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Geometrie Modul 4b WS 2014/15 Mi 10-12 HS 1

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Geometrie Modul 4b
WS 2014/15
Mi 10-12 HS 1
Benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock,
rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
•
•
29.10. V1
05.11. V2
Geometrische Grundbegriffe
Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien
•
12.11. V3
•
19.11. V4
•
•
•
26.11. V5
03.12. V6
10.12. V7
Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze,
Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke,
Haus der Vierecke, Symmetrien)
Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit)
Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis)
Kreis (Geraden, Punkte, Winkelsätze, Vierecke)
•
•
17.12. V8
14.01. V9
Kongruenzabbildungen - Symmetrie
Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen
•
21.01. V10
Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische
Körper, Kugel)
•
•
28.01. V11
30.01. (Freitag)
Zusammenfassung
18-20 Uhr, Klausur (HS 1, HS 2, Audimax)
1
Nachtrag aus V7 Tangentenvierecke
• In Tangentenvierecken ist die Länge der Summe der
Gegenseiten gleich. Warum ist das so?
2
V8 Kongruenzabbildungen_Symmetrie
• 1 Kongruenzabbildungen
– 1.1 Verschiebung
– 1.2 Spiegelung
– 1.3 Drehung
– 1.4 Verkettung von Geradenspiegelungen
• 2 Symmetrie
3
1 Kongruenzabbildungen
• Welche Möglichkeiten gibt es, Figuren innerhalb der
Ebene zu bewegen, ohne sie in Form und Größe zu
verändern?
• Wir suchen nach Abbildungen der Ebene auf sich
selbst.
• Eine solche Abbildung ist eine Zuordnung, die jedem
Punkt der Ebene eindeutig einen Bildpunkt zuordnet.
• Abbildungen, die nur die Lage, aber nicht die Gestalt
und Größe einer Figur verändern, sind
Kongruenzabbildungen – Original und Bild sind
kongruent (deckungsgleich) zueinander.
4
Kongruenzabbildungen:
• Verschiebung
• Spiegelung an einer Geraden
• Drehung um einen Punkt mit einem bestimmten
Drehwinkel
• Wenn die Drehung um einen Punkt um 180° erfolgt,
spricht man von einer Punktspiegelung.
• Verschiebungen in Kombination mit Spiegelungen –
Schubspiegelung (vor allem in Mustern und
Ornamenten zu entdecken)
5
• Kongruenzabbildungen sind geraden-, längenund winkeltreu.
6
1.1 Verschiebung
• Alle Punkte werden
in gleicher Richtung
um Strecken
gleicher Länge
verschoben.
• Die Abbildung ist
eindeutig durch
einen
Verschiebungspfeil
AA‘ bestimmt.
7
1.2 Spiegelung
Die Abbildung erfolgt
durch Spiegelung an
einer Geraden.
Die Figuren sind
zueinander
kongruent.
Sie haben aber einen
unterschiedlichen
Drehsinn.
Bild
Original
Es entstehen kongruente (ungleichsinnige Figuren).
8
Eigenschaften der
Geradenspiegelung
•
•
•
•
•
geradentreu – ein Bild einer Geraden
ist wieder eine Gerade
parallelentreu – die Bilder zweier
Parallelen sind wieder zwei Parallelen
winkeltreu – alle sich
entsprechenden Winkel sind gleich
groß
längentreu – jede Bildstrecke ist
genauso lang wie die ihr
entsprechende Strecke im Original
nicht orientierungstreu – der
Umlaufsinn einer Figur wird
umgekehrt
•
Fixgerade/Fixpunkte
Die Achse ist Fixgerade. Die Punkte
der Achse sind Fixpunkte.
Eine Fixgerade ist eine Gerade,
welche bei einer geometrischen
Abbildung auf sich selbst abgebildet
wird.
Abb.: Schülerduden Mathematik I, 1999
9
1.3 Drehung
Punktspiegelung
Drehung
10
•Sonderfall der Drehung
Punktspiegelung
•Halbdrehung
•Drehung um 180°
Analogie zur Geradenspiegelung: Ein Punkt und sein
Bild auf einer Geraden durch Z liegen gleich weit
entfernt von Z.
11
Drehung
Bei einer Drehung werden alle Punkte einer Figur auf Kreisen
mit dem gleichen Mittelpunkt in gleichem Drehsinn und um
gleich große Winkel gedreht.
– Es entstehen kongruente (gleichsinnige) Figuren.
12
1.4 Verkettung von
Geradenspiegelungen
Die Verkettung von
Geradenspiegelungen führt auch zu
Verschiebung, Drehung,
Punktspiegelung.
13
• Die Verkettung zweier
Achsenspiegelungen an
zueinander parallelen
Geraden ist eine
Verschiebung.
• Die Länge des
Verschiebungspfeils ergibt
sich aus dem doppelten
Abstand zwischen den
beiden Geraden. Die
Orientierung wird
beibehalten.
14
• Die Verkettung zweier
Achsenspiegelungen an
sich schneidenden
Geraden ist eine Drehung
(Rotation).
• Drehpunkt ist der
Schnittpunkt der
Geraden.
• Der Drehwinkel ist
doppelt so groß wie der
Winkel zwischen den
Geraden.
15
• Die Verkettung zweier
Achsenspiegelungen an
zueinander senkrechten
Geraden ist eine
Punktspiegelung
(Drehung um 180°) am
Schnittpunkt der beiden
Achsen.
Abb. aus „Matheprofis“,
Kl. 4: Spiegele die Figur
an zwei Achsen. Drehe
die Figur um den
Drehpunkt.
16
Schubspiegelung
• Der Abbildungstyp, der aus einer Kombination
einer Achsenspiegelung und einer Verschiebung in
Richtung der Achse besteht, nennt man
Schubspiegelung (Gleitspiegelung).
17
• Man kann den Blick auf die Abbildungen
richten. Dann betrachten wir die
Abbildungsarten, die zu kongruenten Figuren
führen. (Folien 4-17)
• Man kann den Blick auf die Figuren richten.
Dann untersuchen wir die Figuren hinsichtlich
ihrer Symmetrieeigenschaften. (s. folgende
Folien)
18
2 Symmetrie
• Eine Figur heißt symmetrisch genau
dann, wenn sie bei einer von der
identischen Abbildung verschiedenen
Bewegung auf sich selbst abgebildet
werden kann.
19
Folgende Kriterien und zugehörige
Sprechweisen sind zu unterscheiden:
Symmetrie als Eigenschaft einer Figur
Symmetrie als Beziehung zwischen
Figuren
20
Symmetrie als Eigenschaft von Figuren
achsen-, punkt- und
drehsymmetrische Figuren
Buchstabensymmetrie:
- N, S, Z
- A, B, C, …
- H, I, O, X
21
Symmetrie als Beziehung zwischen Figuren
Figuren sind zueinander symmetrisch.
punktsymmetrisch
achsensymmetrisch
Abb. aus Hefendehl-Hebeker, 2000
22
Achsensymmetrie
23
Bei der Arbeit mit Klecksbildern
erhält man oft beide Varianten
(getrennt und nicht getrennt
liegende achsensymmetrische
Figuren).
Abb. „Trinkende Hähne“, Martin, Kl. 3
Gespiegelte Zahlen machen den
umgekehrten Drehsinn bei
achsensymmetrischen Figuren
besonders deutlich.
24
Male selbst ein Spiegelbild.
Fehlvorstellungen von Grundschulkindern
Quelle: Till Grohe, 2006
25
Warum kann man im
Zusammenhang mit der
Symmetrie vom „Spiegeln“
sprechen?
•
Würde man das Drachenviereck ABCD
entlang der Diagonale BD falten, so
würden die beiden Dreiecke ∆ABD und
∆CBD genau aufeinander fallen.
•
Kann man eine Figur entlang einer
Geraden falten, so dass die erzeugten
Teilfiguren beim Falten genau
aufeinander fallen, ist die Figur
achsensymmetrisch oder symmetrisch
bezüglich einer Geraden. Die
betreffende Gerade heißt
Symmetrieachse.
•
Solche Figuren werden auch als
spiegelgleich (bezüglich einer Geraden)
bezeichnet. Denn wenn man auf ihre
Symmetrieachse einen Spiegel stellt,
fällt das Spiegelbild der einen Teilfigur
mit der anderen Teilfigur zusammen.
So nennt man die Symmetrieachse
mitunter auch Spiegelgerade.
26
Eigenschaften der Achsensymmetrie
• Zwei zueinander symmetrische Punkte sind von
der Achse gleichweit entfernt. Ihre
Verbindungsstrecke wird von der Achse
senkrecht halbiert.
• Zueinander symmetrische Strecken sind gleich
lang.
• Zueinander symmetrische Winkel sind gleich
groß.
• Zueinander symmetrische Kreise haben
denselben Radius.
• Schneidet eine Gerade die Achse, so schneidet
die zu ihr symmetrische Gerade die Achse im
gleichen Punkt und gleichen Winkel.
• ...
Abb. aus Hefendehl-Hebeker, 2000
27
Drehsymmetrie
Eine Schiffsschraube geht bei
Drehungen um 120°, 240° und
360° in sich selbst über.
• Eine Figur, die durch
Drehung um einen Punkt
in sich selbst übergeht,
heißt drehsymmetrisch.
• Der Punkt, um den die
Figur gedreht werden
kann, ist ihr Drehpunkt.
• Zwei drehsymmetrische
Punkte haben den
gleichen Abstand vom
Drehpunkt, liegen also
auf ein und demselben
Kreis
28
Punktsymmetrie
Eine Drehung um die Mitte des
Propellers um 180° bildet den
einen Flügel auf den anderen ab.
• Eine Figur, die durch
Drehung um 180° in
sich selbst übergeht,
heißt
punktsymmetrisch.
• Die
Verbindungsstrecken
symmetrischer Punkte
gehen alle durch den
Drehpunkt und werden
von diesem halbiert.
29
Symmetrien im Haus der Vierecke
Symmetrieachsen
durch die
Seitenmitten
Symmetrieachsen
sind Mittellinien
der Figur.
Diagonalen als
Symmetrieachsen
Symmetrieachsen
sind Diagonalen
der Figur.
30
• Fazit …
31
Aufgaben zur Übung
Woche vom 08.-09.01.2015
• Stellen Sie ein Klecksbild her und zeichnen Sie Linien und
Punkte so ein, dass wichtige Eigenschaften
achsensymmetrischer Figuren deutlich werden. Benennen Sie
die Eigenschaften.
• Zeichnen Sie ein unregelmäßiges Dreieck. Erzeugen Sie jeweils
eine Kongruenzabbildung durch Verschiebung, Spiegelung,
Punktspiegelung und Drehung (Drehwinkel 45°)
32
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