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Blatt11 - II. Institut für Theoretische Physik

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¨ STUTTGART – II. INSTITUT FUR
¨ THEORETISCHE PHYSIK
UNIVERSITAT
Prof. Dr. Udo Seifert
Dr. Andre Cardoso Barato,
Dipl.-Phys. Eckhard Dieterich, Dipl.-Phys. Eva Zimmermann,
David Hartich M.Sc., Sebastian Goldt M.Sc.
Statistische Mechanik (WS 14/15) – Blatt 11
Aufgabe 25: Elektronen und Quantenpunkte
Wir betrachten ein System S, welches - innerhalb des Volumens V - 2N Quantenpunkte enth¨alt. Jeder dieser Quantenpunkt kann maximal zwei Elektronen aufnehmen.
Zus¨atzlich sei ein homogenes Magnetfeld H ≡ Hez in z-Richtung vorhanden, welches
nur an den Spin der Elektronen koppelt. Befinden sich zwei Elektronen im selben
Quantenpunkt, m¨
ussen ihre Spins entgegengesetzt orientiert sein. Die zur Erzeugung
eines solchen Spin-Paares notwendige Energie sei ε > 0.
a) S befindet sich zun¨achst nur in Kontakt mit einem W¨armebad der inversen Temperatur β und enth¨alt gerade 2N Elektronen, von denen je die H¨alfte parallel bzw.
antiparallel orientierten Spin tr¨agt. Geben Sie die kanonische Zustandssumme
Z(β), die freie Energie F (β) und die mittlere Zahl der Spin-Paare N ↑↓ (β) an.
(2 Punkte)
b) Es soll nun zus¨atzlich m¨oglich sein, dass durch die Wechselwirkung von S mit
seiner Umgebung Spin-Flips innerhalb von S ausgel¨ost werden. Im Formalismus der Thermostatistik bedeutet das: Das magnetische Moment M ≡ µ(N↑ −
N↓ ) stellt eine extensive Gr¨oße dar, welche mit der Umgebung ausgetauscht
werden kann. Hierin ist N↑ die Zahl der Elektronen mit parallel zu H orientiertem Spin, N↓ entsprechend die Zahl derer mit antiparallelem Spin. Die
¨
zugeh¨orige verallgemeinerte Kraft ist durch H gegeben. Uberlegen
Sie sich,
wodurch ein Mikrozustand α des entsprechenden Ensembles charakterisiert ist
und geben Sie die Wahrscheinlichkeit Pα an, diesen anzutreffen. Berechnen Sie
die Zustandssumme Z(β, H), das verallgemeinerte Potential A(β, H) und das
(2 Punkte)
mittlere magnetische Moment M(β, H).
c) Schließlich soll es S auch noch m¨oglich sein, Teilchen mit seiner Umgebung auszutauschen. Das chemische Potential f¨
ur ↑-Elektronen sei µ↑ , jenes f¨
ur ↓-Elektronen
µ↓ . Geben Sie als erstes wieder die Zustandssumme Z(β, H, µ↑ , µ↓ ) und das
Potential A(β, H, µ↑ , µ↓ ) an. Berechnen Sie nun die mittlere Magnetisierung
M ≡ − V1 M und die magnetische Suszeptibilit¨at bei konstanter Temperatur und
konstanten chemischen Potentialen
χT ≡
∂M
∂H
.
(1)
T,µ↑ ,µ↓
Was bedeutet diese Gr¨oße physikalisch?
(2 Punkte)
Aufgabe 26: Besetzungszahl-Statistik
a) Berechnen Sie durch geeignetes Ableiten des großkanonischen Potentials J(β, V, µ)
nach den Einteilchenenergien Ei die Teilchenzahlschwankungen
(∆ni )2 ≡ n2i − ni2
f¨
ur Bosonen und Fermionen. Dr¨
ucken Sie das Resultat jeweils durch die mittleren
Besetzungszahlen ni aus.
L¨osung:
(∆ni )2 = ni (1 ± ni ) |BE
FD
Diskutieren Sie jeweils den klassischen und den genuin quantalen Grenzfall.
(2 Punkte)
b) Leiten Sie anhand der Herleitung der großkanonischen Zustandssumme Z(β, V, µ)
die Wahrscheinlichkeit pi (n), dass der Einteilchenzustand i genau n-fach besetzt
ist, ab.
L¨osung f¨
ur Bosonen:
nin
pi (n) =
(ni + 1)n+1
pi (n) f¨
ur Fermionen? (Ganz einfach!)
(2 Punkte)
c) Wie b) f¨
ur klassische ununterscheidbare Teilchen (Maxwell-Boltzmann-Statistik
mit Z(β, V, N ) = N1 ! (Z(β, V, 1))N ).
L¨osung: Eine Poissonverteilung pi (n) = (nin /n!)e−ni .
(1 Punkte)
d) Plotten Sie pi (n) f¨
ur BE und MB jeweils f¨
ur die F¨alle ni = 10−1 , 1, 10. Diskussion!
(1 Punkt)
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Gesundheitswesen
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