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Blatt 09 - Fachbereich Mathematik - Universität Hamburg

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Fachbereich
Mathematik
PD Dr. Ralf Holtkamp
¨
Ubungsaufgaben
Mathematik III fu
¨ r Studierende der Physik:
Blatt 9 zur Abgabe am 6.1.2015 (vor der Vorlesung).
Die L¨osungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben (Einzelabgabe).
Aufgabe 1: (2+1+1 Punkte)
Seien f, g, h ∈ L1 (Rn ). Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Faltung:
a) Zeigen Sie, dass
(f
f (y)g(x − y)dy
g) (x) =
Rn
wohldefiniert ist, dass f 1 g 1 ≥ f g 1 ist, und dass f g = g f gilt (Kommutativit¨at).
b) Zeigen Sie die Assoziativit¨at : (f g) h = f (g h).
c) Zeigen Sie: supp(f g) ⊆ {x + y | x ∈ supp(f ), y ∈ supp(g)}.
Aufgabe 2: (1+2 Punkte)
a) Sei L der Differentialoperator
d
dx
und δ0 die Dirac-Distribution zum Punkt 0. Berechnen Sie
L = ex
(Lδ0 )[ϕ]
f¨
ur ϕ ∈ D(R).
b) F¨
ur k ∈ N \ {0} sei
 2
f¨
ur
 k
2
−k f¨
ur
fk (x) :=

0 sonst
x ∈ (− k1 , 0)
x ∈ (0, k1 )
Zeigen Sie, dass (Tfk ) gegen δ0 konvergiert.
Hinweis: Wenden Sie die Distributionen auf eine Testfunktion an, und verwenden Sie f¨
ur
diese den Satz u
¨ber die Taylorentwicklung einer (mindestens zweimal) differenzierbaren
reellwertigen Funktion.
Aufgabe 3: (2+0+1+2 Punkte)
Es sei f = 1[−1,1] die charakteristische Funktion des Intervalls [−1, 1]. F¨
ur k ∈ N, k ≥ 1
∗k
∗1
sei nun f die k−fache Faltung von f mit sich selbst (also f = f , f ∗2 = f ∗ f ).
a) Berechnen und skizzieren Sie die Funktion f ∗2 .
b) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von f , und bemerken Sie, dass sie nicht
integrierbar ist.
(Hinweis: Sie d¨
urfen benutzen, dass sin(ξ)/ξ nicht integrierbar ist u
¨ber R.)
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FB Mathematik · www.math.uni-hamburg.de/
c) Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten f ∗k von f ∗k f¨
ur k ∈ {2, 3}.
d) Berechnen Sie
∞
sin x
x
k
dx f¨
ur k ∈ {2, 3}
0
durch Anwenden der Fourier-Inversions-Formel auf f ∗k (x) f¨
ur x = 0 .
Aufgabe 4: (3+1 Punkte)
a) Welche der folgenden Ausdr¨
ucke definieren Distributionen? Welche definieren temperierte Distributionen? (Begr¨
unden Sie!)
2
i) T [ϕ] = ∞
n=0 ϕ(n ).
2
∞
ii) T [ϕ] = −∞ et ϕ(t) dt,
b) Sei α ∈ R fest. Berechnen Sie die Fouriertransformierten der regul¨aren temperierten
Distributionen eiαt , sin(αt) und cos(αt)
2
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