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Blatt 09 - Fachbereich Mathematik - Universität Hamburg

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Fachbereich
Mathematik
Prof. Dr. Birgit Richter,
PD Dr. Ralf Holtkamp
¨
Ubungsaufgaben
Mathematik I fu
¨ r Studierende der Physik:
¨
Blatt 9 zur (Einzel-)Abgabe am 7.1.2015 (in den Ubungen).
Die L¨osungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben.
Aufgabe 1: (4+4 Punkte)
a) Beweisen Sie die Leibnizregel : Sind f und g n-fach differenzierbare Funktionen, so
gilt:
n
n (k) (n−k)
(n)
(f g) =
f g
.
k
k=0
Hinweis: Sie d¨
urfen die Gleichung
benutzen.
n+1
k+1
=
n
k
+
n
k+1
aus Aufgabe 3a) von Blatt 2
b) Berechnen Sie damit die 2015-te Ableitung der Funktion (x3 − x2 ) sinh(x).
Hinweis: Sie d¨
urfen hier die Aussagen u
¨ber die Ableitungen von sinh und cosh aus
Aufgabe 3a) benutzen.
Aufgabe 2: (3+3+2 Punkte)
a) Sei f : R → R, f (x) = ( 21 x2 − 23 x + 34 )e2x . Bestimmen Sie die lokalen Extrema (und
deren Art).
b) Sei f : R → R, f (x) = − cos
deren Art).
x
x2 +1
+ 1 . Bestimmen Sie die lokalen Extrema (und
c) Sei a ∈ R , a > 0 . Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f : (0, ∞) → R,
x
x → a(x ) .
Aufgabe 3: (1+1 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass sinh = cosh und cosh = sinh gilt.
b) Berechnen Sie die Ableitung von
arcosh := (cosh
[0,∞)
)−1
in (1, ∞).
(arcosh ist die Umkehrfunktion von cosh (vgl. Blatt 8, Aufgabe 2)).
Aufgabe 4: (2+4 Punkte)
a) Sei f : R −→ R, f (x) := x5 − 3x4 + 5x2 + 2x − 7. Berechnen Sie die Taylorreihe von
f im Punkt 1. F¨
ur welche x ∈ R konvergiert diese Taylorreihe gegen f (x)?
Universität Hamburg · Tor zur Welt der Wissenschaft
FB Mathematik · www.math.uni-hamburg.de/
b) Sei g : R −→ R, g(x) :=
exp(− x12 ) x = 0
.
0
x=0
Zeigen Sie: g ist in 0 beliebig oft differenzierbar mit
g (n) (0) = 0 f¨
ur alle n ∈ N
und damit, dass die Taylorreihe von g nur in 0 gegen g(x) konvergiert.
(Tipp: Zeigen Sie, dass es f¨
ur alle n ∈ N Polynomfunktionen hn (y) vom Grad 3n
gibt, so dass
g (n) (x) = hn
1
x
· exp −
2
1
x2
f¨
ur x = 0 ist.)
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