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Einführung in die mathematische Modellierung, WS - TU Dortmund

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Institut f¨
ur Angewandte Mathematik
und Numerik, Lehrstuhl III
Prof. Dr. Dmitri Kuzmin
Dipl. Technomath. Steffen Basting
Einf¨
uhrung in die mathematische Modellierung, WS 14/15
¨
3. Ubungsblatt
Die Kurs-Homepage finden Sie unter:
https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/ws-2014-matmod
Aufgabe 1 (Stabwerke ohne Zwangsbedingungen)
Es ist das abgebildete Stabwerk ohne festgehaltene Knoten gegeben:
(0, 1)
f (3) =
1
1
f (2) =
(0, 0)
f (1) =
0
1
(1, 0)
?
?
Alle Elastizit¨
atsmoduli betragen 100. Bestimmen Sie die Kraft f (1) so, dass das lineare Gleichungssystem f¨
ur das Stabwerk eine L¨
osung hat, und berechnen Sie die allgemeine L¨osung.
Aufgabe 2 (Optimierung mit Nebenbedingungen)
a) Betrachten Sie zun¨
achst das Minimierungsproblem
min
1
y Ay − b y | y ∈ Rn ,
2
(1)
wobei A ∈ Rn×n symmetrisch und positiv definit ist, und b ∈ Rn . Zeigen Sie: y ∈ Rn ist genau
dann eine L¨
osung von (1), wenn Ay = b gilt.
b) Gegeben sei nun das quadratische Optimierungsproblem mit linearen Nebenbedingungen,
min
1
y Ay − b y | y ∈ Rn , B y = c
2
(2)
mit einer symmetrischen, positiv semidefiniten Matrix A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , b ∈ Rn , c ∈ Rm ,
sowie das lineare Gleichungssystem
A
B
B
0
y
x
=
b
.
c
(3)
Zeigen Sie, dass beide Probleme ¨
aquivalent sind im folgenden Sinn:
i) Zu jeder L¨
osung y des Optimierungsproblems (2) gibt es ein x ∈ Rm , so dass (y, x) eine
L¨
osung des linearen Gleichungssystems (3) ist.
ii) Ist (y, x) eine L¨
osung von (3), so ist y eine L¨osung von (2).
Aufgabe 3 (Gew¨
ohnliche Differentialgleichungen)
L¨osen Sie das Anfangswertproblem
y (t) + 2ay (t) + by(t) = sin(ωt),
y(0) = 1,
y (0) = 0
f¨
ur die Schwingungsgleichung mit Hilfe einer geeigneten Fallunterscheidung f¨
ur a, b und ω. Setzen
Sie dabei a ≥ 0, b, ω > 0 voraus.
¨
Die Abgabe des Aufgabenblattes erfolgt zur n¨
achsten Ubung
am 16.12.14. Eine Abgabe in Zweiergruppen ist erw¨
unscht.
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