selbst als Teiler besitzt.
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◆
◆→❩→◗
48
◆
δpq : 2 →
mit δpq (n, m) = pn q m . Diese ist injektiv und, wenn wir
die Bildmenge auf M := Bild(δpq ) einschr¨anken, ist δpq : 2 → M
−1 : M →
2
sogar bijektiv. Damit existiert die Umkehrabbildung δpq
und wir definieren damit die surjektive Abbildung
◆
◆ → ◆2 ,
γ:
falls n ∈ M
falls n ∈ \ M
◆
◆2 kann man auch das Cantorsche Diago-
F¨
ur die Abz¨
ahlbarkeit von
nalverfahren heranziehen:
(0, 0)
−1 (n)
δpq
(0, 0)
γ(n) =
/ (0, 1)
(0, 2)
(1, 1)
/ (0, 3)
(0, 4)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(3, 1)
(3, 2)
;
{
{
(1, 0)
;
;
/ (0, 5)
{
;
{
{
(2, 0)
◆
;
{
{
(3, 0)
;
{
(4, 0)
;
(4, 1)
{
(5, 0)
(5, 1)
;
(6, 0)
❩
• Die Abz¨
ahlbarkeit von 2 folgt damit leicht: Schreiben wir f¨
ur die
Bilder der Abbildung γ jetzt γ(n) = γ1 (n), γ2 (n) , so erhalten wir
eine surjektive Abbildung γ : → 2 durch
◆ ❩
γ(n) = γ γ1 (n) , γ γ2 (n)
B.2
.
Die rationalen Zahlen
Wir haben bei den nat¨
urlichen Zahlen schon von Teilbarkeit gesprochen und
wir k¨
onnen diese Diskussion direkt auf die ganzen Zahlen u
¨bertragen. Wir
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B Zahlbereichserweiterungen
◆→❩→◗
49
sehen, dass 4 durch 2 und −6 durch −2 oder 3 teilbar ist und nat¨
urlich
dass alle Zahlen durch sich selbst teilbar sind. Aber was ist die allgemeine
Division?
Wir konstruieren die rationalen Zahlen mit Hilfe von Paaren ganzer Zahlen
und gehen analog zum vorhergehenden Abschnitt vor.
Definition/Satz B.11. Wir betrachten die Menge
Relation ∼Q , die wie folgt definiert ist
(a, b) ∼Q (a , b ) ⇐⇒ ab = a b .
¨
Dann ist ∼Q eine Aquivalenzrelation
auf
teilung bezeichnen wir mit
❩ × ❩∗ und auf ihr eine
¨
❩ × ❩∗. Die Aquivalenzklassenein-
◗ = {[(a, b)]Z | (a, b) ∈ ❩ × ❩∗} .
Bemerkung B.12. Es seien a, b = 0 und es gelte b|a oder a|b. Dann ist im
ersten Fall a = b·k und [(a, b)] = [(k, 1)] ∈ . Im zweiten Fall ist b = a·k und
es gilt [(a, b)] = [(sign(a · b), |k|)] ∈ . Ist a = 0 so ist [(a, b)] = [(0, 1)] ∈ .
Etwas allgemeiner kann man sagen: ist a = ka , b = kb so ist [(a, b)] =
[(a , b )]. Man kann also stets einen Repr¨asentanten (a , b ) ∈ [(a, b)] mit
ggT(a , b ) = 1 und b > 0 w¨ahlen. Ein ”sch¨ones” Repr¨asentantensystem ist
also
◗
◗
◗
❩∗, b ∈ ◆∗, ggT(|a|, b) = 1 .
Definition/Satz B.13. Auf der Menge ◗ definieren wir eine Addition und
(a, b), (0, 1) a ∈
eine Multiplikation wie folgt
[(a, b)] +Q [(a , b )] := [(a · b + a · b, b · b )] ,
[(a, b)] ·Q [(a , b )] := [(a · a , b · b )] .
Diese ist wohldefiniert und es gilt
◗
• ( , +Q ) ist eine kommutative Gruppe, dessen neutrales Element mit
0 bezeichnet wird.
◗
• ( \ {0}, ·Q ) ist eine kommutative Gruppe, dessen neutrales Element
mit 1.
◗
• ( , +Q , ·Q ) ist distributiv.
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B Zahlbereichserweiterungen
Diese drei Punkte machen
◆→❩→◗
50
◗ zu einem K¨orper.
Proof. Nachdem man die Wohldefiniertheit gezeigt hat, sieht man 0 = [(0, 1)]
und [(a, b)] +Q [(−a, b)] = [(0, 1)] sowie 1 = [(1, 1)] und [(a, b)] ·Q [(b, a)] =
[(1, 1)] f¨
ur a =. Alles andere rechnet man nach.
Definition/Satz B.14. Auf der Menge
lation durch
◗ definieren wir eine Ordnungsre-
(a, b) ≤Q (a , b ) ⇐⇒ sign(b) · a · |b | ≤ sign(b ) · a · |b| .
Satz B.15. Die Abbildung ψ :
❩ → ◗ mit
ψ(a) = [(a, 1)]
ist mit den Strukturen vertr¨
aglich, d.h.
ψ(a + b) = ψ(a) +Q ψ(b) ,
ψ(a · b) = ψ(a) ·Q ψ(b) ,
a ≤ b ⇐⇒ ψ(a) ≤Q ψ(b) .
Bezeichnung B.16. Wir schreiben
◗
◗
statt
a
statt
b
a statt
[(a, b)]
+
+Q
statt
[(a, 1)]
· statt
·Q
a : b statt
a·
≤ statt
❩
statt
1
b
≤Q
❩
ψ( )
Bemerkung B.17. Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt stets eine weitere
rationale Zahl und damit unendlich viele. W¨ahlt man zwei rationale Zahlen
p, q ∈ mit p < q, so gilt stets a < a+b
2 < b.
Dass es trotzdem noch ”L¨
ucken” gibt, die es zu stopfen gilt, sieht man
zum Beispiel wie folgt: Zeichne ein Quadrat mit der Seitenl¨ange 1. Dann ist
das Quadrat der L¨
ange der Diagonale des Dreiecks wegen des Satzes von
Pythagoras gegeben durch 2 = 12 + 12 = 2. Andererseits ist jedoch nicht
rational.
Die Behandlung dieser ’L¨
ucken” ist Thema von Abschnitt 2.
◗
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◆→❩→◗
51
Bemerkung B.18. Der Betrag | · | und das Vorzeichen sign sind genauso
wie in Definition B.7 auch auf
definiert. Auf die Rechenregeln gehen wir
n¨
aher in Abschnitt 2.5 ein.
◗
◗
Bemerkung B.19. Die Menge der rationalen Zahlen ist abz¨ahlbar. Dazu
definiere eine surjektive Abbildung δ : 2 → durch
δ(r, s) =
❩
◗
r
.
s
Diese liefert uns zusammen mit der Abbildung γ :
Abbildung γˇ : → durch
◆ ◗
◆ → ❩2 eine surjektive
γˇ (n) = δ γ(n) .
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Analysis I • WiSe 2014/15
Literatur
52
Literatur
[Bl] Christian Blatter: Analysis I und Analysis II. (Heidelberger Taschenb¨
ucher 151 und 152), Springer Verlag, I: 3. Aufl. 1980, II: 2. Aufl.
1979.
[Fo] Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer
Ver¨
anderlichen. Springer Verlag, 11. Aufl. 2013.
[He] Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1 und Lehrbuch der Analysis
Teil 2. Vieweg+Teubner Verlag, Teil 1: 17. Aufl. 2009, Teil 2: 14. Aufl.
2008.
[Ko] Hans-Joachim Kowalsky: Lineare Algebra. De Gruyter Verlag, 9. Aufl.
1979.
[Lo] Falko Lorenz: Lineare Algebra I und II. Spektrum Akademischer Verlag, I: 4. Aufl. 2003, II: 3. Aufl. 1992, Nachdruck 2008.
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