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2.Ubungsblatt
zur Darstellungstheorie von Algebren
Anne Henke, WS 2014
Vorraussetzung f¨
ur diese Vorlesung sind Kenntnisse in Linearer Algebra. Sie sollten weiterhin
vertraut sein mit der Definition der Gruppe, des Rings und des K¨orpers. In der Vorlesung
lernen Sie die Definition der Algebra kennen: Algebren sind im wesentlichen spezielle Ringe, die
zus¨atzlich eine Vektorraumstruktur besitzen.
Sei k ein K¨orper und seien A, B zwei k-Algebren mit Einselementen 1A und 1B . Eine Abbildung
φ : A → B heisst ein (k-Algebren-)Homomorphismus, falls gilt:
(i) φ ist k-linear,
(ii) φ(ab) = φ(a)φ(b) f¨
ur alle a, b ∈ A und
(iii) φ(1A ) = 1B .
Wir nennen einen (k-Algebren-)Homomorphismus φ einen (k-Algebren-)Isomorphismus, falls φ
zus¨atzlich bijektiv ist. Algebren A und B heissen isomorph, falls es einen Isomorphismus von A
nach B gibt.
1. Sei A eine k-Algebra mit Multiplikation ·A . Wir definiere die entgegengesetzte algebra
(opposite algebra) von A als den Vektorraum A zusammen mit der Multiplikation a ∗ b :=
b ·A a f¨
ur alle a, b ∈ A. Wir schreiben Aop f¨
ur die entgegengesetzte Algebra.
(a) Zeige Sie, dass Aop eine Algebra ist, und dass (Aop )op isomorph zur Algebra A ist.
(b) Sei A = A1 × A2 das direkte Produkt von Algebren Ai , i = 1, 2. Zeigen Sie, dass die
op
Algebra Aop isomorph zur Algebra Aop
1 × A2 ist.
(c) Zeigen Sie, dass das Transponieren von Matrizen einen Isomorphismus zwischen den
Algebren Mn (k) und Mn (k)op induziert.
2. Sei A eine Algebra u
¨ber einem K¨orper k mit Einselement 1A . Ein Unterraum B von A
heisst Unteralgebra falls 1A ∈ B, und wenn immer b1 , b2 ∈ B, dann ist b1 · b2 ∈ B. Das
Zentrum von A ist definiert als die Menge
Z(A) = {x ∈ A | ax = xa f¨
ur alle a ∈ A }.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge Z(A) eine Unteralgebra von A ist.
(b) Sei A = A1 × A2 das direkte Produkt von Algebren Ai , i = 1, 2. Beschreiben Sie das
Zentrum Z(A) mittels der Zentren Z(A1 ) und Z(A2 ).
(c) Zeigen Sie, dass das Zentrum von Mn (k) genau aus den skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix besteht.
3. Ein Element e ̸= 0 in einem Ring heisst Idempotent, falls e2 = e ist. Bestimmen Sie
alle Idempotente in der Gruppenalgebra CC3 wobei C3 = ⟨g⟩ eine zyklische Gruppe der
Ordnung 3 ist, die von g erzeugt wird.
¨
Die Ubungsbl¨
atter dieser Vorlesung finden Sie auch unter
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/∼henke/ws14.html.
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