close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Bestellformular - Deutsche Stiftung Denkmalschutz

EinbettenHerunterladen
Prof. Dr. Franz Kalhoff
Marco Sobiech M. Sc.
Dipl.-Math. Marc Zimmermann
WS 2014/2015
Abgabe bis Dienstag, 04.11.2014, 14:00 Uhr
¨
Einwurf in die Kasten
im Mathefoyer
Lineare Algebra I
¨
Ubungsblatt
4
Aufgabe 13 (Gleichheit von Geraden).
a) Es sei n ∈ N eine nat¨urliche Zahl und es seien a, b, c, d ∈ Rn mit b ̸= 0 und d ̸= 0. Dann sind g = {a+ λ b ∈
Rn | λ ∈ R} und h = {c + µ d ∈ Rn | µ ∈ R} Geraden im Rn . Zeigen Sie, dass g und h genau dann gleich
sind, wenn b, d linear abh¨angig sind und g und h nicht-leeren Schnitt haben.
b) Welche der folgenden Geraden sind gleich?
g1 = {(0, 2, 14) + λ1 (2, −4, −6) ∈ R3 | λ1 ∈ R}
g2 = {(−4, −22, 26) + λ2 (1, 2, −3) ∈ R3 | λ2 ∈ R}
g3 = {(−8, −30, −10) + λ3 (8, 16, −24) ∈ R3 | λ3 ∈ R}
g4 = {(3, −8, 5) + λ4 (−30, 60, 90) ∈ R3 | λ4 ∈ R}
Aufgabe 14 (Geraden und Relationen). Es sei g = {λ v0 ∈ Rn | λ ∈ R} eine Gerade im Rn (also v0 ∈ Rn \ {0}).
Auf dem Rn definieren wir eine Relation ∼g durch
x ∼g y :⇔ x − y ∈ g
f¨ur x, y ∈ Rn
¨
a) Zeigen Sie, dass ∼g eine Aquivalenzrelation
auf dem Rn ist.
¨
b) Bestimmen Sie die Aquivalenzklassen
von ∼g und zeigen Sie, dass jede Klasse eine Gerade ist.
c) Bestimmen Sie im Fall n = 2 ein m¨oglichst einfaches Vertretersystem f¨ur diese Relation und beweisen
Sie Ihre Aussage.
d) Bestimmen Sie im Fall n = 3 ein m¨oglichst einfaches Vertretersystem f¨ur diese Relation und beweisen
Sie Ihre Aussage.
Aufgabe 15 (Schnittpunkt von Gerade und Ebene). Es seien die Elemente
a = (6, 2, 4), b = (4, 2, 5), c = (0, 8, 4), d = (3, 9, 6) und e = (1, 9, 5)
aus R3 gegeben. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Verbindungsgeraden von a und b sowie der Verbindungsebene von c, d und e an und bestimmen Sie deren Schnittpunkt, sofern er existiert.
Aufgabe 16 (Schwerpunkt eines Dreiecks bzw. eines Tetraeders).
a) In einem Dreieck heißt die Verbindungsgerade durch den Mittelpunkt einer Seite und die gegen¨uberliegende
Ecke eine Seitenhalbierende. Zeigen Sie, dass sich die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem
Punkt schneiden. Man nennt ihn den Schwerpunkt des Dreiecks.
b) Wir definieren ein Tetraeder als 4 Punkte im R3 . Zeigen Sie weiter, dass sich in einem Tetraeder die vier
Verbindungsgeraden der Ecken mit den Schwerpunkten der jeweils gegen¨uberliegenden Seiten in einem
Punkt schneiden. Er heißt Schwerpunkt des Tetraeders.
Document
Kategorie
Bildung
Seitenansichten
4
Dateigröße
24 KB
Tags
1/--Seiten
melden