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1. ¨Ubung

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Fakult¨at f¨
ur Luft- und Raumfahrttechnik
Institut f¨
ur Mathematik und Rechneranwendung
Vorlesung Numerik (ME)
Dr. A. Dreves
¨
1. Ubung
8. Januar 2015
1) Bestimmen Sie alle Maschinenzahlen zwischen 1 und 8 mit der Basis 2 und der Mantisse
3. Kennzeichnen Sie diese auf einem Zahlenstrahl. Wie groß ist der gr¨oßte absolute Fehler
im Bereich [1,8]? Finden Sie die kleinste obere Schranke f¨
ur den maximalen relativen
Fehler.
2) Gesucht sind die Nullstellen des quadratischen Polynoms f (x) = x2 + bx + c mit b = −108
und c = 1. Berechnen Sie unter Verwendung der L¨osungsformel
√
−b ± b2 − 4c
x1,2 =
2
und eines Computers die beiden Nullstellen. Berechnen Sie nun unter Verwendung des
Satzes von Vieta
x1 x2 = c
die betragskleiner L¨osung aus der betragsgr¨oßeren. Sch¨atzen Sie den relativen Fehler bei
der Berechnung bei beiden Methoden ab, indem Sie verwenden, dass die betragskleinere
L¨osung im Intervall [10−8 , 10−8 (1 + 10−15 )] liegt.
3) F¨
ur n ∈ N sei sn die Seitenl¨ange des dem Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) einbeschriebenem regul¨aren n-Ecks. Der Umfang des n-Ecks ist n · sn und er konvergiert f¨
ur n → ∞
gegen 2π.
a) Zeigen Sie, dass s2n = 2 − 4 − s2n gilt. Berechnen Sie aus dieser Formel (mit
Hilfe eines Computerprogramms) ausgehend von s6 = 1 eine N¨aherung f¨
ur π.
b) Zeigen Sie, dass s2n =
s2
√n
2+
4−s2n
gilt. Berechnen Sie auch mit dieser Formel (mit
Hilfe eines Computerprogramms) ausgehend von s6 = 1 eine N¨aherung f¨
ur π.
4) Beschreiben Sie mit Hilfe der Landau-Symbole das Konvergenzverhalten der Folgen
xk = q k
f¨
ur ein q ∈ (−1, 1),
1
yk =
,
k!
1
1
zk+1 =
zk +
mit z0 = 2.
2
zk
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