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Nichtlineare Optimierung – Übungsblatt 2
Dr. Klaus Schönefeld
Max Kontak, M. Sc.
Department Mathematik
Fakultät IV, Universität Siegen
Wintersemester 2014/15
Zu bearbeiten bis: 22.10.2014
Aufgabe 1. Lösen Sie grafisch die Optimierungsaufgabe
f ( x) → min!
unter den Bedingungen
x1 + x2 ≤ 6,
x1 − 2x2 ≥ −8,
x1 − x2 ≤ 1,
x1 ≥ 1,
2x1 + x2 ≥ 6,
x2 ≥ 0.
für die Zielfunktionen
a) f ( x) = 10 ( x1 − 3.5)2 + 20 ( x2 − 4)2 ,
c) f ( x) = −10 ( x1 − 2)2 − 20 ( x2 − 3)2 .
b) f ( x) = 10 ( x1 − 2)2 + 20 ( x2 − 3)2 ,
Aufgabe 2. Zeigen Sie mit Hilfe geeigneter Umformungen, dass sich die lineare Optimierungsaufgabe
f ( x, y) = c T x + d T y → min!
Ax + By ≤ a,
bei
Cx + Dy = b
(1)
mit x, c ∈ Rn , y, d ∈ R p , a ∈ Rm , b ∈ Rs A ∈ Rm×n , B ∈ Rm× p , C ∈ Rs×n , D ∈ Rs× p (also so, dass
sämtliche Matrix-Vektor-Multiplikationen definiert sind...) und x ≥ 0 äquivalent in eine Aufgabe der Form
f˜(z) = c˜T z → min!
˜
˜ ≤ b,
Az
bei
z ≥ 0,
(2)
überführen lässt (d. h., dass z mit x und y so zusammenhängt, dass jede Optimallösung von (1) genau
eine Lösung von (2) liefert und umgekehrt).
Aufgabe 3. Es seien x,
ˆ x˜ zwei Optimallösungen der Aufgabe
f ( x) = c T x + d → min!
bei
Ax ≤ a,
Bx = b,
x ≥ 0.
Zeigen Sie, dass dann auch alle Punkte auf der Verbindungsstrecke [ x,
ˆ x˜ ] := { λ xˆ + (1 − λ) x˜ | λ ∈ [0, 1] }
Optimallösungen sind, die Menge der Optimallösungen also konvex ist.
Definition. Es sei G ⊂ Rn konvex. Dann heißt x ∈ G Ecke von G, wenn für alle y, z ∈ G mit x = 12 y + 12 z
gilt, dass x = y = z.
M. a. W.: x kann nur Mittelpunkt zweier Punkte y und z sein, wenn diese mit x identisch sind.
Aufgabe 4. Es seien A ∈ Rm×n und a ∈ Rm gegeben. Man beweise, dass x¯ ∈ Rn genau dann Ecke der
Menge
K = { x ∈ Rn | x ≤ a, x ≥ 0 }
ist, wenn
K∗ =
x¯
a − A x¯
x
y
Ecke der Menge
∈ Rm+n Ax + y = a, x ≥ 0, y ≥ 0
ist.
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Aufgabe 5. Es sei K ⊆ Rn eine kompakte und konvexe Menge. Man zeige:
a) Die Menge K besitzt mindestens einen Eckpunkt, sofern sie nicht leer ist,
b) Enthält K mehr als ein Element, so existieren mindestens zwei Eckpunkte in K.
Hinweis: Man untersuche solche Punkte aus K, welche von einem festen Punkt maximalen Abstand
haben.
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Gesundheitswesen
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