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Blatt 10

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Mathematisches Institut
Prof. Dr. Jürgen Saal
Dr. Florian Zanger
Dipl.-Math. Siegfried Maier
WiSe 2014/2015
16. Dezember 2014
Analysis III
10. Übung
Aufgabe 10.1 (3 Punkte)
Bestimmen Sie für die maßdefinierende Funktion G : R → R, x → x3 die Lebesgue-Stieltjes-Integrale
x dG(x)
(1 + x)dG(x).
und
(0,1]
(0,1]
Aufgabe 10.2 (5 Punkte)
Ziel dieser Aufgabe ist der Beweis von Lemma 1.135. In der gesamten Aufgabe sind mit α, α
˜ immer Multiindizes
aus Nn0 und mit z, z˜ immer Zahlen aus Z gemeint.
a) Die Würfel Wαz seien definiert durch
Wαz :=
−α1 − 1 −α1
, z × ... ×
2z
2
−αn − 1 −αn
, z
⊂ Rn .
2z
2
Zeigen Sie, dass aus Wαz ∩ Wα˜z˜ = ∅ stets Wαz ⊂ Wα˜z˜ oder Wα˜z˜ ⊂ Wαz folgt.
b) Sei a ∈ (−∞, 0)n . Zeigen Sie, dass zu jedem x ∈ (a, 0] ⊂ Rn ein Würfel Wαz mit x ∈ Wαz ⊂ (a, 0] existiert.
c) Sei a ∈ (−∞, 0)n . Zeigen Sie, dass die Würfel im Mengensystem
Ja := Wαz ; Wαz ⊂ (a, 0] und
Wα˜z˜ : Wαz
Wα˜z˜ ⊂ (a, 0]
paarweise disjunkt sind und ihre Vereinigung gleich (a, 0] ist. Zeigen Sie Lemma 1.135.
Aufgabe 10.3 (4 Punkte)
Seien N ⊂ Rn eine Lebesgue-Nullmenge und Φ : N → Rn Lipschitz-stetig. Zeigen Sie, dass dann Φ(N ) ⊂ Rn eine
Lebesgue-Nullmenge ist. Hinweis: Verwenden Sie Korollar 1.67 und Lemma 1.135.
Aufgabe 10.4 (4 Punkte)
Berechnen Sie das von einer dreidimensionalen Kugel erzeugte Gravitationspotential
E(h) =
B 3 (0,1)
1
dλ3 (x),
|x − (0, 0, h)T |
h ∈ [0, ∞).
Abgabetermin: Dienstag 6. Januar 2015 bis 14 Uhr in den Briefkästen auf dem Flur des Geschäftszimmers der Mathematik.
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