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Aufgaben zur Vektoralgebra - Hochschule RheinMain

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Hochschule RheinMain
Studiengang Angewandte Mathematik
Integraltransformationen
Blatt 4
1)Lösen Sie folgenden Anfangswertprobleme mit Hilfe des Faltungssatzes:
y   5 y  2 cos t  sin(3t ), y(0)  0
2) Lösen Sie das Anfangswertproblem
y   4 y  t 3 , y(1)  2
Anleitung: Bestimmen Sie zunächst die allgemeine Lösung der Differentialgleichung in Abhängigkeit
vom (noch unbekannten) Anfangswert y(0) und berechnen Sie diesen durch Einsetzen des vorgegebenen
Anfangswert y(1)=2 in die allgemeine Lösung.
3) In einem RC-Kreis genügt die Stromstärke i  i(t ) der Integro-Differentialgleichung
t
1
Ri    i ( )d  u a
C 
(R: ohmscher Widerstand; C: Kapazität). Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstärke i  i(t )
bei konstanter äußerer Spannung u a  const  u0 , wenn der Stromkreis zu Beginn, d.h. im
Einschaltzeitpunkt t = 0 energielos ist.
4)Lösen Sie folgenden Anfangswertprobleme mit Hilfe des Faltungssatzes:
a) y   3 y   cos t , y(0)  5 ;
b) y   3 y  te t , y(0)  1
5) Die Differentialgleichung eines RL-Kreises laute
di
 20i  10 sin(2t )
dt
Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstärke i für den Anfangswert i(0)=0.
6) Der in Bild dargestellte elektrische Reihenschwingkreis enthält einen Kondensator mit der Kapazität C
und eine (widerstandslose) Spule mit der Induktivität L.
1
Von außen wird die sinusförmige Wechselspannung u a  u 0 sin(0 t ) mit  02 
t
Lösen Sie die Schwingungsgleichung
1
angelegt.
LC
di 1
L    i ( )d  u a unter der Voraussetzung, dass der
dt C 
Schwingkreis zu Beginn der Schwingung, d.h. zur Zeit t=0 energielos ist.
2
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