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Blatt 12

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Institut für
mathematische
Statistik
Übungen zur Vorlesung Stochastik1 im Wintersemester 2014/15
Dereich/Biehler
Blatt 12
Bitte geben Sie keine Schmierzettel ab sondern möglichst vollständige Lösungen in ganzen Sätzen.
Heften Sie mehrere Blätter zusammen und vergessen Sie nicht, auf jedem Lösungsblatt Ihre(n) Namen und Ihre Übungsgruppe anzugeben.
Abgabe: 16. Januar 2015
Besprechung: 22. und 23. Januar 2015
THEMEN: Markov-Ketten
Aufgabe 12.1 (Ein elementares Beispiel)
(8 Punkte)
Ein fahrender Händler besucht mit seinem Wagen die beiden Städte a und b. Jeden Morgen entscheidet sich der Händler, ob er den Tag in der Stadt, in der er sich gerade befindet, verbringt, oder
ob er zu der anderen Stadt reist. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er in der jeweiligen
Stadt bleibt, 3/4.
Wir modellieren den Aufenthaltsort des Händlers mittels einer Markov-Kette (Xn )n≥0 auf E =
{a, b}.
(i) Stellen Sie die Übergangsmatrix P von (Xn )n≥0 auf und veranschaulichen Sie sie mittels einer
graphischen Darstellung.
(ii) Wir wählen als Startverteilung µ =
1 2
,
3 3
.
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Händler am zweiten Tag in Stadt a
aufhält.
• Berechnen Sie P(X3 = b).
(iii) Berechnen sie für alle n ∈ ◆ die n-Schritt Übergangsmatrix P n expliziet.
Hinweis: Nutzen Sie den Spektralsatz aus der Linearen Algebra.
(iv) Geben Sie Pµ (Xn = a) und Pµ (Xn = b) für obige Startverteilung allgemein an und berechnen
Sie den Grenzwert für n → ∞.
(v) Was ergibt sich für die Verteilung von Xn , wenn Sie die Startverteilung ν = νa ✶{a} +νb ✶{b}
wählen, wobei νa := limn→∞ Pµ (Xn = a) und νb := limn→∞ Pµ (Xn = b)?
(Bitte wenden.)
1
Die Übungsaufgaben und weitere Informationen zur Vorlesung finden sie im Learnweb sowie auf der Internetseite:
http://wwwmath.uni-muenster.de/statistik/lehre/WS1415/Stochastik
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Übungen zur Vorlesung Stochastik im Wintersemester 2014/15
Dereich/Biehler
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Aufgabe 12.2
(4 Punkte)
Es seien (Xn )n≥0 eine Markov-Kette auf E mit Übergangsmatrix P und ϕ : E → V eine Abbildung,
wobei V eine weitere diskrete Menge bezeichne. Zeigen Sie, dass (ϕ(Xn ))n≥0 wieder eine MarkovKette ist, wenn für alle k, l ∈ E und v ∈ V ,
ϕ(k) = ϕ(l) ⇒
pk,u =
u∈E: ϕ(u)=v
pl,u .
u∈E: ϕ(u)=v
Was ist die Übergangsmatrix von (ϕ(Xn ))n≥0 ?
Aufgabe 12.3
Sei (Xn )n∈◆ ein Markov-Prozess mit Übergangsmatrix P .
(4 Punkte)
(i) Zeigen Sie, dass für m ∈ ◆ auch P m eine stochastische Matrix ist.
(ii) Zeigen Sie, dass für m ∈ ◆ auch (Xnm )n≥0 ein Markov-Prozess ist und dass seine Übergangsmatrix durch P m gegeben ist.
Aufgabe 12.4
Sei P : E × E → [0, 1] eine stochastische Matrix.
(4 Punkte)
(i) Wir definieren eine Abbildung P : E 2 × E 2 → [0, 1] mittels
p(x,x ),(y,y ) =



px,y ,
px,y



0,
· px ,y ,
falls x = x , y = y ,
falls x = x ,
sonst.
Zeigen Sie, dass P eine stochastische Matrix ist. Wir bezeichnen mit (X n )n≥0 die dazugehörige
Markov-Kette.
(ii) Sei ϕ : E 2 → E, (x, y) → x. Zeigen Sie, dass (ϕ(X n ))n≥0 eine Markov-Kette mit Übergangsmatrix P ist.
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Gesundheitswesen
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