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Blatt 11

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Prof. Dr. Franz Kalhoff
Marco Sobiech, M. Sc.
Dipl.-Math. Marc Zimmermann
WS 2014/2015
Abgabe bis Dienstag, 06.01.2015, 14:00 Uhr
Einwurf in die Kästen im Mathefoyer
Lineare Algebra I
Übungsblatt 11
Aufgabe 41 (Existenz und Eindeutigkeit von linearen Abbildungen). Es seien a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈ R4 und
b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ∈ R3 gegeben durch
a1 := (1, −2, 1, 2), a2 := (0, 1, 4, 3), a3 := (1, 0, 2, 1), a4 := (−1, −2, −2, 0), a5 := (2, −1, 7, 6)
und
b1 := (2, 1, 2), b2 := (1, 0, 1), b3 := (3, −1, 1), b4 := (4, 0, 2), b5 := (3, 1, 3).
Entscheiden Sie im Folgenden jeweils, ob es eine lineare Abbildung L mit den angeforderten Eigenschaften
gibt und bestimmen Sie in den Fällen, in denen L existiert und eindeutig bestimmt ist, Basen von Bild und Kern
von L.
a) Gibt es eine lineare Abbildung L : R4 → R3 mit L(a1 ) = b1 , L(a2 ) = b2 , L(a3 ) = b3 , L(a5 ) = b4 ?
b) Gibt es eine lineare Abbildung L : R4 → R3 mit L(a1 ) = b2 , L(a2 ) = b1 , L(a3 ) = b5 ?
c) Gibt es eine lineare Abbildung L : R4 → R3 mit L(a1 ) = b3 , L(a2 ) = b2 , L(a3 ) = b1 , L(a4 ) = b4 ?
d) Gibt es eine lineare Abbildung L : R4 → R3 mit L(a1 ) = b2 , L(a2 ) = b2 , L(a3 ) = b1 , L(a4 ) = b1 , L(a5 ) =
2b5 ?
Aufgabe 42 (Polynomring). Es sei K ein Körper. Wir betrachten
KeN0 = {p ∈ K N0 | p(k) = 0 für fast alle k ∈ N0 }
und schreiben für ein Element p ∈ KeN0 auch pk := p(k) für die Auswertung von p an einem Element k ∈ N0 . Für
jedes k ∈ N0 definieren wir außerdem eine Abbildung T k : N0 → K, l → δk,l , wobei das sogenannte KroneckerDelta δk,l gegeben ist durch
1, falls l = k,
δk,l =
für alle k, l ∈ N0 .
0, sonst,
Zeigen Sie:
a) Bezüglich argumentweise definierter Verknüpfungen ist KeN0 ein K-Vektorraum.
b) Jedes Element p ∈ KeN0 lässt sich auf eindeutige Weise darstellen als endliche Summe p = ∑k∈N0 pk T k
mit pk ∈ K und pk = 0 für fast alle k ∈ N0 .
Aufgabe 43 (endliche Vektorräume).
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, a1 ∈ F45 \ {0} zu einem linear unabhängigen System a1 , a2 von F45 zu
ergänzen?
b) Wie viele Basen a1 , . . . , a4 besitzt F45 ?
c) Bestimmen Sie |L (F45 )| und | GL(F45 )|.
d) Es sei n ∈ N und p eine Primzahl. Geben Sie eine allgemeine Formel für die Anzahl der Basen von Fnp
an und beweisen Sie sie.
Aufgabe 44 (Existenz einer linearen Abbildung). Es seien a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈ C4 und b1 , b2 ∈ C3 gegeben durch
a1 = (i, 0, 0, 0), a2 = (3i, −3, 0, 0), a3 = (2i, 0, 0, −1), a4 = (6i, −3, 0, −1), a5 = (11i, −6, 0, −1)
und
√
√
√
√
√
√
b1 = ( 3i, 4 + 2i, 5 − 6i), b2 = (−3, − 12 + 48i, 108 + 15i).
Gibt es eine lineare Abbildung L : C4 → C3 , für die Kern L = sp(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) und Bild L = sp(b1 , b2 ) gilt?
Falls ja, geben Sie eine Charakterisierung dieser Abbildung an.
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