close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Blatt 10 - Institut für Mathematik

EinbettenHerunterladen
Humboldt-Universit¨
at zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakult¨at
Institut f¨
ur Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Prof. Dr. Remke Kloosterman
Dr. Frank Gounelas
Barbara Jung
Niels Lindner
Sven Sch¨
uler
¨
Ubungsaufgaben
Lineare Algebra I (WiSe 2014/15)
Serie 10
Abgabe: 12.01.2015 in der Vorlesung
1. Die symmetrische Gruppe [10 Punkte]
(a) Es seien die Permutationen π1 , π2 ∈ S6 durch die Zuordnungsvorschriften
π1 =
1
3
2
4
3
5
4
6
5
1
6
2
,
1
2
π2 =
2
4
3
6
4
1
5
5
6
3
gegeben. Geben Sie die Zuordnungsvorschrift f¨
ur die folgenden Permutationen an:
π3 := π1 ◦ π2 ,
π5 := π1−1 ,
π4 := π2 ◦ π1 ,
π6 := π2−1 .
(b) Pr¨
ufen Sie, dass die Menge
id,
1
2
2
3
3
1
1
3
,
2
1
3
2
⊆ S3
eine Untergruppe von S3 bildet.
2. Basiswechsel [10 Punkte]
(a) Es seien f :
❘2 −→ ❘2 eine lineare Abbildung und
bzw.
Basen des
B=
−1
1
,
1
1
C=
−1
2
,
2
−1
, B =
, C =
0
−1
,
2
3
−2
−1
,
1
2
❘2. Die Matrix [f ]CB von f bzgl. B, C sei gegeben durch
[f ]CB =
3 −3
.
−2 4
Bestimmen Sie die Matrizen TBB und TCC sowie die Matrix [f ]CB von f bzgl. B , C .
(b) Bestimmen Sie Ker(f ) und Bild(f ).
3. Matrizen linearer Abbildungen [10 Punkte]
Betrachten Sie die lineare Abbildung
❘
❘
f : P3 ( ) → P3 ( ),
die durch f p(x) = p (x) − p (x) definiert ist.
(a) Bestimmen Sie die f zugeordnete Matrix A := [f ]CB bez¨
uglich der geordneten Basen
B = C = 1, x, x2 , x3 .
(b) Bestimmen Sie die f zugeordnete Matrix [f ]CB bez¨
uglich der geordneten Basen
B = C = 1, (1 − x), (1 − x)2 , (1 − x)3
nun auf zwei verschiedene Weisen, n¨amlich einmal direkt durch das Aufstellen der
Matrix mittels der Funktionsvorschrift und einmal durch Berechnen der Transformationsmatrizen TBB und TCC . Vergleichen Sie die Ergebnisse.
(c) Berechnen Sie A2 = A · A, A3 = A · A2 und A4 = A · A3 . Welchen linearen Abbildungen
von P3 ( ) nach P3 ( ) entsprechen diese Matrizen?
❘
❘
4. Geheime Botschaften [10 Punkte]
Gegeben sei die folgende Zuordnung zwischen den Buchstaben des Alphabets und den ganzen
Zahlen . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . :
...
X
Y
Z
A
B
C
...
X
Y
Z
A
B
...
...
-2
-1
0
1
2
3
...
24
25
26
27
28
...
Mit Hilfe der Matrix

1
A = −1
1
−1
2
−3

2
−1 ∈ M3 ( )
1
❘
wird eine in Dreierbl¨
ocke aufgeteilte Nachricht wie folgt verschl¨
usselt: Zun¨achst werden die
Buchstaben mit Hilfe obiger Zuordnung in Zahlen verwandelt, die Dreierbl¨ocke als Vektoren
x ∈ 3 aufgefasst und mit der Matrix A multipliziert. Die Eintr¨age der Vektoren A · x ∈ 3
werden nun mit Hilfe obiger Zuordnung wieder in Buchstaben verwandelt. Wir erhalten die
Nachricht
❘
❘
BECAG YDADCWV.
Wie lautet der urspr¨
ungliche Text?
Vergessen Sie nicht,
1. die L¨
osungen jeder Aufgabe auf separaten Bl¨attern abzugeben,
¨
2. alle Bl¨
atter mit Name, Matrikelnummer und Ubungsgruppe
zu versehen,
¨
3. Ihre L¨
osung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Ubung
zu begr¨
unden.
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
13
Dateigröße
137 KB
Tags
1/--Seiten
melden